資源簡介

3.1.2 表示函數的方法
課程標準 學習目標
（1）在實際情境中, 會根據不同的需要選擇恰 （1）會求函數的解析式; （難點)
當的方法（如圖象法、列表法、解析法) 表示 （2）列表法表示函數
函數, 理解函數圖象的作用。 （3）圖象法表示函數。
知識點 01 解析法
把常量和表示自變量的字母用一系列運算符號連接起來得到的式子，叫作解析式（也叫作函數表達式或函
數關系式），解析法就是用解析式來表示函數的方法。
比如正方形周長 與邊長 間的解析式為 = 4 ，圓的面積 與半徑 的解析式 = 2等.
求函數解析式的方法
① 配湊法 ② 待定系數法 ③ 換元法 ④ 構造方程組法 ⑤ 代入法
【即學即練 1】
已知函數 ( ) =
1
，則 ( + 1) = （ ）
A = 1 1 2 2． ( + 1) +1 B． ( + 1) = ―1 C． ( + 1) = ―1 D． ( + 1) = +1
【答案】A
【分析】根據已知函數解析式，直接代入即可.
1
【詳解】依題意 ( + 1) = +1．
故選：A.
知識點 02 列表法
如上表，我們很容易看到 與 之間的函數關系.
在初中剛學畫一次函數時，想了解其圖像是一直線，第一步就是列表，其實就是用表格法表示一次函數.
【即學即練 2】
函數 ( )與 ( )的對應關系如下表．
―1 0 1 1 2 3
( ) 1 3 2 ( ) 0 ―1 1
則 ( ( ― 1))的值為（ ）
A．0 B．3 C．1 D． ―1
【答案】A
【分析】根據圖表代入對應的值，即可得到答案.
【詳解】根據表格， ( ―1) = 1， (1) = 0，
故選：A.
知識點 03 圖象法
如上圖，很清晰的看到某天空氣質量指數 與時間 兩個變量之間的關系，特別是其趨勢.
數學中的“數形結合”也就是這回事，它是數學一大思想，在高中解題中識圖和畫圖尤為重要.
【即學即練 3】
購買某種飲料 聽，所需錢數是 元．若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象法將 表示成 ( ∈ {1,2,3,4})
的函數．
解析 解析法 = 2 , ∈ {1,2,3,4}．
列表法
1 2 3 4
2 4 6 8
圖象法
【題型一：解析法表示函數】
例 1．若函數 = ( )對任意 ∈ R，均有 ( + ) = ( ) + ( )，則下列函數可以為 = ( )解析式的是
（ ）
A． ( ) = + 1 B． ( ) = 2 ― 1
C． ( ) = 2 D． ( ) = 2 +
【答案】C
【分析】根據 ( + ) = ( ) + ( )，即可結合選項逐一代入驗證，即可求解.
【詳解】對于 A, ( + ) = + +1， ( ) + ( ) = + 1 + +1，故 ( + ) ≠ ( ) + ( )，故 A 錯誤，
對于 B， ( + ) = 2( + ) ―1 = 2 + 2 ― 1， ( ) + ( ) = 2 ― 1 + 2 ― 1 = 2 + 2 ― 2，故 ( + )
≠ ( ) + ( )，故 B 錯誤，
對于 C, ( + ) = 2( + ) = 2 + 2 ， ( ) + ( ) = 2 + 2 故 ( + ) = ( ) + ( )，故 C 正確，
對于 D, ( + ) = ( + )2 + ( + ) = 2 + 2 +2 + + ， ( ) + ( ) = 2 + + 2 + 故 ( + )
≠ ( ) + ( )，故 D 錯誤，
故選：C
變式 1-1．一個等腰三角形的周長為 20，底邊長 是一腰長 的函數，則（ ）
A． = 10 ― (0 < ≤ 10) B． = 10 ― (0 < < 10)
C． = 20 ― 2 (5 ≤ ≤ 10) D． = 20 ― 2 (5 < < 10)
【答案】D
【分析】結合等腰三角形性質可得2 + = 20，變形得 關于 表達式，再結合三角形三邊性質確定自變量
范圍即可.
【詳解】∵2 + = 20，∴ = 20 ― 2 .
20 ― 2 > 0,
由題意得 + > 20 ― 2 , 解得5 < < 10.
> 0,
∴ = 20 ― 2 (5 < < 10).
故選：D.
變式 1-2．下列函數中，對任意 ，不滿足2 ( ) = (2 )的是（ ）
A． ( ) = | | B． ( ) = ―2
C． ( ) = ― | | D． ( ) = ― 1
【答案】D
【分析】結合各選項的解析式計算 (2 )、判斷是否與2 ( )相同即可.
【詳解】對于 A： ( ) = | |，則 (2 ) = |2 | = 2| | = 2 ( )，故 A 正確；
對于 B： ( ) = ―2 ，則 (2 ) = ―4 = 2( ―2 ) = 2 ( )，故 B 正確；
對于 C： ( ) = ― | |，則 (2 ) = 2 ― |2 | = 2( ― | |) = 2 ( )，故 C 正確；
對于 D： ( ) = ― 1，則 (2 ) = 2 ― 1，2 ( ) = 2( ― 1) = 2 ― 2，
所以2 ( ) ≠ (2 )，故 D 錯誤；
故選：D
變式 1-3．定義在 R 上的函數 ( )滿足 ( ) = ( ) + ( )，且 (4) = 8，則 ( 2)（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】根據條件等式，通過賦特殊值，求 ( 2).
【詳解】 ∵ (4) = (2 × 2) = (2) + (2) = 2 (2)， ∴ (2) = 4，
(2) = ( 2 × 2) = ( 2) + ( 2) = 2 ( 2)， ∴ ( 2) = 2.
故選：B
( )+ ( ) 1
變式 1-4．若函數 ( )滿足 ( + ) = 1― ( ) ( )，且 (2) = 2， (3) =
1
3，則 (7) =
A 4 8．1 B．3 C．3 D．3
【答案】B
( )+ ( ) (2)+ (2) 4 1
【詳解】因為函數 ( )滿足 ( + ) = 1― ( ) ( )，所以 (4) = (2 + 2) = 1― (2) (2) = 3，結合 (3) = 3，可
(4)+ (3) 4+1
得 (7) = (4 + 3) = 3 31― (4) (3) = 1―4 × 1=3，故選 B.
3 3
【方法技巧與總結】
理解函數解析式 = ( )，僅是用一系列運算符號連接起來得到的式子，它對定義域內任何一個值都是成立
的；比如①函數 ( ) = x2( > 0)，可取任何大于0的值進行賦值；②若函數 ( )滿足 ( ) = ( ) + ( )，
則x, 取任何實數均可使得等式成立.
【題型二：求函數的解析式】
方法 1 待定系數法
例 2．若二次函數 ( )滿足 ( + 1) ― ( ) = 2 ，且 (0) = 1，則 ( )的表達式為（ ）
A． ( ) = ― 2 ― ― 1 B． ( ) = ― 2 + ― 1
C． ( ) = 2 ― ― 1 D． ( ) = 2 ― + 1
【答案】D
【分析】設 ( ) = 2 + + ， ≠ 0，根據 (0) = 1得到 = 1，再根據 ( + 1) ― ( ) = 2 得到 = 1，
= ―1，從而得到函數的解析式.
【詳解】設 ( ) = 2 + + ， ≠ 0，
∵ (0) = 1，則 = 1， ( ) = 2 + + 1
又∵ ( + 1) ― ( ) = 2 ，
令 = 0，則 (1) ― (0) = 0，∴ (1) = 1，即 + + 1 = 1， + = 0，
令 = 1，則 (2) ― (1) = 2， (2) = 3，即4 + 2 + 1 = 3，2 + = 1，
∴ = 1， = ―1， ( ) = 2 ― + 1.
故選：D.
變式 2-1．已知 ( )是一次函數，且2 (2) ― 3 (1) = 5，2 (0) ― ( ― 1) = 3，則 ( ) = （ ）
A．3 ― 2 B．3 + 2
C 9 ― 1．2 2 D．4 ― 1
【答案】D
【分析】根據題意設函數 ( ) = + ( ≠ 0)，列出方程組，求得 , 的值，即可求解.
【詳解】由題意，設函數 ( ) = + ( ≠ 0)，
因為2 (2) ― 3 (1) = 5，2 (0) ― ( ― 1) = 3，
所以2(2 + ) ―3( + ) = 5，2 ― ( ― + ) = 3，
― = 5
則 + = 3 ，解得 = 4, = ―1，
所以 ( ) = 4 ― 1.
故選：D.
變式 2-2．已知函數 ( )是一次函數，且 [ ( ) ― 2 ] = 3，則 (5) = （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【分析】設 ( ) = + ( ≠ 0)，根據 [ ( ) ― 2 ] = 3恒成立可得 a，b，然后可解.
【詳解】設 ( ) = + ( ≠ 0)，
則 [ ( ) ― 2 ] = ( + ― 2 ) = ( + ― 2 ) + = 3，
整理得( 2 ― 2 ) + + ― 3 = 0，
2
― 2 = 0 = 2
所以 + ― 3 = 0 ，解 = 1 ，
所以 ( ) = 2 + 1，所以 (5) = 2 × 5 + 1 = 11.
故選：A
變式 2-3．已知二次函數 ( )滿足 (2) = ―1, (1 ― ) = ( )，且 ( )的最大值是 8，則此二次函數的解析
式為 ( ) = （ ）
A． ―4 2 +4 + 7 B．4 2 +4 + 7
C． ―4 2 ―4 + 7 D． ―4 2 +4 ― 7
【答案】A
2
【分析】根據條件設二次函數為 ( ) = ― 1 + ( ≠ 0)2 ，代入條件求解即可.
【詳解】根據題意，由 (1 ― ) = ( ) 1得: ( )圖象的對稱軸為直線 = 2，
1 2
設二次函數為 ( ) = ― + ( ≠ 0)2 ，
1 1
因 ( )的最大值是 8，所以 < 0，當 = 2時， = = 8 ，2
2
即二次函數 ( ) = ― 1 +8( ≠ 0)2 ，
2
由 (2) = ―1得: (2) = 2 ― 1 +8 = ―12 ，解得： = ―4，
2
則二次函數 ( ) = ―4 ― 1 +8 = ―4 2 +4 + 72 ，
故選：A.
方法 2 換元法
例 3．已知函數 ( ― 2) = ― 4 +5，則 ( )的解析式為（ ）
A． ( ) = 2 +1( ≥ 0) B． ( ) = 2 +1( ≥ ―2)
C． ( ) = 2( ≥ 0) D． ( ) = 2( ≥ ―2)
【答案】B
【分析】應用換元法求函數解析式，注意定義域.
【詳解】令 = ―2 ≥ ―2，則 = ( + 2)2，
所以 ( ) = ( + 2)2 ―4( + 2) + 5 = 2 +1，
綜上， ( ) = 2 +1( ≥ ―2).
故選：B
2
變式 3-1 1― ．已知函數 (1 ― ) = 2 ( ≠ 0)，則 ( ) = （ ）
1 1
A．( ―1)2 ―1( ≠ 0) B．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
4 4
C．( ―1)2 ―1( ≠ 0) D．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
【答案】B
【分析】利用換元法令 = 1 ― 求解析式即可．
【詳解】令 = 1 ― ，則 = 1 ― ，且 ≠ 0，則 ≠ 1，
= 1―(1― )
2 1
可得 ( ) (1― )2 = ( ―1)2 ―1,( ≠ 1)，
1
所以 ( ) = ( ―1)2 ―1( ≠ 1).
故選：B.
1
變式 3-2．設函數 1 + = 2 + 1，則 ( )的表達式為（ ）

A 1+ B 1+ ．1― ( ≠ 1) ． ―1( ≠ 1)
C 1― D 2 ．1+ ( ≠ ―1) ． +1( ≠ ―1)
【答案】B
1 1
【分析】令 = 1 + ( ≠ 1)，則可得 = ―1，然后可得答案.
1 1
【詳解】令 = 1 + ( ≠ 1)，則可得 = ―1 ( ≠ 1)
所以 = 2 +1 = 1+ 1+ ( ) ―1 ―1( ≠ 1)，所以 ( ) = ―1( ≠ 1)
故選：B
【點睛】易錯點睛：本題主要考查函數解析式的求法，主要涉及了用換元法，要注意換元后的取值范圍，
考查學生的轉化與化歸能力，屬于基礎題.
變式 3-3．已知 ( + 1) = + 3，則 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 2( ≥ 0) B． 2 ―2 + 4( ≥ 1)
C． 2 ―2 + 4( ≥ 0) D． 2 ―2 + 2( ≥ 1)
【答案】B
【分析】利用換元法可得答案.
【詳解】令 = +1, ≥ 1，則 = ( ― 1)2，
所以 ( ) = ( ― 1)2 +3 = 2 ―2 + 4( ≥ 1)，
即 ( ) = 2 ―2 + 4( ≥ 1).
故選：B.
方法 3 方程組法
例 4 1 15．已知定義在(0, + ∞)上的函數 ( )滿足 ( ) ―4 = ― ，則 (2)的值為（ ）
A 15 B 15 C 17 17． 2 ． 4 ． 4 D． 2
【答案】D
1
【分析】由已知可知 ―4 ( ) = ―15 ，與已知的式子聯立方程組可求出 ( )，從而可求出 (2)的值.

1 15
【詳解】因為定義在(0, + ∞)上的函數 ( )滿足 ( ) ―4 = ―

，
所以 1 ―4 ( ) = ―15 1，所以 = 4 ( ) ―15 ，

所以 ( ) ―4
15 1
[4 ( ) ― 15 ] = ― ，解得 ( ) = 4 + ，
(2) = 8 + 1 = 17所以 2 2 ，
故選：D
變式 4-1 1 4．若函數 ( )， ( )滿足 ( ) ― 2 = 3 ― ，且 ( ) + g( ) = 2 + 6，則 (2) + ( ―1) =
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根據方程組法求解函數 ( )的解析式，代入求出 (2)， ( ― 1)，再利用 ( ― 1)求出 ( ― 1)，從而
得解.
【詳解】因為 ( ) ― 2 1 = 3 ― 4 1 ，所以 ―2 =
3
( )

―4 ，
2
( ) = 5 ―2 (2) = 5×2
2―2 = 3 ( ― 1) = 5×(―1)
2―2
聯立可得 3 ，所以 3×2 ， 3×(―1) = ―1，
因為 ( ) + g( ) = 2 + 6，所以 ( ― 1) + ( ― 1) = ―2 + 6 = 4，則 ( ― 1) = 4 + 1 = 5，
所以 (2) + ( ―1) = 8.
故選：C.
變式 4-2 1．已知函數 ( )滿足 ( ) + 2 (2 ― ) = ―1，則 (3)的值為（ ）
A 7 10 4 1． ― 3 B． ― 9 C． ― 15 D． ― 6
【答案】B
【分析】將 換成2 ― ，得到即 (2 ― ) + 2 ( ) = 12― ―1，聯立方程組求得 ( ) 的解析式，進而求得
(3)的值.
【詳解】由 ( ) + 2 (2 ― ) = 1 ―1，將 換成2 ― ，可得 (2 ― ) + 2 (2 ― (2 ― )) =
1
2― ―1，
即 (2 ― ) + 2 ( ) = 12― ―1，
( ) + 2 (2 ― ) = 1 ― 1
聯立方程組 1 ，解得 ( ) =
1 2
3 ― 1 ―
1
，
(2 ― ) + 2 ( ) = ― 1 2―
2―
(3) = ― 10所以 9 .
故選：B.
變式 4-3．已知定義在 R 上的函數 ( )，滿足 ( ) +2 ( ― ) = 2 + 12.
(1)求 ( )的解析式；
(2)若點 ( , )在 = ( )圖像上自由運動，求4 + 2 的最小值.
【答案】(1) ( ) = ―2 + 4
(2)8
【分析】（1）用 ― 替換已知中的 ，然后解方程；
（2）利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）因為 ( ) +2 ( ― ) = 2 + 12，①
所以 ( ― ) +2 ( ) = ―2 + 12，②
由①②可解得： ( ) = ―2 + 4.
（2）由題知：2 + = 4，
∴4 + 2 = 22 + 2 ≥ 2 22 2 = 2 22 + = 2 24 = 8
（當且僅當22 = 2 ，即2 = = 2時取“＝”）.
∴4 + 2 的最小值為 8.
【方法技巧與總結】
求函數解析式，可視情況而定，
1 若已知函數類型，可用待定系數法；
2 若求f( ( ))型函數解析式，可用換元法，此時要注意新自變量的取值范圍；
3 若求滿足某函數方程的函數解析式，則用方程組的方法.
【題型三：列表法表示函數】
例 5．設已知函數 ( ), ( )如下表所示：
1 2 3 4 5
( ) 5 4 3 2 1
( ) 4 3 2 1 5
則不等式 ( ( )) > ( ( ))的解集為（ ）
A．{1,3} B．{5,3} C．{2,3,4} D．{5}
【答案】C
【分析】根據函數圖表數據，判斷 取不同值是否滿足 ( ( )) > ( ( ))即可得解集.
【詳解】當 = 1，則 (1) = 4， (1) = 5，而 (4) = 2 < (5) = 5，不滿足；
當 = 2，則 (2) = 3， (2) = 4，而 (3) = 3 > (4) = 1，滿足；
當 = 3，則 (3) = 2， (3) = 3，而 (2) = 4 > (3) = 2，滿足；
當 = 4，則 (4) = 1， (4) = 2，而 (1) = 5 > (2) = 3，滿足；
當 = 5，則 (5) = 5， (5) = 1，而 (5) = 1 < (1) = 4，不滿足；
所以不等式 ( ( )) > ( ( ))的解集為{2,3,4}.
故選：C.
變式 5-1．已知函數 ( ), ( )分別由下表給出：則 [ (2)]的值是（ ）
1 2 3
( ) 1 3 1
( ) 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．1 和 2
【答案】C
【分析】根據表中自變量與函數值的對應關系，先求得 (2) = 2，再求 [ (2)]即得.
【詳解】由表可知： (2) = 2，則 [ (2)] = (2) = 3.
故選：C.
變式 5-2．觀察下表：
x ―3 ―2 ―1 1 2 3
( ) 5 1 ―1 ―3 3 5
( ) 1 4 2 3 ―2 ―4
則 [ ( ―1) ― (3)] = （ ）
A． ―4 B． ―3 C．3 D．5
【答案】D
【解析】根據表格求出 ( ―1) = ―1， (3) = ―4，再求出 (3) = 5即可得解.
【詳解】由題中表格得 ( ―1) = ―1， (3) = ―4，
∴ [( ―1) ― (3)] = [ ―1 ― ( ―4)] = (3) = 5，
故選：D.
【點睛】此題考查函數概念辨析，根據表格形式表示的函數關系求函數值.
變式 5-3．德國數學家狄利克在 1837 年時提出：“如果對于 的每一個值， 總有一個完全確定的值與之對
應，則 是 的函數，”這個定義較清楚地說明了函數的內涵.只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個
值，有一個確定的 和它對應就行了，不管這個對應的法則是公式、圖象，表格或是其它形式.已知函數
( )由下表給出，則 10 1 的值為（ ）
2
≤ 1 1 < < 2 ≥ 2
1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
1
【分析】先計算出 = 1，進而求出 10 1 的值.
2 2
1 1
【詳解】因為2 ≤ 1，所以 = 1，故 10
1 = (10) = 3.
2 2
故選：D
【方法技巧與總結】
表格法表示函數，要注意看清楚變量數值之間的對應關系.
【題型四：圖象法表示函數】
例 6．如圖所示的 4 個圖象中，與所給 3 個事件最吻合的順序為（ ）
①我離開家后，心情愉快，緩慢行進，但最后發現快遲到時，加速前進；
②我騎著自行車上學，但中途車壞了，我修理好又以原來的速度前進；
③我快速的騎著自行車，最后發現時間充足，又減緩了速度.
A．③①② B．③④② C．②①③ D．②④③
【答案】C
【分析】根據速度與離家距離增長快慢的對應關系判斷，
【詳解】①離開家后緩慢行進，但最后發現快遲到時，加速前進；對應離開家的距離先緩慢增長再快速增
長，對應圖象②，
②騎著自行車上學，但中途車壞了，我修理好又以原來的速度前進，對應離開家的距離直線上升再停止增
長再直線上升，對應圖象①，
③快速的騎著自行車，最后發現時間充足，又減緩了速度，對應離開家的距離先快速增長再緩慢增長，對
應圖像③，
故選：C
變式 6-1．小明騎車上學，開始時勻速行駛，中途因車流量大而減速行駛，后為了趕時間加速行駛，與以
上事件吻合得最好的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根據速度的變化快慢得答案.
【詳解】開始時勻速行駛，故圖像為直線，然后減速行駛，故圖像上升速度變慢，后為了趕時間加速行
駛，故圖像上升速度變快，選項 C 符合.
故選：C.
變式 6-2．俗話說，“一分耕耘，一分收獲”．那么，在實際生活中，如果把收獲看成付出的函數，它們之
間的關系可以怎樣描述呢？情境甲：當以勻速的方式駕駛汽車時，行駛的里程與所用的時間之間的關系；
情境乙：家長過分寵愛孩子，有時還有可能付出增加會導致收獲減少；情境丙：在我們學習新的知識時，
可能一開始效率會比較高，單位時間的付出得到的收獲會比較大，但隨著付出的時間越來越多，單位時間
的付出得到的收獲會變少．請問依次與下面三個圖象所表示的收獲與付出的關系相對應的情境正確的一項
是（ ）
A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙
C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲
【答案】C
【分析】根據函數的圖象確定正確答案.
【詳解】圖-1 所示呈正比例關系，與情境甲相對應；
圖-2 所示呈上升趨勢，反應出單調遞增的性質，但增加的速率在減小，與情境丙相對應；
圖-3 所示開始呈上升趨勢，反應出單調遞增性質，但后來出現下降趨勢，
與情境乙所描述的“過猶不及”相對應．
故選：C
變式 6-3 ．已知完成某項任務的時間 與參加完成此項任務的人數 之間滿足關系式 = +
( ∈ R, ∈ R)，當 = 2時， = 100；當 = 4時， = 53，且參加此項任務的人數不能超過 8．
（1）寫出 關于 的解析式；
（2）用列表法表示此函數；
（3）畫出此函數的圖象．
196
【答案】（1）函數解析式是 = + (0 < ≤ 8, ∈ N
*)（2）詳見解析（3）圖象見解析

【分析】（1）將(2,100)，(4,53) 代入 = + ( ∈ R, ∈ R).即可解出 關于 的解析式.
（2）令 = 1，2，3，4，5，6，7，8，再求出對應的 值，列表即可.
（3）根據（2）的表格數據，在直角坐標系中描出即可.
【詳解】（1）因為當 = 2時， = 100；當 = 4時， = 53，
4 + = 53
4 = 1所以 ，解得 ，2 + = 100 = 196
2
= + 196所以 ．
又 ≤ 8， 為正整數，所以此函數的定義域是 |0 < ≤ 8, ∈ N* ，
196
所以所求函數解析式是 = + (0 < ≤ 8, ∈ N
*)．
（2） = 1，2，3，4，5，6，7，8，列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8
197 100 205 53 221 116 35 65
3 5 3 2
（3）此函數的圖象如圖所示：
【點睛】本題考查函數的表示法：函數的解析式、表格法、圖像法，方程組法求函數的解析式，屬于基礎
題.
【方法技巧與總結】
圖象法表示函數，達到“一目了然”的效果，對于函數圖象還注意函數的定義域，函數圖象的上升下降趨
勢，增減趨勢的緩急等等！
一、單選題
1．已知定義在[ ―2,2]上的函數 = ( )表示為:
x [ ―2,0) 0 (0,2]
y 1 0 ― 2
設 (1) = ， ( )的值域為 M，則（ ）
A． = 1, = { ―2,0,1} B． = ―2, = { ―2,0,1}
C． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1} D． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1}
【答案】B
【分析】根據自變量所在區間判斷出 (1)的值，然后根據表中數據可知值域 .
【詳解】因為 = 1滿足 ∈ (0,2]，所以 (1) = = ―2，
由表中數據可知： 的取值僅有 ―2,0,1三個值，所以 = { ―2,0,1}，
故選：B.
2.函數 = ( )的對應關系如下表所示，函數 = ( )的圖象是如圖所示的曲線 ABC，則 ( (3) ― 1)的值為
（ ）
1 2 3
( ) 2023 0 ―2023
A．2023 B．0 C． ―1 D． ―2023
【答案】A
【分析】按函數的定義結合圖表計算即可
【詳解】根據題意，可得 (3) = 2，則 ( (3) ― 1) = (2 ― 1) = (1) = 2023，
故選：A.

3.設 ( ) = 1 2+1，則 是(　　)
A． ( ) B． ― ( )
1 1
C． ( ) D． ― ( )
【答案】A
【分析】利用賦值法計算即可.
1
1
【詳解】 = 2 =
1+ 1 1+ 2
= ( ).

故選：A.
4.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學從 點出發，沿花壇外側的小路順時針方向勻速走了一圈
( → → → )，則小明到 點的直線距離 與他從 點出發后運動的時間 之間的函數圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據小明與 的距離的變化求得正確答案.
【詳解】當小明在弧 上運動時，與 點的距離相等，所以 AB 選項錯誤.
當小明在半徑 上運動時，與 點的距離減小，
當小明在半徑 上運動時，與 點的距離增大，所以 C 選項錯誤，D 選項正確.
故選：D
5.已知函數 ( ) = 3 + 2 + + ，且0 < ( ― 1) = ( ― 2) = ( ― 3) ≤ 3，則（ ）
A． ≤ 3 B．3 < ≤ 6 C．6 < ≤ 9 D． > 9
【答案】C
【分析】由題意可首先列方程組求出 , ，從而可只用 表示出 ( ―1)，進一步結合已知得關于 的不等式組
即可求解.
―1 + ― + = ―8 + 4 ― 2 + = 6
【詳解】由已知得 ―1 + ― + = ―27 + 9 ― 3 + ，解得 = 11 ，
又0 < ( ― 1) = ― 6 ≤ 3，所以6 < ≤ 9.
故選：C.
6.已知 ( + 1) = + 3，則 ( )的解析式為 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 4 B． 2 +3
C． 2 ―2 + 4( ≥ 1) D． 2 +3( ≥ 1)
【答案】C
【分析】換元法求函數解析式即可.
【詳解】設 = +1 ≥ 1，則 = ( ― 1)2，
所以 ( ) = ( ― 1)2 +3 = 2 ―2 + 4( ≥ 1)，
故 ( ) = 2 ―2 + 4( ≥ 1)，
故選：C
7.函數 ( )滿足2 ( ) ― (1 ― ) = ，則函數 ( ) = （ ）
A． ― 2 B +1． 3
C ―1． 3 D． ― + 2
【答案】B
【分析】由2 ( ) ― (1 ― ) = 可得2 (1 ― ) ― ( ) = 1 ― ，運用解方程組法求解析式即可.
【詳解】因為2 ( ) ― (1 ― ) = ①，所以2 (1 ― ) ― ( ) = 1 ― ②，
① × 2 + ②得3 ( ) = + 1，即 ( ) = +13 .
故選：B.
8.某農貿市場出售西紅柿，當價格上漲時，供給量相應增加，而需求量相應減少，具體調查結果如下表：
表一市場供給量
單價（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供給量（1000kg） 50 60 70 75 80 90
表一市場需求量
單價（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80
根據以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區間（　 ）
A．(2.3,2.6)內 B．(2.4,2.6)內
C．(2.6,2.8)內 D．(2.8,2.9)內
【答案】C
【分析】根據表格中的數據，求得各個需求量的單價差，進而確定市場供需平衡點，得到答案.
【詳解】當供給量和需求量均為 50 時，供給單價和需求單價相差為 2，
當供給量和需求量均為 60 時，供給單價和需求單價相差為 1，
當供給量和需求量均為 70 時，供給單價和需求單價相差為 0.2，
當供給量和需求量均為 75 時，供給單價和需求單價相差為 0.9，
當供給量和需求量均為 80 時，供給單價和需求單價相差為 1.6，
當供給量和需求量均為 70 時，供給單價和需求單價相差最小，
所以市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區間(2.6,2.8)內.
故選:C.
二、多選題
9．某工廠 8 年來某產品產量 與時間 的函數關系如圖，則以下說法中正確的是（ ）
A．前 2 年的產品產量增長速度越來越快 B．前 2 年的產品產量增長速度越來越慢
C．第 2 年后，這種產品停止生產 D．第 2 年后，這種產品產量保持不變
【答案】AD
【分析】根據給定的年產量 與時間 的函數關系圖，結合函數的性質，即可求解.
【詳解】根據題意，根據給定的年產量 與時間 的函數關系圖，
可得：前 2 年的產品產量增長速度越來越快，所以 A 正確，B 不正確；
第 2 年后，這種產品的年產量保持不變，所以 C 錯誤，D 正確.
故選：AD.
10.下列說法正確的是（ ）
A．函數 ( + 1)的定義域為[ ―2,2)，則函數 ( )的定義域為[ ―1,3)
2
B ． ( ) = 和 ( ) = 表示同一個函數
C．函數 = 1 1 2+3的值域為 0, 3

D．定義在R上的函數 ( )滿足2 ( ) ― ( ― ) = + 1，則 ( ) = 3 +1
【答案】ACD
【分析】根據抽象函數的定義域可判斷 A 選項，根據具體函數的定義域可判斷 B 選項，直接法可得函數
= 1 2+3的值域，可判斷 C 選項，消元法求函數解析式可判斷 D 選項.
【詳解】A 選項，對于 ( + 1)，令 = + 1，則 = ― 1 ∈ [ ―2,2)，則 ∈ [ ―1,3)，
所以 ( )，即 ( )的定義域為[ ―1,3)，A 選項正確；
對于 B， ( )的定義域為{ | ≠ 0 }， ( )的定義域為R，不是同一個函數，B 選項不正確；
1 1 1 1
對于 C，因為 2 +3 ≥ 3，所以0 < 2+3 ≤ 3，即函數 = 2+3的值域為 0, ，C 選項正確；3
對于 D，由2 ( ) ― ( ― ) = + 1可得2 ( ― ) ― ( ) = ― + 1，
2 ( ) ― ( ― ) = + 1
所以由 2 ( ― ) ― ( ) = ― + 1 可得 ( ) = 3 +1，D 選項正確；
故選：ACD.
11.已知 (0) =
1
2， ( + ) = ( ) (1 ― ) + ( ) (1 ― )，則（ ）
A 1． (1) = 2 B． ( ) =
1
2恒成立
C． ( + ) = 2 ( ) ( ) D．滿足條件的 ( )不止一個
【答案】ABC
【分析】令 = = 0即可判斷 A；令 = 1 ― 即可判斷 B；令 = 0即可判斷 C；令 = 即可判斷 D.
【詳解】A：令 = = 0，得 (0) = 2
1 1
(0) (1)．又 (0) = 2，所以 (1) = 2，故 A 正確．
B：令 = 1 ― ，得 (1) = 2[ ( )]2，即[ ( )]2 =
1 1
4，所以 ( ) =± 2，
令 = ，得 (2 ) = 2[ ( )]2 ≥ 0，即函數 ( ) ≥ 0，所以 ( ) =
1
2，故 B 正確，D 錯誤；
C：令 = 0，得 ( ) = ( ) (1) + (0) (1 ― )，代入 (0) =
1
(1) = 2，
可得 ( ) = (1 ― )，則 ( + ) = 2 ( ) ( )，故 C 正確；
故選：ABC．
三、填空題
12．下列表示函數 = ( )，則 (11) = ．
x 0 < < 5 5 ≤ < 10 10 ≤ < 15 15 ≤ ≤ 20
y 2 3 4 5
【答案】4
【分析】由分段函數的表格表示法，觀察表格即可求解.
【詳解】由表可知 (11) = 4．
故答案為：4.
13.已知 = ( )是二次函數，且 (0) = 1， ( + 1) ― ( ) = 2 ，則 = ( ) = ．
【答案】 2 ― + 1
【分析】由題意設 ( ) = 2 + + 1，通過待定系數法得出關于 , 的方程組即可求解.
【詳解】因為 (0) = 1， = ( )是二次函數，所以設 ( ) = 2 + + 1，
又因為 ( + 1) ― ( ) = 2 ，
所以 ( + 1)2 + ( + 1) +1 ― ( 2 + + 1) = 2 + + = 2 ，
所以2 = 2, + = 0，解得 = 1, = ―1.
故答案為： 2 ― + 1.
14.若正整數 ， 只有 1 為公約數，則稱 ， 互質.對于正整數 ， ( )是小于或等于 的正整數中與 互質
的數的個數，函數 ( )以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如： (3) = 2， (7) = 6， (9)
= 6，則下列說法正確的序號是 ．
① (5) = (10)；
② (2 ― 1) = 1；
③ (32) = 16；
④ (2 + 2) > (2 )， 是正整數．
【答案】①③
【分析】利用歐拉函數定義求解判斷；
【詳解】∵小于或等于5的正整數中與5互質的正整數為1，2，3，4，
小于或等于10的正整數中與10互質的正整數為1，3，7，9，
∴ (5) = (10) = 4，故①正確；
∵當 = 2時， (3) = 2 ≠ 1，故②不正確；
∵小于或等于32的正整數中與32互質的正整數為1，3，5，7，
9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，共有16個，
∴ (32) = 16，故③正確；
∵當 = 2時， (4) = (6) = 2，故④不正確．
故答案為：①③
四、解答題
15．下圖所示為某市一天 24 小時內的氣溫變化圖，根據圖象回答下列問題.
(1)全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少？
(2)大約在什么時刻，氣溫為0°C？
(3)大約在什么時刻內，氣溫在0°C以上？
(4)變量 Q 是關于變量 t 的函數嗎？
【答案】(1)最高氣溫大約是9°C，最低氣溫大約是 ―2°C
(2)在 0 時、8 時和 22 時
(3)在 8 時到 22 時之間
(4)Q 是 t 的函數
【分析】（1）（2）（3）認真觀察函數的圖像，根據時間與溫度的關系解答，（4）根據函數的定義可判斷.
【詳解】（1）觀察圖像可知：全天最高氣溫大約是9°C，在 14 時達到.全天最低氣溫大約是 ―2°C.
（2）觀察圖像可知：大約在 0 時、8 時和 22 時，氣溫為0°C.
（3）觀察圖像可知：在 8 時到 22 時之間，氣溫在0°C以上.
（4）根據函數定義，由圖像可知對于時間 t 的每個取值，都有唯一的氣溫 Q 與之對應，
所以氣溫 Q 是時間 t 的函數.
16. 1已知 ( ) = 1+ （ ∈ ，且 ≠ ―1）， ( ) =
2 +2( ∈ )．
(1)求 (2)， (2)的值；
(2)求 ( (2))， ( (2))的值；
(3)求 ( )和 ( ― 1)的值域．
【答案】(1) (2) =
1
3； (2) = 6
(2) 1 19( (2)) = 7； ( (2)) = 9
(3) ( )值域：{ ∣ ∈ 且 ≠ 0}； ( ― 1)值域：[2, + ∞)．
【分析】對于（1）（2）將括號里面的值直接代入逐層求解即可；
（3）求 ( )值域可借助初中反比例函數值域問題來解，對于 ( ― 1)的值域可以借助初中二次函數值域問
題來解即可.
1 1 1
【詳解】（1）∵ ( ) = 1+ ，∴ (2) = 1+2 = 3．
又∵ ( ) = 2 +2，∴ (2) = 22 +2 = 6．
（2） ( (2)) = (6) =
1 1
1+6 = 7．
1 1 2 = = +2 = 19( (2)) ．
3 3 9
（3）∵ 1( ) = 1+ 的定義域為{ ∣ ∈ ，且 ≠ ―1}，∴ ( )的值域為{ ∣ ∈ 且 ≠ 0}．
∵ ( ― 1) = ( ― 1)2 +2，顯然該式的最小值為 2，∴ ( ― 1)的值域為[2, + ∞)．
17.已知二次函數 ( )滿足 ( ) = (2 ― )，且 (0) = ―3， (1) = ―4.
(1)求函數 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = + 1，比較 ( )與 ( )的大小.
【答案】(1) ( ) = 2 ―2 ― 3
(2)答案見解析
【分析】（1）設出二次函數 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)代入 (0), (1)，以及對稱軸，求解即可；
（2）依題意 ( ) ― ( ) = ( 2 ― 2 ― 3) ― ( + 1) = ( ― 4)( + 1)，分類討論，得到結果.
【詳解】（1）設二次函數 ( ) = 2 + + ( ≠ 0).
由 ( ) = (2 ― )，得 ( )圖象的對稱軸為 = 1，
所以 ― 2 = 1，解得 = ―2 .
由 (0) = ―3得， = ―3，
可得 ( ) = 2 ―2 ― 3.
由 (1) = ―4得， ― 2 ― 3 = ―4，解得 = 1.
所以 ( ) = 2 ―2 ― 3.
（2） ( ) ― ( ) = ( 2 ― 2 ― 3) ― ( + 1)
= 2 ― 3 ― 4
= ( ― 4)( + 1)，
當 < ―1或 >4時，( ― 4)( + 1) > 0，此時 ( ) > ( ).
當 ―1 < < 4時，( ― 4)( + 1) < 0，此時 ( ) < ( ).
當 = ― 1或 4 時，( ― 4)( + 1) = 0，此時 ( ) = ( ).
18.已知二次函數 ( ) = 2 + + ( , , ∈ R)只能同時滿足下列三個條件中的兩個：
① = 2；②不等式 ( ) > 0的解集為{ | ―1 < < 3 }；③函數 ( )的最大值為 4.
(1)請寫出滿足題意的兩個條件的序號，并求出函數 ( )的解析式；
(2)求關于 的不等式 ( ) ≥ ( ― 1) 2 +2( ∈ R)的解集.
【答案】(1)②③； ( ) = ― 2 ―2 + 3
(2)答案見解析
【分析】（1）當 = 2時，條件②③不成立，由②令 ( ) = ( + 3)( ― 1)，結合二次函數的性質，列出
方程，求得 的值，即可求解；
（2）把不等式化為 2 +2 ― 1 ≤ 0，結合一元二次不等式的方法，分類討論，即可求解.
【詳解】（1）當 = 2時，不等式 ( ) > 0的解集不能為{ | ―1 < < 3 }，且 ( )沒有最大值，
所以①不成立，滿足條件只能為②③，
由不等式 ( ) > 0的解集為{ | ―1 < < 3 }，
可令 ( ) = ( + 3)( ― 1) = 2 +2 ― 3 ,( < 0)，
( ) 4 4 ×(―3 )―(2 )
2
因為 的最大值為 ，可得 4 = 4，解得 = ―1，
所以 ( ) = ― 2 ―2 + 3.
（2）解：由不等式 ( ) ≥ ( ― 1) 2 +2，可化為 2 +2 ― 1 ≤ 0，
當 = 0 1 1時，不等式等價于2 ― 1 ≤ 0，解得 ≤ 2，所以不等式的解集為( ― ∞,2]；
當 > 0時，對于不等式 2 +2 ― 1 ≤ 0，因為Δ = 4 + 4 > 0，
―1+ +1 ―1― +1
方程有兩個不相等的實數根據 1 = , 2 = ，
[―1+ +1,―1― +1不等式的解集為 ] ；
當 < 0時，對于一元二次方程 2 +2 ― 1 = 0，可得Δ = 4 + 4 ，
①當 ≤ ―1時，Δ ≤ 0，此時不等式 2 +2 ― 1 ≤ 0的解集為R；
②當 ―1 < < 0 ―1+ +1 ―1― +1時，Δ > 0，可得方程的兩根為 1 = , 2 = ，
―1+ +1 ―1― +1
此時不等式的解集為( ― ∞, ] ∪ [ , + ∞) ，
1
綜上可得：當 = 0時，不等式的解集為( ― ∞,2]；
當 > 0 [―1+ +1,―1― +1時，不等式的解集為 ] ；
當 ≤ ―1時，不等式 2 +2 ― 1 ≤ 0的解集為R；
―1+ +1 ―1― +1
當 ―1 < < 0時，不等式的解集為( ― ∞, ] ∪ [ , + ∞) .
19．已知函數 = ( )與 = ( )的定義域均為 ，若對任意的 1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| <
| ( 1) ― ( 2)|成立，則稱函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L 函數”.
(1)若 ( ) = 3 + 1, ( ) = , = ，判斷函數 = ( )是否是函數 = ( )在 上的“L函數”，并說明理由；
(2)若 ( ) = 2 +2, ( ) = 2 + , = [0, + ∞)，函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L函數”，求實數 的
取值范圍；
(3)若 ( ) = , = [0,2]，函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L函數”，且 (0) = (2)，求證：對任意的
1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| < 1.
【答案】(1)函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L 函數”，理由見解析
(2)a ≥ 14
(3)證明見解析
【分析】（1）根據“L 函數”定義判斷即可；
（2）根據數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L 函數”得到 ( 1) ― ( 2)| < | ( 1) ― ( 2)∣對任意的 1 2 ∈
[0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，據此計算 的取值范圍即可；
（3）對 1 ― 2分0 < 1 ― 2 ≤ 1和 1 ― 2 > 1兩種情況，根據“L 函數”定義證明即可.
【詳解】（1）對任意的 1 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，
| ( 1) ― ( 2)| = | 1 ― 2|,| ( 1) ― ( 2)| = 3| 1 ― 2|.
顯然有| ( 1) ― ( 2)| < | ( 1) ― ( 2)|，
所以函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L 函數”；
（2）因為函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L 函數”，
所以 ( 1) ― ( 2)| < | ( 1) ― ( 2)∣對任意的 1 2 ∈ [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，
即| 2 + ― 2 + | < | 2 ― 21 2 1 2|對任意的 1 2 ∈ [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，
| 2― 21 2|
化簡得 < | 2 ― 22 2 1 2|對任意的 ∈ + + + 1 2 [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，1 2
即 21 + + 22 + > 1對任意的 1 2 ∈ [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，
1
即2 ≥ 1，解得a ≥ 4；
（3）對于 1 2 ∈ [0,2]，不妨設 1 > 2，
（i）當0 < 1 ― 2 ≤ 1時，
因為函數 = ( )是函數 = ( )在[0,2]上的“L 函數”，
所以| ( 1) ― ( 2)| < | 1 ― 2∣ ≤ 1.
此時| ( 1) ― ( 2)| < 1成立；
（ii）當 1 ― 2 > 1時，由 1 2 ∈ [0,2]得1 < 1 ― 2 ≤ 2，
因為 (0) = (2)，函數 = ( )是函數 = ( )在[0,2]上的“L函數，
所以| ( 1) ― ( 2)| = | ( 1) ― (2) + (0) ― ( 2)| ≤ | ( 1) ― (2)| + | (0) ― ( 2)|
< | 1 ― 2| + |0 ― 2| = (2 ― 1) + 2 = 2 ― ( 1 ― 2) < 1，
此時| ( 1) ― ( 2)| < 1也成立，
綜上，| ( 1) ― ( 2)| < 1恒成立.
【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于對“L 函數”定義的正確理解，據此計算即可.3.1.2 表示函數的方法
課程標準 學習目標
（1）在實際情境中, 會根據不同的需要選擇恰 （1）會求函數的解析式; （難點)
當的方法（如圖象法、列表法、解析法) 表示 （2）列表法表示函數
函數, 理解函數圖象的作用。 （3）圖象法表示函數。
知識點 01 解析法
把常量和表示自變量的字母用一系列運算符號連接起來得到的式子，叫作解析式（也叫作函數表達式或函
數關系式），解析法就是用解析式來表示函數的方法。
比如正方形周長 與邊長 間的解析式為 = 4 ，圓的面積 與半徑 的解析式 = 2等.
求函數解析式的方法
① 配湊法 ② 待定系數法 ③ 換元法 ④ 構造方程組法 ⑤ 代入法
【即學即練 1】
1
已知函數 ( ) = ，則 ( + 1) = （ ）
A 1． ( + 1) = +1 B．
1
( + 1) = ―1 C
2 2
． ( + 1) = ―1 D． ( + 1) = +1
知識點 02 列表法
如上表，我們很容易看到 與 之間的函數關系.
在初中剛學畫一次函數時，想了解其圖像是一直線，第一步就是列表，其實就是用表格法表示一次函數.
【即學即練 2】
函數 ( )與 ( )的對應關系如下表．
―1 0 1 1 2 3
( ) 1 3 2 ( ) 0 ―1 1
則 ( ( ― 1))的值為（ ）
A．0 B．3 C．1 D． ―1
知識點 03 圖象法
如上圖，很清晰的看到某天空氣質量指數 與時間 兩個變量之間的關系，特別是其趨勢.
數學中的“數形結合”也就是這回事，它是數學一大思想，在高中解題中識圖和畫圖尤為重要.
【即學即練 3】
購買某種飲料 聽，所需錢數是 元．若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象法將 表示成 ( ∈ {1,2,3,4})
的函數．
【題型一：解析法表示函數】
例 1．若函數 = ( )對任意 ∈ R，均有 ( + ) = ( ) + ( )，則下列函數可以為 = ( )解析式的是
（ ）
A． ( ) = + 1 B． ( ) = 2 ― 1
C． ( ) = 2 D． ( ) = 2 +
變式 1-1．一個等腰三角形的周長為 20，底邊長 是一腰長 的函數，則（ ）
A． = 10 ― (0 < ≤ 10) B． = 10 ― (0 < < 10)
C． = 20 ― 2 (5 ≤ ≤ 10) D． = 20 ― 2 (5 < < 10)
變式 1-2．下列函數中，對任意 ，不滿足2 ( ) = (2 )的是（ ）
A． ( ) = | | B． ( ) = ―2
C． ( ) = ― | | D． ( ) = ― 1
變式 1-3．定義在 R 上的函數 ( )滿足 ( ) = ( ) + ( )，且 (4) = 8，則 ( 2)（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．6
( )+ ( )
變式 1-4．若函數 ( )滿足 ( + ) = 11― ( ) ( )，且 (2) = 2， (3) =
1
3，則 (7) =
A．1 B 4 8．3 C．3 D．3
【方法技巧與總結】
理解函數解析式 = ( )，僅是用一系列運算符號連接起來得到的式子，它對定義域內任何一個值都是成立
的；比如①函數 ( ) = x2( > 0)，可取任何大于0的值進行賦值；②若函數 ( )滿足 ( ) = ( ) + ( )，
則x, 取任何實數均可使得等式成立.
【題型二：求函數的解析式】
方法 1 待定系數法
例 2．若二次函數 ( )滿足 ( + 1) ― ( ) = 2 ，且 (0) = 1，則 ( )的表達式為（ ）
A． ( ) = ― 2 ― ― 1 B． ( ) = ― 2 + ― 1
C． ( ) = 2 ― ― 1 D． ( ) = 2 ― + 1
變式 2-1．已知 ( )是一次函數，且2 (2) ― 3 (1) = 5，2 (0) ― ( ― 1) = 3，則 ( ) = （ ）
A．3 ― 2 B．3 + 2
C 9．2 ―
1
2 D．4 ― 1
變式 2-2．已知函數 ( )是一次函數，且 [ ( ) ― 2 ] = 3，則 (5) = （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
變式 2-3．已知二次函數 ( )滿足 (2) = ―1, (1 ― ) = ( )，且 ( )的最大值是 8，則此二次函數的解析
式為 ( ) = （ ）
A． ―4 2 +4 + 7 B．4 2 +4 + 7
C． ―4 2 ―4 + 7 D． ―4 2 +4 ― 7
方法 2 換元法
例 3．已知函數 ( ― 2) = ― 4 +5，則 ( )的解析式為（ ）
A． ( ) = 2 +1( ≥ 0) B． ( ) = 2 +1( ≥ ―2)
C． ( ) = 2( ≥ 0) D． ( ) = 2( ≥ ―2)
2
變式 3-1．已知函數 (1 ― ) = 1― 2 ( ≠ 0)，則 ( ) = （ ）
1 1
A．( ―1)2 ―1( ≠ 0) B．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
4 4
C．( ―1)2 ―1( ≠ 0) D．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
1
變式 3-2．設函數 1 + = 2 + 1，則 ( )的表達式為（ ）

A 1+ ．1― ( ≠ 1) B
1+
． ―1( ≠ 1)
C 1― ．1+ ( ≠ ―1) D
2
． +1( ≠ ―1)
變式 3-3．已知 ( + 1) = + 3，則 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 2( ≥ 0) B． 2 ―2 + 4( ≥ 1)
C． 2 ―2 + 4( ≥ 0) D． 2 ―2 + 2( ≥ 1)
方法 3 方程組法
4 1 15例 ．已知定義在(0, + ∞)上的函數 ( )滿足 ( ) ―4 = ― ，則 (2)的值為（ ）
A 15． 2 B
15 C 17 17． 4 ． 4 D． 2
變式 4-1．若函數 ( )， ( )滿足 ( ) ― 2 1 = 3 ― 4 ，且 ( ) + g( ) = 2 + 6，則 (2) + ( ―1) =
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
變式 4-2．已知函數 ( )滿足 ( ) + 2 (2 ― ) = 1 ―1，則 (3)的值為（ ）
A 7 10 4 1． ― 3 B． ― 9 C． ― 15 D． ― 6
變式 4-3．已知定義在 R 上的函數 ( )，滿足 ( ) +2 ( ― ) = 2 + 12.
(1)求 ( )的解析式；
(2)若點 ( , )在 = ( )圖像上自由運動，求4 + 2 的最小值.
【方法技巧與總結】
求函數解析式，可視情況而定，
1 若已知函數類型，可用待定系數法；
2 若求f( ( ))型函數解析式，可用換元法，此時要注意新自變量的取值范圍；
3 若求滿足某函數方程的函數解析式，則用方程組的方法.
【題型三：列表法表示函數】
例 5．設已知函數 ( ), ( )如下表所示：
1 2 3 4 5
( ) 5 4 3 2 1
( ) 4 3 2 1 5
則不等式 ( ( )) > ( ( ))的解集為（ ）
A．{1,3} B．{5,3} C．{2,3,4} D．{5}
變式 5-1．已知函數 ( ), ( )分別由下表給出：則 [ (2)]的值是（ ）
1 2 3
( ) 1 3 1
( ) 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．1 和 2
變式 5-2．觀察下表：
x ―3 ―2 ―1 1 2 3
( ) 5 1 ―1 ―3 3 5
( ) 1 4 2 3 ―2 ―4
則 [ ( ―1) ― (3)] = （ ）
A． ―4 B． ―3 C．3 D．5
變式 5-3．德國數學家狄利克在 1837 年時提出：“如果對于 的每一個值， 總有一個完全確定的值與之對
應，則 是 的函數，”這個定義較清楚地說明了函數的內涵.只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個
值，有一個確定的 和它對應就行了，不管這個對應的法則是公式、圖象，表格或是其它形式.已知函數
( ) 1由下表給出，則 10 的值為（ ）
2
≤ 1 1 < < 2 ≥ 2
1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【方法技巧與總結】
表格法表示函數，要注意看清楚變量數值之間的對應關系.
【題型四：圖象法表示函數】
例 6．如圖所示的 4 個圖象中，與所給 3 個事件最吻合的順序為（ ）
①我離開家后，心情愉快，緩慢行進，但最后發現快遲到時，加速前進；
②我騎著自行車上學，但中途車壞了，我修理好又以原來的速度前進；
③我快速的騎著自行車，最后發現時間充足，又減緩了速度.
A．③①② B．③④② C．②①③ D．②④③
變式 6-1．小明騎車上學，開始時勻速行駛，中途因車流量大而減速行駛，后為了趕時間加速行駛，與以
上事件吻合得最好的圖象是（ ）
A． B． C． D．
變式 6-2．俗話說，“一分耕耘，一分收獲”．那么，在實際生活中，如果把收獲看成付出的函數，它們之
間的關系可以怎樣描述呢？情境甲：當以勻速的方式駕駛汽車時，行駛的里程與所用的時間之間的關系；
情境乙：家長過分寵愛孩子，有時還有可能付出增加會導致收獲減少；情境丙：在我們學習新的知識時，
可能一開始效率會比較高，單位時間的付出得到的收獲會比較大，但隨著付出的時間越來越多，單位時間
的付出得到的收獲會變少．請問依次與下面三個圖象所表示的收獲與付出的關系相對應的情境正確的一項
是（ ）
A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙
C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲
變式 6-3 ．已知完成某項任務的時間 與參加完成此項任務的人數 之間滿足關系式 = +
( ∈ R, ∈ R)，當 = 2時， = 100；當 = 4時， = 53，且參加此項任務的人數不能超過 8．
（1）寫出 關于 的解析式；
（2）用列表法表示此函數；
（3）畫出此函數的圖象．
【方法技巧與總結】
圖象法表示函數，達到“一目了然”的效果，對于函數圖象還注意函數的定義域，函數圖象的上升下降趨
勢，增減趨勢的緩急等等！
一、單選題
1．已知定義在[ ―2,2]上的函數 = ( )表示為:
x [ ―2,0) 0 (0,2]
y 1 0 ― 2
設 (1) = ， ( )的值域為 M，則（ ）
A． = 1, = { ―2,0,1} B． = ―2, = { ―2,0,1}
C． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1} D． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1}
2.函數 = ( )的對應關系如下表所示，函數 = ( )的圖象是如圖所示的曲線 ABC，則 ( (3) ― 1)的值為
（ ）
1 2 3
( ) 2023 0 ―2023
A．2023 B．0 C． ―1 D． ―2023

3.設 ( ) = 1 2+1，則 是(　　)
A． ( ) B． ― ( )
1 1
C． ( ) D． ― ( )
4.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學從 點出發，沿花壇外側的小路順時針方向勻速走了一圈
( → → → )，則小明到 點的直線距離 與他從 點出發后運動的時間 之間的函數圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
5.已知函數 ( ) = 3 + 2 + + ，且0 < ( ― 1) = ( ― 2) = ( ― 3) ≤ 3，則（ ）
A． ≤ 3 B．3 < ≤ 6 C．6 < ≤ 9 D． > 9
6.已知 ( + 1) = + 3，則 ( )的解析式為 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 4 B． 2 +3
C． 2 ―2 + 4( ≥ 1) D． 2 +3( ≥ 1)
7.函數 ( )滿足2 ( ) ― (1 ― ) = ，則函數 ( ) = （ ）
A +1 ―1． ― 2 B． 3 C． 3 D． ― + 2
8.某農貿市場出售西紅柿，當價格上漲時，供給量相應增加，而需求量相應減少，具體調查結果如下表：
表一市場供給量
單價（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供給量（1000kg） 50 60 70 75 80 90
表一市場需求量
單價（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80
根據以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區間（　 ）
A．(2.3,2.6)內 B．(2.4,2.6)內
C．(2.6,2.8)內 D．(2.8,2.9)內
二、多選題
9．某工廠 8 年來某產品產量 與時間 的函數關系如圖，則以下說法中正確的是（ ）
A．前 2 年的產品產量增長速度越來越快 B．前 2 年的產品產量增長速度越來越慢
C．第 2 年后，這種產品停止生產 D．第 2 年后，這種產品產量保持不變
10.下列說法正確的是（ ）
A．函數 ( + 1)的定義域為[ ―2,2)，則函數 ( )的定義域為[ ―1,3)
B ( ) =
2
． 和 ( ) = 表示同一個函數
C．函數 = 1 2+3的值域為 0,
1
3

D．定義在R上的函數 ( )滿足2 ( ) ― ( ― ) = + 1，則 ( ) = 3 +1
11. 1已知 (0) = 2， ( + ) = ( ) (1 ― ) + ( ) (1 ― )，則（ ）
A 1 1． (1) = 2 B． ( ) = 2恒成立
C． ( + ) = 2 ( ) ( ) D．滿足條件的 ( )不止一個
三、填空題
12．下列表示函數 = ( )，則 (11) = ．
x 0 < < 5 5 ≤ < 10 10 ≤ < 15 15 ≤ ≤ 20
y 2 3 4 5
13.已知 = ( )是二次函數，且 (0) = 1， ( + 1) ― ( ) = 2 ，則 = ( ) = ．
14.若正整數 ， 只有 1 為公約數，則稱 ， 互質.對于正整數 ， ( )是小于或等于 的正整數中與 互質
的數的個數，函數 ( )以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如： (3) = 2， (7) = 6， (9)
= 6，則下列說法正確的序號是 ．
① (5) = (10)；
② (2 ― 1) = 1；
③ (32) = 16；
④ (2 + 2) > (2 )， 是正整數．
四、解答題
15．下圖所示為某市一天 24 小時內的氣溫變化圖，根據圖象回答下列問題.
(1)全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少？
(2)大約在什么時刻，氣溫為0°C？
(3)大約在什么時刻內，氣溫在0°C以上？
(4)變量 Q 是關于變量 t 的函數嗎？
16.已知 ( ) =
1
1+ （ ∈ ，且 ≠ ―1）， ( ) =
2 +2( ∈ )．
(1)求 (2)， (2)的值；(2)求 ( (2))， ( (2))的值；(3)求 ( )和 ( ― 1)的值域．
17.已知二次函數 ( )滿足 ( ) = (2 ― )，且 (0) = ―3， (1) = ―4.
(1)求函數 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = + 1，比較 ( )與 ( )的大小.
18.已知二次函數 ( ) = 2 + + ( , , ∈ R)只能同時滿足下列三個條件中的兩個：
① = 2；②不等式 ( ) > 0的解集為{ | ―1 < < 3 }；③函數 ( )的最大值為 4.
(1)請寫出滿足題意的兩個條件的序號，并求出函數 ( )的解析式；
(2)求關于 的不等式 ( ) ≥ ( ― 1) 2 +2( ∈ R)的解集.
19．已知函數 = ( )與 = ( )的定義域均為 ，若對任意的 1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| <
| ( 1) ― ( 2)|成立，則稱函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L 函數”.
(1)若 ( ) = 3 + 1, ( ) = , = ，判斷函數 = ( )是否是函數 = ( )在 上的“L函數”，并說明理由；
(2)若 ( ) = 2 +2, ( ) = 2 + , = [0, + ∞)，函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L函數”，求實數 的
取值范圍；
(3)若 ( ) = , = [0,2]，函數 = ( )是函數 = ( )在 上的“L函數”，且 (0) = (2)，求證：對任意的
1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| < 1.

展開更多......

收起↑