資源簡介

3.1.3 簡單的分段函數
課程標準 學習目標
（1）了解分段函數的概念;
（1）通過具體實例, 了解簡單的分段函數, 并
（2） 會求分段函數的解析式或函數值；
能簡單應用。
（3）分段函數的性質與應用.（難點)
知識點 01 分段函數
定義：有些函數在其定義域中，對于自變量 的不同取值范圍，對應關系不同，這樣的函數通常稱為分段函
數．
Eg ( ) = | | = , ≥ 0 ( ) = ( ― 1) = ―1, 為奇數― , < 0， 1, 為偶數 ( ∈ N).
【即學即練 1】湛江市自來水公司鼓勵企業節約用水，按下表規定收取水費，
用水量 單價（元/噸）
不超過40噸的部分 1.8
超過40噸的部分 2.2
求用水量與水費之間的函數關系，并求用水30噸和50噸的水費.
【題型一：求分段函數的函數值】
例 1．已知函數 ( ) = ( + 2), ≤ 0 2 ― 3 + 4, > 0 ，則 ( ( ―6)) = （ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
― 1, > 0
變式 1-1．已知函數 ( ) = , = 0 那么 ( (3))的值是（ ）
+ 1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．5
變式 1-2．已知函數 ( ) = ( ― 2), ≥ 02 2 ― 3 , < 0 ，則 (1) = （ ）
A．14 B．5 C．1 D．-1
變式 1-3．定義：| | | ―3 = ― ．若 ( ) = |, ≥ 0 ， (1) = 4，則 ( ― 2020) = （ ） ( + 3), < 0
A．10 B．9 C．8 D．7
【方法技巧與總結】
根據分段函數求函數值，要注意分段函數中的每段函數中自變量的取值范圍.
【題型二：根據分段函數求解不等式】
2 ( ) = {| ― 1| + 1, ≤ 1例 ．設函數 1, > 1 ，則滿足 ( + 1) < (2 )的 x 的取值范圍是（ ）
A ( ―∞ ― 1] B ( ― ∞,1． ， 2 ． 2)
C ( ― 1． 2 ， 0) D．( ―
1
2 ， +∞)
變式 2-1．已知 ( ) = 1, 0,0, < 0, 則不等式 ( ) + 2的解集為（ ）
A．[0,1] B．[0,2] C．( ― ∞,1] D．( ― ∞,2]
2
變式 2-2．設函數 ( ) = ― 4 + 6, ≥ 0 + 6, < 0 ，則不等式 ( ) > (1)的解集是（ ）
A．( ―3,1) ∪ (2, + ∞) B．( ―3,1) ∪ (3, + ∞)
C．( ―1,1) ∪ (3, + ∞) D．( ―∞, ― 3) ∪ (1,3)
2
2-3 ( ) = + 2 , ≥ 0變式 ．設函數 ― 2 + 2 , < 0 ，若 ( ( )) ≥ 3，則實數 的取值范圍是（ ）
A．[ 2 ― 1, + ∞) B．( ―∞, ― 2 ― 1]
C．[ ―3,1] D．[1, + ∞)
【方法技巧與總結】
根據分段函數求解不等式，要注意好分類討論，找準分類討論的標準，做到不重不漏.
【題型三：根據分段函數所得方程求參數或自變量】
3 ( ― 1)
2,0 < < 2
例 ．已知函數 ( ) = 2( ― 2), ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)，則 ( + 3) = （ ）
A．0 B．4 3 C．0 或4 3 D．4 ― 2 3
變式 3-1 , < 0．已知函數 ( ) = 2 , ≥ 0 ，若 ( ) = ― (1)，則 = （ ）
A． ―2 B． ―1 C． ―4 D．2
3-2 ( ) = ,0 < < 1 1變式 ．設 2( ― 1), > 1 ，若 ( ) = ( + 1)，則 = （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2
3-3 + 0 < < 2 1變式 ．已知函數 ( ) = ，―2 + 8， ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)， ∈ (0, + ∞)，則 = （ ）
A 2 B 5 C 6 D 17． ．16 ． ． 2
【方法技巧與總結】
根據分段函數的函數值所得的方程求其中的參數或自變量，要注意變量的取值范圍，作好分類討論.
【題型四：求分段函數的解析式】
例 4．如圖， △ 是邊長為 2 的正三角形，記 △ 位于直線 = (0 ≤ ≤ 2)左側的圖形的面積為
( )．則函數 = ( )的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
變式 4-1．已知邊長為 1 的正方形 ABCD 中，E 為 CD 的中點，動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿 → → →
運動．設點 經過的路程為 ． △ 的面積為 ．則 與 的函數圖象大致為圖中的（　　）
A． B．
C． D．
變式 4-2．在同一平面直角坐標系中，函數 = ( )和 = ( )的圖象關于直線 = 對稱．現將 = ( )的
圖象沿 軸向左平移2個單位，再沿 軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所
示），則函數 ( )的表達式為（ ）
2 + 2, ― 1 ≤ ≤ 0 2 ― 2, ― 1 ≤ ≤ 0
A． ( ) = + 2,0 < ≤ 2 B． ( ) = ― 2,0 < ≤ 2
2 2
2 ― 2,1 ≤ ≤ 2 2 ― 6,1 ≤ ≤ 2
C． ( ) = + 1,2 < ≤ 4 D． ( ) = ― 3,2 < ≤ 4
2 2
【方法技巧與總結】
求分段函數的解析式，要抓好分段自變量的臨界點以及對應的區間范圍！
【題型五：畫具體分段函數的圖象】
例 5．將函數 = | ― 2 + 1| +2向左、向下分別平移 2 個、3 個單位長度，所得圖像為（ ）
A． B．
C． D．
( ) = { + 1, ∈ [ ― 1,0)變式 5-1．已知 2 + 1, ∈ [0,1] ，則函數 = ( ― )的圖象是（ ）
A． B． C． D．

變式 5-2．函數 ( ) = | |―1的圖象大致形狀是（ ）
A． B． C． D．
變式 5-3．設函數 ( ) = | ― 1| ―2| + 1|．
(1)作出函數 ( )的圖象；
(2)若 ( )的最大值為 ，正實數 , , 滿足 + 2 2 +3 + 6 = ，求 + 3 + 3 的最小值．
【方法技巧與總結】
, ≥ 0
畫含絕對值的函數圖象，可以利用| | = ― , < 0，把函數轉化為分段函數，再把分段函數畫出.
【題型六：與分段函數有關的值域問題】
1
例 6．已知函數 ( ) = ― , < 12 ，若 ( )值域為 ― ,2 ，則實數 的取值范圍是（ ） ― , ≤ ≤ 2 4
A．[ ―1,0] B ― 1． ,0 C． ―1, ― 1 D． ―∞, ― 1
2 2 2
6-1 ( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2變式 ．已知函數 + 1, ≥ 2 的值域為R，則 的取值范圍是（ ）
A 1 , 1 B 1． ． , + ∞ C 1 1． ―∞, D． , + ∞
3 2 3 3 2
(1 ― 2 ) + 3 , < 1
變式 6-2．已知函數 ( ) = ― 1 , ≥ 1 的值域為R，那么 a 的取值范圍是（ ）

A．( ―∞, ― 1] B． ―1, 1 C 1． ―1, D．(0,1)
2 2
6-3 ( ) = 1 ― , ― 1 ≤ < 0變式 ．已知函數 | ― 1|,0 ≤ ≤ 的值域是[0,2]，則實數 的取值范圍是（ ）
A．(0,1] B．[1,3] C．[1,2] D．[2,3]
【方法技巧與總結】
1 處理與分段函數有關的值域問題，往往可以采取數形結合或分離討論的方法，在其中函數的單調性往往
很重要.
2 對于分段函數的值域，應該是兩段的值域并到一起，定義域也是兩段并到一起，單調區間也是兩段的區
間總和．二次函數找最值一般情況要和對稱軸比較，討論軸和區間的關系．
【題型七：與分段函數的最值問題】
2 ― 2 ― 2, ≤ 2,
例 7．已知函數 ( ) = + 36 ― 6 , > 2, 若 ( )的最小值為 (2)，則實數 a 的取值范圍為（ ）

A．[2,5] B．[2, + ∞) C．[2,6] D．( ― ∞,5]
變式 7-1．函數 ( ) = (1 ― )| ― 3|在( ―∞, )上取得最小值 ―1，則實數 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞,2) B．[2 ― 2,2] C．[2,2 + 2] D．[2, + ∞)
( - )2, ≤0
變式 7-2．設 ( )= + 1 + +4, >0 ，若 (0)是 ( )的最小值，則 的取值范圍為（ ）

A．[0,3] B．(0,3) C．(0,3] D．[0,3)
變式 7-3．已知 ( ) = 1 ― | + 1|, < 0 2 ― 2 , ≥ 0 ，若實數 ∈ [ ―2,0]，則| ( ) ― ― 1 |在區間[ , + 1]上的最大2
值的取值范圍是（ ）
A 1 , 5 B 1 , 3 C 1 , 3． ． ． D 1． ,2
4 4 4 2 2 2 2
【方法技巧與總結】
1 處理與分段函數有關的最值問題，往往可以采取數形結合或分離討論的方法，在其中函數的單調性往往
很重要；
2 結合分段函數的圖象的話，要把問題進行等價轉化，注意如何才能使得圖象取到最值或在哪里取到等.
【題型八：其他分段函數的性質及應用】
8 ≥ 例 ．定義max ，， = < ，若函數 ( ) = max， ―
2 + 3 ，| ― 3| ，若 ( )在區間[ , ]上的值域
5
為 ，3 ，則區間[ , ]長度的最大值為（ ）4
A．6 B 5．2 C
7
．2 D
7
．4
2
8-1 ( ) = ― 8 + 8, ≥ 0變式 ．已知函數 2 + 4, < 0 ．若互不相等的實根 1, 2, 3滿足 ( 1) = ( 2) = ( 3)，則
1 + 2 + 3的范圍是（ ）
A．(2,8) B．( ― 8,4) C．( ― 6,0) D．( ― 6,8)
變式 8-2 1, ．德國數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名函數 = ( ) = 為有理數0, ，該函數為無理數
被稱為狄利克雷函數，關于狄利克雷函數有如下四個命題：
① ( ( )) = 0；②對任意 ∈ R，恒有 ( ) = ( ― )成立；
③任取一個不為零的有理數 ， ( + ) = ( )對任意實數 均成立；
④存在三個點 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))， ( 3, ( 3))，使得 △ 為等邊三角形；
其中正確的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③
2
變式 8-3 ( ) = ― , ≥ ―1,．已知函數 ― + , < ―1. 若 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，則實數
的取值范圍是 ．
【方法技巧與總結】
處理與分段函數有關的函數性質問題，往往可以采取數形結合或分離討論的方法，在其中掌握函數的單調
性是關鍵.
一、單選題

1 ( ) = 2 , > 0．已知函數 ( + 2), ≤ 0 ，則 ( ―3) = （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2
2. ( ) = ― + 2 , ≥ 0已知 2 + 2 , < 0 ，滿足 ( ) < ( ― )，則 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞, ― 2) ∪ (0,2) B．( ―∞, ― 2) ∪ (2, + ∞)
C．( ―2,0) ∪ (0,2) D．( ―2,0) ∪ (2, + ∞)
| ― 1|, ≥ 0
3.已知函數 ( ) = 2 , < 0 ，若 ( ) = ( + 1).則 ( ―2 ) = （ ）

A． ―1 B． ―2 C． ―3 D． ―4
4.如圖所示，在直角坐標系的第一象限內， △ 是邊長為 2 的等邊三角形，設直線 = (0 ≤ ≤ 2)截這
個三角形可得位于此直線左方的圖象的面積為 ( )，則函數 = ( )的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5. ( ) = 3 + 1， ≤ 1已知函數 2 ― 1 > 1 ，若 > ，且 ( ) = ( )，設 = ― ，則 的最大值為（ ），
A 19．12 B． 5 ―1 C
17 4
．12 D．3
6.設符號 { ， ， }表示 , , 中的最小者，已知函數 ( )＝ {| ﹣2|, 2,| + 2|}則下列結論正確的是
（ ）
A． ∈ [0, + ∞), ( ― 2) > ( ) B． ∈ [1, + ∞), ( ― 2) > ( )
C． ∈ , ( ( )) ≤ ( ) D． ∈ , ( ( )) > ( )
2
7.設函數 ( ) = ( ― ) ， ≤ 0 2 ― 2 + 3 + > 0 ，若 (0)是函數 ( )的最小值，則實數 a 的取值范圍是( )，
A．[﹣1，2] B．( ―1,2) C．[0,2) D．[0，2]
8.設函數 = ( ) R ( ), ( ) > 在 上有定義，對于任一給定的正數 ，定義 ( ) = , ( ) ≤ 則稱函數 = ( )為
= ( )的“ 下界函數”．若給定 ( ) = 2 ―2 ― 1， = 2，則下列結論不正確的是（ ）
A． ( (0)) > (0) B． ( (1)) > (1)
C． ( (2)) = (2) D． ( (3)) > (3)
二、多選題
9．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，計費辦法如下表：
每戶每月用水量 (m3) 水價
不超過12m3的部分 3 元/m3
超過12m3但不超過18m3的部分 6 元/m3
超過18m3的部分 9 元/m3
則下列說法正確的是（ ）
A．若某戶居民某月用水量為10m3，則該用戶應繳納水費 30 元
B．若某戶居民某月用水量為16m3，則該用戶應繳納水費 96 元
C．若某戶居民某月繳納水費 54 元，則該用戶該月用水量為15m3
D．若甲、乙兩戶居民某月共繳納水費 93 元，且甲戶該月用水量未超過12m3，乙戶該月用水量未超過
18m3，則該月甲戶用水量為9m3（甲，乙兩戶的月用水量均為整數）
2 210. , ≥ 1已知函數 ( ) = ( + 1), < 1 ，則下列正確的是（ ）
A． [ (0)] = 8 B． [ (1)] = 2
4
C 3 = 81 D ( ) 0, 1． ． 的值域為
2 2 2
11.已知全集為 R，對于給定數集 A 1, ∈ ，定義函數 ( ) = 0, 為集合 A 的特征函數，若函數 ( )是數集 A
的特征函數，函數 ( )是數集 B 的特征函數，則（ ）
A． = ( ) ( )是數集 ∩ 的特征函數
B． = ( ) + ( ) ― ( ) ( )是數集 ∪ 的特征函數
C． = ( ) ― ( ) ( )是數集 ∩ ( R )的特征函數
D． = ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( )是集合 R( ∩ )的特征函數
三、填空題
2 2 + 3, ∈ [ ―6, ― 1)
12．已知 ( ) = 1 , ∈ [ ―1,1) 則 ( 2) = ．
, ∈ [1,6]
13.給定函數 ( ) = + 2， ( ) = 4 ― 2，對于 ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的較小者，記為 ( ) =
min{ ( ), ( )}，則 ( )的最大值為 .
14. 已 知 關 于 實 數 ( ―1 ≤ ≤ 1)的 方 程 | ― 1| + | ― 2| = 和 | ― 1| ― | ― 2| = 對 任 意 1, 2
( ―1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1)有解，則 + 的值的集合為 ．
四、解答題
3 + 5, ≤ 0
15．已知函數 ( )的解析式為 ( ) = + 5,0 < ≤ 1 .
―2 + 8, > 1
(1) 3 1求 ， ， ( ―1)的值；
2 π
(2)畫出這個函數的圖象；
16.已知函數 ( ) = 2| ― 2| + | + 1|.
(1)畫出 ( )的圖像；
(2)請根據 ( )的圖像直接寫出 ( ) > 4的解集（無需說明理由）.
17.水培植物需要一種植物專用營養液，已知每投放 (0 < ≤ 4且 ∈ R)個單位的營養液，它在水中釋放的
2+
， ∈ [0，4]
濃度 (克/升)隨著時間 (天)變化的函數關系式近似為 = ( )，其中 ( ) = 6― ，若多
5 ― 1 ∈ (4 10]
2 ， ，
次投放，則某一時刻水中的營養液濃度為每次投放的營養液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當
水中營養液的濃度不低于4(克/升)時，它才能有效．
(1)若只投放一次 4 個單位的營養液，則有效時間最多可能持續幾天？
(2)若先投放 2 個單位的營養液，6 天后再投放 個單位的營養液，要使接下來的 4 天中，營養液能夠持續
有效，試求 的最小值．
18.已知函數 ( )的定義域為[0,1]，且 ( )的圖象連續不間斷．若函數 ( )滿足：對于給定的 m（ ∈ R且
0 < < 1），存在 0 ∈ [0,1 ― ]，使得 ( 0) = ( 0 + )，則稱 ( )具有性質 ( )．
2
(1)已知函數 ( ) = ― 1 ， ∈ [0,1]，判斷 2 ( )
1
是否具有性質 ，并說明理由；
3
―4 + 1,0 ≤ ≤ 1
4
(2) 1已知函數 ( ) = 4 ― 1, < <
3
4 4 ，若 ( )具有性質 ( )，求 m 的最大值.
―4 + 5, 3 ≤ ≤ 1
4
19 A 1, ∈ ．已知集合 為數集，定義 ( ) = 0, ∈ .若 , { | ≤ 8, ∈ N
}，定義： ( , ) = | (1) ― (1)|
+ | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|.
(1)已知集合 = {1,2}，直接寫出 (1)， (2)及 (8)的值；
(2)已知集合 = {1,2,3}， = {2,3,4}， = ，求 ( , )， ( , )的值；
(3)若 , , { ∣ ≤ 8, ∈ N*}.求證： ( , ) + ( , ) ≥ ( , ).3.1.3 簡單的分段函數
課程標準 學習目標
（1）了解分段函數的概念;
（1）通過具體實例, 了解簡單的分段函數, 并
（2） 會求分段函數的解析式或函數值；
能簡單應用。
（3）分段函數的性質與應用.（難點)
知識點 01 分段函數
定義：有些函數在其定義域中，對于自變量 的不同取值范圍，對應關系不同，這樣的函數通常稱為分段函
數．
Eg ( ) = | | = , ≥ 0― , < 0， ( ) = ( ― 1)
= ―1, 為奇數1, 為偶數 ( ∈ N).
【即學即練 1】湛江市自來水公司鼓勵企業節約用水，按下表規定收取水費，
用水量 單價（元/噸）
不超過40噸的部分 1.8
超過40噸的部分 2.2
求用水量與水費之間的函數關系，并求用水30噸和50噸的水費.
解析 設用水量為 噸，水費為 元，
依題意知當 ≤ 40時， = 1.8 元；當 > 40時， = 2.2( ― 40) +1.8 × 40 = 2.2 ―16元，
故用水量與水費之間的函數關系為 ( ) = 1.8 , ≤ 402.2 ― 1.6, > 40，
所以 (30) = 54， (50) = 109.4，即用水30噸和50噸的水費分別為54元、109.4元.
【題型一：求分段函數的函數值】
1 ( ) = ( + 2), ≤ 0例 ．已知函數 2 ― 3 + 4, > 0 ，則 ( ( ―6)) = （ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】C
【分析】
通過函數表達式即可得出 ( ( ―6))的值.
【詳解】由題意，
在 ( ) = ( + 2), ≤ 0 2 ― 3 + 4, > 0 中，
( ( ―6)) = ( ( ―4)) = ( ( ―2)) = ( (0)) = ( (2)) = (22 ― 3 × 2 + 4) = (2)
= 22 ―3 × 2 + 4 = 2，
故選：C.
― 1, > 0
變式 1-1．已知函數 ( ) = , = 0 那么 ( (3))的值是（ ）
+ 1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】先計算 (3) = 3 ― 1 = 2，從而 [ (3)] = (2)，由此能求出結果.
― 1, > 0
【詳解】解： ∵ 函數 ( ) = , = 0 ，
+ 1, < 0
∴ (3) = 3 ― 1 = 2，
[ (3)] = (2) = 2 ― 1 = 1.
故選：A.
1-2 ( ) = ( ― 2), ≥ 0變式 ．已知函數 2 2 ― 3 , < 0 ，則 (1) = （ ）
A．14 B．5 C．1 D．-1
【答案】B
【分析】根據分段函數解析式代入計算可得.
( ― 2), ≥ 0
【詳解】因為 ( ) = 2 2 ― 3 , < 0 ，所以 (1) = ( ―1) = 2 × ( ―1)
2 ―3 × ( ―1) = 5.
故選：B
1-3 | ―3變式 ．定義： | = ― ．若 ( ) = | |, ≥ 0 ， (1) = 4，則 ( ― 2020) = （ ） ( + 3), < 0
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
2
【分析】依題意可得 ( ) = + 3 , ≥ 0 ( + 3), < 0 ，由 (1) = 4求出 的值，從而得到 ( )的解析式，再根據
( ― 2020) = ( ― 2020 + 673 × 3) = ( ― 1) = (2)代入計算可得.
―3
【詳解】依題意可得| 2 | = +3 ，
| ―3| ( ) = , ≥ 0 = 2 + 3 , ≥ 0所以
( + 3), < 0 ( + 3), < 0
，
2
因為 (1) = 4，所以 (1) = + 3 = 4，所以 = 1，所以 ( ) = + 3 , ≥ 0 ( + 3), < 0 ，
所以 ( ― 2020) = ( ― 2020 + 673 × 3) = ( ― 1) = (2) = 4 + 6 = 10．
故選：A．
【方法技巧與總結】
根據分段函數求函數值，要注意分段函數中的每段函數中自變量的取值范圍.
【題型二：根據分段函數求解不等式】
例 2．設函數 ( ) = {| ― 1| + 1, ≤ 11, > 1 ，則滿足 ( + 1) < (2 )的 x 的取值范圍是（ ）
A ( ―∞ ― 1] B ( ― ∞,1． ， 2 ． 2)
C 1 1．( ― 2 ， 0) D．( ― 2 ， +∞)
【答案】B
【分析】化簡函數解析式，分區間討論化簡不等式 ( + 1) < (2 )求其解.
∵ ( ) = {| ― 1| + 1, ≤ 1【詳解】 1, > 1 ，
∴ ( ) = {2 ― , ≤ 11, > 1 ，
當 + 1 ≤ 1且2 ≤ 1時，不等式 ( + 1) < (2 )可化為2 ― ― 1 < 2 ― 2 ，
∴ ≤ 0，
當 + 1 ≤ 1且2 > 1時，不等式 ( +1) < (2 )可化為2 ― ― 1 < 1，
∴ 滿足條件的 不存在，
當 + 1 > 1且2 > 1時，不等式 ( +1) < (2 )可化為1 < 1，
∴ 滿足條件的 不存在，
當 + 1 > 1且2 ≤ 1時，不等式 ( +1) < (2 )可化為1 < 2 ― 2 ，
∴0 < < 12，
∴滿足 ( +1) < (2 )的 x 1的取值范圍是( ― ∞,2)，
故選：B.
1, 0,
變式 2-1．已知 ( ) = 0, < 0, 則不等式 ( ) + 2的解集為（ ）
A．[0,1] B．[0,2] C．( ― ∞,1] D．( ― ∞,2]
【答案】C
【解析】分別討論 ≥ 0與 < 0的情況,進而求解即可
【詳解】當 ≥ 0時,原不等式可化為 1 + ≤ 2,解得0 ≤ ≤ 1；
當 < 0時.原不等式可化為 ≤ 2,所以 < 0；
綜上,原不等式的解集為( ― ∞,1]
故選：C
【點睛】本題考查分段函數,考查解不等式,考查分類討論思想
2
變式 2-2 ( ) = ― 4 + 6, ≥ 0．設函數 + 6, < 0 ，則不等式 ( ) > (1)的解集是（ ）
A．( ―3,1) ∪ (2, + ∞) B．( ―3,1) ∪ (3, + ∞)
C．( ―1,1) ∪ (3, + ∞) D．( ―∞, ― 3) ∪ (1,3)
【答案】B
【分析】首先求出 (1)，再結合函數解析式分兩段得到不等式組，解得即可.
2
【詳解】因為 ( ) = ― 4 + 6, ≥ 0 2 + 6, < 0 ，所以 (1) = 1 ―4 + 6 = 3，
不等式 ( ) > (1) ≥ 0 + 6 > 3等價于 2 ― 4 + 6 > 3 或 < 0 ，
解得0 ≤ < 1或 > 3或 ―3 < < 0，
所以不等式 ( ) > (1)的解集為( ―3,1) ∪ (3, + ∞).
故選：B
2
變式 2-3 + 2 , ≥ 0．設函數 ( ) = ― 2 + 2 , < 0 ，若 ( ( )) ≥ 3，則實數 的取值范圍是（ ）
A．[ 2 ― 1, + ∞) B．( ―∞, ― 2 ― 1]
C．[ ―3,1] D．[1, + ∞)
【答案】A
【分析】令 ( ) = ，先分段討論求得 ( ) ≥ 1，再分段討論求得 ≥ 2 ―1，從而得解.
2
( ) = + 2 , ≥ 0【詳解】因為 ― 2 + 2 , < 0 ，
令 ( ) = ，則 ( ( )) ≥ 3可化為 ( ) ≥ 3，
當 ≥ 0時， 2 +2 ≥ 3，即，解得 ≥ 1（負值舍去），即 ( ) ≥ 1，
當 < 0時， ― 2 +2 ≥ 3，即 2 ―2 + 3 ≤ 0，
而 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2 > 0，故上述不等式無解；
綜上， ( ) ≥ 1，
若 ≥ 0，則 2 +2 ≥ 1，解得 ≥ 2 ―1（負值舍去）；
若 < 0，則 ― 2 +2 ≥ 1，解得 = 1（舍去）；
綜上： ≥ 2 ―1.
故選：A.
【方法技巧與總結】
根據分段函數求解不等式，要注意好分類討論，找準分類討論的標準，做到不重不漏.
【題型三：根據分段函數所得方程求參數或自變量】
3 ( ) = ( ― 1)
2,0 < < 2
例 ．已知函數 2( ― 2), ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)，則 ( + 3) = （ ）
A．0 B．4 3
C．0 或4 3 D．4 ― 2 3
【答案】A
【分析】根據題意，當0 < < 2時，結合題意，求得 = 2 ― 3，代入求得 ( + 3)的值，當 > 2時，函
數為單調函數，顯然不成立，即可求解.
2
【詳解】由函數 ( ) = ( ― 1) ,0 < < 22( ― 2), ≥ 2 ，且 ( ) = ( + 2)，
當0 < < 2時，可得 + 2 > 2，所以( ― 1)2 = 2( + 2 ― 2)，
即 = 2 ― 3或 = 2 + 3（舍去），此時 ( + 3) = (2 ― 3 + 3) = (2) = 0
當 > 2時，函數 ( ) = 2( ― 2)為單調遞增函數，
所以，當 > 2時，不存在 ( ) = ( + 2)成立，
綜上可得， ( + 3) = 0.
故選：A.
變式 3-1 , < 0．已知函數 ( ) = 2 , ≥ 0 ，若 ( ) = ― (1)，則 = （ ）
A． ―2 B． ―1 C． ―4 D．2
【答案】A
【分析】先求出 (1) = 2，然后分類討論代入函數解析式列式求解即可.
【詳解】由題意可得 (1) = 2.
當 ≥ 0時， ( ) = 2 = ― (1) = ―2，解得 = ―1，舍去；
當 < 0時， ( ) = = ― (1) = ―2，解得 = ―2，滿足題意.所以 = ―2.
故選：A
變式 3-2．設 ( ) = ,0 < < 12( ― 1), > 1 ，若 ( ) = ( + 1)
1
，則 = （ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】分0 < < 1、 > 1兩種情況解方程 ( ) = ( + 1) 1，求出 的值，然后代值計算可得出 的值.

【詳解】因為 ( ) = ,0 < < 12( ― 1), > 1 ，且 ( ) = ( + 1).
當0 < < 1時，則1 < + 1 < 2 1，由 ( ) = ( + 1)可得 = 2 ，解得 = 4，合乎題意.
當 > 1時，由 ( ) = ( + 1)可得2( ― 1) = 2 ，無解.
1 1
所以， = 4，則 = (4) = 2 × (4 ― 1) = 6.
故選：C.
2
3-3 + 0 < < 2 1變式 ．已知函數 ( ) = ，―2 + 8， ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)， ∈ (0, + ∞)，則 = （ ）
A．2 B 5．16 C．6 D
17
． 2
【答案】A
【分析】根據分段函數，分0 < < 2， ≥ 2，由 ( ) = ( + 2)求解.
2 + 0 < < 2
【詳解】因為函數 ( ) = ，―2 + 8 ≥ 2 ，且 ( ) = ( + 2)， ， ∈ (0, + ∞)，
當0 < < 2時， 2 + = ―2( + 2) +8，即 2 +3 ― 4 = 0，
解得 = ―4或 = 1，
當 ≥ 2時， ―2 + 8 = ―2( + 2) +8，無解，
綜上： = 1，
所以 1 = (1) = 2，

故選：A
【方法技巧與總結】
根據分段函數的函數值所得的方程求其中的參數或自變量，要注意變量的取值范圍，作好分類討論.
【題型四：求分段函數的解析式】
例 4．如圖， △ 是邊長為 2 的正三角形，記 △ 位于直線 = (0 ≤ ≤ 2)左側的圖形的面積為
( )．則函數 = ( )的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】結合圖形，分類討論0 < ≤ 1與1 < ≤ 2，求得 ( )的解析式，從而得解.
【詳解】依題意，當0 < ≤ 1時，可得直角三角形的兩條直角邊分別為 , 3 ，
1 3 2
從而可以求得 ( ) = 2 3 = ，2
當1 < ≤ 2時，陰影部分可以看做大三角形減去一個小三角形，
2
可求得 ( ) = 3 ― 3(2― ) = ― 3 2 +2 3 ― ，2 2 3
3 2 (0 < ≤ 1)
所以 ( ) = 23 ，― 2 + 2 3 ― 3(1 < ≤ 2)
2
從而可知選項 A 的圖象滿足題意.
故選：A.
變式 4-1．已知邊長為 1 的正方形 ABCD 中，E 為 CD 的中點，動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿 → → →
運動．設點 經過的路程為 ． △ 的面積為 ．則 與 的函數圖象大致為圖中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意求 與 的函數關系式，進而可得結果.
【詳解】當動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿 → 運動時，
則 △ = 1的面積為 2 × 1 =
1
2 ,0 < ≤ 1；
當動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿 → 運動時，
則 △ 的面積為 = 12 1 +
1 × 1 ― 1 1 1 12( ― 1) × 1 ― 2 × 2(2 ― ) = 4(3 ― ) ,1 < < 2；2
當動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿 → 運動時，
則 △ 的面積為 = 1 52 ― × 1 =
1
4(5 ― 2 ),2 ≤ < 2.5；2
,0 < ≤ 1
1
綜上所述： = (3 ― ) ,1 < < 24 ，可知 B、C、D 錯誤，A 正確.
1 (5 ― 2 ),2 ≤ < 2.5
4
故選：A.
變式 4-2．在同一平面直角坐標系中，函數 = ( )和 = ( )的圖象關于直線 = 對稱．現將 = ( )的
圖象沿 軸向左平移2個單位，再沿 軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所
示），則函數 ( )的表達式為（ ）
2 + 2, ― 1 ≤ ≤ 0 2 ― 2, ― 1 ≤ ≤ 0
A． ( ) = + 2,0 < ≤ 2 B． ( ) = ― 2,0 < ≤ 2
2 2
2 ― 2,1 ≤ ≤ 2 2 ― 6,1 ≤ ≤ 2
C． ( ) = + 1,2 < ≤ 4 D． ( ) = ― 3,2 < ≤ 4
2 2
【答案】A
【分析】首先根據題意，結合圖像求出函數 ( )的表達式，根據 ( ), ( )圖像間的關系，求出 ( )的表達
式，再根據 = ( )和 = ( )的圖象關于直線 = 對稱，分段依次求出函數 ( )的表達式得到答案.
【詳解】設經過兩次平移后所得圖像對應的函數為 ( )，

由圖像可知，當 ―2 ≤ ≤ 0時，函數圖像過( ―2,0), (0,1)可得 ( ) = 2 +1，
當0 < ≤ 1時，函數圖像過(0,1), (1,3)可得 ( ) = 2 + 1，
+ 1, ― 2 ≤ ≤ 0
所以 ( ) = 2 ，2 + 1, 0 < ≤ 1
因為 = ( )的圖象沿 軸向左平移2個單位，再沿 軸向上平移1個單位得 ( )，
所以把 ( )右移2個單位，下移1個單位可得 ( )，
―2
= ―1 = + 1 ― 1, ― 2 ≤ ― 2 ≤ 0
― 1, 0 ≤ ≤ 2
即 ( ) ( ― 2) 2 = 2 ，
2( ― 2) + 1 ― 1, 0 < ― 2 ≤ 1 2 ― 4, 2 < ≤ 3
又因為函數 = ( )和 = ( )的圖象關于直線 = 對稱，

所以當 ―1 ≤ ≤ 0時， = 2 ―1得 = 2 + 2即 ( ) = 2 + 2，
當0 < ≤ 2時， = 2 ― 4 1得 = 2 + 2即
1
( ) = 2 + 2，
2 + 2, ― 1 ≤ ≤ 0
所以 ( ) = 1 + 2, 0 < ≤ 2 .
2
故選：A
【方法技巧與總結】
求分段函數的解析式，要抓好分段自變量的臨界點以及對應的區間范圍！
【題型五：畫具體分段函數的圖象】
例 5．將函數 = | ― 2 + 1| +2向左、向下分別平移 2 個、3 個單位長度，所得圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，將函數化為分段函數的形式，得到其大致圖像，即可判斷平移之后的函數圖像.
【詳解】
2
= 3 ― , ∈ [ ―1,1]因為 2 + 1, ∈ ( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞) ，可得函數的大致圖像如圖所示，
將其向左、向下分別平移 2 個、3 個單位長度，所得函數圖像為 C 選項中的圖像.
故選：C
( ) = { + 1, ∈ [ ― 1,0)變式 5-1．已知 2 + 1, ∈ [0,1] ，則函數 = ( ― )的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先畫函數 ( )的圖象，再根據函數 ( )的圖象與 ( ― )的圖象關于 軸對稱，即可選出正確選項.
【詳解】先畫函數 ( ) = { + 1, ∈ [ ― 1,0) 2 + 1, ∈ [0,1] 的圖象，如下圖：
因為函數 ( )的圖象與 ( ― )的圖象關于 軸對稱，只有 A 選項的圖象符合.
故選：A.
【點睛】本題主要考查分段函數的畫法，同時考查函數有關對稱性的知識，解題的關鍵是把原函數的圖象
畫出，那么對稱函數的圖象隨之可得.

變式 5-2．函數 ( ) = | |―1的圖象大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題為分段函數圖像判斷，寫出分段函數，可根據特殊點進行判斷.

, > 0且 ≠ 1
【詳解】函數 ( ) = | |―1的定義域為 ≠± 1， ( ) = ―1| |―1 = , < 0 ≠ ―1
― ―1 且
(2) = 2 > 0，排除 BC 選項， ( ― 2) = ―2 < 0，排除 D 選項.
故選：A
變式 5-3．設函數 ( ) = | ― 1| ―2| + 1|．
(1)作出函數 ( )的圖象；
(2)若 ( )的最大值為 ，正實數 , , 滿足 + 2 2 +3 + 6 = ，求 + 3 + 3 的最小值．
【答案】(1)圖象見解析
(2)2 2
【分析】（1）分別在 ≤ ―1、 ―1 < < 1及 ≥ 1的情況下，討論得到 ( )的解析式，由此可得函數圖象；
（2）結合圖象可確定 = 2，化簡已知等式得到( + 2 )( + 3 ) = 2，根據 + 3 + 3 = ( + 2 ) +
( + 3 )，利用基本不等式可求得結果.
【詳解】（1）當 ≤ ―1時， ( ) = ― + 1 + 2( + 1) = + 3；
當 ―1 < < 1時， ( ) = 1 ― ― 2( + 1) = ―3 ― 1；
當 ≥ 1時， ( ) = ― 1 ― 2( + 1) = ― ― 3；
作出 ( )的圖象如下圖所示，
（2）由（1）可知：當 = ―1時， ( )max = 2，即 = 2，
∴ + 2 2 +3 + 6 = 2，即( + 2 ) + 3 ( + 2 ) = ( + 2 )( + 3 ) = 2，
∴ + 3 + 3 = ( + 2 ) + ( + 3 ) ≥ 2 ( + 2 )( + 3 ) = 2 2（當且僅當 + 2 = + 3 ，即
+ = 3 時等號成立），
∴ ( + 3 + 3 )min = 2 2.
【方法技巧與總結】
, ≥ 0
畫含絕對值的函數圖象，可以利用| | = ― , < 0，把函數轉化為分段函數，再把分段函數畫出.
【題型六：與分段函數有關的值域問題】
1
例 6 ― , < 1．已知函數 ( ) = 2 ，若 ( )值域為 ― ,2 ，則實數 的取值范圍是（ ） ― , ≤ ≤ 2 4
A．[ ―1,0] B． ― 1 ,0
2
C． ―1, ― 1 D． ―∞, ― 1
2 2
【答案】C
1
【分析】根據分段函數 ( )的解析式、 ( )的值域、 = ― ( ≤ 2), =
2 ― ( ≤ 2)的圖象來求得 的取值
范圍.
1 2
【詳解】當 = 2時， (2) = 4 ― 2 = 2, ( ) = 2 ― = ― ―
1
4 ≥ ―
1
2 4，
∵ 1 1( ) 1值域為 ― ,2 , ∴ 當 < 時，由 ( ) = ―
4
= 2，得 = ― 2，
由 ( ) = 2 ― = 2，得 2 ― ― 2 = 0，解得 = 2或 = ― 1，
1
作出 = ― ( ≤ 2), =
2 ― ( ≤ 2)的圖象如下圖所示，
1 1
由圖象可得： ―1 ≤ ≤ ― 2，即實數 的取值范圍是 ―1, ― .2
故選：C.
6-1 ( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2變式 ．已知函數 + 1, ≥ 2 的值域為R，則 的取值范圍是（ ）
A 1 , 1 B 1 , + ∞ C 1 1． ． ． ―∞, D． , + ∞
3 2 3 3 2
【答案】D
( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2【分析】根據分段函數 + 1, ≥ 2 的值域為R，結合分段函數性質，列出相應的不等式
組，即可求得答案.
【詳解】由題意知當 ≥ 2時， ( ) = + 1 ≥ 3，
( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2故要使函數 + 1, ≥ 2 的值域為R，
3 ― 1 > 0 1
需滿足 (3 ― 1) × 2 + 4 ≥ 3 ，解得 ≥ 2，
1
故 的取值范圍是 , + ∞ ，
2
故選：D
(1 ― 2 ) + 3 , < 1
變式 6-2．已知函數 ( ) = ― 1 , ≥ 1 的值域為R，那么 a 的取值范圍是（ ）

A．( ―∞, ― 1] B． ―1, 1 C 1． ―1, D．(0,1)
2 2
【答案】C
【分析】根據解析式得出 ( )在 ∈ [1, + ∞) 1 ― 2 > 0上有 ( ) ≥ 0，由題意可得 1 ― 2 + 3 ≥ 0 ，然后求解即可.
1
【詳解】當 ≥ 1時， ( ) = ― 單調遞增，所以 ( )在 ∈ [1, + ∞)上有 ( ) ≥ 0，
(1 ― 2 ) + 3 , < 1
所以要使函數 ( ) = ― 1 , ≥ 1 的值域為R，

1 ― 2 > 0 1
則需 1 ― 2 + 3 ≥ 0 ，解得 ―1 ≤ < 2.
故選：C
6-3 ( ) = 1 ― , ― 1 ≤ < 0變式 ．已知函數 | ― 1|,0 ≤ ≤ 的值域是[0,2]，則實數 的取值范圍是（ ）
A．(0,1] B．[1,3] C．[1,2] D．[2,3]
【答案】B
【分析】先求出當 ―1 ≤ < 0時， ( )的值域為(1,2].由題意可知，當0 ≤ ≤ 時， ( ) = | ― 1| = 0有
解，此時 = 1，所以1 ∈ [0, ]，故 ≥ 1，然后根據 ( ) = | ― 1|的單調性對 分1 ≤ ≤ 2和 > 2兩種情況
進行討論即可求解.
【詳解】解：由題意，當 ―1 ≤ < 0時， ( ) = 1 ― ∈ (1,2]，
又函數 ( ) = 1 ― , ― 1 ≤ < 0| ― 1|,0 ≤ ≤ 的值域是[0,2]，
當0 ≤ ≤ 時， ( ) = | ― 1| = 0有解，此時 = 1，所以1 ∈ [0, ]，所以 ≥ 1，
≥ 1 ( ) = | ― 1| = 1 ― ,0 ≤ ≤ 1當 時， ― 1,1 < ≤ 在[0,1]上單調遞減，在[1, ]上單調遞增，
又 (0) = 1, (1) = 0, ( ) = | ― 1|，
①若1 ≤ ≤ 2，則| ― 1| ≤ 1，所以 ( ) ∈ [0,1]，此時[0,1] ∪ (1,2] = [0,2]，符合題意；
②若 > 2，則| ― 1| > 1，所以 ( ) ∈ [0,| ― 1|]，要使[0,| ― 1|] ∪ (1,2] = [0,2]，
只須| ― 1| ≤ 2，即2 < ≤ 3；
綜上，1 ≤ ≤ 3.
故選：B.
【方法技巧與總結】
1 處理與分段函數有關的值域問題，往往可以采取數形結合或分離討論的方法，在其中函數的單調性往往
很重要.
2 對于分段函數的值域，應該是兩段的值域并到一起，定義域也是兩段并到一起，單調區間也是兩段的區
間總和．二次函數找最值一般情況要和對稱軸比較，討論軸和區間的關系．
【題型七：與分段函數的最值問題】
2 ― 2 ― 2, ≤ 2,
例 7．已知函數 ( ) = + 36 ― 6 , > 2, 若 ( )的最小值為 (2)，則實數 a 的取值范圍為（ ）

A．[2,5] B．[2, + ∞) C．[2,6] D．( ― ∞,5]
【答案】A
【分析】分別求解分段函數在每一段定義區間內的最小值，結合函數在整體定義域內的最小值得到關于 a
的不等式組，解不等式組得到 a 的取值范圍.
36
【詳解】當 > 2時， + ―6 ≥ 2
36 ―6 = 12 ― 6 ，當且僅當 = 6時，等號成立，

即當 > 2時，函數 ( )的最小值為12 ― 6 ；
當 ≤ 2時， ( ) = 2 ―2 ― 2，
要使得函數 ( )的最小值為 (2)，
≥ 2,
則滿足 (2) = 2 ― 4 ≤ 12 ― 6 , 解得2 ≤ ≤ 5．
故選：A．
變式 7-1．函數 ( ) = (1 ― )| ― 3|在( ―∞, )上取得最小值 ―1，則實數 的取值范圍是
A．( ―∞,2) B．[2 ― 2,2] C．[2,2 + 2] D．[2, + ∞)
【答案】C
― 2 + 4 ― 3, ≥ 3
【分析】現將 ( )整理為分段函數的形式，即 ( ) = { 2 ― 4 + 3, < 3 ，畫出函數圖象，根據圖象判定
的位置
(1 ― )( ― 3), ≥ 3 ― 2 + 4 ― 3, ≥ 3
【詳解】由題，將 ( ) = {(1 ― )(3 ― ), < 3，即 ( ) = { 2 ― 4 + 3, < 3 ，則可得到函數圖象如下，
根據圖象可得當 ≥ 3時， ( ) = ― 2 +4 ― 3 = ―1，則 = 2 + 2 2；當 < 3時， ( ) = 2
―4 + 3 = ―1，則 = 2，故2 ≤ ≤ 2 + 2，故選 C
【點睛】本題考查零點分段法得分段函數，以及圖象法解決函數最值問題
( - )2, ≤0
變式 7-2．設 ( )= + 1 + +4, >0 ，若 (0)是 ( )的最小值，則 的取值范圍為（ ）

A．[0,3] B．(0,3) C．(0,3] D．[0,3)
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求得 ( )在(0,+∞)上的最小值，結合已知條件可得出關于實數 的不等式，即可
得出實數 的取值范圍.
【詳解】當 >0 1時，由基本不等式可得 ( )= + + +4≥2
1+ +4= +6，

當且僅當 =1時，等號成立；
當 ≤0時，由于 ( )≥ (0)，則 ≥0，
由題意可得 ( )min= (0)= 2≤ +6，即 2- -6≤0，解得-2≤ ≤3，故0≤ ≤3.
因此，實數 的取值范圍是[0,3].
故選：A.
變式 7-3．已知 ( ) = 1 ― | + 1|, < 0 2 ― 2 , ≥ 0 ，若實數 ∈ [ ―2,0]，則| ( ) ― ― 1 |在區間[ , + 1]上的最大2
值的取值范圍是（ ）
A 1 , 5 B 1 , 3 C 1． ． ． , 3 D 1． ,2
4 4 4 2 2 2 2
【答案】C
1
【分析】作出函數 ( )的圖象，將問題轉化為函數 ( )上的點到直線 = 2的距離，在區間[ , + 1]上的最
大值問題，然后觀察圖象可得.
【詳解】作出函數 ( )的圖象如圖：
1 1 1
因為 ― = 1 ― | ― + 1| = 2，2 2
因為 ∈ [ ―2,0]，所以[ , + 1] [ ―2,1]，
| 1 | = 1 ( ) ― ― 表示函數 ( )上的點到直線 2的距離，2
由圖可知，當 = 1時，| 3 ( ) ― ― 1 |取得最大值，最大值為2 2；
當 ∈ [ ―2, ― 1]時， ―1 ∈ [ , + 1]，
1 1
結合圖象可知，在區間[ , + 1]上總有| ( ) ― ― | ≤ | (1) ― ― 1 = ，2 2 | 2
1
所以，此時| ( ) ― ― 1 |的最大值為2 2；
當 ∈ ( ―1,0]時，由圖可知，| ( ) ― ― 12 | ≤ | ( + 1) ― ― 1 ，2 |
且| 1 ( + 1) ― ― 1 | > 2.2
綜上，| ( ) ― ― 1 |在區間[ , + 1] 1 3上的最大值的取值范圍為 , .2 2 2
故選：C
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查分段函數圖象的運用，關鍵在于作圖和簡問題轉化為在區間上點到直線
的距離的最值問題.
【方法技巧與總結】
1 處理與分段函數有關的最值問題，往往可以采取數形結合或分離討論的方法，在其中函數的單調性往往
很重要；
2 結合分段函數的圖象的話，要把問題進行等價轉化，注意如何才能使得圖象取到最值或在哪里取到等.
【題型八：其他分段函數的性質及應用】
8 max = ， ≥ 例 ．定義 ， < ，若函數 ， ( ) = max ―
2 + 3 ，| ― 3| ，若 ( )在區間[ , ]上的值域
5
為 ，3 ，則區間[ , ]長度的最大值為（ ）4
A 6 B 5 7 7． ．2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根據題意求 ( )的解析式并作出圖象，結合圖象求出 ― 的最大值，即可得解.
【詳解】令 ― 2 +3 > | ― 3|，則有：
當 ≥ 3時，則 ― 2 +3 > ― 3，即 2 ―2 ― 3 = ( + 1)( ― 3) < 0當 ≥ 3不成立；
當 < 3時，則 ― 2 +3 > 3 ― ，解得1 < < 3；
∴ ( ) = ―
2 + 3 , ∈ (1,3)
| ― 3|, ∈ ( ―∞,1] ∪ [3, + ∞) ，如圖所示：
令 ― 2 +3 = 5 5 14，解得 = 2或 = 2（舍去），
= 5 17 7令| ― 3| 4，解得 = 4 或 = 4（舍去），
令| ― 3| = 3，解得 = 0或 = 6，
∵ ( )在區間[ , ] 5 5上的值域為 ,3 ，則[ , ] = 0, 或[ , ] = 17 ,6 ，
4 2 4
∵5 ―0 = 5 > 7 = 6 ― 17又 2 2 4 4 ，
5
故區間[ , ]長度的最大值為2.
故選：B.
28-1 ( ) = ― 8 + 8, ≥ 0變式 ．已知函數 2 + 4, < 0 ．若互不相等的實根 1, 2, 3滿足 ( 1) = ( 2) = ( 3)，則
1 + 2 + 3的范圍是（ ）
A．(2,8) B．( ― 8,4) C．( ― 6,0) D．( ― 6,8)
【答案】A
【分析】根據函數圖象有三個實數根的函數值在( ―8,4)之間，第一段函數關于 = 4對稱，即可求出 2 +
3 = 8，再根據圖象得到 1的取值范圍，即可得到答案.
【詳解】根據函數的解析式可得如下圖象
若互不相等的實根 1, 2, 3滿足 ( 1) = ( 2) = ( 3)，根據圖象可得 2與 3關于 = 4，則 2 + 3 = 8，當2
1 +4 = ―8時，則 1 = ―6是滿足題意的 1的最小值，且 1滿足 ―6 < 1 < 0，
則 1 + 2 + 3的范圍是(2,8).
故選：A.
1,
變式 8-2．德國數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名函數 = ( ) = 為有理數0, ，該函數為無理數
被稱為狄利克雷函數，關于狄利克雷函數有如下四個命題：
① ( ( )) = 0；②對任意 ∈ R，恒有 ( ) = ( ― )成立；
③任取一個不為零的有理數 ， ( + ) = ( )對任意實數 均成立；
④存在三個點 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))， ( 3, ( 3))，使得 △ 為等邊三角形；
其中正確的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③
【答案】B
【分析】根據狄利克雷函數的定義分別驗證 為無理數和為有理數兩種情況，判斷①②③；結合狄利克雷
函數的定義找特殊點驗證④.
【詳解】對①，當 為無理數時， ( ) = 0，所以 ( ( )) = (0) = 1，
當 為有理數時， ( ) = 1，所以 ( ( )) = (1) = 1，所以對任意 ∈ R，恒由 ( ( )) = 1，所以①錯
誤；
對②，當 為無理數時， ― 為無理數，所以 ( ) = ( ― ) = 0，
當 為有理數時， ― 為有理數，所以 ( ) = ( ― ) = 1，所以②正確；
對③，任取一個不為零的有理數 ，當 為無理數時，則 + 為無理數，
所以 ( ) = ( + ) = 0，
當 為有理數時，則 + 為有理數，所以 ( ) = ( + ) = 1，
所以任取一個不為零的有理數 ， ( + ) = ( )對任意實數 均成立，③正確；
對④， 1 = ― 3， 2 = 0 3， 3 = ，得 3 3 ( 1) = 0， ( 2) = 1， ( 3) = 0，
所以 ― 3 ,0 ， (0,1)， 3 ,0 ，此時 △ 為等邊三邊形，故④正確；
3 3
綜上：命題②③④正確.
故選：B.
2
變式 8-3．已知函數 ( ) = ― , ≥ ―1,― + , < ―1. 若 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，則實數
的取值范圍是 ．
【答案】 ―∞, ― 1 ∪ (0, + ∞)
2
1
【分析】由題意可得函數在R上不單調，分 > 0, ― 2 ≤ < 0, < ―
1
2，結合二次函數的性質，作出圖象即
可.
【詳解】當 = 0時，可得 ( ) = ― ，易知在 R 上單調遞減，不滿足題意；
1
當 ≠ 0時，當 ≥ ―1時， ( ) = 2 ― ，對稱軸為 = 2 ，
當 < ―1時， ( ) = ― + ，此時函數在( ―∞,1)上單調遞減;
當 > 0 1時， = 2 > 0，
當 ≥ ―1時，開口向上，大致圖象如圖所示：
1 1
所以函數在 ―∞, 上單調遞減，在 , + ∞ 上單調遞增，
2 2
所以 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，滿足題意;
當 <0時：
當 ≥ ―1 1時，函數的開口下，對稱軸 = 2 < 0，
① ―1 < 1 < 0 < ― 1當 2 ，即 2時，
易知函數在( ―∞, ― 1) 1和 ,0 上單調遞減，在 ―1, 1 上單調遞增，
2 2
大致圖象如圖所示：
由此可知 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，滿足題意;
② 1 1當2 ≤ ―1時，即 ― 2 ≤ < 0時，
此時函數的大致圖象如圖所示：
易知函數在 R 上單調遞減，
所以不存在 1, 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立;
綜上， 1的取值范圍為： ―∞, ― ∪ (0, + ∞)，
2
故答案為： ―∞, ― 1 ∪ (0, + ∞).
2
【點睛】方法點睛: 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，分段函數的圖象和性質，正確理解分段
函數的單調性，是解答的關鍵．對于分段函數的值域，應該是兩段的值域并到一起，定義域也是兩段并到
一起，單調區間也是兩段的區間總和．二次函數找最值一般情況要和對稱軸比較，討論軸和區間的關系．
【方法技巧與總結】
處理與分段函數有關的函數性質問題，往往可以采取數形結合或分離討論的方法，在其中掌握函數的單調
性是關鍵.
一、單選題
1 ( ) = 2
, > 0
．已知函數 ( + 2), ≤ 0 ，則 ( ―3) = （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根據分段函數解析式，代入求值即可.
【詳解】由函數可得， ( ― 3) = ( ― 1) = (1) = 21 = 2.
故選：B.
2
2.已知 ( ) = ― + 2 , ≥ 0 2 + 2 , < 0 ，滿足 ( ) < ( ― )，則 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞, ― 2) ∪ (0,2) B．( ―∞, ― 2) ∪ (2, + ∞)
C．( ―2,0) ∪ (0,2) D．( ―2,0) ∪ (2, + ∞)
【答案】D
【分析】由題，分 < 0， > 0兩種情況討論求解即可.
【詳解】解：當 < 0時， ( ) = 2 +2 , ( ― ) = ― 2 ―2 ，
所以 ( ) < ( ― ) 2 +2 < ― 2 ―2 ，即 2 +2 < 0，解得 ―2 < < 0，
當 > 0時， ( ) = ― 2 +2 , ( ― ) = 2 ―2 ，
所以 ( ) < ( ― ) ― 2 +2 < 2 ―2 ，即 2 ―2 > 0，解得 > 2，
所以， 的取值范圍是( ―2,0) ∪ (2, + ∞)
故選：D
| ― 1|, ≥ 0
3.已知函數 ( ) = 2 , < 0 ，若 ( ) = ( + 1).則 ( ―2 ) = （ ）

A． ―1 B． ―2 C． ―3 D． ―4
【答案】B
【分析】利用分段函數解析式及函數性質先確定參數范圍，再計算參數值，代入對應解析式求函數值即可.
2 2
【詳解】易知 < 0 ≤ | ― 1|，且 = 在( ―∞,0)上單調遞減，作出函數圖象如下：
1
所以 ≥ 0 ( ) = | ― 1| = ( + 1) = | | ≤ (0) = 1 = 2，
所以 ( ―2 ) = ( ―1) = ―2.
故選：B
4.如圖所示，在直角坐標系的第一象限內， △ 是邊長為 2 的等邊三角形，設直線 = (0 ≤ ≤ 2)截這
個三角形可得位于此直線左方的圖象的面積為 ( )，則函數 = ( )的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據條件列出分段函數 ( )的解析式，再判斷函數的圖象.
1
【詳解】當0 ≤ ≤ 1時， ( ) = 2 3 =
3 2，此段為開口向上的拋物線的一部分，
2
當1 < ≤ 2時， 1( ) = 2 × 2 × 3 ―
1
2 × (2 ― ) × 3 × (2 ― ) = ―
3 2 +2 3 ― 3，2
此段為開口向下的拋物線的一部分，對稱軸為 = 2，
滿足條件的只有 C.
故選：C
5. ( ) = 3 + 1， ≤ 1已知函數 2 ― 1 > 1 ，若 > ，且 ( ) = ( )，設 = ― ，則 的最大值為（ ），
A 19．12 B ―1 C
17 4
． 5 ．12 D．3
【答案】C
【分析】借助分段函數 ( )圖象得出 , 的范圍，由 , 的關系，化 = ― 為關于 的二次函數，由此可
得最大值．
( ) = 3 + 1， ≤ 1【詳解】作出函數 2 ― 1 > 1 的圖象如下圖， ，
(1) = 4，令 ( ) = 4，解得 = 1或 = 5，
若 > ，且 ( ) = ( )，即有 ≤ 1， 5 ≥ > 1，
可得3 + 1 = 2 ―1 1，可得 = 3(
2 ― 2)，
則 = ― = ― 1( 2
1 2
3 ― 2) = ―
2
3 + + 3，1 < ≤ 5，
3
對稱軸為 = 2，
∴ = 3 17當 2時， 取最大值12．
故選：C．
6.設符號 { ， ， }表示 , , 中的最小者，已知函數 ( )＝ {| ﹣2|, 2,| + 2|}則下列結論正確的是
（ ）
A． ∈ [0, + ∞), ( ― 2) > ( ) B． ∈ [1, + ∞), ( ― 2) > ( )
C． ∈ , ( ( )) ≤ ( ) D． ∈ , ( ( )) > ( )
【答案】C
【分析】分別畫出 = | ― 2|, = 2, = | + 2|的圖象，分別判斷四個選項，結合圖象即可選出正確選項.
2
: : ( ) = , ∈ [0,1]【詳解】解 如圖所示 由題意可得 中， | ― 2|, ∈ (1, + ∞) .
中，當1 ≤ ≤ 2時，﹣1 ≤ ﹣2 ≤ 0， ( ― 2)＝ (2 ― ) ≤ 2 ― ＝ ( ).
當2＜ ≤ 3時，0＜ ― 2 ≤ 1， ( ― 2) ≤ ― 2 = ( ).
當3＜ ≤ 4時，1 < ― 2 ≤ 2， ( ― 2) = 2 ― ( ― 2) = 4 ― ≤ ― 2 = ( ).
當 ≤ 4, ― 2 ≥ 2，恒有 ( ― 2) < ( )，所以 不正確， 也不正確；
中，從圖象上看， ∈ [0, + ∞), ( ) ≤ .令 = ( )，則 ≥ 0
所以 ( ) ≤ ，即 ( ( )) ≤ ( )，故 正確， 不正確.
故選:C.
【點睛】本題考查了函數圖象的應用，考查了分段函數.本題關鍵是分別畫出三個函數的圖象.在畫 =
| ( )| 的函數圖象時，一般地，先畫出 = ( ) 的圖象，再將 軸下方的圖象向上翻折即可.
2
7.設函數 ( ) = ( ― ) ， ≤ 0 2 ― 2 + 3 + > 0 ，若 (0)是函數 ( )的最小值，則實數 a 的取值范圍是( )，
A．[﹣1，2] B．( ―1,2) C．[0,2) D．[0，2]
【答案】D
【分析】通過分類討論 的取值范圍，并利用一元二次函數的性質即可求解.
【詳解】由題意，不妨設 ( ) = ( ― )2， ( ) = 2 ―2 + 3 + ，
①當 < 0時，由一元二次函數的性質可知， ( ) = ( ― )2在[ ,0]上單調遞增，
故對于 ∈ [ ,0]， ( ) = ( ) < (0) = (0)，這與 (0)是函數 ( )的最小值矛盾；
②當 = 0時， ( ) = 2， ( ) = 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2，
由一元二次函數的性質可知， ( ) = 2在( ― ∞,0]單調遞減，
故對于 ∈ ( ― ∞,0]， ( ) = ( ) > (0) = (0) = 0，
當 > 0時， ( ) = ( ) = 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2在 = 1時取得最小值 2，
從而當 = 0時，滿足 (0)是函數 ( )的最小值；
③當 > 0時，由一元二次函數性質， ( ) = ( ― )2在( ― ∞,0]上單調遞減，
故對于 ∈ ( ― ∞,0]， ( ) = ( ) > (0) = (0) = 2，
當 > 0時， ( ) = ( ) = 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2 + 在 = 1時取得最小值2 + ，
若使 (0)是函數 ( )的最小值，只需 2 ≤ 2 + 且 > 0，解得，0 < ≤ 2.
綜上所述，實數 a 的取值范圍是[0,2].
故選：D.
8.設函數 = ( ) R ( ), ( ) > 在 上有定義，對于任一給定的正數 ，定義 ( ) = , ( ) ≤ 則稱函數 = ( )為
= ( )的“ 下界函數”．若給定 ( ) = 2 ―2 ― 1， = 2，則下列結論不正確的是（ ）
A． ( (0)) > (0) B． ( (1)) > (1)
C． ( (2)) = (2) D． ( (3)) > (3)
【答案】D
【分析】根據已知條件求出 2( )的解析式，再分別求函數值即可得正確選項.
【詳解】因為 ( ) = 2 ―2 ― 1， = 2，
由 ( ) > 即 2 ―2 ― 1 > 2，可得 2 ―2 ― 3 > 0，解得： < ―1或 > 3，
由 ( ) < 即 2 ―2 ― 1 < 2，可得 2 ―2 ― 3 < 0，解得： ―1 < < 3，
2
( ) = ― 2 ― 1, ∈ ( ―∞, ― 1) ∪ (3, + ∞)所以 2 2, ∈ [ ―1,3]
對于 A： (0) = ―1， 2( (0)) = 2( ―1) = 2， 2(0) = 2， (0) = (2) = ―1，
所以 ( (0)) > (0) 成立，
對于 B： (1) = ―2， 2( (1)) = 2( ―2) = ( ―2)2 ―2 × ( ―2) ―1 = 7，
2(1) = 2， ( 2(1)) = (2) = 22 ―2 × 2 ― 1 = ―1，所以 ( (1)) > (1) 成立，
對于 C： (2) = 22 ―2 × 2 ― 1 = ―1， ( (2)) = ( ―1) = ( ―1)2 ―2 × ( ―1) ―1 = 2，
2(2) = 2， 2( 2(2)) = 2(2) = 2，所以 ( (2)) = (2) 成立，
對于 D： (3) = 32 ―2 × 3 ― 1 = 2， ( (3)) = (2) = ―1，
2(3) = 2， 2( 2(3)) = 2(2) = 2，所以 ( (3)) > (3) 不成立，
所以選項 D 不正確，
故選：D.
二、多選題
9．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，計費辦法如下表：
每戶每月用水量 (m3) 水價
不超過12m3的部分 3 元/m3
超過12m3但不超過18m3的部分 6 元/m3
超過18m3的部分 9 元/m3
則下列說法正確的是（ ）
A．若某戶居民某月用水量為10m3，則該用戶應繳納水費 30 元
B．若某戶居民某月用水量為16m3，則該用戶應繳納水費 96 元
C．若某戶居民某月繳納水費 54 元，則該用戶該月用水量為15m3
D．若甲、乙兩戶居民某月共繳納水費 93 元，且甲戶該月用水量未超過12m3，乙戶該月用水量未超過
18m3，則該月甲戶用水量為9m3（甲，乙兩戶的月用水量均為整數）
【答案】AC
【分析】根據表格中的“階梯水價”，逐一選項進行計算并判斷正誤即可
【詳解】對于 A 選項，居民用水量未超過 12m3，則按 3 元/m3計算，故應繳水費為3 × 10 = 30元，故 A
選項正確；
對于 B 選項，居民用水量超過 12m3，但未超過18m3，因此其中 12m3，按 3 元/m3計算；剩余的4m3，按
6 元/m3計算；故應繳水費為3 × 12 + 4 × 6 = 60元，故 B 選項錯誤；
對于 C 選項，根據居民所繳水費，可以判斷居民用水量超過 12m3，但未超過18m3，設居民用水量為 ，
則有3 × 12 + 6 × ( ― 12) = 54，解得： = 15，故 C 選項正確；
對于 D 選項，根據題意，設甲居民用水量為 ，乙居民用水量為 ，則根據已知條件可得：3 + 3 × 12 + 6
( ― 12) = 93，整理可得： + 2 = 43.通過方程無法確定甲居民用水量一定為9m3，故 D 選項錯誤.
故選：AC
2 210. ( ) = , ≥ 1已知函數 ( + 1), < 1 ，則下列正確的是（ ）
A． [ (0)] = 8 B． [ (1)] = 2
4
C． 3 = 81 2 D． ( )的值域為 0,
1
2 2
【答案】AC
【分析】對于 ABC：根據分段函數解析式運算求解；對于 D 通過特值可排除，即可得到答案.
【詳解】對于選項 A：因為 (0) = (1) = 2，
所以 [ (0)] = (2) = 2 × 22 = 8，故 A 正確；
對于選項 B，因為 (1) = 2，所以 [ (1)] = (2) = 2 × 22 = 8，故 B 錯誤；
C 3 = 2 × 3
2
= 9 3 = 9 = 2 × 9
2 81
對于選項 ：因為 2 2，所以
=
2 2 2 2 2
，故 C 正確；
1
對于選項 D：因為 (2) = 8 (0,2]，故 D 錯誤；
故選：AC.
11. R A ( ) = 1, ∈ 已知全集為 ，對于給定數集 ，定義函數 0, 為集合 A 的特征函數，若函數 ( )是數集 A
的特征函數，函數 ( )是數集 B 的特征函數，則（ ）
A． = ( ) ( )是數集 ∩ 的特征函數
B． = ( ) + ( ) ― ( ) ( )是數集 ∪ 的特征函數
C． = ( ) ― ( ) ( )是數集 ∩ ( R )的特征函數
D． = ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( )是集合 R( ∩ )的特征函數
【答案】ABC
【分析】根據特征函數的定義，一一驗證選項中的函數是否滿足特征函數的定義，即可判斷出答案.
【詳解】對于 A，由集合 A 的特征函數的定義可知 A 不為空集，
則 ∩ 不為空集，如圖示：Ⅰ部分表示 ∩ ，Ⅱ表示 ∩ ( R )，
Ⅲ表示表示 ∩ ( R )，Ⅳ表示( R ) ∩ ( R )，
，
當 ∈ ∩ 時， ( ) = 1, ( ) = 1，故 ( ) ( ) = 1，
當 ∩ 時， ( ), ( )中至少有一個為 0,，此時 ( ) ( ) = 0，
符合特征函數的定義，即 = ( ) ( )是數集 ∩ 的特征函數，A 正確；
對于 B，當 ∈ ∪ 時，如上圖，
若 x 取值在Ⅰ部分，則 ( ) = 1, ( ) = 1，則 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 1；
若 x 取值在Ⅱ部分，則 ( ) = 1, ( ) = 0，則 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 1；
若 x 取值在Ⅲ部分，則 ( ) = 0, ( ) = 1，則 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 1，
當 ∪ 時， ( ) = 0, ( ) = 0，則 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 0，
符合特征函數的定義，即 = ( ) + ( ) ― ( ) ( )是數集 ∪ 的特征函數，B 正確；
對于 C，當 ∈ ∩ ( R )時， ( ) = 1, ( ) = 0，則 ( ) ― ( ) ( ) = 1；
當 ∩ ( R )時，即 x 取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分，
若 x 取值在Ⅰ部分， ( ) = 1, ( ) = 1，則 ( ) ― ( ) ( ) = 0，
若 x 取值在Ⅲ部分， ( ) = 0, ( ) = 1，則 ( ) ― ( ) ( ) = 0，
若 x 取值在Ⅳ部分， ( ) = 0, ( ) = 0，則 ( ) ― ( ) ( ) = 0，
故此時符合特征函數的定義，即 = ( ) ― ( ) ( )是數集 ∩ ( R )的特征函數，C 正確；
對于 D，當 ∈ R( ∩ )時，即 x 取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分，
當 x 取值在上圖中Ⅳ部分時，此時 ( ) = 0, ( ) = 0，則 ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( ) = 0，
不符合特征函數定義，故 = ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( )不是集合 R( ∩ )的特征函數，D 錯誤，
故選：ABC
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于要理解集合 A 的特征函數的定義，明確其含義，從而結合定義去
判斷一個函數是否為一個數集的特征函數.
三、填空題
2 2 + 3, ∈ [ ―6, ― 1)
12．已知 ( ) = 1 , ∈ [ ―1,1) 則 ( 2) = ．
, ∈ [1,6]
【答案】 2
【分析】根據分段函數的定義求解即可.
【詳解】因為 2 ∈ [1,6]，所以 ( 2) = 2，
故答案為： 2.
13.給定函數 ( ) = + 2， ( ) = 4 ― 2，對于 ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的較小者，記為 ( ) =
min{ ( ), ( )}，則 ( )的最大值為 .
【答案】3
【分析】作出函數 ( ), ( )的圖象，根據定義作出 ( )的圖象，求出交點 B 的坐標即可得解.
【詳解】作出函數 ( ), ( )的圖象如圖：
根據定義可得 ( )的圖象如圖：
= + 2 = ―2 = 1
由 = 4 ― 2 解得 = 0 或 = 3 ，得 (1,3)，
所以 ( )的最大值為 3.
故答案為：3
14. 已 知 關 于 實 數 ( ―1 ≤ ≤ 1)的 方 程 | ― 1| + | ― 2| = 和 | ― 1| ― | ― 2| = 對 任 意 1, 2
( ―1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1)有解，則 + 的值的集合為 ．
【答案】{2}
【分析】
構造函數 ( ) = | ― 1| + | ― 2|與 ( ) = | ― 1| ― | ― 2|，分類討論 的取值范圍，分別作出 ( ), ( )的圖
像，分析它們的值域，從而確定 , 的值，由此得解.
【詳解】
因為 ―1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1，則0 ≤ 1 ― 2 ≤ 2，
―2 + 1 + 2, ― 1 ≤ ≤ 2
令 ( ) = | ― 1| + | ― 2| = 1 ― 2, 2 < < 1 ，
2 ― 1 ― 2, 1 ≤ ≤ 1
其圖象如圖所示，其值域為[ 1 ― 2,max{ ―2 + 1 + 2,2 ― 1 ― 2}]，
由 1 ― 2 ∈ [0,2]可知 ≥ 2；由( ―2 + 1 + 2)max ≥ 2或(2 ― 1 ― 2)max ≥ 2可知 ≤ 2；
所以 = 2．
1 ― 2, ― 1 ≤ ≤ 2
令 ( ) = | ― 1| ― | ― 2| = 1 + 2 ― 2 , 2 < < 1 ，
2 ― 1, 1 ≤ ≤ 1
其圖象如圖所示，其值域為[ 2 ― 1, 1 ― 2]，
由 2 ― 1 ≤ 0可知 ≥ 0；由 1 ― 2 ≥ 0可知 ≤ 0；
所以 = 0．
綜上： = 2, = 0, + = 2，
故答案為：{2}．
四、解答題
3 + 5, ≤ 0
15．已知函數 ( )的解析式為 ( ) = + 5,0 < ≤ 1 .
―2 + 8, > 1
(1)求 3 1， ， ( ―1)的值；
2 π
(2)畫出這個函數的圖象；
【答案】(1)5 5π+1； π ；2
(2)答案見解析；
【分析】（1）根據分段函數函數值的求法直接計算；
（2）根據分段函數的定義可畫出函數圖象；
（3）根據函數圖象可得最值.
3 3 3
【詳解】（1） ∵ 2 > 1， ∴ = ―2 × 2 +8 = 5；2
∵ 0 < 1 ≤ 1 ∴ 1 = 1 +5 = 5π+1π ， π π π ；
∵ ―1 < 0， ∴ ( ―1) = 3 × ( ―1) +5 = 2；
（2）此分段函數的圖象如圖所示．
在函數 = 3 + 5的圖象上截取 ≤ 0的部分，
在函數 = + 5的圖象上截取0 < ≤ 1的部分，
在函數 = ―2 + 8的圖象上截取 > 1的部分，
圖中實線組成的圖形就是函數 = ( )的圖象；
16.已知函數 ( ) = 2| ― 2| + | + 1|.
(1)畫出 ( )的圖像；
(2)請根據 ( )的圖像直接寫出 ( ) > 4的解集（無需說明理由）.
【答案】(1)圖象見解析
(2) | < 1或 > 73
【分析】（1）利用零點分段法，得到分段函數 ( )，再畫出函數的圖象；
（2）根據分段函數，分段解不等式即得.
【詳解】（1）當 < ―1時， ( ) = 2(2 ― ) + ( ― ― 1) = ―3 + 3；
當 ―1 ≤ ≤ 2時， ( ) = 2(2 ― ) + + 1 = ― + 5；
當 > 2時， ( ) = 2( ― 2) + + 1 = 3 ― 3；
―3 + 3, < ―1
故 ( ) = ― + 5, ― 1 ≤ ≤ 2 ，函數圖象如圖所示：
3 ― 3, ≥ 2
.
（2）由題得，當 < ―1時， ―3 + 3 > 4，解得 < ― 13，則 < ―1；
當 ―1 ≤ ≤ 2時， ― + 5 > 4，解得 < 1，則 ― 1 ≤ <1；
當 > 2時，3 ― 3 > 4，解得 > 7 73，則 > 3；
綜上， ( ) > 4的解集為 | < 1 7或 > .3
17.水培植物需要一種植物專用營養液，已知每投放 (0 < ≤ 4且 ∈ R)個單位的營養液，它在水中釋放的
2+
， ∈ [0，4]
濃度 (克/升)隨著時間 (天)變化的函數關系式近似為 = ( )，其中 ( ) = 6―
5 ― 1
，若多

2 ，
∈ (4，10]
次投放，則某一時刻水中的營養液濃度為每次投放的營養液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當
水中營養液的濃度不低于4(克/升)時，它才能有效．
(1)若只投放一次 4 個單位的營養液，則有效時間最多可能持續幾天？
(2)若先投放 2 個單位的營養液，6 天后再投放 個單位的營養液，要使接下來的 4 天中，營養液能夠持續
有效，試求 的最小值．
【答案】(1)6 天
(2)2
【分析】（1）根據給定函數，列出不等式求解作答.
（2）求出兩次投放營養液在水中釋放的濃度，由已知列出恒成立的不等式，分離參數借助均值不等式求
出最值作答.
【詳解】（1）因為一次投放 4 個單位的營養液，所以水中釋放的營養液濃度為 ( ) = 4 =
8+4 ,0 ≤ ≤ 4
6― ， ．
20 ― 2 ,4 < ≤ 10
0 ≤ ≤ 4 8+4 當 時， 6― ≥ 4，解得2 ≤ ≤ 4； ．
當4 < ≤ 10時，20 ― 2 ≥ 4，解得4 < ≤ 8； ．
綜上求得2 ≤ ≤ 8，
所以一次投放 4 個單位的營養液，則有效時間可持續 6 天． ．
（2）設從第一次投放起，經過 x（6 ≤ ≤ 10）天后，濃度為 ( ) = 2 5 ― 1 + 2+ ―6
2 6―( ―6)
= 10 ― + ―412― ．
因為6 ≤ ≤ 10，所以12 ― > 0， ― 4 > 0
所以10 ― + ―412― ≥ 4即 ≥
( ―6)(12― ) = 10 ― [( ― 4) + 16 ―4 ―4]
所以10 ― [( ― 4) + 16 ―4] ≤ 10 ― 2 ( ― 4)
16 = 2
―4
16
當且僅當 ― 4 = ―4，即 = 8時，等號成立，所以 ≥ 2
答：為使接下來的 4 天中能夠持續有效 m 的最小值為 2
18.已知函數 ( )的定義域為[0,1]，且 ( )的圖象連續不間斷．若函數 ( )滿足：對于給定的 m（ ∈ R且
0 < < 1），存在 0 ∈ [0,1 ― ]，使得 ( 0) = ( 0 + )，則稱 ( )具有性質 ( )．
2
(1)已知函數 ( ) = ― 1 ∈2 ， [0,1]，判斷 ( )
1
是否具有性質 ，并說明理由；
3
―4 + 1,0 ≤ ≤ 1
4
(2) = 4 ― 1, 1 < < 3已知函數 ( ) 4 4 ，若 ( )具有性質 ( )，求 m 的最大值.
―4 + 5, 3 ≤ ≤ 1
4
【答案】(1)具有，理由見解析
(2)12
1 1
【分析】（1）根據新定義可知 = 3，即 ( 0) = ( 0 + 3)，代入求 0即可進行判斷；
1 1
（2）分 = 2，2 < < 1討論函數 ( )是否具有性質 ( )即得.
1 2
【詳解】（1）當 = 3時，設 0 ∈ [0,3]，
2 2
令 ( ) = ( 1 1 1 1 1 20 0 + 3)，則 0 ― = 0 + ― = ∈2 3 2 ，解得 0 3 0, ，3
所以 ( ) 1具有性質 .
3
（2）由題意可得：
當 = 0，則 (0) = 1 1；當 ∈ 0, 時，則 ( ) = ―4 + 1 ≤ 1；
4
∈ 1 1 1當 , ，則 ( ) = 4 ― 1 < 1 = 1；當 2，則 = 1；4 2 2
當 ∈ 1 , 3 3時， ( ) = 4 ― 1 > 1；當 ∈ ,1 時， ( ) = ―4 + 5 > 1，
2 4 4
當 = 1，則 (1) = 1；
綜上所述：當 ∈ 0, 1 ,1 時， ( ) = 1；
2
當 ∈ 0, 1 時， ( ) < 1；
2
∈ 1當 ,1 時， ( ) > 1；
2
首先當 = 1 12時，取 0 = 2,
則 ( ) = 10 = 1， ( 0 + ) =
1 + 1 = (1) = 1，
2 2 2
1
所以函數 ( )具有性質 ；
2
1
假設存在2 < < 1
1
，使得函數 ( )具有性質 ( )，則0 < 1 ― < 2，
當 0 = 0 1時， 0 + ∈ ,1 ，則 ( 0) = 1, ( 0 + ) > 1，2
即 ( 0) ≠ ( 0 + )，不合題意；
∈ (0,1 ― ] + ∈ 1當 0 時， 0 ,1 ，則 ( 0) < 1, ( 0 + ) ≥ 1，2
即 ( 0) ≠ ( 0 + )，不合題意；
綜上所述：不存在 0 ∈ [0,1 ― ]，使得 ( 0) = ( 0 + ).
1
所以 的最大值為2.
19 1, ∈ ．已知集合 A 為數集，定義 ( ) = 0, ∈ .若 , { | ≤ 8, ∈ N
}，定義： ( , ) = | (1) ― (1)|
+ | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|.
(1)已知集合 = {1,2}，直接寫出 (1)， (2)及 (8)的值；
(2)已知集合 = {1,2,3}， = {2,3,4}， = ，求 ( , )， ( , )的值；
(3)若 , , { ∣ ≤ 8, ∈ N*}.求證： ( , ) + ( , ) ≥ ( , ).
【答案】(1) (1) = 1, (2) = 1, (8) = 0;
(2) ( , ) = 2， ( , ) = 3;
(3)詳見解析
【分析】（1 ( ) = 1, ∈ ）利用題給 0, ∈ 定義即可求得 (1)， (2)及 (8)的值；
（2）利用題給 ( , )定義即可求得 ( , )， ( , )的值；
（3）先轉化 ( , )的含義，再利用文氏圖即可證得 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )成立.
【詳解】（1）集合 = {1,2}， ( ) =
1, ∈
0, ∈
則 (1) = 1， (2) = 1， (8) = 0
（2）集合 = {1,2,3}， = {2,3,4}， = ，
( , ) = | (1) ― (1)| + | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|
= |1 ― 0| + |1 ― 1| + |1 ― 1| + |0 ― 1| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| = 2
( , ) = | (1) ― (1)| + | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|
= |1 ― 0| + |1 ― 0| + |1 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| = 3
（3）由 ( , ) = | (1) ― (1)| + | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|，
可得 ( , )的值即為兩集合 , 中相異元素個數，
定義 ( )為集合 A 中元素個數，
則 ( , ) = ({ | ∈ ∪ , ∩ })
令 , , , , , , { | ≤ 8, ∈ N }，
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ，
= ∪ ∪ ∪ , = ∪ ∪ ∪ , = ∪ ∪ ∪ ,
則 ( , ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
( , ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
( , ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
則 ( , ) + ( , ) = 2 ( ) + ( ) + ( )
+2 ( ) + ( ) + ( )
( , ) + ( , ) ― ( , ) = 2 ( ) + 2 ( ) ≥ 0，
故有 ( , ) + ( , ) ≥ ( , ).

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