資源簡介

4.1.3 冪函數
課程標準 學習目標
（1）通過具體實例, 結合 = , = 1 , =
2, （1）掌握冪函數的定義;
= , = 3 的圖象 , 理解它們的變化規律 , （2）掌握冪函數的圖象及其性質；
了解冪函數。
（3） 掌握冪函數性質的應用.（難點)
知識點 01 冪函數的定義
一般地，形如 = 的函數稱為冪函數，其中 是自變量， 為常數．
注 (1)注意冪函數中 的系數是1，底數是變量 ，指數 是常數；
【即學即練 1】
下列是冪函數的是 ( )
A. = 2 B. = 3 4 C. = 2 D. = ( ― 1)3
知識點 02 冪函數圖像及其性質
1
(1) 冪函數 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的圖象．
1
(2) 冪函數 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的性質
= = 2 = 3 1 = 2 = ―1
圖象 X|X|K]
定義域 [0, + ∞) ≠ 0
值域 [0, + ∞) [0, + ∞) ≠ 0
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶 奇函數
在( ― ∞,0]上遞減 在[0, + ∞) 在( ― ∞,0)上遞減
單調性 在 上遞增 在 上遞增
在(0, + ∞)上遞增 上遞增 在(0, + ∞)上遞減
特殊點 (1,1),(0 ,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1 )
(3)性質
① 所有的冪函數在(0 , + ∞ )都有定義，并且圖象都過點(1 , 1)；
② > 0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0 , + ∞ )上是增函數．
特別地，當 > 1時，冪函數變化快，圖象下凹；當0 < < 1時，冪函數變化慢，圖象上凸.
1
Eg = 2圖象上凸， = 2圖象下凹，在[0 , + ∞ )上是增函數．
③ < 0時，冪函數的圖象在(0 , + ∞ )上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右
方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 +∞時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．
Eg = ―1 = 1 ，
【即學即練 2】

已知冪函數 = 3( ∈ )的圖象關于 y 軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p 為奇數，且 > 0 B．p 為奇數，且 < 0
C．p 為偶數，且 > 0 D．p 為偶數，且 < 0
【題型一：判斷函數是否是冪函數】
例 1．現有下列函數：① = 3；② = 4 2；③ = 5 +1；④ = ( ― 1)2；⑤ = ，其中冪函數的個
數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
變式 1-1．下列函數是冪函數的是（　　）
A． = 2 B． = 2 ― 1
C． = ( + 1)2 D． = 3 2
變式 1-2．下列函數中， = 1 3， = 2 + 1， =
3 + ， = 4 5是冪函數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧與總結】
1 冪函數的概念：一般地，形如 = 的函數稱為冪函數，其中 是自變量， 為常數．
2 注意冪函數中 的系數是1，底數是變量 ，指數 是常數.
【題型二：求冪函數的值】
例 2．已知冪函數 ( ) = ( + 2) 的圖象經過點(4,2)，則 ― = （ ）
5 3
A． ―3 B． ― 2 C． ―2 D． ― 2
1
變式 2-1．已知冪函數 = ( )的圖象經過點 4, ，則 (2)等于（ ）
4
1
A．2 B．2 C．
2 D．
2 2
2
變式 2-2．已知冪函數 ( ) = ( ― 1) ―1，則 ( ―1) = （ ）
A． ―1 B．1 C． ―2 D．2
變式 2-3．若冪函數 ( ) = 的圖象過點(2,8)，則 ( ) = ― + ― 1的值域為（ ）
A． ―∞, 9 B．[2, + ∞) C 9． , + ∞ D．( ―∞,2]
4 4
【方法技巧與總結】
1 求冪函數的解析式，可利用待定系數法；
2 已給冪函數解析式形式求參數，注意冪函數的系數為1.
【題型三：冪函數的定義域】
例 3 2．已知冪函數 ( ) = ― +2 的定義域為 ，且 ∈ ，則 的值為（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
變式 3-1．下列冪函數中，定義域為(0, + ∞)的是（　　）
2 3 2 3
A． = 3 B． = C = ―2 ． 3 D． = ―2
變式 3-2．冪函數 ( )圖象過點 2, 2 ，則 = ( ) + (2 ― | |)的定義域為（ ）
2
A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2] D．( ― 2,2)
【方法技巧與總結】
1
1 掌握常見冪函數 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的圖象與性質；
2 求非常見冪函數的定義域，常把冪函數的解析式中冪的形式化為根式的形式更好理解；
m
3 所有的冪函數在(0 , + ∞ )都有定義，若冪函數 ( ) = 中a < 0時定義域內不含0，若冪函數 ( ) = =
x (m,n 為整數)中 是偶數，則函數定義域不能取( ― ∞,0)。
【題型四：冪函數的單調性】
2
例 4．若函數 ( ) = ― 2 + + 2, ≤ 1 2 ―6, > 1 是 上的單調函數，則 的取值范圍是（ ）
A．[1,3) B．(3, + ∞) C．(1,2) D．[1,2]
變式 4-1．若函數 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―4 +1為冪函數，且在區間(0, + ∞)上單調遞增，則 = （ ）
A． ―2 B．3 C． ―2或 3 D．2 或 ―3
變式 4-2．設函數 ( ) = ,0 < < 12( ― 1), ≥ 1 ，若 ( ) = ( + 1)
1
，則 = （ ）

1 1
A．4 B．2 C．2 D．6
變式 4-3．已知 ∈ ―2, ― 1, 1 ,3 ( ) = (1 ― ) ― 1, ≤ 0,，且函數 , > 0 在( ―∞, + ∞)上是增函數，則 =2
（ ）
A． ―2 B． ―1 1C．2 D．3
變式 4-4 2．已知函數 ( ) = ( 2 ― ― 1) + ―3是冪函數，且在(0, + ∞)上單調遞減，若 , ∈ ，且
< 0 < ,| | < | |，則 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．無法判斷
變式 4-5．已知奇函數 = ( )是定義域為 R 的連續函數，且在區間(0, + ∞)上單調遞增，則下列說法正確
的是（ ）
A．函數 = ( ) + 2在 R 上單調遞增
B．函數 = ( ) ― 2在(0, + ∞)上單調遞增
C．函數 = 2 ( )在 R 上單調遞增
= ( )D．函數 2 在(0, + ∞)上單調遞增
【方法技巧與總結】
1 冪函數 ( ) = ，當 > 0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0 , + ∞ )上是增函數．
特別地，當 > 1時，冪函數變化快，圖象下凹；當0 < < 1時，冪函數變化慢，圖象上凸.
< 0時，冪函數的圖象在(0 , + ∞ )上是減函數．
2 利用冪函數的單調性，也比較數值大小、求解不等式、求函數值域等.
【題型五：冪函數的奇偶性】
例 5．設 ( )為定義在R上的奇函數，當 ≥ 0時， ( ) = 3 + 2 ― + 1（ 為常數），則不等式 (3 + 5)
> ―2的解集為（ ）
A．( ―∞, ― 1) B．( ―1, + ∞) C．( ―∞, ― 2) D．( ―2, + ∞)
變式 5-1．下列函數中，既是偶函數，又在(0, + ∞)上單調遞增的為（ ）
A． ( ) = ―| | + 1 B． ( ) = 3
C． ( ) = 2| | D． ( ) = 1 2
變式 5-2 1．已知冪函數 ( )的圖象經過點 2, ，則 ( )（ ）
4
A．為偶函數且在區間(0, + ∞)上單調遞增
B．為偶函數且在區間(0, + ∞)上單調遞減
C．為奇函數且在區間(0, + ∞)上單調遞增
D．為奇函數且在區間(0, + ∞)上單調遞減
變式 5-3．若冪函數 ( )過(2,16)，則滿足不等式 (2 ― ) > (2 ― 1)的實數 的取值范圍是 .
【方法技巧與總結】
對于冪函數的奇偶性，主要是利用函數奇偶性的定義進行判定；在奇偶性與單調性的綜合題中常用數形結
合進行思考分析.
【題型六：冪函數圖象的判斷及應用】

例 6．已知冪函數 = （ , ∈ Z且 , 互質）的圖象關于 y 軸對稱，如圖所示，則（ ）

A．p，q 均為奇數，且 > 0 B．q 為偶數，p 為奇數，且 < 0

C．q 為奇數，p 為偶數，且 > 0 D．q 為奇數，p 為偶數，且 < 0
變式 6-1．若冪函數 ( ) 2, 1的圖像經過點 ，則 ( )的圖像可能是（ ）
4
A． B．
C． D．

變式 6-2．已知 ∈ R ( ) = ，則函數 2+1的圖像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
變式 6-3．定義在R上的函數 ( )滿足 (2 ― ) = (2 + )，且在(2, + ∞)單調遞增， (4) = 0， ( ) = 4，
則函數 = ( + 2) ( )的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
對冪函數圖象的判斷，主要是結合其單調性與奇偶性進行分析，若在選擇題中也常用取特殊值的排除法.
【題型七：冪函數性質的綜合應用】
例 7 ( ) = ( ― 2) + 1, ≤ 0,．（多選）已知函數 , > 0, 則以下說法正確的是（ ）
A．若 = ―1，則 ( )是(0, + ∞)上的減函數
B．若 = 0，則 ( )有最小值
1
C．若 = 2，則 ( )的值域為(0, + ∞)
D．若 = 3，則存在 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ( 0) = (2 ― 0)
3
變式 7-1．已知函數 ( ) = ― ( ≥ ) 2( < ) ，若函數 ( )的值域為R，則實數 的取值范圍為（ ）
A．( ― 1,0) B．( ― 1,0] C．[ ― 1,0) D．[ ― 1,0]
變式 7-2．已知函數 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―6是冪函數，對任意 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 ≠ 2，滿足
( 1 ― 2)[ ( 1) ― ( 2)] > 0，若 a， ∈ R，且 + > 0，則 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．無法判斷
― , < 0
變式 7-3．已知函數 ( ) = ― , ≥ 0 ，若對任意的 ≤ 1有 ( + 2 ) + ( ) > 0恒成立，則實數 的取
值范圍是 ．
變式 7-4．已知 ≠ 0，若( + )2021 + 2021 +2 + = 0 ，則 = （ ）
1
A．－2 B．－1 C． ― 2 D．2
變式 7-5．對于定義域為 的函數 = ( )，如果存在區間[ , ] ，同時滿足：① ( )在[ , ]上是單調
函數；②當 ∈ [ , ]時， ( ) ∈ [ , ]，則稱[ , ]是該函數的“優美區間”.
1
(1)求證：[0,3]是函數 ( ) = 9
3的一個“優美區間”；
1
(2)求證：函數 ( ) = 1 ― 不存在“優美區間”；
(3) ( ) = (
2+ ) ―1
已知函數 2 ( ∈ , ≠ 0)有“優美區間”[ , ]，當 ― 取得最大值時求 的值.
一、單選題
1．已知函數 ( ) = ( + 1) ―1是冪函數，則 (2) = （ ）
1 1
A．3 B．2 C．2 D．1
2.已知函數 ( ) = ( ― 1) +1為冪函數，則 ( 2 ― 2 ) + (2 ― 2) = （ ）
A．0 B． ―1 C． 2 D． 6 ― 4
3.下列函數中，既是奇函數，又在(0, + ∞)上單調遞減的是（ ）
A． ( ) = B． ( ) = ― | |
1
C． ( ) = 2+1 D． ( ) =
3
4.已知函數 ( ) = ( 2 ― ― 1) 2―2 ―3是冪函數，且在(0, + ∞)上單調遞減，則實數 的值為（ ）
A．2 B．－1 C．4 D．2 或－1
5.若冪函數 ( ) 2, 1的圖象經過點 ，則下列判斷正確的是（ ）
2
A． ( )在(0, + ∞)上為增函數 B．方程 ( ) = 4的實根為 ± 2
C． ( )的值域為(0,1) D． ( )為偶函數
6.已知函數 ( ) = 的圖象經過點(4,2)，則下列答案錯誤的是（ ）
A．函數 ( )在定義域內為增函數
B．函數 ( )為偶函數
C．當 > 1時， ( ) > 1
D 0 < < ( 1)+ ( 2)．當 1 2時， 2 <
1+ 2
2

7.在同一直角坐標系中，二次函數 = 2 +4 與冪函數 = ( > 0)圖象的關系可能為（ ）
A． B．
C． D．
2 +1
8.已知定義在(0, + ∞)上的函數 ( ) 1滿足2 ( ) + = = ( > 0)
1+ 2
，若函數 ( ) 在( , + ∞)上的值域與

函數 ( )的值域相同，則 = （ ）
1 1
A．2 B．1 C．3 D．2
二、多選題
9．下列函數中，既是奇函數，又在(0, + ∞)上單調遞增的有（ ）
1
A． = 2 ― 1 B． = 3
C． = + 2 D． =
3
4
10. ―下列關于冪函數 ( ) = 3的說法正確的有（ ）
A．函數 ( )的定義域為 R B．函數 ( )的值域為(0, + ∞)
C．函數 ( )為偶函數 D．不等式 ( ) < 1的解集為( ―1,1)
11.已知定義域為 R 的奇函數 ( )滿足 ( + 1) = (1 ― )，且當 ∈ [ ―1,1]時， ( ) = ― 3，若 =
(2021), = (2022), = (2023)，則下列關系正確的是（ ）
A． < B． < C． < D． >
三、填空題
12．己知冪函數 ( )的圖象經過點 3, 1 ，求 ( ― 3) = ．
9
13. ∈ ―2, ― 1, ― 2 ,0, 1 , 2已知 ,1,2 ，若函數 ( ) = 滿足：當 ∈ ( ―1,0) ∪ (0,1)時， ( ) > | |恒成立，
3 3 3
則 的取值為 ．（寫出滿足條件的所有取值）
14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數 ( )： ．
① ( 1 2) = ( 1) ( 2)；
(
② 1
)― ( 2)
對于任意兩個不同的正數 1, 2，都有 ― > 0恒成立；1 2
③對于任意兩個不同的實數 1, 2，都有 1+ 2 >
( 1)+ ( 2)
2 2
．
四、解答題
15．已知冪函數 = 1經過點 4, ．
8
(1)求此冪函數的表達式和定義域；
(2)若當 1 = + 2， 2 = 3 ― 2 時，有 1 < 2，求實數 的取值范圍．
16. 已知冪函數 ( )與一次函數 ( )的圖象都經過點(4,2)，且 (9) = (5).
(1)求 ( )與 ( )的解析式；
(2)求函數 ( ) = ( ) ― ( )在[0,1]上的值域.
17.若函數 ( ) = ( 2 ― 3 + 3) 2+2 ―4為冪函數，且在(0, + ∞)上單調遞減.
(1)求實數 m 的值；
(2)若函數 ( ) = ― ( )，且 ∈ (0, + ∞)，
①判斷函數 ( )的單調性，并證明；
②求使不等式 (2 ― 1) < ( )成立的實數 t 的取值范圍.
2 3 1
18.已知冪函數 ( ) = 2 ― 3 + 3 ― ―2 2滿足 (2) < (4)．
(1)求函數 ( )的解析式；
(2)若函數 ( ) = ― ( + 3)，是否存在實數 ， （ < ），使函數 ( )在[ , ]上的值域為[ , ]？若存在，
求出實數 的取值范圍，若不存在，請說明理由．
19．若函數 ( )滿足：存在整數 , ，使得關于 的不等式 ≤ ( ) ≤ 的解集恰為[ , ]（ < ），則稱函
數 ( )為 函數.
(1)若函數 ( ) = 2為 函數，請直接寫出 , （不要過程）；
1
(2)判斷函數 ( ) = , ∈ (0, + ∞)是否為 函數，并說明理由；
(3)是否存在實數 使得函數 ( ) = 2 ― + ― 1為 函數，若存在，請求出 的值；若不存在，請說明理
由.4.1.3 冪函數
課程標準 學習目標
（1 1）通過具體實例, 結合 = , = , = 2, （1）掌握冪函數的定義;
= , = 3 的圖象 , 理解它們的變化規律 , （2）掌握冪函數的圖象及其性質；
了解冪函數。
（3） 掌握冪函數性質的應用.（難點)
知識點 01 冪函數的定義
一般地，形如 = 的函數稱為冪函數，其中 是自變量， 為常數．
注 (1)注意冪函數中 的系數是1，底數是變量 ，指數 是常數；
【即學即練 1】
下列是冪函數的是 ( )
A. = 2 B. = 3 4 C. = 2 D. = ( ― 1)3
解 = 2 的底數是常數， = 3 4的系數不是1， = ( ― 1)3的底數不是 ，它們均不是冪函數，只有 符合.
知識點 02 冪函數圖像及其性質
1
(1) 冪函數 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的圖象．
1
(2) 冪函數 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的性質
= = 2 = 3 1 = = ―12
圖象 X|X|K]
定義域 [0, + ∞) ≠ 0
值域 [0, + ∞) [0, + ∞) ≠ 0
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶 奇函數
在( ― ∞,0]上遞減 在[0, + ∞) 在( ― ∞,0)上遞減
單調性 在 上遞增 在 上遞增
在(0, + ∞)上遞增 上遞增 在(0, + ∞)上遞減
特殊點 (1,1),(0 ,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1 )
(3)性質
① 所有的冪函數在(0 , + ∞ )都有定義，并且圖象都過點(1 , 1)；
② > 0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0 , + ∞ )上是增函數．
特別地，當 > 1時，冪函數變化快，圖象下凹；當0 < < 1時，冪函數變化慢，圖象上凸.
1
Eg = 2圖象上凸， = 2圖象下凹，在[0 , + ∞ )上是增函數．
③ < 0時，冪函數的圖象在(0 , + ∞ )上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右
方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 +∞時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．
Eg = ―1 = 1 ，
【即學即練 2】

已知冪函數 = 3( ∈ )的圖象關于 y 軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p 為奇數，且 > 0 B．p 為奇數，且 < 0
C．p 為偶數，且 > 0 D．p 為偶數，且 < 0
【答案】D
【分析】從圖象的奇偶性與在第一象限的單調性判斷解析式的特征

【詳解】因為函數 = 3的圖象關于 y 軸對稱，

所以函數 = 3為偶函數，即 p 為偶數，

又函數 = 3的定義域為( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
且在(0, + ∞)上單調遞減，

則有3 < 0，
所以 < 0．
故選：D．
【題型一：判斷函數是否是冪函數】
例 1．現有下列函數：① = 3；② = 4 2；③ = 5 +1；④ = ( ― 1)2；⑤ = ，其中冪函數的個
數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由冪函數的定義即可求解.
【詳解】由于冪函數的一般表達式為： = ,( ≠ 0)；
逐一對比可知題述中的冪函數有① = 3；⑤ = 共兩個.
故選：C.
變式 1-1．下列函數是冪函數的是（　　）
A． = 2 B． = 2 ― 1
C． = ( + 1)2 D． = 3 2
【答案】D
【分析】根據冪函數的定義即可得解.
2
【詳解】根據冪函數的定義，A、B、C 均不是冪函數，只有 D 選項 = 3 2 = 3，形如 = （ 為常數），
是冪函數，所以 D 正確
故選：D.
變式 1-2 1．下列函數中， = 3， = 2 + 1， =
3 + ， = 4 5是冪函數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據冪函數的定義判斷即可.
【詳解】一般地，函數 = 叫做冪函數，其中 是自變量， 為常數，
= 1
5
故 = ―3， = 4 5 = 4 3 為冪函數， = 2 + 1， =
3 + 均不為冪函數.
故選：B
【方法技巧與總結】
1 冪函數的概念：一般地，形如 = 的函數稱為冪函數，其中 是自變量， 為常數．
2 注意冪函數中 的系數是1，底數是變量 ，指數 是常數.
【題型二：求冪函數的值】
例 2．已知冪函數 ( ) = ( + 2) 的圖象經過點(4,2)，則 ― = （ ）
A． ―3 5 3B． ― 2 C． ―2 D． ― 2
【答案】D
【分析】根據冪函數的定義求解即可》
【詳解】依題意可得 + 2 = 1,
所以 = ―1,
又 ( ) = 的圖象經過點(4,2),
所以4 = 2,
1
解得 = 2,
所以 ― = ―1 ― 12 = ―
3
2.
故選：D.
變式 2-1．已知冪函數 = ( ) 1的圖象經過點 4, ，則 (2)等于（ ）
4
1
A．2 B．2 C．
2 D．
2 2
【答案】A
【分析】運用待定系數法求冪函數解析式，再代入求值即可.
【詳解】冪函數 = ( ) 4, 1的圖象經過點 ，
4
設冪函數 = 1，將點代入解析式得到4 = 4，即2
2 = 2―2，解得 = ―1.
故 ( ) = ―1 1.故 (2) = 2.
故選：A.
變式 2-2．已知冪函數 ( ) = ( ― 1) 2―1，則 ( ―1) = （ ）
A． ―1 B．1 C． ―2 D．2
【答案】A
【分析】根據函數為冪函數得到方程，求出 = 2，得到解析式，代入求值即可.
2
【詳解】因為 ( ) = ( ― 1) ―1是冪函數，所以 ― 1 = 1，即 = 2，
所以 ( ) = 3， ( ―1) = ( ―1)3 = ―1.
故選：A.
變式 2-3．若冪函數 ( ) = 的圖象過點(2,8)，則 ( ) = ― + ― 1的值域為（ ）
A ―∞, 9． B．[2, + ∞) C 9． , + ∞ D．( ―∞,2]
4 4
【答案】A
【分析】由 (2) = 8求出 的值，再令 = ― 1 ≥ 0，將 ( )用含 的二次函數表示，結合二次函數的基本
性質可求得函數 ( )的值域.
【詳解】由題意可得 (2) = 2 = 8，可得 = 3，則 ( ) = 3 ― + ― 1，
令 = ― 1 ≥ 0，可得 = 2 +1，則 ( ) = 3 ― ( 2 + 1) + = ― 2 + + 2，
2
令 = ― 2 + + 2，其中 ≥ 0，則 = ― 2 + + 2 = ― ― 1 + 9 ≤ 92 4 4，
1
當且僅當 = 2時，等號成立，故函數 ( )
9
的值域為 ―∞, .
4
故選：A.
【方法技巧與總結】
1 求冪函數的解析式，可利用待定系數法；
2 已給冪函數解析式形式求參數，注意冪函數的系數為1.
【題型三：冪函數的定義域】
2
例 3．已知冪函數 ( ) = ― +2 的定義域為 ，且 ∈ ，則 的值為（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據冪函數定義域得到不等式，結合 ∈ 求出 = 1，檢驗后得到答案.
【詳解】因為冪函數的定義域為 R，故 ― 2 +2 > 0，
解得0 < < 2，
又 ∈ ，所以 = 1，
檢驗， = 1時， ― 2 +2 = 1，即 ( ) = ，滿足題意．
故選：C
變式 3-1．下列冪函數中，定義域為(0, + ∞)的是（　　）
2 3 2 3
A． = 3 B ― ―． = 2 C． = 3 D． = 2
【答案】D
【分析】根據題意，結合冪函數的圖象與性質，分別求得其定義域，即可求解.
2
【詳解】對于 A 中，函數 = 3 = 3 2的定義域為R，不符合題意；
3
對于 A 中，函數 = 2 = 3的定義域為[0, + ∞)，不符合題意；
―2 1
對于 A 中，函數 = 3 = 3 的定義域為( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞)2 ，不符合題意；
―3 1
對于 A 中，函數 = 2 = (0, + ∞)3的定義域為 ，符合題意.
故選：D.
變式 3-2．冪函數 ( )圖象過點 2, 2 ，則 = ( ) + (2 ― | |)的定義域為（ ）
2
A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2] D．( ― 2,2)
【答案】A
> 0
【分析】設出冪函數，代入點坐標得到函數解析式，確定函數定義域，得到 2 ― | | > 0 ，解得答案.
2 1 ―1【詳解】設冪函數為 ( ) = ，則 (2) = 2 = ，故 = ― 2， ( ) = 2，2
則 ( )的定義域為(0, + ∞)，
故 = ( ) + (2 ― | |) > 0滿足 2 ― | | > 0 ，解得0 < < 2.
故選：A
【方法技巧與總結】
1
1 掌握常見冪函數 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的圖象與性質；
2 求非常見冪函數的定義域，常把冪函數的解析式中冪的形式化為根式的形式更好理解；
m
3 所有的冪函數在(0 , + ∞ )都有定義，若冪函數 ( ) = 中a < 0時定義域內不含0，若冪函數 ( ) = =
x (m,n 為整數)中 是偶數，則函數定義域不能取( ― ∞,0)。
【題型四：冪函數的單調性】
2
4 ( ) = ― 2 + + 2, ≤ 1例 ．若函數 2 ―6, > 1 是 上的單調函數，則 的取值范圍是（ ）
A．[1,3) B．(3, + ∞) C．(1,2) D．[1,2]
【答案】D
【分析】由函數解析式知函數在R上單調遞減，建立不等關系解出即可.
【詳解】因為函數 ( )在R上單調，由 = 2 ―2 + + 2在上( ―∞,1]不可能單調遞增，
則函數 ( )在R上不可能單調遞增，故 = ( )在 R 上單調遞減，
1 ≤
所以 2 ― 6 < 0 ，解得1 ≤ ≤ 2，所以 的取值范圍是[1,2].
1 ― 2 + + 2 ≥ 12 ―6
故選：D.
變式 4-1．若函數 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―4 +1為冪函數，且在區間(0, + ∞)上單調遞增，則 = （ ）
A． ―2 B．3 C． ―2或 3 D．2 或 ―3
【答案】A
【分析】根據冪函數的性質即可求解.
2 ― ― 5 = 1
【詳解】由題意可得 2 ― 4 + 1 > 0 ，
對于 2 ― ― 5 = 1,解得 = 3或 = ―2，
當 = ―2時，滿足 2 ―4 + 1 > 0，但 = 3時，不滿足 2 ―4 + 1 > 0，
故 = ―2，
故選：A
4-2 ( ) = ,0 < < 1變式 ．設函數 2( ― 1), ≥ 1 ，若 ( ) = ( + 1)，則
1 = （ ）

1 1
A．4 B．2 C．2 D．6
【答案】D
1
【分析】由題意可得出 ( )在(0,1)和(1, + ∞)上為增函數，則0 < < 1，由 ( ) = ( + 1)可得出 = 4，
1
即可得求出 的值.

【詳解】易得 ( )在(0,1)和(1, + ∞)上為增函數，
∴ 0 < < 1, ∴ ( ) = ，所以 ( + 1) = 2 ，
1
由 ( ) = ( + 1)得 = 2 ，解得 = 4或 = 0（舍去），
1則 = (4) = 6，

故選：D.
4-3 ∈ ―2, ― 1, 1 ,3 ( ) = (1 ― ) ― 1, ≤ 0,變式 ．已知 ，且函數 , > 0 在( ―∞, + ∞)上是增函數，則 =2
（ ）
A． ―2 B． ―1 1C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據分段函數的單調性，列出不等式求解即可.
(1 ― ) ― 1, ≤ 0,
【詳解】因為函數 ( ) = , > 0 在( ―∞, + ∞)上是增函數，
1 ― > 0
所以 > 0 ，解得0 < < 1，
―1 ≤ 0
又 ∈ 1―2, ― 1, 1 ,3 ，所以 = 2.2
故選：C
變式 4-4．已知函數 ( ) = ( 2 ― ― 1) 2+ ―3是冪函數，且在(0, + ∞)上單調遞減，若 , ∈ ，且
< 0 < ,| | < | |，則 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．無法判斷
【答案】B
【分析】由冪函數的定義與性質求得函數解析式，確定其是奇函數，然后利用單調性與奇偶性可判斷.
【詳解】由 2 ― ― 1 = 1得 = 2或 = ―1，
= 2時， ( ) = 3在R上是增函數，不合題意，
= ―1時， ( ) = ―3，在(0, + ∞)上是減函數，滿足題意，
所以 ( ) = ―3，
< 0 < ,| | < | |，則 > ― > 0， ( ― ) > ( )， ( ) = ― 3是奇函數，因此 ( ― ) = ― ( )，
所以 ― ( ) > ( )，即 ( ) + ( ) < 0，
故選：B.
變式 4-5．已知奇函數 = ( )是定義域為 R 的連續函數，且在區間(0, + ∞)上單調遞增，則下列說法正確
的是（ ）
A．函數 = ( ) + 2在 R 上單調遞增
B．函數 = ( ) ― 2在(0, + ∞)上單調遞增
C．函數 = 2 ( )在 R 上單調遞增
D．函數 = ( ) 2 在(0, + ∞)上單調遞增
【答案】C
【分析】根據已知設 ( ) = ，由二次函數的性質確定 AB 錯誤；由冪函數的性質判斷 C 正確；由反比例函
數的形式確定 D 錯誤.
【詳解】因為 = ( )是奇函數，且在區間(0, + ∞)上單調遞增，
所以 = ( )在( ―∞,0)上也為單調遞增函數，
2 1
對于 A：不妨令 ( ) = ， = ( ) + 2 = + 2 = + 1 ―2 4，
所以 = ( ) + 2在 ―∞, ― 1 1單調遞減，在 ― , + ∞ 單調遞增，故 A 錯誤；
2 2
2
對于 B：不妨令 ( ) = ， = ( ) ― 2 = ― 2 = ― ― 1 +
1
2 4，
所以 = ( ) ― 2 1 1在 ―∞, 單調遞增，在 , + ∞ 單調遞減，故 B 錯誤；
2 2
對于 C： = 2 ( )，其定義域為R，
又( ― )2 ( ― ) = ― 2 ( )，所以 = 2 ( )是奇函數，
取0 < 1 < 2，則0 < 2 < 21 2，0 < ( 1) < ( 22)，故 1 ( 1) < 22 ( 2)
所以 ― = 21 2 1 ( 2 21) ― 2 ( 2) < 0，則函數 = ( )在(0, + ∞)為遞增函數；
所以函數 = 2 ( )在( ―∞,0)也為遞增函數，且當 = 0時， = 2 ( ) = 0，
所以 = 2 ( )在 R 上單調遞增，故 C 正確；

對于 D：不妨令 ( ) = =
( )
， 2 = 2 =
1
, ≠ 0，
( )
由反比例函數的單調性可知 = 2 在( ―∞,0)和(0, + ∞)上單調遞減，故 D 錯誤；
故選：C.
【方法技巧與總結】
1 冪函數 ( ) = ，當 > 0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0 , + ∞ )上是增函數．
特別地，當 > 1時，冪函數變化快，圖象下凹；當0 < < 1時，冪函數變化慢，圖象上凸.
< 0時，冪函數的圖象在(0 , + ∞ )上是減函數．
2 利用冪函數的單調性，也比較數值大小、求解不等式、求函數值域等.
【題型五：冪函數的奇偶性】
例 5．設 ( )為定義在R上的奇函數，當 ≥ 0時， ( ) = 3 + 2 ― + 1（ 為常數），則不等式 (3 + 5)
> ―2的解集為（ ）
A．( ―∞, ― 1) B．( ―1, + ∞) C．( ―∞, ― 2) D．( ―2, + ∞)
【答案】D
【分析】先通過 (0) = 0求出 ，然后確定函數單調性，利用單調性解不等式即可.
【詳解】 ∵ ( )為定義在R上的奇函數，
因為當 ≥ 0時， ( ) = 3 + 2 ― + 1，
所以 (0) = 1 ― = 0，故 = 1, ( ) = 3 + 2
∵ ( ) = 3 + 2在[0, + ∞)上單調遞增，
根據奇函數的性質可知 ( )在R上單調遞增，
因為 (1) = 2，所以 ( ―1) = ― (1) = ―2，
由不等式 (3 + 5) > ―2 = ( ―1)可得，3 + 5 > ―1，解得， > ―2，
故解集為( ―2, + ∞).
故選：D.
變式 5-1．下列函數中，既是偶函數，又在(0, + ∞)上單調遞增的為（ ）
A． ( ) = ―| | + 1 B． ( ) = 3
C． ( ) = 2| | D． ( ) = 1 2
【答案】C
【分析】逐一判斷奇偶性和單調性即可求解
【詳解】對于 A： ( ) = ― | | +1的定義域為R，且 ( ― ) = ― | ― | +1 = ― | | +1 = ( )，
所以 ( ) = ―| | + 1為偶函數，當 ∈ (0, + ∞)時 ( ) = ― + 1，由一次函數的性質可知，
( ) = ― + 1在(0, + ∞)上單調遞減，
即 ( ) = ― | | +1在(0, + ∞)上單調遞減，故 A 錯誤；
對于 B： ( ) = 3的定義域為R，且 ( ― ) = ( ― )3 = ― 3 = ― ( )，所以 ( ) = 3為奇函數，故 B 錯誤；
對于 C： ( ) = 2| |的定義域為R，且 ( ― ) = 2|― | = 2| | = ( )，
所以 ( ) = 2| |為偶函數，當 ∈ (0, + ∞)時， ( ) = 2 ，
由指數函數的性質可知， ( ) = 2 在(0, + ∞)上單調遞增，故 C 正確；
1 1 1
對于 D： ( ) = 2的定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，且 ( ― ) = (― )2 = 2 = ( )，
所以 ( ) = 1 1 2為偶函數，由冪函數的性質可知， ( ) = 2在(0, + ∞)上單調遞減，故 D 錯誤；
故選：C.
變式 5-2．已知冪函數 ( ) 1的圖象經過點 2, ，則 ( )（ ）
4
A．為偶函數且在區間(0, + ∞)上單調遞增
B．為偶函數且在區間(0, + ∞)上單調遞減
C．為奇函數且在區間(0, + ∞)上單調遞增
D．為奇函數且在區間(0, + ∞)上單調遞減
【答案】B
【分析】根據已知條件，結合冪函數的定義和性質即可求解.
【詳解】設冪函數為 ( ) = ，
1
因為冪函數 ( )的圖象經過點 2, ，
4
所以2 = 14，解得 = ―2，
故 ( ) = ―2，定義域為{ | ≠ 0}，定義域關于原點對稱，
( ― ) = ( ― )―2 = ―2 = ( )，所以 ( )為偶函數，
又因為 ―2 < 0，所以 ( )在區間(0, + ∞)上單調遞減，
故選：B.
變式 5-3．若冪函數 ( )過(2,16)，則滿足不等式 (2 ― ) > (2 ― 1)的實數 的取值范圍是 .
【答案】( ―1,1)
【分析】設 ( ) = , ∈ ，根據題意可得 ( ) = 4，根據函數奇偶性和單調性解不等式.
【詳解】設 ( ) = , ∈ ，
由題意可得：2 = 16，解得 = 4，即 ( ) = 4，
可知 ( ) = 4為定義在 上的偶函數，且在( ―∞,0)內單調遞減，在[0, + ∞)內單調遞增，
若 (2 ― ) > (2 ― 1)，可得|2 ― | > |2 ― 1|，
整理可得 2 < 1，解得 ―1 < < 1，
所以實數 的取值范圍是( ―1,1).
故答案為：( ―1,1).
【方法技巧與總結】
對于冪函數的奇偶性，主要是利用函數奇偶性的定義進行判定；在奇偶性與單調性的綜合題中常用數形結
合進行思考分析.
【題型六：冪函數圖象的判斷及應用】

例 6．已知冪函數 = （ , ∈ Z且 , 互質）的圖象關于 y 軸對稱，如圖所示，則（ ）

A．p，q 均為奇數，且 > 0

B．q 為偶數，p 為奇數，且 < 0

C．q 為奇數，p 為偶數，且 > 0

D．q 為奇數，p 為偶數，且 < 0
【答案】D

【分析】根據函數的單調性可判斷出 < 0；根據函數的奇偶性及 ， 互質可判斷出 為偶數， 為奇數.

【詳解】因為函數 = 的定義域為( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞)，且在(0, + ∞)上單調遞減，

所以 < 0，

因為函數 = 的圖象關于 y 軸對稱，

所以函數 = 為偶函數，即 p 為偶數，
又 p、q 互質，所以 q 為奇數，
所以選項 D 正確，
故選：D.
變式 6-1．若冪函數 ( ) 1的圖像經過點 2, ，則 ( )的圖像可能是（ ）
4
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函數 ( ) = ，代入圖像經過的點，求得 的值，分析函數性質，選擇函數圖像.
1
【詳解】設冪函數 ( ) = ，因為圖像經過點 2, ，
4
1
所以2 = 4，解得 = ―2，則此冪函數的表達式為 ( ) =
―2．
冪函數 ( ) = ―2 =
1
2，函數定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，在(0, + ∞)上單調遞減，
1
= = 1( ― ) (― )2 2 = ( )，函數為偶函數，圖像關于 軸對稱，
只有 D 選項符合.
故選：D
6-2 ∈ R ( ) =

變式 ．已知 ，則函數 2+1的圖像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據含參函數的解析式和函數特殊值判斷函數可能的圖像.

【詳解】根據 ( ) = 2+1可知
2 +1 > 0，所以當 > 0時， > 0，即 ( ) > 0，故選項 A 錯誤，而當 為其
他值時，B,C,D 均有可能出現.
故選：A
變式 6-3．定義在R上的函數 ( )滿足 (2 ― ) = (2 + )，且在(2, + ∞)單調遞增， (4) = 0， ( ) = 4，
則函數 = ( + 2) ( )的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析 ( )的對稱性、單調性、零點，求得 ( + 2)的對稱性（奇偶性）、零點，結合 ( )的單調
性、零點以及特殊點的函數值判斷出函數 = ( + 2) ( )的圖象.
【詳解】 (2 ― ) = (2 + )，所以 ( )的圖象關于直線 = 2對稱，
則 ( + 2)的圖象關于直線 = 0即 軸對稱， ( + 2)是偶函數，
( ) = 4為偶函數，圖象關于 軸對稱，
所以 = ( + 2) ( )是偶函數，圖象關于 軸對稱，排除 AD 選項.
(4) = (2 + 2) = (2 ― 2) = (0) = 0，
由于 ( )在(2, + ∞)上遞增，在( ―∞,2)上遞減，
所以 ( )有且僅有2個零點：0和4，另外有 (3) < 0，
所以 ( + 2)有且僅有2個零點： ―2和2，
( )有唯一零點：0，
所以 = ( + 2) ( )有且僅有3個零點： ―2、0和2.
當 = 1時， (1) = 1 > 0， = (1 + 2) (1) = (3) (1) < 0，
從而排除 C 選項，
故 B 選項正確.
故選：B
【方法技巧與總結】
對冪函數圖象的判斷，主要是結合其單調性與奇偶性進行分析，若在選擇題中也常用取特殊值的排除法.
【題型七：冪函數性質的綜合應用】
7 ( ) = ( ― 2) + 1, ≤ 0,例 ．（多選）已知函數 , > 0, 則以下說法正確的是（ ）
A．若 = ―1，則 ( )是(0, + ∞)上的減函數
B．若 = 0，則 ( )有最小值
1
C．若 = 2，則 ( )的值域為(0, + ∞)
D．若 = 3，則存在 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ( 0) = (2 ― 0)
【答案】ABC
【分析】把選項中的 值分別代入函數 ( )，利用此分段函數的單調性判斷各選項.
A = ―1 ( ) = ―3 + 1, ≤ 0【詳解】對于 ，若 ， ―1, > 0 ， ( )在(0, + ∞)上單調遞減，故 A 正確；
對于 B，若 = 0， ( ) = ―2 + 1, ≤ 0,1, > 0, ，當 ≤ 0時， ( ) = ―2 + 1， ( )在區間( ―∞,0]上單調遞
減， ( ) ≥ (0) = 1，則 ( )有最小值 1, 故 B 正確；
3
= 1
― + 1, ≤ 0,
對于 C，若 2， ( ) =
2 ≤ 0 ( ) = ― 31 ，當 時， 2 + 1， ( )在區間( ―∞,0]上單調遞 2, > 0,
1
減， ( ) ≥ (0) = 1；當 > 0時， ( ) = 2， ( )在區間(0, + ∞)上單調遞增， ( ) > (0) = 0，則 ( )的
值域為(0, + ∞)，故 C 正確；
+ 1, ≤ 0,
對于 D，若 = 3， ( ) = 3 3, > 0, 當 0 ∈ (1, + ∞)時， ( 0) = 0 > 1；
當2 ― 0 ∈ (0,1)時， (2 ― 0) = (2 ― 0)3 ∈ (0,1)；
當2 ― 0 ∈ ( ―∞,0]時， (2 ― 0) = 3 ― 0 ∈ ( ―∞,1]，即當2 ― 0 ∈ ( ―∞,0]時， (2 ― 0) ∈ ( ―∞,1]，所以
不存在 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ( 0) = (2 ― 0)，故 D 錯誤.
故選：ABC
3
變式 7-1．已知函數 ( ) = ― ( ≥ ) 2( < ) ，若函數 ( )的值域為R，則實數 的取值范圍為（ ）
A．( ― 1,0) B．( ― 1,0] C．[ ― 1,0) D．[ ― 1,0]
【答案】D
【分析】求出分段函數在各段上的函數值集合，再根據給定值域，列出不等式求解作答.
【詳解】函數 = ― 3 在[ , + ∞)上單調遞減，其函數值集合為( ― ∞, ― 3 ]，
當 > 0時， = 2的取值集合為[0, + ∞)， ( )的值域( ― ∞, ― 3 ] ∪ [0, + ∞) ≠ R，不符合題意，
當 ≤ 0時，函數 = 2在( ― ∞, )上單調遞減，其函數值集合為( 2, + ∞)，
因函數 ( )的值域為R，則有 ― 3 ≥ 2，解得 ―1 ≤ ≤ 0，
所以實數 的取值范圍為[ ― 1,0].
故選：D
變式 7-2．已知函數 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―6是冪函數，對任意 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 ≠ 2，滿足
( 1 ― 2)[ ( 1) ― ( 2)] > 0，若 a， ∈ R，且 + > 0，則 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．無法判斷
【答案】A
【分析】先通過函數 ( )是冪函數以及單調性求出 ( )的解析式，再利用單調性和奇偶性可得答案.
【詳解】因為函數 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―6是冪函數，
所以 2 ― ― 5 = 1，解得 = ―2或 = 3，
又因為對任意 1, 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 ≠ 2，滿足( 1 ― 2)[ ( 1) ― ( 2)] > 0，
即對任意 1 > 2，都有 ( 1) > ( 2)，
2
故函數 ( ) = ( 2 ― ― 5) ―6是冪函數且在(0, + ∞)上單調遞增，
所以 2 ―6 > 0，
所以 = 3，
則 ( ) = 3，明顯 ( )為R上的奇函數，
由 + > 0得 > ― ，
所以 ( ) > ( ― ) = ― ( )，
所以 ( ) + ( ) > 0.
故選：A.
7-3 ― , < 0變式 ．已知函數 ( ) = ― , ≥ 0 ，若對任意的 ≤ 1有 ( + 2 ) + ( ) > 0恒成立，則實數 的取
值范圍是 ．
【答案】( ― ∞, ― 1)
【分析】由奇函數的定義判斷出 ( )為奇函數，結合 > 0時 ( )單調遞減得出 ( )在R上單調遞減，結合
已知求解即可．
【詳解】當 < 0時， ― > 0, ( ― ) = ― ― = ― ( )；
當 > 0時， ― < 0， ( ― ) = ― ( ― ) = ― ( )；
當 = 0時， (0) = 0，所以對任意的 ∈ R, ( ― ) = ― ( )，
所以函數 ( )為奇函數，
又當 > 0時， ( ) = ― 單調遞減，
所以函數 ( )在R上單調遞減，
所以不等式 ( + 2 ) + ( ) > 0 ( + 2 ) > ( ― ) + 2 < ― ，
解得 < ― ，
由已知對任意的 ≤ 1有 < ― 恒成立，
所以1 < ― ,即 < ―1，
故答案為：( ― ∞, ― 1)．
變式 7-4．已知 ≠ 0，若( + )2021 + 2021 +2 + = 0 ，則 = （ ）
1
A．－2 B．－1 C． ― 2 D．2
【答案】A
【分析】根據指數的運算性質，結合冪函數的性質進行求解即可.

【詳解】設 = = ，由( + )2021 + 2021 +2 + = 0 ( + )2021 + 2021 +2 + = 0
2021 ( + 1)2021 + 1 + (2 + ) = 0 2020 ( + 1)2021 + 1 +(2 + ) = 0，
當( + 1)2021 +1 = 0且2 + = 0時，即 = ―2時，等式顯然成立，
當( + 1)2021 +1 ≠ 0時，則有 2020
2+
= ― ( +1)2021+1，因為 ≠ 0，
所以 2020
2+
= ― ( +1)2021+1 > 0，
當2 + < 0時，則有( + 1)2021 +1 > 0，即( + 1)2021 > ( ― 1)2021，
因為函數 = 2021是實數集上的增函數，
由( + 1)2021 > ( ― 1)2021 + 1 > ―1 + 2 > 0，而與2 + < 0矛盾，
所以( + 1)2021 +1 > 0不成立，
當2 + > 0時，則有( + 1)2021 +1 < 0，即( + 1)2021 < ( ― 1)2021，
因為函數 = 2021是實數集上的增函數，
由( + 1)2021 < ( ― 1)2021 + 1 < ―1 + 2 < 0，而與2 + > 0矛盾，
所以( + 1)2021 +1 < 0不成立，
綜上所述： = ―2，
故選：A
【點睛】關鍵點睛：利用冪函數的單調性是解題的關鍵.
變式 7-5．對于定義域為 的函數 = ( )，如果存在區間[ , ] ，同時滿足：① ( )在[ , ]上是單調
函數；②當 ∈ [ , ]時， ( ) ∈ [ , ]，則稱[ , ]是該函數的“優美區間”.
1
(1)求證：[0,3]是函數 ( ) = 39 的一個“優美區間”；
1
(2)求證：函數 ( ) = 1 ― 不存在“優美區間”；
2
(3)已知函數 ( ) = ( + ) ―1 2 ( ∈ , ≠ 0)有“優美區間”[ , ]，當 ― 取得最大值時求 的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3) = 3
【分析】（1）根據優美區間的定義來證明即可；
1
（2）假設函數 ( ) = 1 ― 存在“優美區間”，結合已知導出矛盾即可得證；
（3）原題條件等價于 , 是方程 2 2 ― ( 2 + ) + 1 = 0（*）的兩個同號且不等的實數根，結合判別式可
得 的范圍，結合韋達定理可用 表示 ― ，進一步即可求解.
1
【詳解】（1） ∵ ( ) = 9
3在區間[0,3]上單調遞增，又 (0) = 0, (3) = 3，
∴ 1當 ∈ [0,3]時， ( ) = 39 ∈ [0,3]，
∴ 1根據“優美區間”的定義，[0,3]是 ( ) = 39 的一個“優美區間”；
= 1 ― 1（2） ( ) ( ≠ 0)，設[ , ] { ∣ ≠ 0}，可設[ , ] ( ―∞,0)或[ , ] (0, + ∞)，
則函數 ( ) = 1 ―
1
在[ , ]上單調遞增.
1 ― 1 =
若[ , ]是 ( )的“優美區間”，則 , , 是方程 21 ― + 1 = 0的兩個同號且不等的實數根.1 ― =

∵ 2 ― + 1 = 0方程無解.
∴ 1函數 ( ) = 1 ― 不存在“優美區間”.
2
（3） ( ) = ( + ) ―1 2 ( ∈ , ≠ 0),{ ∣ ≠ 0}，設[ , ] { ∣ ≠ 0}.
∵ ( )有“優美區間”[ , ]，
∴ [ , ] ( ―∞,0)或[ , ] (0, + ∞)，
∴ +1 1( ) = ― 2 在[ , ]上單調遞增.
( ) =
若[ , ]是函數 ( )的“優美區間”，則 ( ) = ，
∴ , +1是方程 ― 1 = ，即 2 2 ― ( 2 2 + ) + 1 = 0（*）的兩個同號且不等的實數根.
∴ Δ = ( 2 + )2 ―4 2 = 2( + 3)( ― 1) > 0，
∴ > 1或 < ―3，
* + =
2+
由（ ）式得 2 = 1 +
1, = 1 2.
2 2
∴ ― = ( + )2 ― 4 = 1 + 1 ― 4 = ―3 1 ― 12 +
4
，
3 3
∵ > 1或 < ―3，
∴ 當 = 3時， ― 取得最大值.
∴ = 3.
【點睛】關鍵點點睛：第三問的關鍵是得出 的范圍以及 ― 關于 的表達式，由此即可順利得解.
一、單選題
1．已知函數 ( ) = ( + 1) ―1是冪函數，則 (2) = （ ）
1 1
A．3 B．2 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據 ( )是冪函數先求解出 的值，然后代入 = 2于解析式可求結果.
【詳解】由題知 + 1 = 1，解得 = 0，
∴ ( ) = ―1, ∴
1
(2) = 2，
故選：C.
2.已知函數 ( ) = ( ― 1) +1為冪函數，則 ( 2 ― 2 ) + (2 ― 2) = （ ）
A．0 B． ―1 C． 2 D． 6 ― 4
【答案】A
【分析】先根據冪函數求解 = 2，再判斷函數 ( )為奇函數，從而利用奇函數性質求解即可.
【詳解】由題意有 ― 1 = 1，可得 = 2, ( ) = 3，其定義域為 R，
且 ( ― ) = ( ― )3 = ― 3 = ― ( )，則函數 ( )為奇函數，
所以 ( 2 ― 2 ) + (2 ― 2) = 0.
故選：A.
3.下列函數中，既是奇函數，又在(0, + ∞)上單調遞減的是（ ）
A． ( ) = B． ( ) = ― | |
C． ( ) = 1 2+1 D． ( ) =
3
【答案】B
【分析】利用定義判斷函數的奇偶性可對 A、C 判斷；利用函數奇偶性的判斷并結合函數單調性可對 B、D
判斷.
【詳解】對 A、C：由 ( ) = ，定義域為[0, + ∞)，所以 ( ) = 不是奇函數，故 A 錯誤；
1
( ) =
1
2+1定義域為R， ( ― ) =
1 1
(― )2+1 = 2+1 = ( )，所以 ( ) = 2+1是偶函數，故 C 錯誤；
對 B、D： ( ) = ― | |，定義域為R， ( ― ) = ― ( ― )| ― | = | | = ― ( )，所以 ( )為奇函數，
當 > 0時， ( ) = ― 2，且 ( ) = ― 2在(0, + ∞)上單調遞減，故 B 正確；
( ) = 3，定義域為R，且 ( ― ) = ( ― )3 = ― 3 = ― ( )，所以 ( ) = 3為奇函數，且在定義域上為增
函數，故 D 錯誤；
故選：B.
4.已知函數 ( ) = ( 2 ― ― 1) 2―2 ―3是冪函數，且在(0, + ∞)上單調遞減，則實數 的值為（ ）
A．2 B．－1 C．4 D．2 或－1
【答案】A
【分析】運用冪函數定義，結合單調性可解.
【詳解】由冪函數定義知 2 ― ― 1 = 1，解得 = ―1或 = 2，
當 = ―1時， 2 ―2 ― 3 = 0，則 ( )在(0, + ∞)上為常數函數，不符合題意；
當 = 2時， 2 ―2 ― 3 = ―3，則 ( ) = ―3，在(0, + ∞)上單調遞減，符合題意.故 = 2.
故選：A.
5.若冪函數 ( ) 1的圖象經過點 2, ，則下列判斷正確的是（ ）
2
A． ( )在(0, + ∞)上為增函數 B．方程 ( ) = 4的實根為 ± 2
C． ( )的值域為(0,1) D． ( )為偶函數
【答案】D
【分析】先代點求出冪函數的解析式，然后判斷冪函數的性質即可.
1 = ( 2) = 2 = 1【詳解】設 ( ) ，代入點 2, 可得 2 = 2―12 ，所以 = ―2，2
1
所以 ( ) = ―2 = 2，因為
2 ≠ 0，所以 ≠ 0，即函數 ( )的定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，
對于 A：因為 ―2 < 0，所以 ( ) = ―2在(0, + ∞)上為減函數，錯誤；
1 1 1
對于 B：令 ( ) = 4，所以 2 = 4，解得 =± 2，所以方程 ( ) = 4的實根為 ± 2，錯誤；
1
對于 C：因為 ≠ 0，所以 2 > 0，所以 ( ) = 2 > 0，所以 ( )的值域為(0, + ∞)，錯誤；
1 1
對于 D：因為 ( )的定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)關于原點對稱，且 ( ― ) = (― )2 = 2 = ( )，
所以 ( )為偶函數，正確.
故選：D
6.已知函數 ( ) = 的圖象經過點(4,2)，則下列答案錯誤的是（ ）
A．函數 ( )在定義域內為增函數
B．函數 ( )為偶函數
C．當 > 1時， ( ) > 1
D 0 < < ( 1)+ ( 2) < + ．當 1 2時， 1 22 2
【答案】B
1
【分析】先代點求出冪函數的解析式 ( ) = 2，根據冪函數的性質直接可得單調性和奇偶性，由 > 1可
2
( )+ ( ) 2 2
判斷 C，利用 1 2 ― 2 1+ 2 = 1+ 2 ― 1+ 22 2 2 展開和 0 比即可判斷 D.2
【詳解】∵函數 ( ) = 的圖象經過點(4,2)，
∴4 = 22 = 2，
∴2 = 1，解之得: = 12.
1
∴ ( ) = 2 = ， ∈ [0, + ∞).
1
對于 A.因為 = 2 > 0，所以函數 ( )在[0, + ∞)上為增函數.故 A 正確；
對于 B.因為函數 ( )的定義域為[0, + ∞)，并不關于原點對稱，所以函數 ( )不是偶函數.故 B 錯誤；
對于 C.因為函數 ( )在[0, + ∞)上為增函數，所以當 > 1時, ( ) > (1) = 1.故 C 正確；
對于 D. 當若0 < 1 < 2時，
2
( 1)+ ( )
2
2 ― 2 1+
2
2 = 1+ 2 ― 1+ 2
2 2 2 2
+
= 1+ 2+2 1 2 1 24 ― 2
2
=2 1 2― 1― 2 = ― ( 1― 2)4 4 < 0.
(
即 1
)+ ( 2)
2 <
1+ 2 成立，所以 D 正確.
2
故選：B .

7.在同一直角坐標系中，二次函數 = 2 +4 與冪函數 = ( > 0)圖象的關系可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分 > 0, > 0、 > 0, < 0， < 0, > 0、 < 0, < 0四種情況及二次函數冪函數的性質，逐一判
斷即可得答案.
【詳解】解：因為二次函數 = 2 +4 的對稱軸為 = ― 2 ，

當 > 0, > 0 2 時，二次函數的圖象開口向上，對稱軸 = ― < 0，冪函數 = ( > 0)在(0, + ∞)上單調遞
增，

對于 C，由題意可得此時 ― 2 = ―2，得 = ，所以冪函數 = = ，圖象為直線，故不正確；

當 > 0, < 0 2 時，二次函數的圖象開口向上，對稱軸 = ― > 0，冪函數 = ( > 0)在(0, + ∞)上單調遞
減，
2 1
對于 D，由題意可得此時 ― = 2，得 = ― ，所以冪函數 = =
―1 = ，圖象為反比例函數的圖象，
滿足題意，故正確；

當 < 0, > 0 2 時，二次函數的圖象開口向下，對稱軸 = ― > 0，冪函數 = ( > 0)在(0, + ∞)上單調遞
減，

對于 B，由題意可得此時 ― 2 = 2，得 = ― ，所以冪函數 = = ―1 = 1 ，圖象為反比例函數的圖象，
不滿足題意，故不正確；

當 < 0, < 0 2 時，二次函數的圖象開口向下，對稱軸 = ― < 0，冪函數 = ( > 0)在(0, + ∞)上單調遞
增，
― 2 1
1
對于 A，由題意可得此時 = ―1，得以 = 2，所以冪函數 = = 2，當 > 1時，圖象在直線 = 下
方，不滿足題意，故不正確；
故選：D.
2 +1
8.已知定義在(0, + ∞)上的函數 ( )滿足2 ( ) + 1 = = ( > 0)
1+ 2
，若函數 ( ) 在( , + ∞)上的值域與

函數 ( )的值域相同，則 = （ ）
1 1
A．2 B．1 C．3 D．2
【答案】B

【分析】先構造函數方程組求出 ( )，再求出 ( )的值域，得 ( )的值域，得 ( ) = 1，即 = 1.
2 +1
【詳解】 ∵ 2 ( ) + 1 = 1+ 2①，
2 1+1 2+
∴ 2 1 + ( ) = 1 2 = 1+ 1+ 2②，

3
由① × 2 ― ②得3 ( ) = 1+ 2，

∴ ( ) = 1+ 2 =
1
1 ，
2 +1
∵ ∈ (0, + ∞), ∴
1
2 +1 > 1, ∴ 0 <
1
1 < 1，
2 +1
故函數 ( )的值域為(0,1)， ∴ 函數 ( )的值域也是(0,1)，

因為 > 0，所以 ( ) = 1，即 = 1.
故選：B.
二、多選題
9．下列函數中，既是奇函數，又在(0, + ∞)上單調遞增的有（ ）
1
A． = 2 ― 1 B． = 3
= + 2C． D． =
3
【答案】BD
【分析】根據函數的解析式，結合函數的性質，即可判斷.
【詳解】選項 A 不具有奇偶性；選項 B 是奇函數，在(0, + ∞)上單調遞增；
2 1 9 9
選項 C，記 ( ) = + ，則 = 2, (1) = 3 < 2，函數在(0, + ∞)上不是單調遞增函數；2
選項 D，函數是奇函數，在(0, + ∞)上單調遞增.
故選：BD
4
10.下列關于冪函數 ( ) = ―3的說法正確的有（ ）
A．函數 ( )的定義域為 R B．函數 ( )的值域為(0, + ∞)
C．函數 ( )為偶函數 D．不等式 ( ) < 1的解集為( ―1,1)
【答案】BC
【分析】AB 選項，根據冪函數的指數特征求出定義域和值域；C 選項，利用函數奇偶性定義進行判斷；D
1
選項，解不等式3 < 14 ，得到不等式解集.
4 1
【詳解】A 選項， ( ) = ―3 = 3 4的定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，A 錯誤；
4 1
B 選項， ( ) = ―3 = 3 > 04 ，故值域為(0, + ∞)，B 正確；
4 4
C 選項，定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞) ― ―，關于原點對稱，又 ( ― ) = ( ― ) 3 = 3，
故 ( )為偶函數，C 正確；
―4 1D 選項，不等式 ( ) = 3 = 3 < 14 ，故
3 4 > 1，解得 > 1或 < ―1，D 錯誤.
故選：BC
11.已知定義域為 R 的奇函數 ( )滿足 ( + 1) = (1 ― )，且當 ∈ [ ―1,1]時， ( ) = ― 3，若 =
(2021), = (2022), = (2023)，則下列關系正確的是（ ）
A． < B． < C． < D． >
【答案】ABD
【分析】由題意由 ( )是定義在 R 上的奇函數得函數的周期為 4，即可得出結果.
【詳解】因為 ( ) 為奇函數且滿足 ( + 1) = (1 ― ) ，
故 ( ) = (2 ― ) = ― ( ― 2) = ― [ ― ( ― 4)] = ( ― 4)，故可知 ( ) 的周期為 4 ，
所以 = (2021) = (1) ， = (2022) = (2) = (0) ， = (2023) = ( ― 1)
因為當 ∈ [ ―1,1] 時， ( ) = ― 3 ，所以 ( ― 1) > (0) > (1) ，即 > > ,
故選：ABD
三、填空題
12 1．己知冪函數 ( )的圖象經過點 3, ，求 ( ― 3) = ．
9
1
【答案】9
【分析】設冪函數為 ( ) = , ∈ R，根據題意求得 = ―2，得到 ( ) = ―2，代入即可求解.
【詳解】設冪函數為 ( ) = , ∈ R，
因為冪函數 ( ) 1 1的圖象經過點 3, ，可得9 = 3
，解得 = ―2，即 ( ) = ―2，
9
所以 ( ― 3) = ( ― 3)―2 = 19.
1
故答案為：9.
13.已知 ∈ ―2, ― 1, ― 2 ,0, 1 , 2 ,1,2 ，若函數 ( ) = 滿足：當 ∈ ( ―1,0) ∪ (0,1)時， ( ) > | |恒成立，
3 3 3
則 的取值為 ．（寫出滿足條件的所有取值）
【答案】 ―2 ― 2 2、 3、0 或3
【分析】根據冪函數的性質，結合題意，根據函數值的正負情況，一一判斷 的取值是否符合題意，可得
答案.
【詳解】因為 ∈ ( ―1,0) ∪ (0,1)，所以0 < | | < 1 ，
要使 ( ) > | |則 ( ) = 在區間( ―1,0) ∪ (0,1)上應大于 0，
所以 = ―1,13,1時 ( ) =
在區間( ―1,0) ∪ (0,1)可取到負值，不合題意；
當 = 0時， ( ) = 0 = 1，在區間( ―1,0) ∪ (0,1)上恒有 ( ) > | |成立，符合題意；
當 = 2時， ( ) = 2，當 ∈ ( ―1,0)時， 2 + = ( + 1) < 0, ∴ 2 < ― ，
當 ∈ (0,1)時， 2 ― = ( ― 1) < 0, ∴ 2 < ，
即在區間( ―1,0) ∪ (0,1)上有 ( ) < | |成立，不合題意；
當 = ―2時， ( ) = ―2，當 ∈ ( ―1,0)時， = ―2 + 為遞增函數， ―2 + > ( ― 1)―2 ―1 = 0，則 ―2
> ― ；
當 ∈ (0,1)時， = ―2 ― 為遞減函數， ―2 ― > (1)―2 ―1 = 0，則 ―2 > ，
故在區間( ―1,0) ∪ (0,1)上有 ( ) > | |恒成立，符合題意；
2 ―2 | | 5
當 = ― 時， ( ) = 33 ，由 ( ) = | |3，及0 < | | < 1，
| | 5
知 ( ) = | |3 < 1, ∴ ( ) > | |恒成立，符合題意；
2 | | 1
當 = 23 時， ( ) = 3，由 ( ) = | |3及0 < | | < 1，
| | 1
知 ( ) = | |3 < 1, ∴ ( ) > | |恒成立，符合題意，
綜上所述， 的取值為 ―2、 ― 2 23、0 或3，
2 2
故答案為： ―2、 ― 3、0 或3
14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數 ( )： ．
① ( 1 2) = ( 1) ( 2)；
②對于任意兩個不同的正數 1,
( 1)― ( 2)
2，都有 ― > 0恒成立；1 2
③對于任意兩個不同的實數 1, 2，都有 1+ 2 >
( 1)+ ( 2)
2 2
．
【答案】 ( ) = （答案不唯一）
【分析】取 ( ) = ，再逐一驗證即可.
【詳解】當 ( ) = 時，
對于①， ( 1 2) = 1 2 = ( 1) ( 2)，故滿足①；
對于②，由對于任意兩個不同的正數 ,
( 1)― ( 2)
1 2，都有 ― > 0恒成立，1 2
得函數 ( )在(0, + ∞)上單調遞增，
而函數 ( ) = 在(0, + ∞)上單調遞增，故滿足②；
對于③，任取 1, 2 ∈ [0, + ∞), 1 ≠ 2，
2
1+ 2 ― ( 1)+ (
2
2) = 1+ 2
2
則 ― 1+ 2+2 1 2 = ( 1+ 2)2 2 2 4 4 ，
2
≠ 1+ 2 ― ( 1)+ ( )
2
2 = ( + )
2
因為 1 2，所以
1 2
2 2 4
> 0，
2
1+ 2 > ( 1)+ ( )
2
即 22 2 ，
1+ 2 > ( 1)+ ( 所以 2)2 ，故滿足③.2
故答案為： ( ) = （答案不唯一）.
四、解答題
15．已知冪函數 = 4, 1經過點 ．
8
(1)求此冪函數的表達式和定義域；
(2)若當 1 = + 2， 2 = 3 ― 2 時，有 1 < 2，求實數 的取值范圍．
―3
【答案】(1) = 2；定義域為(0, + ∞)
(2)(1,33 2)
1
【分析】（1）由題意，代入點 4, 計算即得函數解析式，化成根式易求得函數定義域；
8
（2）根據冪函數在(0, + ∞)上的單調性列出不等式組，求解即得.
3
【詳解】（1）由冪函數 = 1經過點 4, 1 可得，4 = 22 = 8，可得2 = ―3，解得 = ―
3
2，故 =
―
2
8
1
=
3．
3
由 3 > 0 ―可得 > 0，所以函數 = 2的定義域為(0, + ∞)．
―3
（2）由（1）可知，冪函數 = 2的定義域為(0, + ∞)，且在定義域上為減函數，
< + 2 > 3 ― 2 , 1 3由 1 2，得 3 ― 2 > 0, 可得3 < < 2．
即實數 1 3的取值范圍為(3,2).
16. 已知冪函數 ( )與一次函數 ( )的圖象都經過點(4,2)，且 (9) = (5).
(1)求 ( )與 ( )的解析式；
(2)求函數 ( ) = ( ) ― ( )在[0,1]上的值域.
【答案】(1) ( ) = ， ( ) = ― 2
(2) ― 9 , ― 2
4
【分析】（1）設出函數解析式，代入點的坐標，求出函數解析式；
（2）寫出函數 ( )，利用換元法求解函數的值域即可.
【詳解】（1）設 ( ) = ， ( ) = + ， ≠ 0，
4
= 2
則 4 + = 2 ，
9 = 5 +
= 1
2
解得 = 1 ，
= ―2
則 ( ) = ， ( ) = ― 2；
（2）由（1）知， ( ) = ― ―2，
令 = ， ∈ [0,1]，則 = 2，
1 2
記 ( ) = 2 ― ― 2 = ― ―
9
2 4，
= 1當 2時， ( )
9
min = ― 4，
當 = 0或 1 時， ( )max = ―2，
故 ( )在[0,1] 9上的值域為 ― , ― 2 .
4
17.若函數 ( ) = ( 2 ― 3 + 3) 2+2 ―4為冪函數，且在(0, + ∞)上單調遞減.
(1)求實數 m 的值；
(2)若函數 ( ) = ― ( )，且 ∈ (0, + ∞)，
①判斷函數 ( )的單調性，并證明；
②求使不等式 (2 ― 1) < ( )成立的實數 t 的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)① ( )在區間(0, + ∞) 1上單調遞增，證明見解析；② ,1
2
【分析】（1）根據冪函數的定義求出 的值再由題設條件取舍；
（2）①根據單調性相同的兩函數在公共區間上具有相同的單調性性質即得；
②利用①的結論求解抽象不等式即得.
【詳解】（1）由題意知 2 ―3 + 3 = 1，解得： = 1或 = 2，
當 = 1時，冪函數 = ―1，此時冪函數在(0, + ∞)上單調遞減，符合題意；
當 = 2時，冪函數 = 4，此時冪函數在(0, + ∞)上單調遞增，不符合題意；
所以實數 的值為 1.
（2）① ( ) = ― ( ) = ― 1 ， ( )在區間(0, + ∞)單調遞增.證明如下：
1 1 1 1 1
任取0 < 1 < 2，則 ( 1) ― ( 2) = ( 1 ― ) ― ( 2 ― ) = ( 1 ― 2) ― ( ― ) = ( 1 ― 2)(1 +1 2 1 2 )，1 2
1
由0 < 1 < 2可得： 1 ― 2 < 0，1 + > 0，則 ( 1) ― ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 1 2 2)，
故 ( )在區間(0, + ∞)單調遞增.
②由①知， ( )在區間(0, + ∞)單調遞增，
2 ― 1 > 0
又由 (2 ― 1) < ( )可得： > 0 1 1，解得解得2 < < 1，所以實數 t 的取值范圍是 ,1 .2 ― 1 < 2
2 3 1
18. ― ―已知冪函數 ( ) = 2 ― 3 + 3 2 2滿足 (2) < (4)．
(1)求函數 ( )的解析式；
(2)若函數 ( ) = ― ( + 3)，是否存在實數 ， （ < ），使函數 ( )在[ , ]上的值域為[ , ]？若存在，
求出實數 的取值范圍，若不存在，請說明理由．
1
【答案】(1) ( ) = 2
(2)( ― 94, ― 2]
【分析】（1）根據函數為冪函數求得參數 p 的值，結合單調性即可求得函數解析式；
（2）假設存在實數 ， （ < ），使函數 ( )在[ , ]上的值域為[ , ]，根據函數單調性可得相應關系式，
推出 + 3 ― + 3 = ( + 3) ― ( + 3)，整理化簡后可得 = + + 3 = + 1 ― + 3，利用換元法
結合二次函數性質即可求得 n 的范圍，即可得出結論.
2 3 1
【詳解】（1）由 ( ) = 2 ― 3 + 3 ― ―2 2是冪函數，
可得 2 ―3 + 3 = 1，解得 = 1或 = 2；
當 = 1時， ( ) = ―1在(0, + ∞)上單調遞減，不滿足 (2) < (4)；
1
當 = 2時， ( ) = 2在(0, + ∞)上單調遞增，滿足 (2) < (4)，
1
故 ( ) = 2．
（2）由題意知 ( ) = ― ( + 3) = ― + 3，則 ( )在定義域[ ― 3, + ∞)上單調遞減，
若實數 ， （ < ），使函數 ( )在[ , ]上的值域為[ , ]，
( ) = ― + 3 =
則 ( ) = ― + 3 = ，兩式相減，得 + 3 ― + 3 = ― = ( + 3) ― ( + 3)，
故 + 3 ― + 3 = ( + 3 ― + 3)( + 3 + + 3)，
而 + 3 ― + 3 ≠ 0，所以 + 3 + + 3 = 1，即 + 3 = 1 ― + 3，
將該式代入 ( ) = ― + 3 = ，
得 = + + 3 = + 1 ― + 3，
1
令 = + 3，由 < ，知 + 3 < + 3 = 1 ― + 3，即 + 3 < 2，
2
故 ∈ [0,12)，所以 =
2 ― ― 2 = ― 1 ― 9
2 4，
2
= ― 1 ― 9 [0,1) ― 9由于 4在 2 上單調遞減，所以 4 < ≤ ―22 ，
故存在實數 ， （ < ），使函數 ( )在[ , ]上的值域為[ , ]，
此時實數 的取值范圍為( ― 94, ― 2].
【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于第二問的探究問題，解答時要能根據函數的單調性得出 , 之間的
關系式，從而推出 n 關于 , 的關系式，換元后轉化為二次函數問題，即可得出結論.
19．若函數 ( )滿足：存在整數 , ，使得關于 的不等式 ≤ ( ) ≤ 的解集恰為[ , ]（ < ），則稱函
數 ( )為 函數.
(1)若函數 ( ) = 2為 函數，請直接寫出 , （不要過程）；
1
(2)判斷函數 ( ) = , ∈ (0, + ∞)是否為 函數，并說明理由；
(3)是否存在實數 使得函數 ( ) = 2 ― + ― 1為 函數，若存在，請求出 的值；若不存在，請說明理
由.
【答案】(1) = ―1, = 1
(2)不是，理由見解析
(3)存在， = 1
【分析】（1）結合 函數的定義列方程、不等式，由此求得 , 的值.
（2）結合 函數的定義以及反證法進行判斷.
（3）結合 函數的定義列方程、不等式，由此求得 , , 的值，從而確定正確答案.
【詳解】（1）函數 ( ) = 2為二次函數，對稱軸為 = 0，開口向上，
若函數 ( ) = 2為 函數，
0 ― = ― 0 + = 0
所以 ≤ (0) = 0 ，即 ≤ 0 ，
= ( ) = ( ) = 2 = 2
解得 = ―1, = 1.
（2）函數 ( ) = 1 , ∈ (0, + ∞)不是 P 函數，理由如下：
1( ) = 在(0, + ∞)上遞增，
因為 m，n 為整數，由題意可知1 ≤ < ，即 > 1，
令 ≤ ( ) ≤ ，即 ≤ 1 1 1 ≤ ，解得 ≤ ≤ ，
假設函數 ( ) = 1 , ∈ (0, + ∞)為 P 函數，
1 =
則 1 ，即 = 1，與已知 > 1矛盾，所以不存在這樣的 m，n，=

所以函數 ( ) = 1 , ∈ (0, + ∞)不是 P 函數；

（3）函數 ( ) = 2 ― + ― 1為二次函數，對稱軸為 = 2，開口向上，
因為關于 x 的不等式 ≤ ( ) ≤ 的解集恰為[ , ]
― = ―
2 2 + = ,①1
所以 ≤ ，即 ≤ ― ( ― 2)2 ②
2 4
，
= ( ) = ( ) = (1 ― ) + 2 ― 1,③
將①代入③得， (1 ― ) = 1，
又 m，n 為整數， < = ―1 = ―1，所以 1 ― = ―1 ，解得 = 2 ，此時 = 1，滿足題意，
綜上所述，存在實數 = 1使得函數 ( ) = 2 ― + ― 1為 P 函數.
【點睛】對于函數新定義的題目，解題的關鍵點在于將“新定義”的問題轉化為所學過的知識進行求解.本題
中，第（1）（3）兩問是二次函數，函數圖象有對稱性；第（2）問是單調函數.這兩種情況列式不一樣，但
也是圍繞 “新定義”去列式.

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