資源簡介

2.1.3 基本不等式的應用
課程標準 學習目標
（1）掌握基本不等式
+
2 ( , 0) 。結 （1）會利用基本不等式求積的最大值;
合具體實例, 能用基本不等式解決簡單的最大
（2）會利用解決生活中的最值問題.（難點)
值或最小值問題。
知識點 01 積定求和，和定求積
已知 ， 是正數，則
（1）如果積 是定值 ，那么當且僅當 = 時，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果積 + 是定值 ，那么當且僅當 = 時，積 有最大值 4。
【即學即練 1】
若 > 0， > 0，且 + 4 = 1，則 的最大值是（ ）
A 1 1 1 1．32 B．16 C．4 D．2
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
1
【詳解】由于1 = + 4 ≥ 4 ，則 ≤ 16，
當且僅當 = 4 = 12時等號成立.
故選：B
知識點 02 基本不等式在實際問題的應用
在基本不等式在實際問題中，首先要理解題意，找到各個變量之間的關系，再利用基本不等式進行求解，
其中要注意變量在實際中的取值范圍.
【即學即練 2】
小王準備用18m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，小王需要合理安排矩形的長 寬才能使
菜園的面積最大，則菜園面積的最大值為（ ）
A 81． 2 m
2 B．40m2 C．36m2 D．32m2
【答案】A
【分析】由基本不等式的應用即可求解.
【詳解】設矩形菜園中平行于墻的邊長度為 m，垂直于墻的邊長度為 m，菜園面積 = ，
則 + 2 = 18, ∴ + 2 ≥ 2 2 , ∴ ≤
81
2 ，當且僅當 = 2 = 9時取等號.
故選：A.
【題型一：基本不等式求積的最大值】
例 1．已知正數 x，y 滿足 + = 2，則 2 + 2 ― 的取值范圍是（ ）
A．[1,4] B．[0,4] C．[1,4) D．[1,3)
【答案】C
【分析】根據基本不等式可得0 < ≤ 1，結合完全平方公式計算即可求解.
2
【詳解】因為0 < ≤ ( + )4 = 1，即0 < ≤ 1，
當且僅當 = = 1時等號成立，
所以 2 + 2 ― = ( + )2 ―3 = 4 ― 3 ∈ [1,4)．
故選：C．
4
變式 1-1．已知 > 0, > 0 3，且滿足 + = 1，則（ ）
A 1． 的最小值為 48 B． 的最小值為48
C． 的最大值為 48 D． 1的最大值為48
【答案】A
【分析】對給定式子合理變形，再利用基本不等式求解即可.
2 16 24
【詳解】由題意得 = ( 3 + 4 ) ，所以 = ( 9 2 + 2 + )，
16
所以 = 9 + +24 ≥ 2
9 × 16 +24 = 48，

9 16
當且僅當 = 時取等，此時 = 6, = 8，故 A 正確.
故選：A
變式 1-2．已知 > 0, > 0，且 + 2 = 4，則 2 +4 2（ ）
A 80．有最小值 8 B．有最小值 9
C 80．有最大值 8 D．有最大值 9
【答案】A
【分析】根據基本不等式可得 ≤ 2，即可由不等式的性質求解.
【詳解】由 + 2 = 4可得 2 +4 2 +4 = 16，所以 2 +4 2 = 16 ― 4 ，
由于 > 0, > 0，且 + 2 = 4，則 + 2 ≥ 2 2 ，故 ≤ 2，當且僅當 = 2 = 2時取等號，
故 2 +4 2 = 16 ― 4 ≥ 16 ― 8 = 8，因此 2 +4 2有最小值 8，
故選：A
變式 1-3．已知10 > > 0，則2 ― (10 ― )的最小值為（ ）
A． ―3 B． ―2 C． ―1 D．0
【答案】A
【分析】借助基本不等式計算即可得.
【詳解】因為10 > > 0，故 + (10 ― ) ≥ 2 (10 ― )，即 (10 ― ) ≤ 5，
當且僅當 = 5時，等號成立，所以2 ― (10 ― ) ≥ 2 ― 5 = ―3.
故選：A.
變式 1-4．正數 , 滿足 + = 5，則 + 1 + + 2的最大值為（ ）
A．8 B．3 C．2 2 D．4
【答案】D
【分析】將 + 1 + + 2平方，再結合基本不等式的求解即可.
2
【詳解】解：因為( + 1 + + 2) = + + 3 + 2 + 1 + 2
= 8 + 2 + 1 + 2
2 2
≤ 8 + ( + 1) + ( + 2)
= 8 + + + 3
= 16
當 + 1 = + 2，即 = 3, = 2時，等號成立，
又因為 + 1 + + 2 > 0，
所以 + 1 + + 2 ≤ 4， = 3, = 2時，等號成立.
故選：D.
【方法技巧與總結】
1 已知 ， 是正數，則
（1）如果積 是定值 ，那么當且僅當 = 時，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果積 + 是定值 ，那么當且僅當 = 時，積 有最大值 4。
2 和定求積，也要注意“一正二定三等”，解題方法也有直接法、湊項法、換元法等等.
【題型二：基本不等式在實際生活中的應用】
例 2．某食品企業為了提高其生產的一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量
噸與年促銷費用 萬元之間滿足函數關系式 = 2 ― +2（ 為常數），如果不開展促銷活動，年銷量是 1 噸.已
知每一年生產設備折舊、維修等固定費用為 3 萬元，每生產 1 噸食品需再投入 32 萬元的生產費用，通過
市場分析，若將每噸食品售價定為：“每噸食品平均生產成本的 1.5 倍”與“每噸食品平均促銷費的一半”之
和，則當年生產的該款食品正好能銷售完.
(1)求 值；
(2)將下一年的利潤 （萬元）表示為促銷費 （萬元）的函數；
(3)該食品企業下一年的促銷費投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？
（注：利潤 = 銷售收入 ― 生產成本 ― 促銷費，生產成本 = 固定費用 + 生產費用）
【答案】(1) =2
(2) = ― 32 ― 1 + 67 +2 2 2 ( ≥ 0)
(3)該食品企業下一年的促銷費投入 6 萬元時，該款食品的利潤最大為26.5萬元.
【分析】（1）依題意當 =0時， =1代入計算可得；
（2）依題意求出當年生產 噸時，求出年生產成本和為年銷售收入，從而可表示出食品的利潤；
3 2 = ― 32 +2 + 69（ ）由（ ）可得 + ，利用基本不等式計算可得.
+2 2 2
【詳解】（1）由題意可知，當 =0時， =1，所以1 = 2 ― 2，解得 =2；
2 =2 = 2 ― 2（ ）由于 ，故 +2，
由題意知，當年生產 噸時，年生產成本為：32 + 3 = 32 2 ― 2 +3，
+2
當銷售 3 2 1噸時，年銷售收入為：2 32 2 ― + 3 + ， +2 2
= 3由題意， 2 32 2 ―
2 + 3 +
1
2 ― 32 2 ―
2 + 3 ― ，
+2 +2
= ― 32即 +2 ―
1 + 672 2 ( ≥ 0).
（3）由（2）知： = ― 32 ― 1 +2 2 +
67
2 ( ≥ 0)，
= ― 32 +2 69 32 +2 69即 +2 ― 2 + 2 = ― + + +2 2 2
≤ ―2 32 × +2 +
69 = 26.5，
+2 2 2
32 = +2當且僅當 +2 2 ，又 + 2 ≥ 2，即 = 6時，等號成立.
此時， max = 26.5.
該食品企業下一年的促銷費投入 6 萬元時，該款食品的利潤最大為26.5萬元.
變式 2-1．一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店內購買20g黃金，店員先將10g的砝
碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取
出一些黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．記顧客實際購得的黃金為
xg，則 與 20 的大小關系為（ ）
A． < 20 B． > 20
C． = 20 D．無法確定
【答案】B
【分析】利用平衡條件得出 的表達式，結合基本不等式可得答案.
【詳解】設天平左臂長為 ，右臂長為 ， , > 0且 ≠ ，左盤放的黃金為 1克，右盤放的黃金為 2克，
10 = 2 = 10 = 10 ，解得 1 , 2 =
10
1
，
= + = 10 + 10 ≥ 2 10 10 1 2 = 20，當且僅當 = 時，取到等號，
由于 ≠ ，所以 > 20.
故選：B
變式 2-2．已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為 m 元和 n 元
( ≠ )，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買 100 元的該商品，乙每周購買 20 件該商品，若
甲、乙兩次購買平均單價分別為 1, 2，則（ ）
A． 1 = 2 B． 1 < 2 C． 1 > 2 D． 1, 2的大小無法確定
【答案】B
【分析】由題意求出 1, 2的表達式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.
200
= = 2 = 20( + ) + 【詳解】由題意得 1 100+100 ， 2 = ，
+ 40 2
2
因為 > 0, > 0, ≠
+ > 2 ，故 2 ， + < 2 = ，
即 1 < 2，
故選：B
變式 2-3．兩次購買同一種物品，不考慮物品價格的升降（假設第一次價格為 1，第二次價格為 2， 1 ≠
2）可以用兩種不同的策略，第一種是每次購買這種物品數量一定;第二種是每次購買這種物品所花的錢數
一定，哪種購物方式比較經濟（ ）
A．第一種 B．第二種 C．都一樣 D．不確定
【答案】B
【分析】根據基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意， 1, 2為正數，且 1 ≠ 2，
1+ 2
第一種方式購買的平均價格為 2 ，
第二種方式，設每次購買的花費為 ，
2 2 2
則購買的平均價格為 + = 1
1 2
+
1 =
1 2 1+
，
1 2 2
2 + 21 2 1 2 1+ 2
由基本不等式得 2× 2 + < =1 2 + 2
，
1 2
所以選第二種方式比較經濟.
故選：B
變式 2-4．杭州，作為 2023 年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創新能力再次吸引了全球的目光.
其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購買 臺“機器狗”的總成本
為 ( ) =
1 2
80 + + 20 萬元 .
(1)若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺
(2)現安排標明“汪 1”、“汪 2”、“汪 3”的 3 臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是 120 米. 3 臺
“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為 1， 2， 3. “汪 1”有一半的時間以速度（單位:米/秒） 1奔跑，另
一半的時間以速度 2奔跑；“汪 2”全程以速度 1 2奔跑；“汪 3”有一半的路程以速度 1奔跑，另一半的路
程以速度 2奔跑，其中 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2 則哪臺機器狗用的時間最少 請說明理由.
【答案】(1)40
(2)“汪 1”用的時間最少，理由見解析
【分析】（1）平均成本為 = ( ) ，利用比較不等式，即可求解函數的最值；
（2）利用速度，時間和路程的關系，分別求解 1， 2， 3，再根據不等式，比較時間大小，即可求解.
1
【詳解】（1）由題意，購買 臺“機器狗”的總成本為 ( ) = 280 + + 20，
( ) 1
則每臺機器狗的平均成本為 = = 80 +
20
+1 ≥ 2
1 20 +1 = 1 + 1 = 2，
80
1 20
當且僅當80 = 時，即 = 40時，等號成立，
所以，若使每臺“機器狗”的平均成本最低，應買40臺.
1 1 120
（2）由題意，“汪 1”滿足2 1 1 + 2 1 2 = 120，可得 1 = 1+ 2，2
120
“汪 2”滿足 2 1 2 = 120，可得 2 = ，1 2
60 60 120
“汪 3”滿足 3 = + = 2 1 2，1 2 1+ 2
2 1 2 2
+ ≤
1 2
2 = 1 2， 1 ≠ 1 2 2，1 2
2 1 2
所以 + < 1 2 ，1 2
因為 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2，
1+ 2
所以可得 2 > 1 2，
1+ 2 2
則 2 > 1 >
1 2
2 1+
> 0，
2
所以 1 < 2 < 3，所以 “汪 1”用的時間最少.
【方法技巧與總結】
1 理解題意是解題的關鍵，求兩個量之間的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某個量的最值，注意引入變量來表示所求量，再利用基本不等式求解，注意實際問題中變量的取值范
圍，
【題型三：基本不等式在幾何中的應用】
例 3．如圖，我國古代的“弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的.設直角三角形 的直角邊長為 , ，且
直角三角形
+ 2+ 2
的周長為 2.（已知正實數 , ，都有 ≤ 2 ≤ ，當且僅當 = 時等號成立）2
(1)求直角三角形 面積的最大值；
(2)求正方形 面積的最小值.
【答案】(1)3 ― 2 2
(2)4(3 ― 2 2)
【分析】（1）由2 = + + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = (2 + 2)，得到 ≤ 6 ― 2 2求解；
2
（2）由2 = + + 2 + 2 ≤ ( 2 + 1) 2 + 2，得到 2 + 2 ≥ = 22+1 ( 2 ― 1)求解.
【詳解】（1）解：由題意得：2 = + + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = (2 + 2) ，
2
所以 ≤ = 2 ― 2，即 ≤ 6 ― 42+ 2 2，
所以 = 12 ≤ 3 ― 2 2，當且僅當 = 時，等號成立，
所以直角三角形 面積的最大值為3 ― 2 2；
（2）因為 + ≤ 2( 2 + 2)，
所以2 = + + 2 + 2 ≤ ( 2 + 1) 2 + 2，
2
所以 2 + 2 ≥ = 22+1 ( 2 ― 1)，
所以 = 2 + 2 ≥ 4(3 ― 2 2)，當且僅當 = 時，等號成立，
所以正方形 面積的最小值為4(3 ― 2 2).
變式 3-1．中國南宋著名數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為
, , ，三角形的面積 可由公式 = ( ― )( ― )( ― )求得，其中 為三角形周長的一半.已知 △
周長為 12， = 4，則此三角形面積最大時，∠ =（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
【分析】由秦九韶公式可得 關于 ， 的式子，再利用基本不等式求出 得最大值時三角形各邊長，再求
∠ ．
1
【詳解】由題可知 + = 8， = 4，可得 = 2( + + ) = 6，
= 6― +6― 則 6(6 ― )(6 ― )(6 ― 4) = 12(6 ― )(6 ― ) ≤ 12 × 2 = 4 3，
當且僅當 = = 4時，取得等號，
所以此時三角形為等邊三角形，故∠ = 60°．
故選：C
變式 3-2．如圖，某燈光設計公司生產一種長方形線路板，長方形 ( > )的周長為 4，沿 折疊
使點 B 到點 ′位置， ′交 于點 P．研究發現當 △ 的面積最大時用電最少，則用電最少時， 的長
度為（ ）
A 5．4 B
3
． 2 C．2 D． 3
【答案】B
2
【分析】利用勾股定理 2 + 2 = 2，構造函數 = 3 ― + ，利用基本不等式即可求出最值.

【詳解】如圖，設 = ，由矩形 ( > )的周長為 4，可知 = (2 ― )．
設 = ，則 = ( ― )． ∵ ∠ = ∠ ′,∠ = ∠ ′ = 90°, = ′，
∴ Rt △ ≌Rt △ ′ , ∴ = = ．
在Rt △ 中，由勾股定理得 2 + 2 = 2，
2―2 +2
即(2 ― )2 + ( ― )2 = 2，解得 = ，
= ― = 2 ―2所以 ．
所以 △ 的面積 = 12 =
1
2(2 ― )
2 ―2
= 3 ― +
2
．

所以 ≤ 3 ― 2 2 = 3 ― 2 2 2，當且僅當 = 時，
即當 = 2時， △ 的面積最大，面積的最大值為3 ― 2 2，
故選：B．
變式 3-3．已知長為 ，寬為 的長方形，如果該長方形的面積與邊長為 1的正方形面積相等；該長方形周
長與邊長為 2的正方形周長相等；該長方形的對角線與邊長為 3的正方形對角線相等；該長方形的面積和
周長的比與邊長為 4的正方形面積和周長的比相等，那么 1、 2、 3、 4大小關系為（ ）
A． 1 ≤ 4 ≤ 2 ≤ 3 B． 3 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 4
C． 4 ≤ 1 ≤ 3 ≤ 2 D． 4 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3
【答案】D
2
【分析】先求出 = 21， + = 2 2， 2 + 2 = 2

， 43 + = 2 ，然后利用基本不等式比較大小即可.4
2
【詳解】由題意可得， = 21①， + = 2 2②， 2 + 2 = 2
4
3③， + = 2 ④，且 , > 0，4
由基本不等式的關系可知， + ≥ 2 ，當且僅當 = 時等號成立，
由①②得，2 2 ≥ 2 1，所以 2 ≥ 1⑤，
因為( + )2 = 2 + 2 +2 ≤ 2( 2 + 2)，
( + )2
所以 2 + 2 ≥ 2 ，當且僅當 = 時等號成立，
由②③得，2 2 4
2
3 ≥ 22 ，所以 3 ≥ 2⑥，

又 + ≤ = ，當且僅當 = 時等號成立，2 2
2 1
由①④得， 42 ≤ 2 ，所以 4 ≤ 1⑦，綜合⑤⑥⑦可得， 4 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3.4
故選：D.
變式 3-4．用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為75 3m2的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下
底 ，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成60°，當等腰梯形的腰長為多少時，所用籬笆的長度最小？并求
出所用籬笆長度的最小值．
【答案】當等腰梯形的腰長為10m時，所用籬笆長度最小，其最小值為30m．
【分析】以實際應用問題為情境，建立函數關系，利用函數最值的求法解出結果；
【詳解】
設 = (m)( > 0)，上底 = (m)( > 0)，
分別過點 , 作下底的垂線，垂足分別為 , ，
3
則 = ， = =
2 2
，

則下底 = 2 + + 2 = + ，
( + + ) 3 3
該等腰梯形的面積 = 2 = ( + 2 ) = 752 4 3，
= 300 = 300

所以( + 2 ) ，則 2 ― 2，
所用籬笆長為 = 2 +

= 2 + 3002 ―
300 3 300 3
2 = 2 + 2 ≥ 2 = 30，2 2
300 3
當且僅當 2 = 2 ，即 = 10(m)， = 10(m)時取等號．
所以，當等腰梯形的腰長為10m時，所用籬笆長度最小，其最小值為30m．
【方法技巧與總結】
1 理解題意是解題的關鍵，求兩個量之間的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某個量的最值，注意引入變量來表示所求量，再利用基本不等式求解，注意實際問題中變量的取值范
圍，
一、單選題
1． 已知正數 ， 滿足 + 2 = 1，則（ ）
A ≥ 1． 8 B． >
1
8 C．0 < ≤
1
8 D．0 < <
1
8
【答案】C
【分析】根據基本不等式直接計算即可.
1
【詳解】由題意得， > 0, > 0，則 > 0， + 2 = 1 ≥ 2 2 ，即0 < ≤ 8，
= 2 = 1, = 1當且僅當 ，即 2 4時等號成立.
故選：C
2.已知0 < < 4，則 (6 ― )的最大值為（ ）
A 1．2 B．1 C． 3 D．3
【答案】D
【分析】利用基本不等式直接求出最大值.
+(6― )
【詳解】當0 < < 4時， (6 ― ) ≤ 2 = 3，當且僅當 = 6 ― ，即 = 3時取等號，
所以 (6 ― )的最大值為 3.
故選：D
3.已知一個直角三角形的面積為 16，則該三角形周長的最小值為（ ）
A．8 2 B．8 + 4 2 C．8 + 8 2 D．16 + 8 2
【答案】C
【分析】根據直角三角形的面積公式考慮設直角邊為 、 ，利用均值不等式解得最小值為8 + 8 2.
【詳解】設三角形的兩條直角邊長為 、 ，可得 = 32，
三角形的周長為 + + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = 8 + 8 2，當且僅當 = = 4 2時取等號．
故選：C
4.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員現將5g的砝碼放在天
平的左盤中，取出 g黃金放在天平右盤中使天平平衡；將天平左右盤清空后，再將5g的砝碼放在天平右盤
中，再取出 g黃金放在天平的左盤中，使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．則（ ）
A． + > 10 B． + = 10
C． + < 10 D．以上都有可能
【答案】A
5 5
【分析】根據杠桿原理可得 = ， = ，進而可根據基本不等式求解.
【詳解】設天平左臂長為 ，右臂長為 ，且 ≠ ，則有5 = ， = 5 ，即 = 5 ， =
5
，
+ = 5 + 5 = 5 所以， +
≥ 5 × 2 = 10，

又因為 ≠ ，所以 + > 10.
故選：A
5.為提高生產效率，某公司引進新的生產線投入生產，投入生產后，除去成本，每條生產線生產的產品可
獲得的利潤 （單位：萬元）與生產線運轉時間 （單位：年）滿足二次函數關系： = ―2 2 +40 ― 98，現
在要使年平均利潤最大，則每條生產線運行的時間 t 為（ ）年．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A

【分析】表示出平均利潤 ，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立條件.
2
【詳解】平均利潤為 =
―2 +40 ―98
= ― 2 +
98 +40 ≤ ―2 2 × 98 +40 = 12，

98
當且僅當2 = ，即 = 7時取最大值.
故選：A.
6. 某金店用一桿天平稱黃金，某顧客需要購買 20 克黃金，他要求先將 10 克的砝碼放在左盤，將黃金放在
右盤使之平衡；然后又將 10 克的砝碼放入右盤，將另一黃金放在左盤使之平衡，顧客獲得這兩塊黃金，
則該顧客實際所得黃金（ ）
A．小于 20 克 B．不大于 20 克 C．大于 20 克 D．不小于 20 克
【答案】D
【分析】根據已知條件，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】設天平的左臂長為 ，右臂長為 （不妨設 ≥ ），
第一次稱出的黃金重為 g，第二次稱出的黃金重為 g，
10 10
由杠桿平衡的原理，可得10 = , = 10 ，則 = , = ，
+ = 10 + 10 ≥ 20 × 可得 = 20，當且僅當 = 時，等號成立，
所以顧客所得的黃金不小于 20 克.
故選：D.
7.已知 > 0， > 0 2 1，若 2+2 + 2+ = 1，則 的最大值為（ ）
A．2 ― 2 B．2 + 2 C．4 + 2 2 D．4 ― 2 2
【答案】D
2 1
【分析】首先變形 = × + ，化簡后換元 = > 0，轉化為關于 的式子，利用基本不等 2+2 2+
式求最值.
【詳解】 = × 2 + 1 =
2
2+2 2+ 2+2
+ 2+ ，
2 1
= +2 + +1，


設 = > 0，
= 2
1 2
則 + 1 +2 +1 = +2 + +1 =
2 1
+2
― +1 +1，
1 1
= ( +2)( +1) +1 = +2+3 +1 ≤ +1 = 4 ― 22 2+3 2，
2
當 = ，即 = 2， = 2時等號成立，
所以 的最大值為4 ― 2 2.
故選：D
8.為提高市民的健康水平，擬在半徑為 200 米的半圓形區域內修建一個健身廣場，該健身廣場（如圖所示
的陰影部分）分休閑健身和兒童活動兩個功能區，圖中 區域是休閑健身區，以 為底邊的等腰三角
形區域 是兒童活動區，P，C，D 三點在圓弧上， 中點恰好在圓心 O，則當健身廣場的面積最大時，
的長度為（ ）
A．100米 B．150米 C．100 2米 D．100 3米
【答案】D
【分析】
= | |先設 ，然后將健身廣場的面積表示為 的函數
2 1 ― 2 + 1 ，再使用基本不等式和二次函數的性質
確定 1 ― 2 + 1 取得最大值時 的取值，最后求出此時 的長度.
| |
【詳解】如圖，設半圓的半徑是 ，并設 = ，則| | = ，由0 < | | < 知0 < < 1.
2 2
由于| | = | | = | |2 ― | |2 = | | 1 ― | | = 1 ― | | = 1 ― 2，故四邊形 和四邊形
| |2 2
都是上底為 1 ― 2，下底為 ，高為 的梯形.
1
所以，健身廣場的面積 = 2 × 2 1 ― 2 + =
2 1 ― 2 + 1 .
從而，健身廣場的面積最大的時候，恰好就是 1 ― 2 + 1 最大的時候，而我們又有：
2 3 ― 3 2 + 2 3 2 2(3 ― 3 2) + 2 3
1 ― 2 + 1 = 1 ― 2 + = =
2 3 2 3
2
2≤ +(3―3
2)+2 3 = ―2
2+2 3 +3 9= ―2 ―
3 +9 3 3
2 2 ≤ 2 = ，第一個不等號使用了基本不等式.
2 3 2 3 2 3 2 3 4
等號成立當且僅當 2 = 3 ― 3 2 3且 ― = 0，即 2 = 3 ― 3 2且 = 3.
2 2
由于 = 3時3 ― 3 2 = 3 ― 3 34 =
3 2
4 = ，故等號成立當且僅當 =
3.
2 2
3 3 3
以上結論表明，的 1 ― 2 + 1 最大值是 ，且取到最大值當且僅當 = .4 2
由| | = 3，我們得到當健身廣場的面積最大時， 的長度為 .2
最后，由 是半圓的半徑，再根據題目條件，知 等于 200 米，所以 的長度為100 3米，D 選項正確.
故選：D.
二、多選題
9． 已知 2 +4 2 +2 = 1，則（ ）
A． 1 5的最大值為6 B．
2 +4 2的最小值為7
C． 2 +4 2 1的最大值為 2 D． 的最小值為 ― 3
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐項判斷即可得.
【詳解】對 A：由 2 +4 2 ≥ 4 ，得 2 +4 2 +2 ≥ 6 ，所以 ≤ 16，
當且僅當 = 2 時取等號，故 A 正確；
2 2 2
B 2 = 2 ≤ +4 2 +4 2 +2 ≤ 3( +4
2)
對 ：由 2 ，得 2 ，
所以 2 +4 2 ≥ 23，當且僅當 = 2 時取等號，故 B 錯誤；
2 2 2 2
對 C：由2 = 2 ≥ ― +4 2 +4 2 +2 ≥ +4 2 ，得 2 ，
所以 2 +4 2 ≤ 2，當且僅當 = ―2 時取等號，故 C 正確；
對 D：由 2 +4 2 ≥ ―4 ，得 2 +4 2 +2 ≥ ―2 ，
所以 ≥ ― 12，當且僅當 = ―2 時取等號，故 D 錯誤.
故選：AC.
10.《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在
其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖（1），用對角線將長和寬分別為
b 和 a 的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形
（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖（2）所示的矩形，該矩形長為 a+b，寬為內接正方形
的邊長 d．由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖（3），設 D 為斜邊 BC 的中點，作直角三角
形 ABC 的內接正方形的對角線 AE，過點 A 作 ⊥ 于點 F，則下列推理正確的是（ ）
A 2 ．由題圖（1）和題圖（2）面積相等得 = +
B．由 ≥
2+ 2 ≥ + 可得
2 2
C ≥
2+ 2 2
．由 可得 ≥ 1
2 +
1

D．由 ≥ 可得 2 + 2 ≥ 2
【答案】BCD
【分析】根據題圖（1），（2）面積相等，可求得 d 的表達式，從而判斷 A 選項的正誤，由題意可求得題圖
（3）中 ， ， 的表達式，逐一分析 B，C，D 選項，即可得答案．
【詳解】對于 A，由題圖（1），（2）面積相等得 = = ( + ) × ，所以 = + ，故 A 錯誤．

對于 B，因為 ⊥ 1，所以2 × × =
1 2
2 + 2 × ，所以 = 2 2，+
―
3 2 設題圖（ ）中內接正方形的邊長為 t，根據三角形相似可得 = ，解得 = + ，所以 = 2 = + ．
≥ 2
2+ 2 +
因為 ，所以 ≥ ≥ + ，整理可得 ，故 B 正確． 2+ 2 2 2
對于 C，因為 D 為斜邊 的中點，所以 = 2+ 2，
2
因為 ≥ 2，所以 + 2 ≥ 2
2+ 2 2≥ 1 1
2 +
，整理得 + ，故 C 正確．2
2 2
對于 D ≥ + ，因為 ，所以 ≥ ，整理得 2 + 2 ≥ 2 2 2 ，故 D 正確．2 +
故選：BCD
11.如圖，四邊形 為梯形，其中 = ， = ，且 < ， 為對角線的交點．有 4 條線段（ 、
、 、 ）夾在兩底之間． 表示平行于兩底且與它們等距離的線段（即梯形的中位線）， 表示平
行于兩底且使梯形 與梯形 相似的線段， 表示平行于兩底且過點 的線段， 表示平行于兩
底且將梯形 分為面積相等的兩個梯形的線段．下列說法中正確的有（ ）
A．若 = 3, = 6，則 = 3 2
2
B． = 1+1

C．存在 , 使得 >
2
D = +
2
．
2
【答案】ABD
【分析】由梯形 與梯形 相似，求得 = ，可判定 A 正確；由 // ，結合
△ ∽△ 和 △ ∽△ ，求得 = 2 = 2 + ，可判定 B 正確；由基本不等式得到 < ，
( + )
可判定 C 不正確；設梯形 , , 的面積分別為 1, 2, ，結合2 1 = 2 2 = ，求得 1 = 2( + ),
( + )
2 = 2( + )，結合 1 + 2 = ，可判定 D 正確.
+
【詳解】對于 A 中，由題梯形的中位線的性質，可得 = 2 ，
因為梯形 與梯形 = 相似，所以 ，可得 = = ，
當 = 3, = 6，可得 = 3 2，所以 A 正確；
對于 B 中，因為 // ，所以∠ = ∠ ,∠ = ∠ ，
所以 △ ∽△ ，可得 =

= ，
又由 △ ∽△ ，可得 =

= + ，
2
可得 = + ，所以 = 2 =
2
1
+ = +1，所以 B 正確；
對于 C 中，由基本不等式知， > 0, > 0，且 ≠ 時，
2 2
可得 = + > ，又由12 +1 < 2 1 = ，所以 < ，所以 C 不正確；
設梯形 , , 的面積分別為 1, 2, ，高分別為 1, 2, ，
則2 1 = 2 2 = ，即( + ) 1 = ( + ) 2 =
1
2( + ) ，
( + ) ( + )
解得 1 = 2( + ), 2 = 2( + )，
( + ) ( + )
根據題意知 1 + 2 = 2( + ) +
2+ 2
2( + ) = ，解得 = ，所以 D 正確.2
三、填空題
12．已知正實數 x，y 滿足 2 +4 2 ―2 = 1，則 xy 的最大值為 ．
1
【答案】2/0.5
【分析】利用已知條件結合基本不等式即可求解．
1
【詳解】正實數 x，y 滿足 2 +4 2 ―2 = 1，所以1 + 2 = 2 +4 2 ≥ 4 ，解得 ≤ 2.
1 1
當且僅當 = 2 ，即 = 1, = 2時取等號，所以 最大值為2．
1
故答案為：2．
13.某廠計劃建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池.若池底的造價為120元每平方米，池壁的造價
為100元每平方米，則這個水池的最低造價為 元.
【答案】2080
4
【分析】設水池池底的一邊長為 m( > 0)，則另一邊長為 m，由題意表示出總造價的函數式，化簡后可
利用基本不等式求出最小值，注意判斷取最值時 的取值是否存在.
【詳解】因為水池的容積為8m3，深為2m，所以底面積為4m2，
4
設水池池底的一邊長為 m( > 0)，則另一邊長為 m，
則總造價 = 4 × 120 + 100 × 2 + 2 4 × 2

4
= 480 + 400 +
≥ 480 + 400 × 2 4 = 2080（元）.

4
當且僅當 = ，即 = 2時， 取最小值為2080.
所以水池的最低造價為2080元.
故答案為：2080.
14. > 0 > 0 2 2 +
2
若 ， ，且 3 = 8，求 6 + 2 2的最大值為 ．
9 3
【答案】
2
【分析】觀察題目已知式中 與 都是二次的，而所求式中是一次的，而且還帶根號，如果把 6 + 2 2平
方，則可得出相關性了.再用基本不等式解題即可．
2
【詳解】因為 6 + 2 2 = 2 6 + 2 2 = 3 2 2
2
1 +
3
2 22 2+1+
≤ 3 3 = 3 × 9
2
= 243
2 2 4 ，
2 2 +1 +
2 3
當且僅當 3 ，即 =
42
2， = 時，等號成立.2
6 + 2 2 ≤ 243 = 9 3所以 ，故 2 6 + 2
2 9 3的最大值為 .
4 2
9 3
故答案為： ．
2
四、解答題
15．已知 a，b 是正實數，且2 2 +3 2 = 10，求 2 + 2的最大值．
4 6
【答案】
3
【分析】 = 2 + 2，換元得到2 2＋3 2 = 16， 2 + 2 = 4 6，由基本不等式求出 ≤ ，從而得到答3
案.
【詳解】記 = 2 + 2，則2 2＋3 2 = 10 2 2＋3 2 = 16，故 2 + 2 = ，
2 2 8
其中 2 3 ≤ 2 +3 2 = 8 ≤ =
4 6
6 ，3
2 = 3 = 2, = 2 6 6當且僅當 ，即 ，等號成立，此時 = 2 ― 2 = .3 3
16.如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為 32，它的左、右兩邊都留有寬為 2 的空白，
上、下兩邊都留有寬為 1 的空白.記紙張的面積為 S，排版矩形的長和寬分別為 x，y.
(1)用 x，y 表示 S;
(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小 并求最小面積.
【答案】(1) = 40 + 2 + 4 ( > 0, > 0)
(2)紙張的長和寬分別為 12，6 時，紙張的面積最小，最小面積為 72.
【分析】（1）由題意知 = 32，再代入 = ( + 4)( + 2)化簡即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【詳解】（1）由題意， = 32，
= ( + 4)( + 2) = + 2 + 4 + 8 = 40 + 2 + 4 ( > 0, > 0).
（2） = 40 + 2 + 4 ≥ 40 + 2 8 = 72，
當且僅當2 = 4 ，即 = 8, = 4時等號成立，
所以紙張的長和寬分別為 12，6 時，紙張的面積最小，最小面積為 72.
17.甲、乙兩地相距 1000km，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 100（km/h），若貨車每小時的運
3
輸成本（以元為單位）由可變成本和固定成本組成，可變成本是速度 km h 的平方的4倍，固定成本為
元.
(1)將全程運輸成本 （元）表示為速度 km h 的函數，并指出這個函數的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，貨車應以多大的速度行駛
【答案】(1) = 1000 3 + ，定義域為(0,100]
4
(2)答案見解析
3
【分析】（1）由題意貨車每小時的運輸的可變成本為 2 元，固定成本為 a 元，求和后乘以時間即可；
4
（2）由（1）的結論，利用基本不等式求最小值作答.
【詳解】（1 3）由題意得可變成本為 2 元，固定成本為 a 元，
4
1000
所用時間為 ，
= 1000 3 2 + = 1000 3則 +

，定義域為(0, 100]．
4 4
2 1 = 1000 3 + ≥ 1000 × 2 3 ·

（ ）由（ ）得 = 1000 33 ，當且僅當4 = ，即 = 2

時取等號，
4 4 3

易知函數 = 34 + 在 0,2

上單調遞減，在 2 , + ∞ 上單調遞增.
3 3
又0 < ≤ 100，
所以當0 < ≤ 7500時，貨車以 = 2 km/h 的速度行駛，全程運輸成本最小；
3
當 > 7500時，貨車以 100km/h 的速度行駛，全程運輸成本最小．
18.如圖所示，一條筆直的河流 （忽略河的寬度）兩側各有一個社區 , （忽略社區的大小）， 社區距離
上最近的點 0的距離是2km, 社區距離 上最近的點 0的距離是1km，且 0 0 = 4km.點 是線段 0 0上一
點，設 0 = km.
現規劃了如下三項工程：
工程 1：在點 處修建一座造價 0.1 億元的人行觀光天橋；
9
工程 2：將直角三角形 20 地塊全部修建為面積至少1km 的文化主題公園，且每平方千米造價為 1 + 2 2
億元；
工程 3：將直角三角形 0 地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，且每平方千米造價為 1 億元.
記這三項工程的總造價為 億元.
(1)求實數 的取值范圍；
(2)問點 在何處時， 最小，并求出該最小值.
(1) 1, 7【答案】
2
(2)當點 滿足| 0 | = 3時， 最小，最小值為5.1億元.
【分析】（1）由直角三角形 20 地塊全部修建為面積至少0.25km 和直角三角形 0 地塊全部修建為面積
至少1km2的文化主題公園濕地公園，列不等式求解即可得出答案.
2 9 4― （ ）由題意可得 = 1 + + 1 × 2 +0.1，由基本不等式求解即可.2 2
【詳解】（1）因為直角三角形 0 地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，
1 1 7
所以 △ 0 = 2| 0 || 0| = 2 × 1 (4 ― ) ≥ 0.25，解得： ≤ 2
直角三角形 0 地塊全部修建為面積至少1km2的文化主題公園，
1 1
所以 △ 0 = 2| 0 || 0| = 2 × 2 ≥ 1，解得： ≥ 1,
故實數 7的取值范圍為 1, .
2
2 = 9 + 1 × 4― （ ）依題意可得： 1 + 2 +0.12 2
= + 9 + 4―

2 2 +0.1 =
9
2 + 2 +2.1 ≥ 2
9 +2.1 = 2 ×
3
2 +2.1 = 5.1，2 2
9
當且僅當2 = 2 ，即 = 3時取等.
所以當點 滿足| 0 | = 3時， 最小，最小值為5.1億元.
19．冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎、制冷技術為手段，使冷鏈物品從生產、流通、銷售到消費者的各個
環節始終處于規定的溫度環境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.隨著人民食品安全意識的提高及線上消
費需求的增加，冷鏈物流市場規模也在穩步擴大.某冷鏈物流企業準備擴大規模，決定在 2024 年初及 2025
年初兩次共投資 4 百萬元，經預測，每年初投資的 百萬元在第 （1 ≤ ≤ 8，且 ∈ *）年產生的利潤
, ∈ *,1 ≤ ≤ 4
（單位：百萬元） ( ) = 4 ― 16 ― , ∈ *,5 ≤ ≤ 8 ，記這 4 百萬元投資從 2024 年開始的第 年產
2
生的利潤之和為 ( ).
(1)比較 4(2)與 5(2)的大小；
(2)求兩次投資在 2027 年產生的利潤之和的最大值.
【答案】(1) 4(2) > 5(2)
(2)2 7
【分析】（1）由 ( )求出 4(2)， 5(2)，再由作差法比較大小即可得出答案.
（2）先求出兩次投資在 2027 年產生的利潤之和 4( ) = 2 + 12 ― 3 ，再由基本不等式或判別式求出
4( )的最大值.
【詳解】（1） = 2表示 2024 年及 2025 年各投資 2 百萬元，
由題意得 4(2) = 4 × 2 + 3 × 2 = 2 2 + 6，
(2) = 4 ― 16 ― 5×25 +2 2 = 4 ― 11 +2 2，2
4(2) ― 5(2) = 6 + 11 ―4 > 2 + 2 ― 4 = 0，
所以 4(2) > 5(2).
（2）兩次投資在 2027 年產生的利潤之和為 4( )百萬元，
設 2024 年初投資 百萬元，則 2025 年初投資(4 ― )百萬元，
2024 年初投資的 百萬元在 2027 年產生的利潤為 4 = 2 （百萬元），
2025 年初投資的(4 ― )百萬元在 2027 年產生的利潤為 3(4 ― )（百萬元），
所以 4( ) = 2 + 12 ― 3 .
解法一：
[ 4( )]2 = + 4 12 ― 3 2 +12，設 = + 4 12 ― 3 2，
則 ― = 4 12 ― 3 2，兩邊平方得49 2 ― (2 + 192) + 2 = 0，
由Δ = (2 + 192)2 ―4 × 49 2 ≥ 0得2 + 192 ≥ 14 ，所以 ≤ 16，
= 16當 7 時取等號.
所以[ 4( )]2 = + 4 12 ― 3 2 +12 ≤ 16 + 12 = 28， 4( ) ≤ 2 7.
所以兩次投資在 2027 年產生的利潤之和的最大值為2 7百萬元.
解法二：[ 4( )]2 = + 4 3 (4 ― ) +12 = + 6 32 ― 8 +12
≤ + 6 +32―8 2 +12 = 16 + 12 = 28，
當且僅當6 = 32 ― 8 ，即 = 167 時取等號，
所以 4( ) ≤ 2 7，兩次投資在 2027 年產生的利潤之和的最大值為2 7百萬元.2.1.3 基本不等式的應用
課程標準 學習目標
+
（1）掌握基本不等式 2 ( , 0) 。結 （1）會利用基本不等式求積的最大值;
合具體實例, 能用基本不等式解決簡單的最大
（2）會利用解決生活中的最值問題.（難點)
值或最小值問題。
知識點 01 積定求和，和定求積
已知 ， 是正數，則
（1）如果積 是定值 ，那么當且僅當 = 時，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果積 + 是定值 ，那么當且僅當 = 時，積 有最大值 4。
【即學即練 1】
若 > 0， > 0，且 + 4 = 1，則 的最大值是（ ）
A 1 B 1 C 1 D 1．32 ．16 ．4 ．2
知識點 02 基本不等式在實際問題的應用
在基本不等式在實際問題中，首先要理解題意，找到各個變量之間的關系，再利用基本不等式進行求解，
其中要注意變量在實際中的取值范圍.
【即學即練 2】
小王準備用18m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，小王需要合理安排矩形的長 寬才能使
菜園的面積最大，則菜園面積的最大值為（ ）
A 81． 22 m B．40m
2 C．36m2 D．32m2
【題型一：基本不等式求積的最大值】
例 1．已知正數 x，y 滿足 + = 2，則 2 + 2 ― 的取值范圍是（ ）
A．[1,4] B．[0,4] C．[1,4) D．[1,3)
4
變式 1-1．已知 > 0, > 0 3，且滿足 + = 1，則（ ）
A． 1的最小值為 48 B． 的最小值為48
C． 的最大值為 48 D 1． 的最大值為48
變式 1-2．已知 > 0, > 0，且 + 2 = 4，則 2 +4 2（ ）
A 80．有最小值 8 B．有最小值 9
C．有最大值 8 D 80．有最大值 9
變式 1-3．已知10 > > 0，則2 ― (10 ― )的最小值為（ ）
A． ―3 B． ―2 C． ―1 D．0
變式 1-4．正數 , 滿足 + = 5，則 + 1 + + 2的最大值為（ ）
A．8 B．3 C．2 2 D．4
【方法技巧與總結】
1 已知 ， 是正數，則
（1）如果積 是定值 ，那么當且僅當 = 時，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果積 + 是定值 ，那么當且僅當 = 時，積 有最大值 4。
2 和定求積，也要注意“一正二定三等”，解題方法也有直接法、湊項法、換元法等等.
【題型二：基本不等式在實際生活中的應用】
例 2．某食品企業為了提高其生產的一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量

噸與年促銷費用 萬元之間滿足函數關系式 = 2 ― +2（ 為常數），如果不開展促銷活動，年銷量是 1 噸.已
知每一年生產設備折舊、維修等固定費用為 3 萬元，每生產 1 噸食品需再投入 32 萬元的生產費用，通過
市場分析，若將每噸食品售價定為：“每噸食品平均生產成本的 1.5 倍”與“每噸食品平均促銷費的一半”之
和，則當年生產的該款食品正好能銷售完.
(1)求 值；
(2)將下一年的利潤 （萬元）表示為促銷費 （萬元）的函數；
(3)該食品企業下一年的促銷費投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？
（注：利潤 = 銷售收入 ― 生產成本 ― 促銷費，生產成本 = 固定費用 + 生產費用）
變式 2-1．一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店內購買20g黃金，店員先將10g的砝
碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取
出一些黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．記顧客實際購得的黃金為
xg，則 與 20 的大小關系為（ ）
A． < 20 B． > 20
C． = 20 D．無法確定
變式 2-2．已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為 m 元和 n 元
( ≠ )，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買 100 元的該商品，乙每周購買 20 件該商品，若
甲、乙兩次購買平均單價分別為 1, 2，則（ ）
A． 1 = 2 B． 1 < 2 C． 1 > 2 D． 1, 2的大小無法確定
變式 2-3．兩次購買同一種物品，不考慮物品價格的升降（假設第一次價格為 1，第二次價格為 2， 1 ≠
2）可以用兩種不同的策略，第一種是每次購買這種物品數量一定;第二種是每次購買這種物品所花的錢數
一定，哪種購物方式比較經濟（ ）
A．第一種 B．第二種 C．都一樣 D．不確定
變式 2-4．杭州，作為 2023 年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創新能力再次吸引了全球的目光.
其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購買 臺“機器狗”的總成本
為 1( ) = 280 + + 20 萬元 .
(1)若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺
(2)現安排標明“汪 1”、“汪 2”、“汪 3”的 3 臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是 120 米. 3 臺
“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為 1， 2， 3. “汪 1”有一半的時間以速度（單位:米/秒） 1奔跑，另
一半的時間以速度 2奔跑；“汪 2”全程以速度 1 2奔跑；“汪 3”有一半的路程以速度 1奔跑，另一半的路
程以速度 2奔跑，其中 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2 則哪臺機器狗用的時間最少 請說明理由.
【方法技巧與總結】
1 理解題意是解題的關鍵，求兩個量之間的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某個量的最值，注意引入變量來表示所求量，再利用基本不等式求解，注意實際問題中變量的取值范
圍，
【題型三：基本不等式在幾何中的應用】
例 3．如圖，我國古代的“弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的.設直角三角形 的直角邊長為 , ，且
, + 2. ≤ ≤
2+ 2
直角三角形 的周長為 （已知正實數 ，都有 2 ，當且僅當 = 時等號成立）2
(1)求直角三角形 面積的最大值；
(2)求正方形 面積的最小值.
變式 3-1．中國南宋著名數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為
, , ，三角形的面積 可由公式 = ( ― )( ― )( ― )求得，其中 為三角形周長的一半.已知 △
周長為 12， = 4，則此三角形面積最大時，∠ =（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
變式 3-2．如圖，某燈光設計公司生產一種長方形線路板，長方形 ( > )的周長為 4，沿 折疊
使點 B 到點 ′位置， ′交 于點 P．研究發現當 △ 的面積最大時用電最少，則用電最少時， 的長
度為（ ）
A 5 3．4 B． 2 C．2 D． 3
變式 3-3．已知長為 ，寬為 的長方形，如果該長方形的面積與邊長為 1的正方形面積相等；該長方形周
長與邊長為 2的正方形周長相等；該長方形的對角線與邊長為 3的正方形對角線相等；該長方形的面積和
周長的比與邊長為 4的正方形面積和周長的比相等，那么 1、 2、 3、 4大小關系為（ ）
A． 1 ≤ 4 ≤ 2 ≤ 3 B． 3 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 4
C． 4 ≤ 1 ≤ 3 ≤ 2 D． 4 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3
變式 3-4．用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為75 3m2的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下
底 ，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成60°，當等腰梯形的腰長為多少時，所用籬笆的長度最小？并求
出所用籬笆長度的最小值．
【方法技巧與總結】
1 理解題意是解題的關鍵，求兩個量之間的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某個量的最值，注意引入變量來表示所求量，再利用基本不等式求解，注意實際問題中變量的取值范
圍，
一、單選題
1． 已知正數 ， 滿足 + 2 = 1，則（ ）
A． ≥ 18 B． >
1
8 C．0 < ≤
1 1
8 D．0 < < 8
2.已知0 < < 4，則 (6 ― )的最大值為（ ）
A 1．2 B．1 C． 3 D．3
3.已知一個直角三角形的面積為 16，則該三角形周長的最小值為（ ）
A．8 2 B．8 + 4 2 C．8 + 8 2 D．16 + 8 2
4.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員現將5g的砝碼放在天
平的左盤中，取出 g黃金放在天平右盤中使天平平衡；將天平左右盤清空后，再將5g的砝碼放在天平右盤
中，再取出 g黃金放在天平的左盤中，使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．則（ ）
A． + > 10 B． + = 10 C． + < 10 D．以上都有可能
5.為提高生產效率，某公司引進新的生產線投入生產，投入生產后，除去成本，每條生產線生產的產品可
獲得的利潤 （單位：萬元）與生產線運轉時間 （單位：年）滿足二次函數關系： = ―2 2 +40 ― 98，現
在要使年平均利潤最大，則每條生產線運行的時間 t 為（ ）年．
A．7 B．8 C．9 D．10
6. 某金店用一桿天平稱黃金，某顧客需要購買 20 克黃金，他要求先將 10 克的砝碼放在左盤，將黃金放在
右盤使之平衡；然后又將 10 克的砝碼放入右盤，將另一黃金放在左盤使之平衡，顧客獲得這兩塊黃金，
則該顧客實際所得黃金（ ）
A．小于 20 克 B．不大于 20 克 C．大于 20 克 D．不小于 20 克
7. 2 1已知 > 0， > 0，若 2+2 + 2+ = 1，則 的最大值為（ ）
A．2 ― 2 B．2 + 2 C．4 + 2 2 D．4 ― 2 2
8.為提高市民的健康水平，擬在半徑為 200 米的半圓形區域內修建一個健身廣場，該健身廣場（如圖所示
的陰影部分）分休閑健身和兒童活動兩個功能區，圖中 區域是休閑健身區，以 為底邊的等腰三角
形區域 是兒童活動區，P，C，D 三點在圓弧上， 中點恰好在圓心 O，則當健身廣場的面積最大時，
的長度為（ ）
A．100米 B．150米 C．100 2米 D．100 3米
二、多選題
9． 已知 2 +4 2 +2 = 1，則（ ）
A． 1的最大值為 B． 26 +4
2 5的最小值為7
C． 2 +4 2 1的最大值為 2 D． 的最小值為 ― 3
10.《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在
其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖（1），用對角線將長和寬分別為
b 和 a 的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形
（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖（2）所示的矩形，該矩形長為 a+b，寬為內接正方形
的邊長 d．由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖（3），設 D 為斜邊 BC 的中點，作直角三角
形 ABC 的內接正方形的對角線 AE，過點 A 作 ⊥ 于點 F，則下列推理正確的是（ ）
A 2 ．由題圖（1）和題圖（2）面積相等得 = +
B．由 ≥
2+ 2 +
可得 ≥
2 2
≥ 2C +
2 2
．由 可得 ≥ 1
2 +
1

D．由 ≥ 可得 2 + 2 ≥ 2
11.如圖，四邊形 為梯形，其中 = ， = ，且 < ， 為對角線的交點．有 4 條線段（ 、
、 、 ）夾在兩底之間． 表示平行于兩底且與它們等距離的線段（即梯形的中位線）， 表示平
行于兩底且使梯形 與梯形 相似的線段， 表示平行于兩底且過點 的線段， 表示平行于兩
底且將梯形 分為面積相等的兩個梯形的線段．下列說法中正確的有（ ）
2
A．若 = 3, = 6
2 2
，則 = 3 2 B． = 1+1 C．存在 , 使得 > D
+
． =
2
三、填空題
12．已知正實數 x，y 滿足 2 +4 2 ―2 = 1，則 xy 的最大值為 ．
13.某廠計劃建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池.若池底的造價為120元每平方米，池壁的造價
為100元每平方米，則這個水池的最低造價為 元.
2
14.若 > 0， > 0 2 2 + ，且 3 = 8，求 6 + 2 2的最大值為 ．
四、解答題
15．已知 a，b 是正實數，且2 2 +3 2 = 10，求 2 + 2的最大值．
16.如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為 32，它的左、右兩邊都留有寬為 2 的空白，
上、下兩邊都留有寬為 1 的空白.記紙張的面積為 S，排版矩形的長和寬分別為 x，y.
(1)用 x，y 表示 S;
(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小 并求最小面積.
17.甲、乙兩地相距 1000km，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 100（km/h），若貨車每小時的運
3
輸成本（以元為單位）由可變成本和固定成本組成，可變成本是速度 km h 的平方的4倍，固定成本為
元.
(1)將全程運輸成本 （元）表示為速度 km h 的函數，并指出這個函數的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，貨車應以多大的速度行駛
18.如圖所示，一條筆直的河流 （忽略河的寬度）兩側各有一個社區 , （忽略社區的大小）， 社區距離
上最近的點 0的距離是2km, 社區距離 上最近的點 0的距離是1km，且 0 0 = 4km.點 是線段 0 0上一
點，設 0 = km.
現規劃了如下三項工程：
工程 1：在點 處修建一座造價 0.1 億元的人行觀光天橋；
9
工程 2：將直角三角形 0 地塊全部修建為面積至少1km2的文化主題公園，且每平方千米造價為 1 + 2 2
億元；
工程 3：將直角三角形 0 地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，且每平方千米造價為 1 億元.
記這三項工程的總造價為 億元.
(1)求實數 的取值范圍；
(2)問點 在何處時， 最小，并求出該最小值.
19．冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎、制冷技術為手段，使冷鏈物品從生產、流通、銷售到消費者的各個
環節始終處于規定的溫度環境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.隨著人民食品安全意識的提高及線上消
費需求的增加，冷鏈物流市場規模也在穩步擴大.某冷鏈物流企業準備擴大規模，決定在 2024 年初及 2025
年初兩次共投資 4 百萬元，經預測，每年初投資的 百萬元在第 （1 ≤ ≤ 8，且 ∈ *）年產生的利潤
, ∈ *,1 ≤ ≤ 4
（單位：百萬元） ( ) = 4 ― 16 ― , ∈ *,5 ≤ ≤ 8 ，記這 4 百萬元投資從 2024 年開始的第 年產
2
生的利潤之和為 ( ).
(1)比較 4(2)與 5(2)的大小；
(2)求兩次投資在 2027 年產生的利潤之和的最大值.

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