資源簡介

3.2.2 函數(shù)的奇偶性
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）理解函數(shù)奇偶性的概念;
（2）會判斷函數(shù)的奇偶性；
（1）結(jié)合具體函數(shù), 了解奇偶性的概念和幾何
（3）掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì).
意義。
（4）掌握函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、周期性）的
綜合性問題（難點)
知識點 01 函數(shù)奇偶性的概念
1 函數(shù)奇偶性的概念
(1) 一般地，設(shè)函數(shù) ( )的定義域為 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ( )，那么函數(shù) ( )就叫做偶
函數(shù).
(2) 一般地，設(shè)函數(shù) ( )的定義域為 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ― ( )，那么函數(shù) ( )就叫做
奇函數(shù).
由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域 是關(guān)于原點對稱的.
注 ① 從定義可知，若 是函數(shù)定義域中的一個數(shù)值，則 ― 也必然在該定義域中．故判斷函數(shù)的奇偶性的
前提是：定義域關(guān)于原點對稱．如 ( ) = , ∈ ( ― 1,1]是非奇非偶函數(shù).
② 函數(shù)按奇偶性可以分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函
數(shù)．從定義可知，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即 ( ) = 0， ∈ ， 是關(guān)于原點對稱的實數(shù)集．
2 判斷函數(shù)奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求 ( ― ) , 看下與 ( )的關(guān)系：若 ( ― ) = ( )，則 = ( )是偶函數(shù)；
若 ( ― ) = ― ( )，則 = ( )是奇函數(shù).
② 數(shù)形結(jié)合
若函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于 軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).
③ 取特殊值排除法(選擇題)
比如：若根據(jù)函數(shù)得到 (1) ≠ ( ― 1)，則排除 ( )是偶函數(shù).
④ 性質(zhì)法
偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差 (分母不為0)仍為奇函數(shù)；
奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；
一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).
對于復(fù)合函數(shù) ( ) = ( ( ))的奇偶性如下圖
( ) ( ) ( )
偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)
偶函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
【即學(xué)即練 1】
= 1函數(shù) 1+ ―
1
1― 的奇偶性是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
【答案】A
【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判定即可.
【詳解】由函數(shù)解析式可知{ | ≠± 1, ∈ R}，即定義域關(guān)于原點對稱，
= 1 ― 1 = 1 ― 1又 ( ) 1+ 1― ( ― ) 1― 1+ = ― ( )，
= 1所以函數(shù) 1+ ―
1
1― 是奇函數(shù).
故選：A
知識點 02 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
① 偶函數(shù)關(guān)于 軸對稱；
② 奇函數(shù)關(guān)于原點對稱；
③ 若奇函數(shù) ( )定義域內(nèi)含有0，則 (0) = 0；
證明 ∵ ( )為奇函數(shù)， ∴ ( ― ) = ― ( )．
令 = 0，則 ( ―0) = ― (0)，即 (0) = ― (0)， ∴ (0) = 0．
④ 在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積
(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．
【即學(xué)即練 2】
1
函數(shù) ( ) = 3 ― 的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性即可求解.
【詳解】因為 ( ) = 3 ― 1 , ∈ ( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞), ( ― ) = ―
3 + 1 = ― ( )，
所以 ( )為奇函數(shù)，
當(dāng) > 0 1時， 為減函數(shù)，
3為增函數(shù)，故 ( )為增函數(shù)，故 B 選項正確.
故選：B.
【題型一：函數(shù)奇偶性的定義與判斷】
例 1．下列函數(shù)為偶函數(shù)是（　 ）
1
A． ( ) = 2 B． ( ) = | | +1

C． ( ) = ( 1 ) ― 3 D． ( ) = ―3 | |
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，逐項判定，即可求解.
1
【詳解】對于 A 中，函數(shù) ( ) = 2 = ，可得函數(shù) ( )的定義域為[0, + ∞)，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)
( )為非奇非偶函數(shù)，所以 A 不符合題意；
對于 B 中，函數(shù) ( ) = | | +1，可得函數(shù) ( )的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且 ( ― ) = ― | ― | +1 = ― | | +1，則 ( ― ) ≠ ( )且 ( ― ) ≠ ― ( )，
所以函數(shù) ( )為非奇非偶函數(shù)，所以 B 不符合題意；

對于 C 中，函數(shù) ( ) = ( 1 ) ― 3 = 3― ― 3 3 ，可得函數(shù) ( )的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且 ( ― ) = 3 ― 3― = ―(3― ― 3 ) = ― ( )，所以函數(shù) ( )為奇函數(shù)，所以 C 不符合題意；
對于 D 中，函數(shù) ( ) = ― | |，可得函數(shù) ( )的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且 ( ― ) = ― | ― | = ― | | = ( )，所以函數(shù) ( )為偶函數(shù)，所以 D 符合題意.
故選：D.
變式 1-1．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A． ( ) = 2 +1 B． ( ) = 3 ―1
C． ( ) = 3 +
1
D． ( ) =
4 +2 2
【答案】C
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】對于 A，因為 ( ) = 2 +1的定義域為R，且 ( ― ) = ( ― )2 +1 = 2 +1 = ( )，所以 ( ) = 2
+1為偶函數(shù)；
對于 B，因為 ( ) = 3 ―1的定義域為R，且 ( ― ) = ( ― )3 +1 = ― 3 +1 ≠ ― ( )，所以 ( ) = 3 ―1不
是奇函數(shù)；
對于 C，因為 ( ) = 3 +
1 1 1
的定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，且 ( ― ) = ( ― )
3 + = ― 3 ― 3 1― = ― +
= ― 1( )，所以 ( ) = 3 + 為奇函數(shù)；
對于 D，因為 ( ) = 4 +2 2的定義域為R，且 ( ― ) = ( ― )4 +2( ― )2 = 4 +2 2 = ( )，所以 ( ) =
4 +2 2為偶函數(shù)；
故選：C.

變式 1-2．函數(shù) ( ) = 2 +12 ―1是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
【答案】A
【分析】先求函數(shù)定義域，再結(jié)合奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】令2 ―1 ≠ 0，解得 ≠ 0，即函數(shù) ( )的定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，
2― ( ― ) = +1 1+2

又因為 2― ―1 = 1―2 = ― ( )，
所以函數(shù) ( )為奇函數(shù).
故選：A

變式 1-3．若函數(shù) ( ) = ― +1，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． ( + 1) ―2 B． ( ― 1) ―2 C． ( ― 1) +2 D． ( + 1) +2
【答案】C
1 1
【分析】變形得到 ( ) = + 1 + +1 ―2，從而得到 ( ― 1) +2 = + 為奇函數(shù)，其他選項不合要求.

【詳解】因為 ( ) = ― = + 1 ―
+1―1
+1 +1 ―1 = + 1 +
1
+1 ―2，
所以 ( ― 1) +2 = +
1
，
由于 ( ) = +
1
定義域為( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，
又 ( ― ) = ― ―
1
= ― ( )，
故 ( ) = +
1
為奇函數(shù)，故 ( ― 1) +2為奇函數(shù)，
其他選項均不合要求.
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷函數(shù)奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求 ( ― ) , 看下與 ( )的關(guān)系：若 ( ― ) = ( )，則 = ( )是偶函數(shù)；
若 ( ― ) = ― ( )，則 = ( )是奇函數(shù).
② 數(shù)形結(jié)合
若函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于 軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).
③ 取特殊值排除法(選擇題)
比如：若根據(jù)函數(shù)得到 (1) ≠ ( ― 1)，則排除 ( )是偶函數(shù).
④ 性質(zhì)法
偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差 (分母不為0)仍為奇函數(shù)；
奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；
一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).
【題型二：由奇偶性求函數(shù)解析式】
例 2．已知函數(shù) = ( )在R上是奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 ―2，則不等式 ( ) > 0的解集是（ ）
A．( ―1,1) B．( ―1,0) ∪ (0,1)
C．( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞) D．( ―∞, ― 3)( ―1,1) ∪ (3, + ∞)
【答案】C
【分析】由題意先得 ( )表達(dá)式，從而分類討論即可求解.
【詳解】由題意已知函數(shù) = ( )在R上是奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 ―2，
所以當(dāng) = 0時， ( ) = 0，
當(dāng) < 0時， ― > 0， ( ) = ― ( ― ) = ― (2― ― 2) = 2 ― 2― ，
當(dāng) ≥ 0時，若 ( ) > 0，只需 > 0， ( ) = 2 ―2 > 0，解得 > 1，
當(dāng) < 0時，若 ( ) > 0，只需 ( ) = 2 ― 2― < 0，解得 < ―1，
綜上所述，不等式 ( ) > 0的解集是( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞).
故選：C.
變式 2-1．已知 ( )是定義在 上的偶函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 2 ― ，則當(dāng) < 0時， ( ) = （ ）
A． ― 2 + B． 2 +
C． 2 ― D． ― 2 ―
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，當(dāng) < 0時, ( ) = ( ― ),可求得答案.
【詳解】因為函數(shù) ( )是定義在 上的偶函數(shù)，且當(dāng) ≥ 0時 ( ) = 2 ― ，
設(shè) < 0，則 ― > 0， ( ) = ( ― ) = ( ― )2 ― ( ― ) = 2 + ,
故選：B．
變式 2-2．已知 ( ), ( )分別是定義在 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 ( ) ― ( ) = 3 + 2 + ，則 (1) + (1)
= （ ）
A．1 B．3 C． ―3 D． ―1
【答案】D
【分析】
利用兩函數(shù)的奇偶性，根據(jù)已知等式，構(gòu)造另一個等式，聯(lián)立求出函數(shù)解析式，代入自變量的值計算即得.
【詳解】因 ( ), ( )分別是定義在 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則有： ( ― ) = ( ), ( ― ) = ― ( )，
由 ( ) ― ( ) = 3 + 2 + ①，將其中的 取為 ― ，則可化簡得： ( ― ) ― ( ― ) = ( ) + ( ) = ― 3 +
2 ― ②，
由①②聯(lián)立可求得： ( ) = 2, ( ) = ― 3 ― ，于是 (1) + (1) = 1 ― 1 ― 1 = ―1.
故選：D.
變式 2-3．已知 = ( )是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = ― 2 +4 ．若函數(shù) ( )在區(qū)間
[ ―2, ― 2]上單調(diào)遞增，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞,4) B．( ―∞,4]
C．(0,4] D．(4, + ∞)
【答案】C
【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)求解析式，畫出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合及已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，令 < 0，則 ― > 0，此時 ( ) = ― ( ― ) = ―[ ― ( ― )2 +4( ― )] = 2 +4 ，
2
所以 ( ) = + 4 , < 0― 2 + 4 , ≥ 0 ，且 = ( )在 = 0處連續(xù)，圖象如下，
函數(shù) ( )在區(qū)間[ ―2, ― 2]上單調(diào)遞增，由圖知： ―2 < ― 2 ≤ 2 0 < ≤ 4.
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
由函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，主要是利用函數(shù)奇偶性的定義.
【題型三：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求值】
例 3．已知函數(shù) ( )是奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 2 ―4 + 1，則 ( ―3)的值為（ ）
A． ―7 B．7 C． ―31 D．31
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得正確答案.
【詳解】因為 (3) = 2 × 32 ―4 × 3 + 1 = 7，函數(shù) ( )是奇函數(shù)，
所以 ( ―3) = ― (3) = ―7.
故選：A
變式 3-1．已知 2( ) 1是偶函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 3 ― ，則 ― = （ ）3
A． ―7 B． ―5 C．7 D．5
【答案】B
1 1
【分析】函數(shù)為偶函數(shù)，有 ― = ，代入解析式求解即可.
3 3
2
【詳解】 ( )是偶函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 3 ― ，
― 1
2
則 = 1 = 3 × 13 ― 1 = 1 ― 6 = ―5.3 3 3
故選：B
3
變式 3-2．已知函數(shù) ( ) = ―4 2+4 +1，且 ( ) = ―3，則 ( ― ) = （ ）
A．4 B．5 C．-4 D．-3
【答案】B
3
( ) = ―4 【分析】令 2+4 ，則 ( ) = ( ) +1，即可判斷 ( )為奇函數(shù)，根據(jù)奇偶性計算可得.
3―4 3
【詳解】因為 ( ) = 2+4 +1，令 ( ) =
―4
2+4 定義域為R，
3 3
( ― ) = (― ) ―4(― ) = ― ―4 且 2+4 2+4 = ― ( )，
3
所以 ( ) = ―4 2+4 為奇函數(shù)，又 ( ) = ( ) +1，
( ) = ( ) +1 = ―3，所以 ( ) = ―4，則 ( ― ) = ― ( ) = 4，
所以 ( ― ) = ( ― ) +1 = 5.
故選：B
變式 3-3． ( )為奇函數(shù)， ( )為偶函數(shù)，且 ( ― 1) + (1) = 4， (1) + ( ― 1) = 2則 (1) = （ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
【答案】A
【分析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性可知 ( ― 1) = ― (1), ( ― 1) = (1)，解方程組即可求得 (1) = 3.
【詳解】
因為 ( )為奇函數(shù)， ( )為偶函數(shù)，
則 ( ― 1) = ― (1), ( ― 1) = (1)
所以 ― (1) + (1) = 4， (1) + (1) = 2
兩式相加可得2 (1) = 6，即 (1) = 3
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
1 理解函數(shù)奇偶性的概念，比如函數(shù) ( )是偶函數(shù)，則 ( ― ) = ( )，等式其中x可取函數(shù)定義域中任何一
個值均成立；
2 在給函數(shù)賦值的時候，要注意自變量的取值范圍.
【題型四：抽象函數(shù)的奇偶性】
例 4．定義在 上的 ( )滿足：對任意 , ∈ ，總有 ( + ) ― [ ( ) + ( )] = 2017，則下列說法正確的
是（ ）
A． ( ) ― 1是奇函數(shù) B． ( ) + 1是奇函數(shù)
C． ( ) ― 2017是奇函數(shù) D． ( ) + 2017是奇函數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由題意，令 = = 0，則 (0) ― [ (0) + (0)] = 2017，即 (0) = ―2017，
再令 = ― ，則 (0) ― [ ( ) + ( ― )] = 2017，即 ( ) + ( ― ) = ―4034，
所以[ ( ) + 2017] + [ ( ― ) + 2017] = ( ) + ( ― ) +4034 = ―4034 + 4034 = 0，
即 ( ) +2017 = ― [ ( ― ) + 2017]，故 ( ) +2017是奇函數(shù)，
同理可知，對函數(shù) ( ) ―1， ( ) +1， ( ) ―2017都不能是奇函數(shù).
故選：D.
【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)抽象函數(shù)的表達(dá)式，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵，屬于
基礎(chǔ)題．
變式 4-1．f(x)是定義在 R 上的增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是
A．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)且是增函數(shù)
B．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)且是減函數(shù)
C．f(x)－f(－x)是奇函數(shù)且是增函數(shù)
D．f(x)－f(－x)是奇函數(shù)且是減函數(shù)
【答案】C
【分析】舉出反例,可以說明錯誤的選項;根據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義證明正確選項即可.
【詳解】令 ( ) = ,則 ( ― ) = ―
對于 A 選項, ( ) + ( ― ) = + ( ― ) = 0,是偶函數(shù)但不是增函數(shù),所以 A 錯誤;
對于 B 選項, ( ) + ( ― ) = + ( ― ) = 0,是偶函數(shù)但不是減函數(shù),所以 B 錯誤;
對于 C 選項, 因為 ( )是定義在 R 上的增函數(shù),則 ( ― )是定義在 R 上的減函數(shù),所以 ― ( ― )是定義在 R
上的增函數(shù),所以 ( ) ― ( ― )是定義在 R 上的增函數(shù).
令 ( ) = ( ) ― ( ― ),則 ( ― ) = ( ― ) ― ( ) = ― ( )
所以 ( ) = ( ) ― ( ― )為奇函數(shù),所以 C 正確;
對于 D 選項, ( ) ― ( ― ) = 2 ,是奇函數(shù)但不是減函數(shù),所以 D 錯誤;
綜上可知,C 為正確選項
故選:C
【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的綜合應(yīng)用,舉反例法說明錯誤選項,正確選項需要證明,屬于基礎(chǔ)
題.
變式 4-2．已知 ( )為定義在R上的函數(shù)， (2) = 2，且 ( ) = (2 ) + 2為奇函數(shù)，則 ( ―2) = （ ）
A． ―4 B． ―2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行賦值求解即可.
【詳解】因為 ( ) = (2 ) + 2是奇函數(shù)，
所以有 ( ― 1) + (1) = ( ― 2) + 1 + (2) + 1 = 0
即 ( ― 2) = ―4.
故選：A
變式 4-3．已知函數(shù) ( )滿足 , ∈ ， ( + ) = ( ) + ( )， (1) = 1，則 ( ―2) = （ ）
A．0 B．1
C． ―2 D．2
【答案】C
【分析】令 = = 0可求得 (0) = 0；令 = ― 可證得 ( )為奇函數(shù)，令 = = 1可求得 (2)，根據(jù)
( ―2) = ― (2)可得結(jié)果.
【詳解】令 = = 0，則 (0) = (0) + (0)，解得： (0) = 0；
令 = ― ，則 (0) = ( ― ) = ( ) + ( ― ) = 0， ∴ ( )為奇函數(shù)，
∵ (2) = (1) + (1) = 2， ∴ ( ―2) = ― (2) = ―2.
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】
判斷抽象函數(shù)的奇偶性，常常利用奇偶性的定義.
【題型五：由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】

例 5 1．已知函數(shù) ( ) = 2 +1 ― 2，則“ = 1”是“ ( )為奇函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)“ = 1”與“ ( )為奇函數(shù)”互相推出的情況判斷屬于何種條件.
1 1
【詳解】當(dāng) = 1時， ( ) = 2 +1 ― 2，定義域為R且關(guān)于原點對稱，
1 1 2
所以 ( ― ) = 2― +1 ― 2 = 1+2 ―
1 = 2 +1―1 12 1+2 ― 2 =
1 ― 12 1+2 = ― ( )，
所以 ( )為奇函數(shù)；
當(dāng) ( )為奇函數(shù)時，顯然定義域為R且關(guān)于原點對稱，所以 ( ― ) = ― ( )，

所以 ( ― ) + ( ) = 1 ― + 1 ― = 2 ― + 1 ― = 1 ― = 0
2―
，
+1 2 2 +1 2 1+2 2 2 +1 2
所以 = 1，
由上可知，“ = 1”是“ ( )為奇函數(shù)”的充要條件，
故選：C.
2
變式 5-1．已知函數(shù) ( ) = ― +1 ― 為奇函數(shù)，則 (3) = （ ）
A 10 1． 3 B．2 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義即可得到 = 0，然后代入計算，即可得到結(jié)果.
2
【詳解】因為函數(shù) ( ) = ― +1 ― 為奇函數(shù)，所以 ( ) = ― ( ― )，
2― +1 2+ +1
即 ― = ― ― ― ，解得 = 0，
1 10
可知 ( ) = + ，所以 (3) = 3 ，
故選：A.
變式 5-2．已知函數(shù) ( ) = 2 + + 2( , ∈ R)是定義在[2 , + 3]上的偶函數(shù)，則函數(shù) ( ) = ( )
+2 在[ ―2,2]上的最小值為（ ）
A． ―6 B． ―2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可確定 m,n,的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】函數(shù) ( ) = 2 + + 2( , ∈ R)是定義在[2 , + 3]上的偶函數(shù)，
故 ( ― ) = ( ), 2 ― + 2 = 2 + + 2 ，即2 = 0, = 0
且2 + + 3 = 0 ，即 = ―1 ，
所以 ( ) = ( ) +2 = ― 2 +2 + 2 = 3 ― ( ― 1)2， ∈ [ ―2,2]，
其圖象對稱軸為 = 1 ，則當(dāng) = ―2 時， ( )min = ( ―2) = ― ( ― 2)2 +2( ― 2) + 2 = ―6，
故選:A
1 2
變式 5-3．已知定義在 上的偶函數(shù) ( ) = | ― + 1| ―2，若正實數(shù) a、b 滿足 ( ) + (2 ) = ，則 +
的最小值為（ ）
A 9．5 B．9 C
8
．5 D．8
【答案】A
= 1 +2 【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可得 ，由題意分析可得 5 = 1，結(jié)合基本不等式分析運算.
【詳解】若函數(shù) ( )為偶函數(shù)，則 ( ) = ( ― )，
即| ― + 1| ―2 = | ― ― + 1| ―2，可得| ― ( ― 1)| = | + ( ― 1)|，
整理得( ― 1) = 0，故 ― 1 = 0，解得 = 1，
∴ ( ) = | | ―2.
a b + = 1 ―2 + ―2 = 1 +2 若正實數(shù) 、 滿足 ( ) (2 ) ，即| | |2 | ，可得 5 = 1，
1 + 2 = +2 × 1 2可得 5 + =
1 2 2 1 2 2 9
5
+ + 5 ≥ 2 × + 5 = ，
5 5
2 = 2 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 = =
5
3時，等號成立，
∴1 + 2 9 的最小值為5.
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要是利用奇偶性的定義；
比如：帶參數(shù)a的函數(shù)f( )是偶函數(shù)，求參數(shù)a；則通過偶函數(shù)的定義可得帶參數(shù)a的等式f( ― ) = f( )，證
明其在定義域內(nèi)恒成立時a的取值，但若是選擇題，則可以靈活些，取x等于一特殊值得到關(guān)于a的方程從
而求出a值.
【題型六：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用】
例 6．已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，則 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0的解集為（ ）
A．( ―3,1) B．( ―∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
C．( ―1,3) D．( ―∞, ― 1) ∪ (3, + ∞)
【答案】B
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解
得即可.
【詳解】函數(shù) ( ) = 2― ― 2 ― 定義域為R，又 ( ― ) = 2―(― ) ― 2― ― ( ― ) = ― (2― ― 2 ― ) = ―
( )，
所以 ( )為奇函數(shù)，
又 = 2― ， = ― 2 ， = ― 均在定義域R上單調(diào)遞減，
所以 ( )在R上單調(diào)遞減，
所以 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0 ( 2 ― 3) < ― (2 ) = ( ―2 )，
所以 2 ―3 > ―2 2 +2 ― 3 > 0，解得 < ―3或 > 1，
所以 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0的解集為( ―∞, ― 3) ∪ (1, + ∞).
故選：B
變式 6-1．設(shè)函數(shù) ( ) = | | ―2 ，則 ( )（ ）
A．是偶函數(shù)，且在(1, + ∞)上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在( ―1,1)上單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在( ―∞, ― 1)上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在( ―∞, ― 1)上單調(diào)遞減
【答案】B
【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，畫函數(shù)圖象，然后結(jié)合圖象得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】因為函數(shù) ( ) = | | ―2 的定義域為 R，且 ( ― ) = ― | | +2 = ― ( | | ― 2 ) = ― ( )，
2
所以 ( )是奇函數(shù)，又 ( ) = | | ―2 = ― 2 , ≥ 0― 2 ― 2 ，作出函數(shù) ( )圖象如下圖：
由圖知，函數(shù) ( )在( ―∞, ― 1)和(1, + ∞)上單調(diào)遞增，在( ―1,1)上單調(diào)遞減.
故選：B
( )― ( )
變式 6-2．已知定義在 上的偶函數(shù) ( ) 1 2，若對于任意不等實數(shù) 1, 2 ∈ [0, + ∞)都滿足 ― > 0，則不1 2
等式 (2 ) > ( ― 2)的解集為（ ）
A．( ―∞, ― 2) B．( ―2, + ∞) C． ―2, 2 D．( ―∞, ― 2) ∪ 2 , + ∞
3 3
【答案】D
( 1)― ( 2)
【分析】由條件 ― > 0得函數(shù)的單調(diào)性，再由偶函數(shù)的性質(zhì)等價轉(zhuǎn)化不等式，然后結(jié)合單調(diào)性求解1 2
即可.
, ∈ ( 1)― ( )【詳解】因為對于任意不等實數(shù) 1 2 [0, + ∞)
2
都滿足 1―
> 0，
2
即當(dāng) 1 < 2時， ( 1) < ( 2)； 1 > 2時 ( 1) > ( 2)，
故 ( )在區(qū)間[0, + ∞)上單調(diào)遞增.
因為 ( )是定義在 上的偶函數(shù)，則 ( ) = ( ― ) = (| |)，
所以不等式 (2 ) > ( ― 2) (|2 |) > (| ― 2|)，
又|2 | ≥ 0,| ― 2| ≥ 0，由 ( )在區(qū)間[0, + ∞)上單調(diào)遞增.
2
則|2 | > | ― 2|，即(2 )2 > ( ― 2)2，解得 < ―2，或 > 3，
故選：D.
變式 6-3．?dāng)?shù)學(xué)用語中，max{ , }表示 ， 中較大的數(shù).已知函數(shù) ( ) = max{ 2 + 4 , 2 ― 4 }，若 (2 ― )
> (2 )，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A． ―∞, 2 B 2 , + ∞ C ―1, 2 D ―2, 2． ． ．
3 3 3 3
【答案】D
【分析】先求出 ( )，畫出 ( )的圖象即可判斷 ( )在R上的單調(diào)性和奇偶性，由 (2 ― ) > (2 )可得
|2 ― | > |2 |，解方程即可得出答案.
2 2 2
【詳解】因為 ( ) = max{ 2 + 4 , 2 ― 4 }= + 4 , + 4 ≥ ― 4 2 ― 4 , 2 + 4 < 2 ― 4 ，
2
則 ( ) = + 4 , ≥ 0 2 ― 4 , < 0 ，
作出 ( )的圖象，如下圖，易知 ( )為偶函數(shù)，
當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 2 +4 ，則 ( )在(0, + ∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng) < 0時， ( ) = 2 ―4 ，則 ( )在( ―∞,0)上單調(diào)遞減，
所以由 (2 ― ) > (2 )可得|2 ― | > |2 |，
則(2 ― )2 > (2 )2，則(3 ― 2)( + 2) < 0，解得： ―2 < <
2
3，
2
故實數(shù) 的取值范圍是 ―2, .
3
故選：D.
變式 6-4．（多選） ( )是定義在 R 上的偶函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 4 ― 2，則下列說法中錯誤的是
（ ）
A． ( )的單調(diào)遞增區(qū)間為( ―∞, ― 2] ∪ [0,2] B． ( ―π) < (5)
C． ( )的最大值為 4 D． ( ) > 0的解集為( ―4,4)
【答案】ABD
【分析】A.由兩個單調(diào)區(qū)間不能合并判斷；B.由 ( )是定義在 R 上的偶函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；C.由
≥ 0時，結(jié)合 ( )是偶函數(shù)判斷；D.利用函數(shù)圖象判斷.
【詳解】A.兩個單調(diào)區(qū)間中間要用和分開，故 A 錯誤；
B. 因為 ( )是定義在 R 上的偶函數(shù)，所以 ( ―π) = (π)，
又 ( )在[2, + ∞)上單調(diào)遞減，則 ( ―π) > (5)，故 B 錯誤；
C.當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 4 ― 2 = ― ( ― 2)2 +4， ( )最大值為 4，
又因為 ( )是偶函數(shù)，所以 ( )的最大值為 4，故 C 正確；
D. 如圖所示： ( ) > 0的解集為( ―4,0) ∪ (0,4)，故 D 錯誤．
故選：ABD．
【方法技巧與總結(jié)】
1 處理函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合的題目，利用函數(shù)的圖象較好；
2 若f( )是偶函數(shù)，則f( )在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相反的；
若f( )是奇函數(shù)，則f( )在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相同的.
【題型七：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
例 7．（多選）已知定義在R上的奇函數(shù) ( )滿足 ( + 2) = (2 ― )，且在[0,2]上是增函數(shù)，則下列判斷正
確的是（ ）
A． ( )的周期是 4 B． (2)是函數(shù)的最大值
C． ( )的圖象關(guān)于點( ―2,0)對稱 D． ( )在[ ―2,2]上是增函數(shù)
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)的周期為 8，從而判斷 A 選項；由函數(shù)關(guān)于 = 2對稱，在[0,2]上是增函數(shù)，可
得函數(shù)在[ ―2,2]上是增函數(shù)，從而判斷 D，根據(jù)函數(shù)的對稱性及周期性，可得函數(shù)圖象的大致走勢，從而
判斷 B、C.
【詳解】對于 A，因為 ( )為定義在R上的奇函數(shù)，所以 ( ― ) = ― ( )，
又因為 ( + 2) = (2 ― )，所以函數(shù)關(guān)于 = 2對稱，且 ( ― ) = (4 + )，
所以 (4 + ) = ― ( )，則 (8 + ) = ― (4 + ) = ( )，
所以函數(shù) ( )的周期是 8，故 A 錯誤；
對于 D，因為函數(shù)在[0,2]上是增函數(shù)，所以函數(shù)在[ ―2,0]上是增函數(shù)，
則函數(shù)在[ ―2,2]上是增函數(shù)，故 D 正確；
對于 B，因為函數(shù)關(guān)于 = 2對稱，所以函數(shù)在[2,6]上單調(diào)遞減，
又因為函數(shù)周期為 8，將[ ―2,6]的圖象左右平移(每次平移 8 個單位)即可得函數(shù)的全部圖象，
由此可得 (2)是函數(shù)的最大值，故 B 正確；
對于 C，因為函數(shù)在[ ―2,0]上單調(diào)遞增，在 = ―2處取最小值， (0) = 0，
所以函數(shù)不關(guān)于( ―2,0)對稱，故 C 錯誤；
故選：BD.
變式 7-1．已知函數(shù) ( )的定義域為R， ( ― ) + ( ) = 0， ( + 1)是偶函數(shù)， (1) = ―1，則 (2023) +
(2026) = （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【分析】由函數(shù)的奇偶對稱性推得 ( )是周期為 4 的函數(shù)，并求得 (2) = (0) = 0，最后利用周期性求目
標(biāo)函數(shù)值.
【詳解】由 ( + 1)是偶函數(shù)， (1 ― ) = (1 + )，則 (2 ― ) = ( )，
又 ( ― ) + ( ) = 0，
( + 4) = [2 ― ( + 4)] = ( ― ― 2) = ― ( + 2) = ― ([2 ― ( + 2)]) = ― ( ― ) = ( )，
所以 ( )是周期函數(shù)，周期為 4，
對于 ( ― ) + ( ) = 0，令 = 0，得 (0) = 0，則 (2) = (0) = 0，
所以 (2023) + (2026) = (506 × 4 ― 1) + (506 × 4 + 2) = ( ―1) + (2) = ― (1) = 1.
故選：B
變式 7-2．（多選）已知函數(shù) ( )的定義域為 ， ( + 2) + ( ) = 0，且函數(shù) (2 + 1)為偶函數(shù)，則下面說
法一定成立的是（ ）
A． ( )是奇函數(shù) B． (2024) = 1
2024
C． ( )的圖象關(guān)于 = 1對稱 D． ( ) = 2024
=1
【答案】AC
【分析】選項 C，由于函數(shù) (2 + 1)為偶函數(shù)，得到 (1 ― 2 ) = (1 + 2 )，進(jìn)而替換變量得到 (1 ― )
= (1 + )，判斷即可；選項 A，由于 (1 ― ) = (1 + )，變量替換后得到 ( ― ) = (2 + )，結(jié)合已知
( + 2) + ( ) = 0，即可判斷奇偶性；選項 B，已知 ( + 2) + ( ) = 0，得到 ( + 2) = ― ( )，變量替
換后得到 ( + 4) = ( )，得到函數(shù) ( )的周期性，進(jìn)而求得結(jié)果；選項 D，已知 ( + 2) + ( ) = 0，得
2024 4
到 (1) + (3) = 0， (2) + (4) = 0，同樣利用函數(shù) ( )的周期性得到 ( ) = 506 × ( )，即
=1 =1
可求得結(jié)果.
【詳解】對于選項 C， (2 + 1)是偶函數(shù)，得： (1 ― 2 ) = (1 + 2 )，
1
將 替換為2 ，得： (1 ― ) = (1 + )，
所以函數(shù) ( )關(guān)于直線 = 1對稱，選項 C 正確；
對于選項 A，因為 (1 ― ) = (1 + )，將 替換為 + 1，得： ( ― ) = (2 + )，
又因為 ( + 2) + ( ) = 0，即 ( + 2) = ― ( )，
∴ ( ― ) = ― ( )， ∴ ( )是奇函數(shù)，選項 A 正確；
對于選項 B， ∵ ( + 2) = ― ( )，將 替換為 + 2，
得： ( + 4) = ― ( + 2) = ( )，所以 4 為函數(shù) ( )的周期，
又因為 ( )是奇函數(shù)，且函數(shù) ( )的定義域為 ， ∴ (0) = 0，
∴ (2024) = (4 × 506) = (0) = 0，選項 B 錯誤.
對于選項 D，由已知 ( + 2) + ( ) = 0，
分別代入 = 1, = 2，得： (1) + (3) = 0， (2) + (4) = 0，
∴ (1) + (2) + (3) + (4) = 0，
2024 4
同時 4 為 ( )的周期， ∴ ( ) = 506 × ( ) = 0，選項 D 錯誤.
=1 =1
故選：AC.
變式 7-3．函數(shù) = ( )的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) = ( )為奇函數(shù)，可以將
其推廣為：函數(shù) = ( )的圖象關(guān)于點 ( , )成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) = ( + ) ― 為奇函數(shù)，
2 ( ) = + ―6給定函數(shù) +1 .
(1)求 ( )的對稱中心；
(2)已知函數(shù) ( )同時滿足：① ( + 1) ―1是奇函數(shù)；②當(dāng) ∈ [0,1]時， ( ) = 2 ― + .若對任意的 1
∈ [0,2]，總存在 2 ∈ [1,5]，使得 ( 1) = ( 2)，求實數(shù) m 的取值范圍.
【答案】(1)( ―1, ― 1)
(2)[ ―2,4]
【分析】（1）設(shè) ( )的對稱中心為( , )，根據(jù)對稱性得到關(guān)于 , 的方程，解得即可得解；
（2）易求得 ( )的值域為[ ―2,4]，設(shè)函數(shù) ( )的值域為集合 ，則問題可轉(zhuǎn)化為 [ ―2,4]，分 ≤ 0，
≥ 2和0 < < 2三種情況討論，從而可得出答案.
2
1 ( ) = + ―6 ( +1)
2
= ―( +1)―6 6【詳解】（ ）解： +1 +1 = ― +1，
設(shè) ( )的對稱中心為( , )，
由題意，得函數(shù) = ( + ) ― 為奇函數(shù)，
則 ( ― + ) ― = ― ( + ) + ，
即 ( + ) + ( ― + ) ―2 = 0，
6 6
即( + ) ― + +1 + ( ― + ) ― ― + +1 ―2 = 0，
整理得( ― ) 2 ― ( ― )( + 1)2 ― 6( + 1) = 0，
所以 ― = ( ― )( + 1)2 ―6( + 1) = 0，解得 = ―1, = ―1，
所以函數(shù) ( )的對稱中心為( ―1, ― 1)；
（2）解：因為對任意的 1 ∈ [0,2]，總存在 2 ∈ [1,5]，使得 ( 1) = ( 2)，
所以函數(shù) ( )的值域是函數(shù) ( )的值域的子集，
6
因為函數(shù) = , = ― +1在[1,5]上都是增函數(shù)，
所以函數(shù) ( ) = ―
6
+1在[1,5]上是增函數(shù)，
所以 ( )的值域為[ ―2,4]，
設(shè)函數(shù) ( )的值域為集合 ，
則原問題轉(zhuǎn)化為 [ ―2,4]，
因為函數(shù) ( + 1) ―1是奇函數(shù)，所以函數(shù) ( )關(guān)于(1,1)對稱，
又因為 (1) = 1，所以函數(shù) ( )恒過點(1,1)，

當(dāng)2 ≤ 0，即 ≤ 0時， ( )在[0,1]上遞增，則函數(shù) ( )在(1,2]上也是增函數(shù)，
所以函數(shù) ( )在[0,2]上遞增，
又 (0) = , (2) = 2 ― (0) = 2 ― ，
所以 ( )的值域為[ ,2 ― ]，即 = [ ,2 ― ]，
又 = [ ,2 ― ] [ ―2,4]，
≥ ―2
所以 2 ― ≤ 4 ，解得 ―2 ≤ ≤ 0，
≤ 0

當(dāng)2 ≥ 1即 ≥ 2時， ( )在[0,1]上遞減，則函數(shù) ( )在(1,2]上也是減函數(shù)，
所以函數(shù) ( )在[0,2]上遞減，
則 = [2 ― , ]，
又 = [2 ― , ] [ ―2,4]，
≥ 2
所以 2 ― ≥ ―2 ，解得2 ≤ ≤ 4，
≤ 4

當(dāng)0 < 2 < 1即0 < < 2時，
( ) 在 0, 上遞減，在 ,1 上遞增，
2 2
又因函數(shù) ( )過對稱中心(1,1)，
所以函數(shù) ( )在 1,2 ― 上遞增，在 2 ― ,2 上遞減，
2 2
故此時 ( )min = min (2), ( ) = max (0), 2 ― ， ，2 max 2
要使 [ ―2,4]，
(2) = 2 ― (0) = 2 ― ≥ ―2
2
= ― + ≥ ―2
2 4
只需要 (0) = ≤ 4 ，解得0 < < 2，
2 ― = 2 ― =
2
― + 2 ≤ 4
2 2 4
0 < < 2
綜上所述實數(shù) m 的取值范圍為[ ―2,4].
【點睛】本題考查了函數(shù)的對稱性單調(diào)性及函數(shù)的值域問題，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，解決本題
第二問的關(guān)鍵在于把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) ( )的值域是函數(shù) ( )的值域的子集，有一定的難度.
變式 7-4．已知函數(shù) ( ) = | + |( ∈ ).
(1)若函數(shù) ( )是奇函數(shù)，求 的值；
(2)若 <0，記函數(shù) ( )在[2, + ∞)上的最小值為 ( ).
（i）求 ( )；
（ii）設(shè)函數(shù) ( ) = 2 + + 4( ∈ )滿足：對任意 ∈ ，均存在 0 ∈ [2, + ∞)，使得 ( ) = ( 0)，求
的取值范圍.
【答案】(1) = 0
(2) 0, ≤ ―2（i） ( ) = 4 + 2 , ― 2 < < 0 ；（ii）[ ―4,0)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可直接求參數(shù) 的值.
（2）（i）分情況去掉絕對值符號，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù) ( )的最小值，可得 ( )的解析式；
（ii）問題轉(zhuǎn)化為 ( )的值域是 ( )值域的子集，根據(jù)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為 ( )為奇函數(shù)，所以 ( ― ) = ― ( )，
所以 ― | ― + | = ― | + | = 0.
（2 i ① ( + ), ≥ ― ）（ ） 若 ≤ ―2，則 ( ) = ― ( + ),2 ≤ < ― ，

當(dāng) ≥ ― 時，對稱軸 = ― 2 < ― ，所以 ( )在[ ― , + ∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng) < ― 時，若 ― 2 < 2，即 ―4 < ≤ ―2，則 ( )在[2, ― )上單調(diào)遞減，
如圖：
所以 ( )min = ( ― ) = 0.

若 ― 2 = 2，即 = ―4，則 ( )min = (4) = 0，

若 ― 2 > 2，即 < ―4時，
如圖：
( ) 2, ― 則 在 上單調(diào)遞增，在 ― , ― 上單調(diào)遞減，
2 2
所以 ( )min = min{ (2), ( ― )} = min{ ―4 ― 2 ,0} = 0，
②若 ―2 < < 0，則 ( ) = 2

+ ， ≥ 2，對稱軸 = ― 2 < 2，
如圖：
所以 ( )在[2, + ∞)上單調(diào)遞增，
所以 ( )min = (2) = 4 + 2 ，
綜上， ( ) = 0, ≤ ―24 + 2 , ― 2 < < 0 .
2 2
（ii）若 ≤ ―2，則 ( 0) ∈ [0, + ∞)， ( ) = +
+4 ―
2 4
4 ―
2
所以 4 ≥ 0，所以 ―4 ≤ ≤ ―2，
2
若 ―2 < < 0，則 ( 0) ∈ [4 + 2 , + ∞)，所以4 ―

4 ≥ 4 + 2 ，
所以 ―2 < < 0，
綜上， 的取值范圍為[ ―4,0)
【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題的最后一問，要把問題轉(zhuǎn)化成 ( )的值域是 ( )值域的子集，根據(jù)集合之間的
關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.
【方法技巧與總結(jié)】
1 處理函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，常常采取數(shù)形結(jié)合的方法；
2函數(shù)的周期性
（1）概念
對于函數(shù) = ( )，如果存在一個不為零的常數(shù) ，使得當(dāng) 取定義域內(nèi)的每一個值時， ( + ) = ( )都
成立，那么把函數(shù) = ( )叫做周期函數(shù)，常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期.
（2）① 若 ( + ) = ( + ) ，則 = ( )的周期是 = ― .
② 若 ( + ) = ― ( ) ，則 = ( )的周期是 = 2 ；
1
③ 若 ( + ) = ( )，則 = ( )的周期是 = 2 .
3 函數(shù)的對稱性
（1） 函數(shù)圖象自身的對稱關(guān)系
① 軸對稱：若 ( + ) = ( ― ) , 則 = ( ) + 有對稱軸 = 2 .
② 中心對稱：若函數(shù) = ( )定義域為 ，且滿足條件 ( + ) + ( ― ) = ( , , 為常數(shù))，則函數(shù) =

( ) + 的圖象關(guān)于點( 2 , 2)對稱.
（2）兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系
① 軸對稱
若函數(shù) = ( )定義域為 ，則兩函數(shù) = ( + )與 = ( ― )
―
的圖象關(guān)于直線 = 2 對稱.
特殊地，函數(shù) = ( + )與函數(shù) = ( ― )的圖象關(guān)于直 = 0對稱.
② 中心對稱

若函數(shù) = ( )定義域為 ― ，則兩函數(shù) = ( + )與 = ― ( ― )的圖象關(guān)于點( 2 , 2)對稱.
特殊地，函數(shù) = ( + )與函數(shù) = ― ( ― ) ― 圖象關(guān)于點( 2 , 0)對稱.
4 周期性與對稱性拓展
① 若函數(shù) = ( )同時關(guān)于直線 = , = 對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 2| ― |；特殊地，若偶函數(shù)
= ( )的圖像關(guān)于直線 = 對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 2| |；
② 若函數(shù) = ( )同時關(guān)于點( , 0) , ( , 0)對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 2| ― |；
③ 若函數(shù) = ( )同時關(guān)于直線 = 對稱，又關(guān)于點( , 0)對稱 , 則函數(shù) = ( )的周期 = 4| ― |；
特殊地，若奇函數(shù) = ( )的圖像關(guān)于直線 = 對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 4| |.
一、單選題
1．下列函數(shù)中，在區(qū)間( ― ∞,0)上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（ ）
A = 1． B． = | | C = ―
1 D = + 1． ．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐項判斷即可.
【詳解】對于 A， = 1 在區(qū)間( ― ∞,0)上單調(diào)遞減，故 A 錯誤；
對于 B，設(shè) ( ) = = | |，則 ( ― ) = | ― | = | | = ( )，所以 = | |是偶函數(shù)，故 B 錯誤；
對于 C 1 1，設(shè) ( )= = ― ，則 ( ― ) = ― + = ―
1
( )，所以 = ― 是奇函數(shù)，且 = 和 = ―
1
在區(qū)
間( ― ∞,0) 1上都單調(diào)遞增，故 = ― 在區(qū)間( ― ∞,0)上單調(diào)遞增，故 C 正確；
1 5
對于 D，設(shè) ( ) = = + 1 ，則 = 2, (1) = 2, ∴
1 > (1)，所以 = +
1
在區(qū)間( ― ∞,0)上不是單調(diào)2 2
遞增，故 D 錯誤；
故選：C
2.若 ( )是 R 上周期為 6 的奇函數(shù)，且滿足 (1) = ―1， (2) = 2，則 (5) ― (4) = （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)，找出 (5)， (4)與 (1)， (2)的關(guān)系，即可求出 (5) ― (4)
的值.
【詳解】由題知 ( )是 上周期為6的奇函數(shù)，
所以有 (2) = ( ― 4) = ― (4) = 2 (4) = ―2，
(1) = ― ( ― 1) = ― (5) = ―1 (5) = 1，
故 (5) ― (4) = 1 + 2 = 3.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.
3.已知函數(shù) ( ) = | ― 2| + | + 2|，則“ = ―1”是“ ( )為奇函數(shù)”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性，判斷“ = ―1”和“ ( )為奇函數(shù)”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.
【詳解】當(dāng) = ―1時， ( ) = ― | ― 2| + | + 2|，其定義域為 R，
則 ( ― ) = ― | ― ― 2| + | ― + 2| = ― | + 2| + | ― 2| = ― ( )，
即 ( )為奇函數(shù)；
若 ( ) = | ― 2| + | + 2|為奇函數(shù)，其定義域為 R，
則需滿足 ( ― ) = ― ( )，即 | ― ― 2| + | ― + 2| = ― | ― 2| ― | + 2|，
故 | + 2| + | ― 2| = ― | ― 2| ― | + 2|，即( + 1)(| + 2| + | ― 2|) = 0，
因為| + 2| + | ― 2| > 0，（| + 2| ≥ 0,| ― 2| ≥ 0，等號不能同時取到），
故 + 1 = 0, ∴ = ―1，
故“ = ―1”是“ ( )為奇函數(shù)”的充分必要條件，
故選：C
4.設(shè)函數(shù) ( )的定義域為 R，且 (3 + 2)是奇函數(shù)， ( 3 +1)是偶函數(shù)，則一定有（ ）
A． (4) = 0 B． ( ― 1) = 0 C． (3) = 0 D． (5) = 0
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，對 賦特殊值即可得出結(jié)論.
【詳解】因為 (3 + 2)是奇函數(shù)，所以有 ( ― 3 + 2) = ― (3 + 2)①
令 = 0，則有 (2) = ― (2)，即 (2) = 0.
因為 ( 3 +1)是偶函數(shù)，所以有 ( ― 3 +1) = ( 3 +1)，
令 = 1，則有 (0) = (2) = 0，
① = 2在 式中，令 3，則有 (0) = ― (4)，
∴ (4) = 0.
故選：A
5.已知 ( )是定義在 上的奇函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 2 ― + ― 1，則滿足 ( ) ≥ 0的 的取值范圍是
（ ）
A．( ―∞, ― 1] ∪ [0,1] B．[ ―1,1]
C．[ ―1,0] ∪ [1, + ∞) D．( ―∞, ― 1] ∪ [1, + ∞)
【答案】C
【分析】先通過函數(shù)為奇函數(shù)求出 ，再通過求解二次不等式以及奇函數(shù)的對稱性得答案.
【詳解】依題意 ( )是奇函數(shù)，所以 (0) = ― 1 = 0，即 = 1，
則 ( ) = 2 ― ， ≥ 0，
當(dāng) ≥ 0時，令 ( ) ≥ 0，解得 ≥ 1或 = 0，
根據(jù)對稱性，當(dāng) ―1 ≤ < 0時， ( ) ≥ 0，
故滿足 ( ) ≥ 0的 的取值范圍是[ ―1,0] ∪ [1, + ∞)．
故選：C．
2
6.已知函數(shù) ( ) = 1― 1+ 2，則不等式 (2 ― 1) < ( ― 1)的解集為（ ）
A．( ―∞,0) B 2． , + ∞
3
C 0, 2． D．( ―∞,0) ∪ 2 , + ∞
3 3
【答案】D
【分析】證明函數(shù)的奇偶性，再分析出其單調(diào)性，從而得到|2 ― 1| > | ― 1|，解出即可.
1― 2 1―(― )2 1― 2
【詳解】由 ( ) = 1+ 2可得 ∈ 且 ( ― ) = 1+(― )2 = 1+ 2，則 ( )為偶函數(shù)，
2 2
( ) = 1― = ―(1+ )+21+ 2 1+ 2 = ―1 +
2
1+ 2，
因為 = 2 +1在( ― ∞,0)上單調(diào)遞減，在(0, + ∞)上單調(diào)遞增，則 = 2 +1 > 0恒成立，
則 ( )在(0, + ∞)單調(diào)遞減，在( ― ∞,0)單調(diào)遞增，
∵ (2 ― 1) < ( ― 1), ∴ |2 ― 1| > | ― 1|，解得 < 0或 > 23.
故選：D.
7. = 5―5
4
函數(shù) 4+1 部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性單調(diào)性和值域，排除法得正確選項..
5―5 4 10
【詳解】函數(shù) = 4+1 = 4+1 ―5的定義域為 ，為偶函數(shù)，故 C 不正確，
函數(shù)在[0, + ∞)上單調(diào)遞減，當(dāng) = 0時， 最大值為 5，故 D 不正確；
10
因為 = 4+1 > 0 =
10
，所以 4+1 ―5 > ―5，故 A 不正確，
故選：B.
8.函數(shù) = ( ) 的圖像關(guān)于點 ( , ) 成中心對稱的充要條件是函數(shù) = ( + ) ― 為奇函數(shù)，以下選項不
正確的有（ ）
A． ( ) = 3 + 1 1關(guān)于 ,0 中心對稱
3
B． ( ) = 3 ―6 2 +13關(guān)于(2, ― 3) 中心對稱
C．函數(shù) = ( ) 的圖象關(guān)于點 ( , ) 對稱，則 ( ) = 2 ― (2 ― )
D．函數(shù) = ( ) 的圖象關(guān)于 = 對稱的充要條件是 = ( + ) 為偶函數(shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù) = ( )的圖象關(guān)于點 ( , )成中心對稱的充要條件是函數(shù) = ( + ) ― 為奇函數(shù)，即
可判斷 A 錯誤，B 正確；對選項 C，根據(jù)充要條件的定義即可判斷 C 正確；對選項 D，根據(jù)函數(shù)的對稱
性、偶函數(shù)的定義以及充要條件的定義即可判斷 D 正確.
1
【詳解】對選項 A， ( ) = 3 + 1， = 3， = 0，
( ) + ― + 2 = 3 + 1+3 ― + 2 +1 = 4 ≠ 2 ，故 A 錯誤.
3 3
對選項 B，由 ( ) = 3 ―6 2 +13，若 = 2, = ―3，
則 ( ) + (4 ― ) = 3 ―6 2 +13 + (4 ― )3 ―6(4 ― )2 +13 = ―6，故 B 正確.
對選項 C，因為函數(shù) = ( + ) ― 為奇函數(shù)，所以 ( ― + ) ― = ― ( + ) + ，
即 ( + ) + ( ― + ) = 2 ，令 = + ，則有 ( ) + (2 ― ) = 2 ，
即 ( ) = 2 ― (2 ― ) ，故 C 正確.
對選項 D，若 = ( + ) 為偶函數(shù)，則 ( + ) = ( ― + )，
令 = + ，則有 ( ) = (2 ― )，函數(shù)的圖象關(guān)于 = 對稱，故必要性成立，
函數(shù) = ( ) 的圖象關(guān)于 = 對稱，則有 ( ) = (2 ― )，
令 = + ，則有 ( + ) = ( ― )，
即 = ( + ) 為偶函數(shù)，故充分性成立，故 D 正確.
故選：A.
二、多選題
9．下列四個函數(shù)中，不具有奇偶性的是（ ）
A． ( ) = 2 ―1 B． ( ) = 2 +
C． ( ) = + 3 D． ( ) = 3 +2
【答案】BD
【分析】利用奇偶性的判定方法來判斷選項中的函數(shù)是具有奇偶性即可．
【詳解】對于 A，函數(shù) ( ― ) = ( ― )2 ―1 = 2 ―1 = ( )，所以 ( )是定義在 R 上的偶函數(shù)；
對于 B，函數(shù) ( ― ) = ( ― )2 ― = 2 ― ≠± ( )，所以 ( )是非奇非偶的函數(shù)；
對于 C，函數(shù) ( ― ) = ― + 3 ― = ― ― 3 = ― ( )，所以 ( )是定義在 R 上的奇函數(shù)；
對于 D，函數(shù) ( ― ) = ( ― )3 +2 = ― 3 +2 ≠± ( )，所以 ( )是非奇非偶的函數(shù)．
故選：BD．
10.已知函數(shù) ( )的定義域為 , ( ) = ( ) + ( )，則（ ）
A． (0) = 0 B． ( ―1) = 0
C． ( ) 1是偶函數(shù) D． (2) ≤ 0
2
【答案】ABD
【分析】A.令 = = 0求解判斷；B.分別令 = = 1， = = ―1求解判斷；C.令 = ―1利用函數(shù)奇偶性
1
定義判斷；D.令 = 2, = 2求解判斷.
【詳解】令 = = 0，得 (0) = 0，A 正確.
令 = = 1，得 (1) = (1) + (1)，所以 (1) = 0.
令 = = ―1，得 (1) = ― ( ―1) ― ( ―1)，所以 ( ―1) = 0，B 正確.
令 = ―1，得 ( ― ) = ― ( )，所以 ( )是奇函數(shù)，C 錯誤.
2
= 1令 2, = 2，得
1
(1) = 2 1 + 2 (2) = 0 (2) = ―4
1 , 1 (2) = ―4 1，所以 ≤ 0,2 D 正確.2 2 2
故選：ABD
11.已知定義在 上的偶函數(shù) ( )和奇函數(shù) ( )滿足 (2 + ) + ( ― ) = 1，則（ ）
A． ( )的圖象關(guān)于點(2,1)對稱
B． ( )是以 8 為周期的周期函數(shù)
C． ( + 8) = ( )
2024
D． (4 ― 2) = 2025
=1
【答案】ABC
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及表達(dá)式 (2 + ) + ( ― ) = 1可知滿足 ( + 2) + (2 ― ) = 2，可判斷 A 正
確；化簡可得 ( + 8) = ( )可知 B 正確；又 ( ) = ( + 2) ―1可得 ( + 8) = ( )，即 C 正確；利用賦
2024
值法可求得 (4 ― 2) = 2024，可知 D 錯誤.
=1
【詳解】對于 A，由題意 ( ― ) = ( ), ( ― ) = ― ( )，
且 (0) = 0, (2 + ) + ( ― ) = 1，即 ( + 2) ― ( ) = 1①，
用 ― 替換 (2 + ) + ( ― ) = 1中的 ，得 (2 ― ) + ( ) = 1②，
由①+②得 ( + 2) + (2 ― ) = 2，
所以 ( )的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，且 (2) = 1，故 A 正確；
對于 B，由 ( + 2) + (2 ― ) = 2，
可得 ( + 4) + ( ― ) = 2， ( + 4) = 2 ― ( ― ) = 2 ― ( )，
所以 ( + 8) = 2 ― ( + 4) = 2 ― [2 ― ( )] = ( )，
所以 ( )是以 8 為周期的周期函數(shù)，故 B 正確；
對于 C，由①知 ( ) = ( + 2) ―1，
則 ( + 8) = ( + 8 + 2) ―1 = ( + 2) ―1 = ( )，所以 ( + 8) = ( )，故 C 正確；
對于 D，又因為 ( + 4) + ( ― ) = 2，所以 ( ) + ( + 4) = 2，
令 = 2，則有 (2) + (6) = 2，
令 = 10，則有 (10) + (14) = 2, ，
令 = 8090，則有 (8090) + (8094) = 2，
所以
(2) + (6) + (10) + (14) + + (8090) + (8094) = 2 + 2 + + 2 = 2024，
1012 個
所以
2024
(4 ― 2) = (2) + (6) + (10) + (14) + + (8090) + (8094) = 2024，故 D 錯誤.
=1
故選：ABC.
【點睛】方法點睛：函數(shù)性質(zhì)綜合問題經(jīng)常利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性中的兩條性質(zhì)去推導(dǎo)第三
個性質(zhì)，再將 3 個性質(zhì)綜合運用即可實現(xiàn)問題求解.
三、填空題
12．已知函數(shù) ( )同時滿足下列條件：① ( )的定義域為R；② ( )是偶函數(shù)；③ ( )在(0, + ∞)上單調(diào)
遞減，則 ( )的一個解析式是 ．
【答案】 ( ) = ― 2（答案不唯一）
【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)直接判斷.
【詳解】若 ( ) = ― 2，則 ( )為二次函數(shù)，定義域為R，圖象開口向下，對稱軸為 軸，是偶函數(shù)，
且在(0, + ∞)上單調(diào)遞減，故同時滿足三個條件，所以 ( )的一個解析式是 ( ) = ― 2，
故答案為： ( ) = ― 2（答案不唯一）.
13.若函數(shù) ( ) = 2023 + 2025 ―

―8， ( ―2) = 10，則 (2) = .
【答案】 ―26
【分析】令 ( ) = ( ) +8，再利用函數(shù)的奇偶性即可求解.

【詳解】因為 ( ) = 2023 + 2025 ― ―8 ( ) +8 = 2023 + 2025 ―

，
令 ( ) = ( ) +8，則

( ― ) +8 = ( ― ) +8 = ― 2023 ― 2025 + = ― 2023 + 2025 ―

，

所以 ― ( ) = ( ― )，所以 ( )為奇函數(shù)，
所以 ― (2) = ( ―2)，即 ― (2) ―8 = ( ―2) +8 ― (2) ―8 = 10 + 8，解得 (2) = ―26，
故答案為： ―26
14.定義在 上的兩個函數(shù) ( )和 ( )，已知 ( ) + (1 ― ) = 3， ( ) + ( ― 3) = 3.若 = ( )圖象關(guān)于點
(1,0)對稱，則 (0) = .
【答案】3
【分析】因為 = ( )圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以 ( ) + (2 ― ) = 0，所以 (1) = 0，再利用 ( ) +
(1 ― ) = 3求出 (0)即可.
【詳解】函數(shù) ( )的定義域為 ，且 = ( )圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以 ( ) + (2 ― ) = 0，所以 (1)
= 0，
又 ( ) + (1 ― ) = 3，當(dāng) = 0時， (0) + (1) = 3，所以 (0) = 3.
故答案為：3.
四、解答題
15．已知 ( )為 上的奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 ―2 ．
(1)求 ( ―1)的值；
(2)求 ( )的解析式．
(3)寫出解不等式 ( ) ≥ 0的解集．
【答案】(1)1
2
(2) ( ) = ― ― 2 , < 0 2 ― 2 , ≥ 0
(3)( ―∞, ― 2] ∪ {0} ∪ [2, + ∞)
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得 ( ―1)的值；
（2）設(shè) < 0，則 ― > 0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù) ( )在 < 0時的解析式，再由設(shè) (0) = 0可得出
函數(shù) ( )的解析式；
（3）分 ≥ 0、 < 0兩種情況解不等式 ( ) ≥ 0，綜合可得出原不等式的解集.
【詳解】（1）解：因為函數(shù) ( )為 上的奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 ―2 ，
則 ( ―1) = ― (1) = ― (1 ― 2) = 1.
（2）解：因為函數(shù) ( )為 上的奇函數(shù)，
當(dāng) < 0時， ― > 0，則 ( ) = ― ( ― ) = ― ( ― )2 ― 2( ― ) = ― 2 ―2 ，
2
又因為 (0) = 0滿足 ( ) = 2 ―2 ( ) = ― ― 2 , < 0，故 2 ― 2 , ≥ 0 .
（3）當(dāng) ≥ 0時， ( ) = ( 2 ― 2 ) ≥ 0，可得 2 ―2 ≥ 0，解得 ≤ 0或 ≥ 2，
此時， = 0或 ≥ 2；
當(dāng) < 0時， ( ) = ( ― 2 ― 2 ) = ― ( 2 + 2 ) ≥ 0，可得 2 +2 ≥ 0，解得 ≤ ―2或 ≥ 0，
此時， ≤ ―2.
綜上所述，原不等式的解集為( ―∞, ― 2] ∪ {0} ∪ [2, + ∞).
16.已知函數(shù) ( )是定義在 上的奇函數(shù)，且當(dāng) < 0時， ( ) = 2 +2 ，
(1)求函數(shù) ( )( ∈ )的解析式，并作出簡圖；
+1
(2)求函數(shù) ( ) = ( )在區(qū)間(0,2)上的值域.
(1) ( ) =
2 + 2 , ≤ 0
【答案】 ― 2 + 2 , > 0 ，作圖見解析；
(2)[1 + 3, + ∞).
2
【分析】（1）利用奇函數(shù)定義求出 > 0時 ( )，再用分段函數(shù)表示出即可.
（2）當(dāng) ∈ (0,2)時，求出 ( )，利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求出值域.
【詳解】（1）函數(shù) ( )是定義在 上的奇函數(shù)，且當(dāng) < 0時， ( ) = 2 +2 ，
當(dāng) > 0時， ― < 0，則 ( ) = ― ( ― ) = ―( 2 ―2 ) = ― 2 +2 ，而 (0) = 0，
2
所以 ( ) = + 2 , ≤ 0― 2 + 2 , > 0 ，函數(shù) ( )的圖象，如圖：
（2）由（1）得 ( ) = +1― 2+2 ， ∈ (0,2)，
1 1
令 = + 1 ∈ (1,3) =

， ，則 ― 2+4 ―3 = ― +4―3 = ―( +3 )+4，
= + 3函數(shù) 在(1, 3]上單調(diào)遞減，在[ 3,3)上單調(diào)遞增，
1 1
則2 3 ≤ +
3
< 4，0 < ―( +
3
) + 4 ≤ 4 ― 2 3，于是―( +3 )+4 ≥ = 1 +
3
，
4―2 3 2
+1
所以函數(shù) ( ) = 3 ( )在區(qū)間(0,2)上的值域為[1 + , + ∞).2
17.定義在( ―2,2)上的函數(shù) ( )滿足對任意的 , ∈ ( ―2,2)，都有 ( ) + ( ) = ( + )，且當(dāng) ∈ (0,2)時，
( ) > 0．
(1)證明：函數(shù) ( )是奇函數(shù)；
(2)證明： ( )在( ―2,2)上是增函數(shù)；
(3)若 ( ―1) = ―2， ( ) ≤ 2 + ― 1對任意 ∈ [ ―1,1]， ∈ [ ―2,2]恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)( ―∞, ― 3] ∪ [3, + ∞)
【分析】（1）令 = = 0可得 (0) = 0，再令 = ― ，結(jié)合奇函數(shù)定義，即可證明；
（2）設(shè)任意 1, 2 ∈ [0,2)且 1 > 2，作差 ( 1) ― ( 2)，結(jié)合條件賦值法可證明 ( 1) > ( 2)，再結(jié)合奇
函數(shù)性質(zhì)，即可得證；
（3）可轉(zhuǎn)化為即 2 + ― 1 ≥ ( )max，結(jié)合性質(zhì)所證明性質(zhì)求出 ( )max，再主元變換解決關(guān)于 的函數(shù)恒
成立問題，列出不等式組求解即可.
【詳解】（1）令 = = 0，得 (0) + (0) = (0)， (0) = 0，
∈ ( ―2,2), ― ∈ ( ―2,2)，
令 = ― ， ( ) + ( ― ) = (0) = 0， ( ― ) = ― ( )，
所以函數(shù) ( )是奇函數(shù)；
（2）設(shè)任意 1, 2 ∈ [0,2)且 1 > 2，
由題意 ( ) + ( ) = ( + )， = 1, = ― 2，
又由（1） ( )是奇函數(shù)，
得 ( 1 ― 2) = ( 1) + ( ― 2) = ( 1) ― ( 2)，
∵ 1 > 2,0 ≤ 1 < 2,0 ≤ 2 < 2， ∴ 0 < 1 ― 2 < 2，
已知當(dāng) ∈ (0,2)時， ( ) > 0，從而有 ( 1 ― 2) > 0，
故 ( 1) ― ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
∴ ( )在[0,2)上單調(diào)遞增，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知 ( )在( ―2,0]上也單調(diào)遞增，
故 ( )在( ―2,2)上是增函數(shù)；
（3） 2 + ― 1 ≥ ( )對任意 ∈ [ ―1,1]恒成立，即 2 + ― 1 ≥ ( )max，
由（2）得， ( )在[ ―1,1]上是增函數(shù)，
所以當(dāng) ∈ [ ―1,1]時， ( )max = (1)，
又（1）可知，函數(shù) ( )是奇函數(shù)，則 (1) = ― ( ―1) = 2，即 ( )max = 2.
所以 2 + ― 3 ≥ 0對任意 ∈ [ ―2,2]恒成立，
設(shè) ( ) = + 2 ―3， ∈ [ ―2,2]，要使 ( ) ≥ 0恒成立，
( ― 2) ≥ 0 ―2 + 2 ― 3 ≥ 0
則 (2) ≥ 0 ，即 2 + 2 ― 3 ≥ 0 ，
解得 ≥ 3或 ≤ ―3，所以實數(shù) 的取值范圍是( ―∞, ― 3] ∪ [3, + ∞)．
18.“函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點( , )對稱”的充要條件是“對于函數(shù) ( )定義域內(nèi)的任意 x，都有 ( ) +
(2 ― ) = 2 ”．若函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點(1,2)對稱，且當(dāng) ∈ [0,1]時， ( ) = 2 ― + + 1．
(1)求 ( ―1) + (3)的值；
(2) 2 設(shè)函數(shù) ( ) = 2― ．
（ⅰ）證明：函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點(2, ― 2)對稱；
（ⅱ 4）若對任意 1 ∈ [0,2]，總存在 2 ∈ ―2, ，使得 ( 3 1) = ( 2)成立，求實數(shù) a 的取值范圍．
【答案】(1) ( ―1) + (3) = 4
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）[ ―1,3]．
【分析】（1）由函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點(1,2)對稱，可得 ( ― 1) + (3) = 4；
（2）（ⅰ）證明 ( ) + (4 ― ) = ―4 4即可；（ⅱ）由 ( )在 ―2, 的值域為[ ―1,4]，設(shè) ( )在[0,2]上的值域為
3
A，問題轉(zhuǎn)化為 [ ―1,4]，先求解 ，分類討論軸與區(qū)間的關(guān)系，研究二次函數(shù)的值域即可.
【詳解】（1）因為函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點(1,2)對稱，
則 ( ) + (2 ― ) = 2 × 2 = 4，
令 = ― 1，可得 ( ―1) + (3) = 4．
（2）（ⅰ = 2 ）證明：由 ( ) 2― ，
2(4― )
+ = 2 + = 2 ― 8―2 4 ―8得 ( ) (4 ― ) 2― 2―(4― ) 2― 2― = 2― = ―4 = 2 × ( ―2)，
所以函數(shù) ( )的圖像關(guān)于(2, ― 2)對稱．
ⅱ 2 4 4（ ） ( ) = 2― = ―2 + 2― = ―2 ― ―2，
則 ( 2)在 2 ∈ ―2,
4
上單調(diào)遞增，
3
所以 ( 2)的值域為[ ―1,4]，
設(shè) ( )在[0,2]上的值域為 A，
對任意 1 ∈ [0,2] 4，總存在 2 ∈ ―2, ，使得 ( 1) = ( 2)成立，3
則 [ ―1,4]，
當(dāng) ∈ [0,1]時， ( ) = 2 ― + + 1，

函數(shù) ( )圖象開口向上，對稱軸為 = 2，且 (1) = 2，

當(dāng)2 ≤ 0，即 ≤ 0，函數(shù) ( )在[0,1]上單調(diào)遞增，
由對稱性可知， ( )在[1,2]上單調(diào)遞增，所以 ( )在[0,2]上單調(diào)遞增，
因為 (0) = + 1， (0) + (2) = 4，
所以 (2) = 3 ― ，
+ 1 ≥ ―1
所以 = [ + 1,3 ― ]，由 [ ―1,4] 4 ≥ 3 ― ，可得 ≤ 0 ，解得 ―1 ≤ ≤ 0．
+ 1 < 3 ―

當(dāng)0 < 2 < 1，即0 < < 2時，函數(shù) ( ) 0,

在 上單調(diào)遞減，在 ,1 上單調(diào)遞增，
2 2

由對稱性可知 ( )在 1,2 ― 上單調(diào)遞增，在 2 ― ,2 上單調(diào)遞減，
2 2
所以 ( ) 在 0, 上單調(diào)遞減，在 ,2 ― 上單調(diào)遞增，在 2 ― ,2 上單調(diào)遞減，
2 2 2 2
結(jié)合對稱性可得 = [ (2), (0)]或 = , 2 ― ，
2 2
2
因為0 < < 2，所以 (0) = + 1 ∈ (1,3)， = ― 4 + + 1 ∈ (1,2)，2
又 (0) + (2) = 4 ， + 2 ― = 4，
2 2
所以 (2) = 3 ― ∈ (1,3)， 2 ― ∈ (2,3)，
2
所以當(dāng)0 < < 2時， [ ―1,4]成立．

當(dāng)2 ≥ 1，即 ≥ 2時，函數(shù) ( )在[0,1]上單調(diào)遞減，
由對稱性可知 ( )在[1,2]上單調(diào)遞減，因為 (0) = + 1， (0) + (2) = 4，
所以 (2) = 3 ― ，所以 = [3 ― , + 1]，由 [ ―1,4]，
3 ― ≥ ―1
4 ≥ + 1
可得 ≥ 2 ，解得2 ≤ ≤ 3．
3 ― < + 1
綜上所述，實數(shù) a 的取值范圍為[ ―1,3]．
19．定義在R上的非常值函數(shù) = ( )、 = ( )，若對任意實數(shù) x、y，均有 ( + ) ( ― ) = 2( ) ―
2( )，則稱 = ( )為 = ( )的相關(guān)函數(shù).
(1)判斷 ( ) = + 1是否為 ( ) = 的相關(guān)函數(shù)，并說明理由；
(2)若 = ( )為 = ( )的相關(guān)函數(shù)，證明： = ( )為奇函數(shù)；
(3)在（2）的條件下，如果 (0) = 1， (3) = ―1，當(dāng)0 < < 3時， ―1 < ( ) < 1，且 ( + ) = ( )對所
有實數(shù) 均成立，求滿足要求的最小正數(shù) ，并說明理由.
【答案】(1)不是，理由見詳解；
(2)證明見詳解；
(3) = 6
【分析】（1）利用相關(guān)函數(shù)的定義代入計算驗證即可；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義及相關(guān)函數(shù)的概念計算即可；
（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及賦值法，結(jié)合遞推關(guān)系判定周期性，再用反證法判定最小正周期即可.
【詳解】（1）不是相關(guān)函數(shù)，
易知 ( + ) ( ― ) = ( + )( ― ) = 2 ― 2①，
而 2( ) ― 2( ) = ( + 1)2 ― ( + 1)2 = 2 ― 2 +2 ― 2 ②，顯然①②兩式不相等，
即 ( ) = + 1不是 ( ) = 的相關(guān)函數(shù)，
2 = + , = ― （ ）令 2 2 ，則有 ( ) ( ) =
2 ― ― 2 + ，
2 2
= ― , = + 令 2 2 ( , ∈ R)，則有 ( ) ( ― ) =
2 + ― 2 ― ，
2 2
兩式相加得 ( )[ ( ) + ( ― )] = 0，
因為 = ( )是定義在R上的非常值函數(shù)，所以 ( ), ( ) ≠ 0，
所以 ( )[ ( ) + ( ― )] = 0 ( ) + ( ― ) = 0，所以 ( )是奇函數(shù)；
（3）令 = 0，則 2( ) = 2(0) ― 2( ) = 1 ― 2( ) 2( ) + 2( ) = 1，
因為 (3) = ―1，所以 (3) = 0 = ( ―3)，
令 = + 3，則 (2 + 3) ( ―3) = 2( + 3) ― 2( ) = 0，
令 = 3，則 ( + 3) ( ― 3) = 2(3) ― 2( ) = 1 ― 2( )
( + 6) ( ) = 1 ― 2( + 3) = 1 ― 2( ) = 2( )
若 ( ) ≠ 0 ( + 6) = ( )，
若 ( ) = 0， 2( ) = 1 ― 2( ) = 1 ― 2( + 3) = 2( + 3) = 2( + 6)，
則 ( ) = ( + 6) = 0，
綜上可知 = 6滿足題意.
再用反證法證 = 6是滿足題意的最小正數(shù)，
若存在0 < < 6
0 0
滿足要求，令 = 0, = ，則 ∈ (0,3)，即 2 00 2 2 < 1，2
0 ― 0 = 2 ― 故 0 ― 2(0) < 0，
2 2 2
― 而 0 = ― 0 , 0 = ― 0 ，所以 0 = ― 0 = 0，矛盾，故不符題意.
2 2 2 2 2 2
所以存在 = 6是滿足題意的最小正數(shù).
【點睛】本題關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性，周期性，結(jié)合反證法及賦值法來處理問題.3.2.2 函數(shù)的奇偶性
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）理解函數(shù)奇偶性的概念;
（2）會判斷函數(shù)的奇偶性；
（1）結(jié)合具體函數(shù), 了解奇偶性的概念和幾何
（3）掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì).
意義。
（4）掌握函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、周期性）的
綜合性問題（難點)
知識點 01 函數(shù)奇偶性的概念
1 函數(shù)奇偶性的概念
(1) 一般地，設(shè)函數(shù) ( )的定義域為 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ( )，那么函數(shù) ( )就叫做偶
函數(shù).
(2) 一般地，設(shè)函數(shù) ( )的定義域為 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ― ( )，那么函數(shù) ( )就叫做
奇函數(shù).
由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域 是關(guān)于原點對稱的.
注 ① 從定義可知，若 是函數(shù)定義域中的一個數(shù)值，則 ― 也必然在該定義域中．故判斷函數(shù)的奇偶性的
前提是：定義域關(guān)于原點對稱．如 ( ) = , ∈ ( ― 1,1]是非奇非偶函數(shù).
② 函數(shù)按奇偶性可以分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函
數(shù)．從定義可知，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即 ( ) = 0， ∈ ， 是關(guān)于原點對稱的實數(shù)集．
2 判斷函數(shù)奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求 ( ― ) , 看下與 ( )的關(guān)系：若 ( ― ) = ( )，則 = ( )是偶函數(shù)；
若 ( ― ) = ― ( )，則 = ( )是奇函數(shù).
② 數(shù)形結(jié)合
若函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于 軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).
③ 取特殊值排除法(選擇題)
比如：若根據(jù)函數(shù)得到 (1) ≠ ( ― 1)，則排除 ( )是偶函數(shù).
④ 性質(zhì)法
偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差 (分母不為0)仍為奇函數(shù)；
奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；
一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).
對于復(fù)合函數(shù) ( ) = ( ( ))的奇偶性如下圖
( ) ( ) ( )
偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)
偶函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
【即學(xué)即練 1】
函數(shù) = 1 11+ ― 1― 的奇偶性是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
知識點 02 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
① 偶函數(shù)關(guān)于 軸對稱；
② 奇函數(shù)關(guān)于原點對稱；
③ 若奇函數(shù) ( )定義域內(nèi)含有0，則 (0) = 0；
證明 ∵ ( )為奇函數(shù)， ∴ ( ― ) = ― ( )．
令 = 0，則 ( ―0) = ― (0)，即 (0) = ― (0)， ∴ (0) = 0．
④ 在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積
(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．
【即學(xué)即練 2】
函數(shù) ( ) = 3 ― 1 的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【題型一：函數(shù)奇偶性的定義與判斷】
例 1．下列函數(shù)為偶函數(shù)是（　 ）
1
A． ( ) = 2 B． ( ) = | | +1

C． ( ) = ( 1 ) ― 3 D． ( ) = ―3 | |
變式 1-1．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A． ( ) = 2 +1 B． ( ) = 3 ―1
C 1． ( ) = 3 + D． ( ) =
4 +2 2
2 +1
變式 1-2．函數(shù) ( ) = 2 ―1是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)

變式 1-3．若函數(shù) ( ) = ― +1，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． ( + 1) ―2 B． ( ― 1) ―2 C． ( ― 1) +2 D． ( + 1) +2
【方法技巧與總結(jié)】
判斷函數(shù)奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求 ( ― ) , 看下與 ( )的關(guān)系：若 ( ― ) = ( )，則 = ( )是偶函數(shù)；
若 ( ― ) = ― ( )，則 = ( )是奇函數(shù).
② 數(shù)形結(jié)合
若函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于 軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).
③ 取特殊值排除法(選擇題)
比如：若根據(jù)函數(shù)得到 (1) ≠ ( ― 1)，則排除 ( )是偶函數(shù).
④ 性質(zhì)法
偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差 (分母不為0)仍為奇函數(shù)；
奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；
一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).
【題型二：由奇偶性求函數(shù)解析式】
例 2．已知函數(shù) = ( )在R上是奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 ―2，則不等式 ( ) > 0的解集是（ ）
A．( ―1,1) B．( ―1,0) ∪ (0,1)
C．( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞) D．( ―∞, ― 3)( ―1,1) ∪ (3, + ∞)
變式 2-1．已知 ( )是定義在 上的偶函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 2 ― ，則當(dāng) < 0時， ( ) = （ ）
A． ― 2 + B． 2 +
C． 2 ― D． ― 2 ―
變式 2-2．已知 ( ), ( )分別是定義在 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 ( ) ― ( ) = 3 + 2 + ，則 (1) + (1)
= （ ）
A．1 B．3 C． ―3 D． ―1
變式 2-3．已知 = ( )是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = ― 2 +4 ．若函數(shù) ( )在區(qū)間
[ ―2, ― 2]上單調(diào)遞增，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞,4) B．( ―∞,4]
C．(0,4] D．(4, + ∞)
【方法技巧與總結(jié)】
由函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，主要是利用函數(shù)奇偶性的定義.
【題型三：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求值】
例 3．已知函數(shù) ( )是奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 2 ―4 + 1，則 ( ―3)的值為（ ）
A． ―7 B．7 C． ―31 D．31
變式 3-1．已知 2( )是偶函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 3 ― ，則 ―
1 = （ ）
3
A． ―7 B． ―5 C．7 D．5
3―4
變式 3-2．已知函數(shù) ( ) = 2+4 +1，且 ( ) = ―3，則 ( ― ) = （ ）
A．4 B．5 C．-4 D．-3
變式 3-3． ( )為奇函數(shù)， ( )為偶函數(shù)，且 ( ― 1) + (1) = 4， (1) + ( ― 1) = 2則 (1) = （ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
【方法技巧與總結(jié)】
1 理解函數(shù)奇偶性的概念，比如函數(shù) ( )是偶函數(shù)，則 ( ― ) = ( )，等式其中x可取函數(shù)定義域中任何一
個值均成立；
2 在給函數(shù)賦值的時候，要注意自變量的取值范圍.
【題型四：抽象函數(shù)的奇偶性】
例 4．定義在 上的 ( )滿足：對任意 , ∈ ，總有 ( + ) ― [ ( ) + ( )] = 2017，則下列說法正確的
是（ ）
A． ( ) ― 1是奇函數(shù) B． ( ) + 1是奇函數(shù)
C． ( ) ― 2017是奇函數(shù) D． ( ) + 2017是奇函數(shù)
變式 4-1．f(x)是定義在 R 上的增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是
A．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)且是增函數(shù) B．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)且是減函數(shù)
C．f(x)－f(－x)是奇函數(shù)且是增函數(shù) D．f(x)－f(－x)是奇函數(shù)且是減函數(shù)
變式 4-2．已知 ( )為定義在R上的函數(shù)， (2) = 2，且 ( ) = (2 ) + 2為奇函數(shù)，則 ( ―2) = （ ）
A． ―4 B． ―2 C．0 D．2
變式 4-3．已知函數(shù) ( )滿足 , ∈ ， ( + ) = ( ) + ( )， (1) = 1，則 ( ―2) = （ ）
A．0 B．1
C． ―2 D．2
【方法技巧與總結(jié)】
判斷抽象函數(shù)的奇偶性，常常利用奇偶性的定義.
【題型五：由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】
5 = 1

例 ．已知函數(shù) ( ) 2 +1 ― 2，則“ = 1”是“ ( )為奇函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2
5-1 ( ) = ― +1變式 ．已知函數(shù) ― 為奇函數(shù)，則 (3) = （ ）
A 10． 3 B
1
．2 C．1 D．2
變式 5-2．已知函數(shù) ( ) = 2 + + 2( , ∈ R)是定義在[2 , + 3]上的偶函數(shù)，則函數(shù) ( ) = ( )
+2 在[ ―2,2]上的最小值為（ ）
A． ―6 B． ―2 C．3 D．0
變式 5-3．已知定義在 1 2上的偶函數(shù) ( ) = | ― + 1| ―2，若正實數(shù) a、b 滿足 ( ) + (2 ) = ，則 +
的最小值為（ ）
A 9．5 B．9 C
8
．5 D．8
【方法技巧與總結(jié)】
由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要是利用奇偶性的定義；
比如：帶參數(shù)a的函數(shù)f( )是偶函數(shù)，求參數(shù)a；則通過偶函數(shù)的定義可得帶參數(shù)a的等式f( ― ) = f( )，證
明其在定義域內(nèi)恒成立時a的取值，但若是選擇題，則可以靈活些，取x等于一特殊值得到關(guān)于a的方程從
而求出a值.
【題型六：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用】
例 6．已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，則 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0的解集為（ ）
A．( ―3,1) B．( ―∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
C．( ―1,3) D．( ―∞, ― 1) ∪ (3, + ∞)
變式 6-1．設(shè)函數(shù) ( ) = | | ―2 ，則 ( )（ ）
A．是偶函數(shù)，且在(1, + ∞)上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在( ―1,1)上單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在( ―∞, ― 1)上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在( ―∞, ― 1)上單調(diào)遞減
變式 6-2．已知定義在 , ∈
( 1)― ( )
上的偶函數(shù) ( )，若對于任意不等實數(shù) 1 2 [0, + ∞)
2
都滿足 ― > 0，則不1 2
等式 (2 ) > ( ― 2)的解集為（ ）
A．( ―∞, ― 2) B 2 2．( ―2, + ∞) C． ―2, D．( ―∞, ― 2) ∪ , + ∞
3 3
變式 6-3．?dāng)?shù)學(xué)用語中，max{ , }表示 ， 中較大的數(shù).已知函數(shù) ( ) = max{ 2 + 4 , 2 ― 4 }，若 (2 ― )
> (2 )，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A ―∞, 2 B 2 , + ∞ C ―1, 2 D ―2, 2． ． ． ．
3 3 3 3
變式 6-4．（多選） ( )是定義在 R 上的偶函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 4 ― 2，則下列說法中錯誤的是
（ ）
A． ( )的單調(diào)遞增區(qū)間為( ―∞, ― 2] ∪ [0,2] B． ( ―π) < (5)
C． ( )的最大值為 4 D． ( ) > 0的解集為( ―4,4)
【方法技巧與總結(jié)】
1 處理函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合的題目，利用函數(shù)的圖象較好；
2 若f( )是偶函數(shù)，則f( )在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相反的；
若f( )是奇函數(shù)，則f( )在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相同的.
【題型七：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
例 7．（多選）已知定義在R上的奇函數(shù) ( )滿足 ( + 2) = (2 ― )，且在[0,2]上是增函數(shù)，則下列判斷正
確的是（ ）
A． ( )的周期是 4 B． (2)是函數(shù)的最大值
C． ( )的圖象關(guān)于點( ―2,0)對稱 D． ( )在[ ―2,2]上是增函數(shù)
變式 7-1．已知函數(shù) ( )的定義域為R， ( ― ) + ( ) = 0， ( + 1)是偶函數(shù)， (1) = ―1，則 (2023) +
(2026) = （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
變式 7-2．（多選）已知函數(shù) ( )的定義域為 ， ( + 2) + ( ) = 0，且函數(shù) (2 + 1)為偶函數(shù)，則下面說
法一定成立的是（ ）
A． ( )是奇函數(shù) B． (2024) = 1
2024
C． ( )的圖象關(guān)于 = 1對稱 D． ( ) = 2024
=1
變式 7-3．函數(shù) = ( )的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) = ( )為奇函數(shù)，可以將
其推廣為：函數(shù) = ( )的圖象關(guān)于點 ( , )成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) = ( + ) ― 為奇函數(shù)，
2
給定函數(shù) ( ) = + ―6 +1 .
(1)求 ( )的對稱中心；
(2)已知函數(shù) ( )同時滿足：① ( + 1) ―1是奇函數(shù)；②當(dāng) ∈ [0,1]時， ( ) = 2 ― + .若對任意的 1
∈ [0,2]，總存在 2 ∈ [1,5]，使得 ( 1) = ( 2)，求實數(shù) m 的取值范圍.
變式 7-4．已知函數(shù) ( ) = | + |( ∈ ).
(1)若函數(shù) ( )是奇函數(shù)，求 的值；
(2)若 <0，記函數(shù) ( )在[2, + ∞)上的最小值為 ( ).
（i）求 ( )；
（ii）設(shè)函數(shù) ( ) = 2 + + 4( ∈ )滿足：對任意 ∈ ，均存在 0 ∈ [2, + ∞)，使得 ( ) = ( 0)，求
的取值范圍.
【方法技巧與總結(jié)】
1 處理函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，常常采取數(shù)形結(jié)合的方法；
2函數(shù)的周期性
（1）概念
對于函數(shù) = ( )，如果存在一個不為零的常數(shù) ，使得當(dāng) 取定義域內(nèi)的每一個值時， ( + ) = ( )都
成立，那么把函數(shù) = ( )叫做周期函數(shù)，常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期.
（2）① 若 ( + ) = ( + ) ，則 = ( )的周期是 = ― .
② 若 ( + ) = ― ( ) ，則 = ( )的周期是 = 2 ；
1
③ 若 ( + ) = ( )，則 = ( )的周期是 = 2 .
3 函數(shù)的對稱性
（1） 函數(shù)圖象自身的對稱關(guān)系
① 軸對稱：若 ( + ) = ( ― ) , 則 = ( )有對稱軸 = + 2 .
② 中心對稱：若函數(shù) = ( )定義域為 ，且滿足條件 ( + ) + ( ― ) = ( , , 為常數(shù))，則函數(shù) =

( ) + 的圖象關(guān)于點( 2 , 2)對稱.
（2）兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系
① 軸對稱
若函數(shù) = ( )定義域為 ，則兩函數(shù) = ( + )與 = ( ― ) =
―
的圖象關(guān)于直線 2 對稱.
特殊地，函數(shù) = ( + )與函數(shù) = ( ― )的圖象關(guān)于直 = 0對稱.
② 中心對稱

若函數(shù) = ( )定義域為 ，則兩函數(shù) = ( + )與 = ― ( ― ) ( ― 的圖象關(guān)于點 2 , 2)對稱.
特殊地，函數(shù) = ( + )與函數(shù) = ― ( ― ) ― 圖象關(guān)于點( 2 , 0)對稱.
4 周期性與對稱性拓展
① 若函數(shù) = ( )同時關(guān)于直線 = , = 對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 2| ― |；特殊地，若偶函數(shù)
= ( )的圖像關(guān)于直線 = 對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 2| |；
② 若函數(shù) = ( )同時關(guān)于點( , 0) , ( , 0)對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 2| ― |；
③ 若函數(shù) = ( )同時關(guān)于直線 = 對稱，又關(guān)于點( , 0)對稱 , 則函數(shù) = ( )的周期 = 4| ― |；
特殊地，若奇函數(shù) = ( )的圖像關(guān)于直線 = 對稱，則函數(shù) = ( )的周期 = 4| |.
一、單選題
1．下列函數(shù)中，在區(qū)間( ― ∞,0)上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（ ）
A 1 1 1． = B． = | | C． = ― D． = +
2.若 ( )是 R 上周期為 6 的奇函數(shù)，且滿足 (1) = ―1， (2) = 2，則 (5) ― (4) = （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
3.已知函數(shù) ( ) = | ― 2| + | + 2|，則“ = ―1”是“ ( )為奇函數(shù)”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4.設(shè)函數(shù) ( )的定義域為 R，且 (3 + 2)是奇函數(shù)， ( 3 +1)是偶函數(shù)，則一定有（ ）
A． (4) = 0 B． ( ― 1) = 0 C． (3) = 0 D． (5) = 0
5.已知 ( )是定義在 上的奇函數(shù)，當(dāng) ≥ 0時， ( ) = 2 ― + ― 1，則滿足 ( ) ≥ 0的 的取值范圍是
（ ）
A．( ―∞, ― 1] ∪ [0,1] B．[ ―1,1]
C．[ ―1,0] ∪ [1, + ∞) D．( ―∞, ― 1] ∪ [1, + ∞)
2
6.已知函數(shù) ( ) = 1― 1+ 2，則不等式 (2 ― 1) < ( ― 1)的解集為（ ）
A 2．( ―∞,0) B． , + ∞
3
C． 0, 2 D 2．( ―∞,0) ∪ , + ∞
3 3
7. = 5―5
4
函數(shù) 4+1 部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
8.函數(shù) = ( ) 的圖像關(guān)于點 ( , ) 成中心對稱的充要條件是函數(shù) = ( + ) ― 為奇函數(shù)，以下選項不
正確的有（ ）
A． ( ) = 3 + 1 1關(guān)于 ,0 中心對稱
3
B． ( ) = 3 ―6 2 +13關(guān)于(2, ― 3) 中心對稱
C．函數(shù) = ( ) 的圖象關(guān)于點 ( , ) 對稱，則 ( ) = 2 ― (2 ― )
D．函數(shù) = ( ) 的圖象關(guān)于 = 對稱的充要條件是 = ( + ) 為偶函數(shù)
二、多選題
9．下列四個函數(shù)中，不具有奇偶性的是（ ）
A． ( ) = 2 ―1 B． ( ) = 2 +
C． ( ) = + 3 D． ( ) = 3 +2
10.已知函數(shù) ( )的定義域為 , ( ) = ( ) + ( )，則（ ）
A． (0) = 0 B． ( ―1) = 0
C 1． ( )是偶函數(shù) D． (2) ≤ 0
2
11.已知定義在 上的偶函數(shù) ( )和奇函數(shù) ( )滿足 (2 + ) + ( ― ) = 1，則（ ）
A． ( )的圖象關(guān)于點(2,1)對稱 B． ( )是以 8 為周期的周期函數(shù)
2024
C． ( + 8) = ( ) D． (4 ― 2) = 2025
=1
三、填空題
12．已知函數(shù) ( )同時滿足下列條件：① ( )的定義域為R；② ( )是偶函數(shù)；③ ( )在(0, + ∞)上單調(diào)
遞減，則 ( )的一個解析式是 ．
13.若函數(shù) ( ) = 2023 + 2025 ―

―8， ( ―2) = 10，則 (2) = .
14.定義在 上的兩個函數(shù) ( )和 ( )，已知 ( ) + (1 ― ) = 3， ( ) + ( ― 3) = 3.若 = ( )圖象關(guān)于點
(1,0)對稱，則 (0) = .
四、解答題
15．已知 ( )為 上的奇函數(shù)，當(dāng) > 0時， ( ) = 2 ―2 ．
(1)求 ( ―1)的值；(2)求 ( )的解析式．(3)寫出解不等式 ( ) ≥ 0的解集．
16.已知函數(shù) ( )是定義在 上的奇函數(shù)，且當(dāng) < 0時， ( ) = 2 +2 ，
(1)求函數(shù) ( )( ∈ )的解析式，并作出簡圖；
+1
(2)求函數(shù) ( ) = ( )在區(qū)間(0,2)上的值域.
17.定義在( ―2,2)上的函數(shù) ( )滿足對任意的 , ∈ ( ―2,2)，都有 ( ) + ( ) = ( + )，且當(dāng) ∈ (0,2)時，
( ) > 0．
(1)證明：函數(shù) ( )是奇函數(shù)；
(2)證明： ( )在( ―2,2)上是增函數(shù)；
(3)若 ( ―1) = ―2， ( ) ≤ 2 + ― 1對任意 ∈ [ ―1,1]， ∈ [ ―2,2]恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．
18.“函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點( , )對稱”的充要條件是“對于函數(shù) ( )定義域內(nèi)的任意 x，都有 ( ) +
(2 ― ) = 2 ”．若函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點(1,2)對稱，且當(dāng) ∈ [0,1]時， ( ) = 2 ― + + 1．
(1)求 ( ―1) + (3)的值；
(2) 2 設(shè)函數(shù) ( ) = 2― ．
（ⅰ）證明：函數(shù) ( )的圖像關(guān)于點(2, ― 2)對稱；
（ⅱ）若對任意 1 ∈ [0,2]，總存在 2 ∈ ―2, 4 ，使得 ( 1) = ( 2)成立，求實數(shù) a 的取值范圍．3
19．定義在R上的非常值函數(shù) = ( )、 = ( )，若對任意實數(shù) x、y，均有 ( + ) ( ― ) = 2( ) ―
2( )，則稱 = ( )為 = ( )的相關(guān)函數(shù).
(1)判斷 ( ) = + 1是否為 ( ) = 的相關(guān)函數(shù)，并說明理由；
(2)若 = ( )為 = ( )的相關(guān)函數(shù)，證明： = ( )為奇函數(shù)；
(3)在（2）的條件下，如果 (0) = 1， (3) = ―1，當(dāng)0 < < 3時， ―1 < ( ) < 1，且 ( + ) = ( )對所
有實數(shù) 均成立，求滿足要求的最小正數(shù) ，并說明理由.

展開更多......

收起↑