資源簡介

2.1.2 基本不等式
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1 +
+
（ ）掌握基本不等式 ( , 0) 。結(jié) （1）理解基本不等式 2 ( , 0)的證明;2
+
合具體實例, 能用基本不等式解決簡單的最大 （2） 掌握利用基本不等式 2 ( , 0)求最值
值或最小值問題。 的常見方法. （難點)
知識點 01 基本不等式
若 > 0 , > 0，則 + ≥ 2 (當(dāng)且僅當(dāng) = 時，等號成立).
+
① 2 叫做正數(shù) , 的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù) , 的幾何平均數(shù).
② 基本不等式的幾何證明
(當(dāng)點 、 重合，即 = 時，取到等號)
③運用基本不等式求解最值時，牢記：一正，二定，三等.
一正指的是 > 0 , > 0；二定指的是 是個定值，三等指的是不等式中取到等號.
4
【即學(xué)即練 1】 求函數(shù) = + ( > 0)的最值.
解 + 4 ≥ 2
4 = 4，當(dāng) = 2是取到等號，故最小值是4.

知識點 02 基本不等式的變形
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (當(dāng)且僅當(dāng) = 時等號成立)
+
(調(diào)和均值 ≤ 幾何均值 ≤ 算術(shù)均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，積定求和；
+ 2
② ≤ 2 ，和定求積：
2
③ 2 + 2 ≥ ( + )2 (聯(lián)系了 + 與平方和
2 + 2)
≤
2+ 2
④ 2 (聯(lián)系了 與平方和
2 + 2)
【即學(xué)即練 2】
若 > 0， > 0， + = 1，則（ ）
A 1 1． + ≤ 1 B．4 ≤ 1
C． 2 + 2 ≥ 1 D． + ≤ 1
【答案】B
【分析】結(jié)合已知條件，利用基本不等式判斷各選項中的結(jié)論是否成立.
【詳解】若 > 0， > 0， + = 1，
1
+
1 1 1 1
= + ( + ) = 1 + + +1 ≥ 2 + 2
= 4，當(dāng)且僅當(dāng) = = 2等號成立，A 選項錯誤；
2
4 ≤ 4 × + = 1 1
2 ，當(dāng)且僅當(dāng)
= = 2等號成立，B 選項正確；
1 = ( + )2 = 2 + 2 +2 ≤ 2( 2 + 2)，得 2 + 2 ≥
1 1
2，當(dāng)且僅當(dāng) = = 2等號成立，C 選項錯誤；
2
+ = + + 2 1 ≤ 2( + ) = 2，得 + ≤ 2，當(dāng)且僅當(dāng) = = 2等號成立，D 選項錯誤.
故選：B
【題型一：基本不等式的內(nèi)容及辨析】
例 1．下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng) > 1 1 1時， + 的最小值為 2 B．當(dāng) < 0時， + ≤ ―2
1 1
C．當(dāng)0 < < 1時， + 的最小值為 2 D．當(dāng) > 1時， + ≥ 2 2
【答案】B
【分析】結(jié)合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.
1 1 1 1
【詳解】選項 A， ∵ > 1， + ≥ 2 = 2，等號成立的條件是 = = 1，等號取不到，所以 +
> 2，故 A 錯誤；
選項 B 1 1，當(dāng) < 0時， ― > 0， + = ― ( ― ) + ≤ ―2 ( ― )
1 = ―2，當(dāng)且僅當(dāng) = ― 1時等號成立，
― ―
故 B 正確；
1 1
選項 C，0 < < 1， + ≥ 2
1 = 2，等號成立的條件是 = 1，等號取不到，即 +

> 2，故
C 錯誤；
1 1 2
選項 D.當(dāng) > 1時， + ≥ 2
1 = 2，等號成立的條件是 = ，即 = 1時等號成立，故 +
> 2，故 D 錯誤.
故選：B
變式 1-1．下列說法正確的是（ ）
A． + 1 最小值為 2 B． +
1
最大值為 2
1 1
C． 2 + 1 + 2+1最小值為 2 D．
2 + 1 + 2+1最大值為 2
【答案】C
【分析】利用基本不等式的概念及運算逐項判斷，可得出合適的選項.
【詳解】當(dāng) > 0時， + 1 ≥ 2
1
× 1 = 2，當(dāng)且僅當(dāng) = 即 = 1時，等號成立；
< 0 + 1 = ― ( ― ) + 1當(dāng) 時， ≤ ―2 ( ― ) ×
1 = ―2，
(― ) (― )
1
當(dāng)且僅當(dāng)( ― ) = (― )即 = ―1時，等號成立；故選項 AB 錯誤；
1 1
任意 ∈ ， 2 + 1 + 2 ≥ 2 +1 ，當(dāng)且僅當(dāng)
2 + 1 = 2+1時，
2 1即 = 0也即 = 0時，等號成立，所以 2 + 1 + 2+1最小值為 2，故選項 C 正確；
1 1
當(dāng) 趨向于無窮大時， 2 + 1 + 2+1也趨向于無窮大，所以
2 + 1 + 2+1無最大值，
故 D 錯誤.
故選：C.
變式 1-2．下列不等式中等號可以取到的是（ ）
1
A． 2 + 5 + ≥ 2 2 +2 +
1 ≥ 2
2+5 B． 2+2
1
C． 2 + 1 2 ≥ 2 D．| | + 3 + | |+3 ≥ 2
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式使用條件逐一檢驗取等條件即可得答案.
1 1
【詳解】解：對于 A，因為 2 + 5 > 0，所以 2 + 5 + 2 ≥ 2 2 +5 + 5 = 2，當(dāng)且僅當(dāng)
2 + 5
2+5
1
=
2+5，即
2 = ―4，故等號不成立，故 A 不符合；
對于 B，因為 2 +2 > 0，所以 2 +2 + 1 2+2 ≥ 2 ( 2 + 2)
1 = 2，當(dāng)且僅當(dāng) 2 +2 = 1 2
2+2 2+2
，即 = ―1，
故等號不成立，故 B 不符合；
對于 C 1 1 1，因為 2 > 0，所以 2 + 2 2 ≥ 2 = 2，當(dāng)且僅當(dāng)
2 = 2，即 =± 1時取等號，故 C 符合； 2
1 1
對于 D，因為| | +3 > 0，所以| | + 3 + | |+3 ≥ 2 (| | + 3)
1 = 2，當(dāng)且僅當(dāng)| | +3 =
| |+3 | |+3
，即| |
= ―2，故等號不成立，故 D 不符合.
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】
在利用基本不等式求最值時，要注意“一正二等三定”六字.
【題型二：基本不等式求和的最小值】
方法 1 直接法
例 2．若 > 0, > 0,3 + 2 = 1，則8 + 4 的最小值為（ ）
A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】8 + 4 = 23 + 22 ≥ 2 23 22 = 2 23 +2 = 2 2，
1 1
當(dāng)且僅當(dāng)23 = 22 且3 + 2 = 1，即 = 6, = 4時等號成立，
故選：B.
變式 2-1． 2 + 7 2 + 7的最小值為（ ）
A．2 7 B．3 7 C．4 7 D．5 7
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
7
【詳解】由題意知 ≠ 0，所以 2 > 0, 2 > 0，
所以 2 + 7 2 + 7 ≥ 2 2
7 + 7 = 3 7.
2
7
當(dāng)且僅當(dāng) 2 = 2 2，即 = 7時，等號成立.
故選：B.
變式 2-2．下列命題中正確的是(　　)

A．若 ， ∈ ，則 + ≥ 2
= 2 B．若 > 0，則 +
1

> 2
C．若 < 0，則 + 4 ≥ ―2 4 = ―4 D．若 ∈ ，則2
+ 2― ≥ 2 2 2― = 2

【答案】D
1
【詳解】 選項必須保證 ， ，同號． 選項應(yīng)取到等號，若 > 0，則 + ≥ 2，
選項應(yīng)該為 ≤ ，故選： ．
方法 2 湊項法
例 3．已知 > 1，則2 + 2 ―1的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解.
【詳解】因為 > 1，所以 ― 1 > 0，
所以2 + 2 2 ―1 = 2( ― 1) + ―1 +2 ≥ 2 2( ― 1)
2 +2 = 6,
―1
當(dāng)且僅當(dāng)2 2( ― 1) = ―1，即 = 2時，取得等號，
故選:C.
變式 3-1．已知 > ―1，則 + 2 +1的最小值為（ ）
A．2 2 B．2 C．2 2 ―1 D．2 2 +1
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【詳解】因為 > ―1，所以 + 1 > 0，
所以 + 2 2 +1 = ( + 1) + +1 ―1 ≥ 2 ( + 1) ×
2 ―1 = 2 2 ―1，
+1
當(dāng)且僅當(dāng) + 1 = 2 +1，即 = 2 ―1取等號，故 C 正確.
故選：C.
變式 3-2．已知 > 0， > 0且 + = 1 1 4 ，則4 + 2 + 的最小值為（ ）
A 3 7 9．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù) + = 1 1將4 +
4 1 4
2 + 轉(zhuǎn)化為4 + +1，利用基本不等式即可求解.
1 + 4 = 1 + 4 = 1+ + 4 1【詳解】4 2 + 4 +1 4 +1 ― 4
≥ 2 1+ 4 ― 1 = 7 1+ = 4 ，當(dāng)且僅當(dāng)
4 +1 4 4 4 +1
，
= 1 = 2即 3， 3時取得等號．
故選：B．
方法 3 巧 法
8
例 4．已知正實數(shù) x，y 滿足2 + = 2，則 +
1
的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】利用“乘 1 法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.
2 +
【詳解】由2 + = 2，得 2 = 1，
8
+ 1 = 8 1 2 + = 1+ + 16 所以 2 2 + 10 ≥
1
2 2
16 + 10 = 9，

16 4 1
當(dāng)且僅當(dāng) = 即 = 3， = 3時，等號成立，
8
所以 +
1
的最小值為 9，
故選：C．
變式 4-1 2 1．已知 , 為正實數(shù)，且滿足 + 2 = 1，則 + 的最小值為（ ）
A．4 2 B．4 + 2 2 C．8 D．6
【答案】C
【分析】利用“1”的代換法，利用基本不等式求得最小值．
【詳解】根據(jù)題意，
2 1 2 1 4 4
+ = + ( + 2 ) = 2 + + + 2 ≥ 4 + 2 = 8

當(dāng)且僅當(dāng) =
4 1
，即 = 2 = 2時，等號成立．
故選：C
變式 4-2．已知 > 0, > 0，且 + 3 = 2 1 1，則 +1 + 3 的最小值為（ ）
A 2．3 B．1 C
4
．3 D．2
【答案】C
【分析】依題意可得 + 1 + 3 = 3，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為 > 0, > 0，且 + 3 = 2，所以 + 1 + 3 = 3，
1 + 1 1 1 1所以 +1 3 = 3 + [( + 1) + 3 ] +1 3
= 1 2 + 3
1 4
3 +
+1 ≥ 2 + 2 3 +1 = ，
+1 3 3 +1 3 3
3 +1 1
當(dāng)且僅當(dāng) +1 = 3 ，即 = = 2時取等號，
1 1 4
所以 +1 + 3 的最小值為3．
故選：C．
方法 4 換元法
2
例 5．設(shè) ( ) = ―2 +22 ―2 , ∈ ( ― 1,1)，則 （ ）
A． ( )min = 1 B． ( )max = 1
C． ( )min = ―1 D． ( )max = ―1
【答案】D
【分析】對 ( )變形后，利用基本不等式求解.
【詳解】令 = 1 ― ，
∈ ( ― 1,1)，則 = 1 ― ∈ (0,2)，
2
( ) = ― +12 = ―
1
2( +
1
) ≤ ―
1
2 × 2 ×
1 = ―1，

當(dāng)且僅當(dāng) = 1 即 = 0時，等號成立，則 ( )max = ―1.
故選：D.
2
變式 5-1 ( ) = ―5 +3．函數(shù) +1 ( 0) 的最小值是（ ）
A．-1 B．3 C．6 D．12
【答案】A
【分析】由基本不等式求解，
【詳解】令 = + 1，
≥ 0，則 ≥ 1，
2
9( ) = ―7 +9 = +
9
―7 ≥ 2 × ―7 = ―1.
當(dāng)且僅當(dāng) = 3， 即 =2 時，等號成立.
故 ( )最小值為-1，
故選：A
變式 5-2．已知 , ∈ R， + = 4 1 1，則 2+1 + 2+1的最大值為（ ）
A． 5+1 B． 5+2 C． 5+1 D． 5+2
2 2 4 4
【答案】D
18―2
【分析】由題意首先得 ≤ 4 1 1，且 2+1 + 2+1 = ( )2―2 +17，進(jìn)一步通過換元法以及判別式法即可求解，
注意驗證取等條件.
【詳解】因為 + = 4，所以 2 + 2 +2 = 16 ≥ 4 ，所以 ≤ 4，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) = = 2，
1 1 2+1+ 2+ = +1
2+ 2+2 18―2
從而 2+1 2+1 ( 2+1)( 2+1) = ( )2+ 2+ 2+1 = ( )2―2 +17，
18―2
令 = ≤ 4 = 18―2 ，設(shè) ( )2―2 +17 = 2―2 +17，顯然 > 0，
則 2 +2(1 ― ) + 17 ― 18 = 0，
因為關(guān)于 的一元二次方程有實數(shù)根，所以Δ = 4(1 ― )2 ―4 (17 ― 18) ≥ 0，
整理得 ―64 2 +64 + 4 ≥ 0，即16 2 ―16 ― 1 ≤ 0，
解得2― 5 ≤ ≤ 2+ 5，注意到 > 0，從而0 < ≤ 2+ 5，
4 4 4
―1 4 2
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Δ = 0，即 = = 1 ― = 1 ― 4 5 ― 2 = 9 ― 4 5 = 5 ― 2 < 2
2 = 4
5+2 ，
1 1
所以經(jīng)檢驗 的最大值，即 2+1 + 2+1的最大值為
5+2.
4
故選：D.
18―2
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得 ≤ 4 1 1，且 2+1 + 2+1 = ( )2―2 +17，由此即可順利得解.
【方法技巧與總結(jié)】
1 利用基本不等式求最值的方法有很多，常見的是直接法、湊項法、巧 1 法、換元法、消元法等，要理解
各種方法的“基本套路”和思考“什么情況下會想到這個方法”；
2 一般一道題目的方法可有很多種，解題時要多嘗試多思考.
【題型三：條件等式求最值】
例 6．已知2 + = ( > 0, > 0)，下列說法正確的是（ ）
A． 的最大值為 8
B 1 2． ―1 + ―2的最小值為 2
C． + 有最小值3 + 2
D． 2 ―2 + 2 ―4 有最大值 4
【答案】B
【分析】根據(jù)基本不等式運用的三個條件“一正 二定 三相等”，可知 ≥ 8，所以 A 錯誤；將原式化成
( ― 1)( ― 2) = 2
1 2 1 2 1
，即可得 ―1 + ―2 = ―1 + ( ― 1) ≥ 2，即 B 正確；不等式變形可得 + = 1，利用基
本不等式中“1”的妙用可知 + ≥ 3 + 2 2，C 錯誤；將式子配方可得 2 ―2 + 2 ―4 = ( ― 1)2 +
( ― 2)2 ―5，再利用基本不等式可得其有最小值 ―1，無最大值，D 錯誤.
【詳解】對于A選項， = 2 + ≥ 2 2 ，即 ≥ 2 2，故 ≥ 8，
當(dāng)且僅當(dāng) = 2, = 4時等號成立，故 的最小值為8，A 錯誤；
對于B 2 選項，原式化為( ― 1)( ― 2) = 2, = ―1 > 0，故 ― 1 > 0 =

； ―2 > 0，故 ― 2 > 0；
1 2 1
所以 ―1 + ―2 = ―1 + ( ― 1) ≥ 2，當(dāng)且僅當(dāng) = 2, = 4時等號成立，B正確；
2 1 2 1 2
對于C選項，原式化為 + = 1，故 + = ( + ) + = +1 + 2 + ≥ 3 + 2 2，
當(dāng)且僅當(dāng) = 2 +1, = 2 + 2時等號成立，C錯誤；
對于 D 選項， 2 ―2 + 2 ―4 = ( ― 1)2 + ( ― 2)2 ―5 ≥ 2( ― 1)( ― 2) ―5 = ―1，
當(dāng)且僅當(dāng) = 1 + 2, = 2 + 2時等號成立，故有最小值 ―1，D 錯誤．
故選：B
1
變式 6-1 > 0 > 0 3．已知 ， ，且 + = 1，則2 + + 的最小值為（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
2
【詳解】2 + + = 3 1 3 + (2 + ) + = 6 + 1 + + +
= 7 + 3
3
+ ≥ 7 + 2 3 3 = 13，
3 3
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 = = 4時，等號成立.
故選：D.
變式 6-2．（多選）已知正數(shù) , 滿足4 + + = 5，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． 的最大值為 1 B．4 + 的最小值為 4
C．16 2 + 2 1 1 10的最小值為 9 D． +1 + 的最小值為 9
【答案】ABD
【分析】根據(jù)均值不等式分別建立不等式解不等式可判斷 AB，先變形16 2 + 2為關(guān)于 的二次函數(shù)求最
1 1
值判斷 C，利用條件變形可得( + 1)( + 4) = 9，轉(zhuǎn)化 +1 + 為關(guān)于 的式子由均值不等式判斷 D.
【詳解】由正數(shù) , 滿足4 + + = 5，可得4 + = 5 ― ≥ 4 ，解得0 < ≤ 1，即 ≤ 1，
1
當(dāng)且僅當(dāng)4 = ，即 = 2, = 2時等號成立，故 A 正確；
2
由正數(shù) , 滿足4 + + = 5，可得4 + ― 5 = ― 14 × 4 ≥ ―
1
4 ×
4 +
2 ，
解得4 + ≥ 4 4 + ≤ ―20 4 = = 1或 （舍去），當(dāng)且僅當(dāng) ，即 2, = 2時等號成立，故 B 正確；
16 2 + 2 = (4 + )2 ―8 = (5 ― )2 ―8 = ( ― 9)2 ―56，由 A 知 ≤ 1，
由二次函數(shù)的單調(diào)性知( ― 9)2 ―56 ≥ (1 ― 9)2 ―56 = 8，即 = 1時，16 2 + 2的最小值為 8，故 C 錯
誤；
由4 + + = 5 1 +4 4可得4 + 4 + + = 9，即( + 1)( + 4) = 9，所以 +1 = 9 = 9 + 9，
1 + 1 = + 1 + 4 ≥ 2 1所以 +1 9 9 +
4 = 10 9 9 ，當(dāng)且僅當(dāng)9 =
1
，即 = 3
2
， = 7時等號成立，故 D 正確.9
故選：ABD
2
變式 6-3 5．已知正實數(shù) , 滿足4 2 +25 2 = 1，則 + 的最小值為（ ）
A．20 B．40 C．20 2 D．40 2
【答案】C
5 2 2+ = 2 +5
2
= 4
2+25 2+20
【分析】由 2 2 兩次應(yīng)用基本不等式即可求解.
5 + 2
2
= 2 +5
2
= 4
2+25 2+20 40 400 400
【詳解】 2 2 ≥ 2 2 = 2 5 ≥ 4 2+25 2 = 800 ，2
2
當(dāng)且僅當(dāng)2 = 5 = 2
=
，即 42 時等號成立，2 =
10
5 2
故 + 的最小值為20 2.
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】
理解基本不等式的各種變形，以及變形公式中把什么聯(lián)系在一起了，多熟悉下！
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (當(dāng)且僅當(dāng) = 時等號成立)
+
(調(diào)和均值 ≤ 幾何均值 ≤ 算術(shù)均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，積定求和；
+ 2
② ≤ 2 ，和定求積：
( + )2
③ 2 + 2 ≥ 2 (聯(lián)系了 + 與平方和
2 + 2)
2 2
④ ≤ + 2 22 (聯(lián)系了 與平方和 + )
【題型四：基本不等式的恒成立問題】

例 7．若正實數(shù) 、 滿足( ― 1)( ― 4) = 4，且 + ≥ 24 ―3 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A．{ | ― 1 < < 4} B．{ | ― 1 ≤ ≤ 4}
C．{ | ― 4 ≤ ≤ 1} D．{ | ― 4 < < 1}
【答案】B
4 1
【分析】依題意可得 + = 1，利用乘“1”法及基本不等式求出 +
2
4的最小值，即可得到 ―3 ≤ 4，解得
即可.
【詳解】因為正實數(shù) 、 滿足( ― 1)( ― 4) = 4，
4
即 = 4 + ，所以 +
1
= 1，
1 4 4
所以 + 4 = + + = 2 +
4
+ 4 ≥ 2 + 2
= 4，
4 4
4
當(dāng)且僅當(dāng) = 4 ，即 = 8， = 2時取等號，

因為正實數(shù) 、 滿足( ― 1)( ― 4) = 4，且 + ≥ 24 ―3 恒成立，
所以 2 ―3 ≤ 4，解得 ―1 ≤ ≤ 4，即實數(shù) 的取值范圍是{ | ― 1 ≤ ≤ 4}.
故選：B．
變式 7-1．當(dāng) > 0, > 0，且滿足2 + ― 2 = 0時，有2 + > 2 + ― 8恒成立，則 的取值范圍為
（ ）
A．( ― 4,3) B．[ ― 4,3] C．( ― 3,4) D．[ ― 3,4]
【答案】A
【分析】把恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，利用基本不等式求出2 + 的最小值，然后解二次不等式即可.
1
【詳解】因為2 + ― 2 = 0 1即2 + = 1且 > 0, > 0，
2
所以2 + = (2 + ) 1 + 1 = 2 + + ≥ 2 + 2 × 2 2 ) = 4，2 2
= 2
2 = 1
當(dāng)且僅當(dāng) 1 1 ，即+ = 1 = 2
時等號成立，
2
因為不等式2 + > 2 + ― 8恒成立，所以 2 + ― 8 < 4，
即 2 + ― 12 < 0，解得 ―4 < < 3，故 的取值范圍為( ― 4,3).
故選：A
變式 7-2．“ = 9”是“ 1 不等式 ( + ) + ≥ 8（ > 0）對于任意正實數(shù) x，y 恒成立”的（ ）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】結(jié)合基本不等式判斷“ = 9”和“不等式 ( + ) 1 + ≥ 8（ > 0）對于任意正實數(shù) x，y 恒成立”

的邏輯推理關(guān)系，即得答案.
【詳解】當(dāng) = 9時，對于任意正實數(shù) x，y，
9
( + ) 1 + 9 = 10 + + ≥ 10 + 2
9 = 16，當(dāng)且僅當(dāng) = 3 時取等號，

1
即此時不等式 ( + ) + ≥ 8（ > 0）對于任意正實數(shù) x，y 恒成立；

當(dāng)不等式 ( + ) 1 + ≥ 8（ > 0）對于任意正實數(shù) x，y 恒成立時，


( + ) 1 + = 1 + + + ≥ 1 + + 2 = 1 + + 2 ，
當(dāng)且僅當(dāng) = 時取等號，
2
此時需滿足1 + + 2 ≥ 8（ > 0），解得 ≥ (2 2 ― 1) ，此時 a 不一定等于 9，
故“ = 9”是“不等式 ( + ) 1 + ≥ 8（ > 0）對于任意正實數(shù) x，y 恒成立”的充分不必要條件，

故選：A
2 2
變式 7-3 + ．若不等式 2 +3 ≥ ( + )對任意正數(shù) , 恒成立，則實數(shù) x 的最大值為（ ）
A． 2 B．2 C． 3 D．1
【答案】C
2+ 2 2 2
【分析】將不等式 2 +3 ≥
+ +6
( + )對任意正數(shù) , 恒成立，化為 ≤ 2( + ) 恒成立，利用基本不等式求
2+ 2+6
得 2( + ) 的最小值，即可求得答案.
2+ 2
【詳解】由題意不等式 2 +3 ≥ ( + )對任意正數(shù) , 恒成立，
2 ≤ +
2+6
即 2( + ) 恒成立，
2
又 2 + 2 ≥ 2 , ∴ 2 + 2 ≥ ( + )2 ，當(dāng)且僅當(dāng) = 時，等號成立，
2
2+ 2+6 ( + )≥ +6 = + 32 + ≥ 2 + 3則 2( + ) 4 + = 3，2( + ) 4 +
當(dāng)且僅當(dāng) = = 3時，等號成立，
故 ≤ 3，即實數(shù) x 的最大值為 3，
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
恒成立問題，常見的分離參數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為某式子或函數(shù)的最值問題，若式子中含有兩個變量常常會
想到基本不等式求最值.
一、單選題
1．已知 ， 為實數(shù)，且 ≠ 0，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若 > 0， > 0
+
，則 2 ≥ B
+
．若 2 ≥ ，則 > 0， > 0
C．若 ≠ + + ，則 2 > D．若 2 > ，則 ≠
【答案】C
【分析】對于 A，利用基本不等式判斷，對于 B，由已知結(jié)合完全平方式判斷，對于 C，舉例判斷，對于
D，利用基本不等式判斷
+
【詳解】對于 A，由基本不等式可知當(dāng) > 0， > 0時， 2 ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) = 時取等號，所以 A 正
確，
B +
2
對于 ，因為 2 ≥
+ > 0
， ≠ 0，所以 > 0 ，且 ― ≥ 0，所以 > 0， > 0，當(dāng)且僅當(dāng)
= 時取等號，所以 B 正確，
對于 C，若 = ―1, = ―4 + ―5，則 2 = 2 < = 4 = 2，所以 C 錯誤，
+ 2
對于 D，因為 2 > ， ≠ 0
+ > 0
，所以 > 0 ，且 + ― 2 > 0，所以 > 0, > 0， ―
> 0，所以 > 0, > 0且 ≠ ，所以 D 正確，
故選：C
2.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng) < 2 1 2時， + ―2 ≥ 4 B．當(dāng) ≥ 2時， + 的最小值是2 2
4
C．當(dāng) > 0 1時， + ≥ 4 D．當(dāng) > 0時， + +1的最小值為 1
【答案】C
【分析】由基本不等式對選項逐一判斷，
1 1
【詳解】對于 A，當(dāng) = 0時， + ―2 = ― 2，故 A 錯誤，
2
對于 B，當(dāng) > 0時， + ≥ 2 2，當(dāng)且僅當(dāng) = 2時等號成立，故 B 錯誤，
4 4
對于 C，當(dāng) > 0時， + ≥ 4，當(dāng)且僅當(dāng) = 即 = 4時等號成立，故 C 正確，
對于 D，當(dāng) > ―1 1時， + 1 + +1 ―1 ≥ 2 ― 1 = 1，當(dāng)且僅當(dāng) + 1 =
1
+1即 = 0時等號成立，故 D 錯誤，
故選：C
3.若 > 1，則函數(shù) ( ) = 9 + 1 ―1的最小值為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【分析】利用基本不等式分析求解.
【詳解】因為 > 1，則 ― 1 > 0，
可得 ( ) = 9 + 1 1 ―1 = 9( ― 1) + ―1 +9 ≥ 2 9( ― 1)
1 +9 = 15，
―1
1 4
當(dāng)且僅當(dāng)9( ― 1) = ―1，即 = 3時，等號成立，
所以函數(shù) ( ) = 9 + 1 ―1的最小值為 15.
故選：D.
4.下列命題中正確的是（ ）
A．函數(shù) = + 1 的最小值為 2.
2
B = +3．函數(shù) 的最小值為 2.
2+2
C 4．函數(shù) = 2 ― 3 ― ( > 0)的最小值為2 ― 4 3
D．函數(shù) = 2 ― 3 ― 4 ( > 0)的最大值為2 ― 4 3
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式知識對選項逐一判斷
【詳解】對于 A， < 0時 為負(fù)值，故 A 錯誤
1 1
對于 B， = 2 + 2 + 2 ，而 2 + 2 = +2 2+2無解，無法取等，故 B 錯誤
對于 = 2 ― 3 ― 4 = 2 ― (3 +
4
)( > 0)
3 + 4 ≥ 4
4
3 2 3，當(dāng)且僅當(dāng)3 = 即 = 時等號成立，3
故 = 2 ― 3 ― 4 ≤ 2 ― 4 3，D 正確，C 錯誤
故選：D
5. 若0 < < 1 1 + 2，則 1― 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．2 + 2 2 D．3 + 2 2
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計算即可．
【詳解】因為0 < < 1，所以1 ― > 0，
1 + 2 1 2 1― 2 則 1― = + [ + (1 ― )] = 3 + + 1― ≥ 3 + 2 2， 1―
1― = 2 當(dāng)且僅當(dāng) 1― ，即 = 2 ―1時，等號成立，取得最小值3 + 2 2，
故選：D．
6.若正實數(shù) ， 滿足 + = 1，則下列說法錯誤的是（ ）
A 1 B 1 1． 有最大值4 ． + 有最小值 4
C． 2 + 2有最小值 2 D． + 有最大值2 2
【答案】C
【分析】利用基本不等式一一判斷求解即可.
【詳解】因為正實數(shù) ， 滿足 + = 1，則有：
+ 2A ≤ = 1 1對 ，因為 2 4，當(dāng)且僅當(dāng) = = 2時，等號成立，A 正確；
B 1 + 1 = 1 1 =

對 ，因為 + ( + ) + +2 ≥ 2
+2 = 4，

1
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 = = 2時，等號成立，
1
所以 +
1
有最小值 4，B 正確；
2
對 C，因為 2 + 2 ≥ ( + ) = 1 12 2，當(dāng)且僅當(dāng) = = 2時，等號成立，C 錯誤；
2 2
對 D，因為 + ≤ 2 ( )2 + = 2( + ) = 2，
= = 1當(dāng)且僅當(dāng) 2時，等號成立，所以 + ≤ 2，D 正確；
故選：C.
7.已知 > 0， > 0，且 + 9 = ，若不等式 ≤ + 恒成立，則 a 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞,6] B．( ―∞,16]
C．( ―∞,8] D．( ―∞,9]
【答案】B
9 1 9 1
【分析】確定 + = 1，變換 + = ( + ) + ，展開利用均值不等式計算最值得到答案.
9 1 9 1 9
【詳解】 + 9 = ，故 + = 1， + = ( + ) + = 10 + + ，

> 0 > 0 + 9 ≥ 2 9 ， ，故 = 6，
9
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 = 12, = 4時取等號，故 + ≥ 10 + 6 = 16，
+ 最小值是 16，由不等式 ≤ + 恒成立可得 ≤ 16.
a 的取值范圍是( ―∞,16]，
故選：B.
8.若對任意實數(shù) > 0， > 0，不等式 + ≤ ( + 2 )恒成立，則實數(shù) a 的最小值為（ ）．
A． 2+1 B． 2+1 C 6+2． D 6+2．
2 4 2 4
【答案】D
+ +
【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為 ≥ +2 對于任意實數(shù) > 0， > 0恒成立，進(jìn)而求出 +2 的最大值，設(shè)
= ( > 0)及1 + = ( > 1)，然后通過基本不等式求得答案．

【詳解】對任意實數(shù) > 0， > 0，不等式 + ≤ ( + 2 )恒成立，
則 ≥ + +2 對于任意實數(shù) > 0， > 0恒成立，

+ + 1+
則只需求 +2 的最大值即可，

+2 = ，1+2

1+
1+
設(shè) = ( > 0)，則 = ，
1+2 1+2 2

1+ 1+
再設(shè)1 + = ( > 1)，則 = = =
1+2 1+2 2 1+2( ―1)
2 2 2―4 +3

1 1 1
= 2 + 3 ―4 ≤
6+2
2 2
3―4 = = ，
2 6―4 4
3 3
當(dāng)且僅當(dāng)2 = ，即 = ―1時取得“＝”． 2
≥ 6+2 6+2所以 ，即實數(shù) a 的最小值為 ．
4 4
故選：D．
二、多選題
9 > 0 > 0 =
2+ 2 2+ 2
．設(shè) ， ，已知 ， = + ，則下列說法正確的是（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最大值為 2 D． 有最小值為 2
2 2
【答案】AD
【分析】利用基本不等式直接判斷 與 的最值情況.
2 2
【詳解】 > 0， > 0， = + = + ≥ 2 = 2，

當(dāng)且僅當(dāng) =

即 = 時，等號成立，A 選項正確，B 選項錯誤；
2 2 2 2 2
又 > 0， > 0 + 時， = + +2 ≤ + + ≤
2+ 2
2 4 2 ，即 2 ，2
所以 =
2+ 2 ≥ 2，當(dāng)且僅當(dāng) = + 時，等號成立，C 選項錯誤，D 選項正確；2
故選：AD.

10.若對于任意 > 0， 2+3 +1 ≤ 恒成立，則實數(shù) 的取值可以是（ ）
A 1．5 B
1 C 1 1．10 ．2 D．3
【答案】ACD
1
【分析】利用基本不等式求出 1 2+3 +1 = + +3的最大值，結(jié)合選項可得
1 1
【詳解】因為 > 0 1，所以 2 1+3 +1 = + +3 ≤ 2
1+3 =
5
，
1
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 = 1時等號成立，

由任意 > 0 1， 2+3 +1 ≤ 恒成立， 所以 ≥ 5，
1 1 1 1 1
符合條件有5，2，3，故 A、C、D 對；10 < 5，故 B 錯；
故選：ACD
11.下列不等式正確的是（ ）
A．已知 , 為正實數(shù)， + = 3 1 1 2，則 +1 + +2的最小值為3
1
B． = 2 + 2 + 2+2有最小值 2
C．已知正數(shù) , 滿足 + = 2，則 的最大值是 1
D．若對任意 > 0, 3 +5 2 +4 ≥ 2恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是( ―∞,9]
【答案】ACD
4
【分析】利用基本不等式判斷 A，B，C；對于 D，由題意可得 ≤ + +5恒成立，利用基本不等式求出
+ 4 +5的最小值即可判斷.
【詳解】解：對于 A +1 +2，( + 1 + + 2) 1 + 1 = 1 + +2 + +1 +1 ≥ 2 + 2
+1 +2 = 4
+1 +2 +2 +1
1 1 4 2
∴ + 1 + + 2 ≥ 6 = 3
+1 +2
當(dāng)且僅當(dāng) +2 = +1時，等號成立，∴A 正確；
1
對于 B． = 2 + 2 + 2 ≥ 2 +2
2 + 2 1 = 2
2+2
1
當(dāng)且僅當(dāng) 2 + 2 = 2+2，即
2 = ―1時，不合題意，不能取等號，∴B 錯誤；
+ 2
對于 C． ≤ = 1，當(dāng)且僅當(dāng) = 2 時，等號成立，∴C 正確；
3
D +5
2+4 4
對于 ． 2 ≥ 恒成立，即 ≤ + +5恒成立，
4 4
又因為 + +5 ≥ 2 +5 = 9，
4
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 = 2時，等號成立， ∴ ≤ 9， ∴ D 正確.
故選：ACD.
三、填空題
12．已知 , 均為實數(shù)且 > 0, > 0, + = 3 1 1，則 +1 + 的最小值為 .
【答案】1
【分析】利用基本不等式湊“一”法求解二元變量最值問題.
【詳解】因為 + = 3，所以( + 1) + = 4，
1 + 1 = 1 1 1所以 +1 4 + [( + 1) + ] +1
= 1 2 + + +1 ≥
1 +1
4 2 + 2 = 1， +1 4 +1
+1
當(dāng)且僅當(dāng) +1 = ，即 = 1, = 2等號成立，
1 1
所以 +1 + 的最小值為 1.
故答案為：1.
13.已知 > ―1，則 ― ―3 +1的最小值是 ．
【答案】2
【分析】變形式子，由均值等式求最值即可.
【詳解】因為 > ―1，
―3
所以 ― +1 = + 1 +
4
+1 ―2 ≥ 2 ( + 1)
4 ―2 = 2，
+1
當(dāng)且僅當(dāng) + 1 = 4 +1．即 = 1時，等號成立．
故答案為：2
+2
14.若正數(shù) ， 滿足 = 4，則 的最大值為 .
【答案】2
+2 2 1 4 ―2
【分析】根據(jù) = 4得出 = 4 ― > 0，得出0 < < 2， = 2 ，根據(jù) 的范圍求出 的范圍即可.
+2 2 2 1 4 ―2
【詳解】 ∵ = 4， ∴ + = 4， = 4 ― > 0
1 1 2
，所以 > 2，即0 < < 2， = 2 = ―2 ― = ―2 2
1 2― 1 ― 1 ，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知 = 1時，上式取得最大值 2.
故答案為：2.
四、解答題
15 1 > 0, > 0 2 + 8．（ ）若 ，且 = 1，
求：（i） 的最小值；
（ii） + 的最小值.
（2）求 9( ) = 4 + ―5( > 5)的最小值.
【答案】（1）（i）64（ii）18；（2）32
【分析】根據(jù)基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii），
8
【詳解】（1）（i）由 > 0 > 0 2 2 8， 及基本不等式，可得 + = 1 ≥ 2 ，
故 ≥ 64，當(dāng)且僅當(dāng)2 = 8 ，即 = 4, = 16時等號成立，
∴ 的最小值為 64；
8
（ii） ∵ > 0， > 0 2， + = 1，
2 8 2 8 2 8 8 8∴ + = ( + ) + = + +10 ≥ 2 +10 = 18
2 2
，當(dāng)且僅當(dāng) = 且 + = 1，
即 = 6， = 12時等號成立，即 + 取得最小值 18；
2 = 4 + 9 9( ) ( > 5) ( ) = 4( ― 5) + +20 ≥ 2 4( ― 5) 9（ ）由 ―5 可得 ―5 +20 = 32 ―5
9 13
當(dāng)且僅當(dāng)4( ― 5) = ―5，即 = 2 時等號成立
9故 ( ) = 4 + ―5( > 5)的最小值為 32.
16.某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為 750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度
為1m的小路，中間 , , 三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹 郁金香 月季（其中 , 區(qū)域的形狀 大小完全相同）.設(shè)
矩形花園的一條邊長為 m，鮮花種植的總面積為 m2.
(1)用含有 的代數(shù)式表示 ，并寫出 的取值范圍；
(2)當(dāng) 的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？
375 3
【答案】(1) = ― 2,3 < < 250
(2)當(dāng) = 25m時，才能使鮮花種植的總面積最大
750
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)矩形花園的長為 m，由條件可得2 + 3 = ，即可得到結(jié)果；
（2）由（1）中的結(jié)論可得鮮花種植的總面積為 與矩形花園的一條邊長 的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式
代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)矩形花園的長為 m，
∵ 矩形花園的總面積為750m2，
∴ = 750 750，可得 = ，
又 ∵ 陰影部分是寬度為1m的小路，
750 375
可得2 + 3 = ，可得 = ―
3
2，
即 375 3關(guān)于 的關(guān)系式為 = ― 2,3 < < 250.
2 1 = 375 3（ ）由（ ）知， ― 2，
= ( ― 2) + ( ― 3) = (2 ― 5) = (2 ― 5) × 375 ― 3 =
1515 ― 3 + 1875則
2 2
≤ 1515 1875 12152 ―2 3 = 2 ，
當(dāng)且僅當(dāng)3 = 1875 時，即 = 25時，等號成立，
∴ 當(dāng) = 25m 1215時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為 2 m
2.
17.定義min{ 1, 2, , }為 個實數(shù) 1， 2，…， 中的最小數(shù)，max{ 1, 2, , }為 個實數(shù) 1， 2，…，
中的最大數(shù)．
(1)設(shè) ， 1都是正實數(shù)，且 + = 1，求max , ；
4
(2)解不等式：min + 1, 2 + 3,| ― 1| > 2 ― 3；
(3)設(shè) ， 1 2都是正實數(shù)，求max + , + 的最小值．

【答案】(1)14
(2)( ― ∞,2)
(3) 2 +1
【分析】（1）由基本不等式即可求解；
+ 1, ≤ 0
（2）分段討論得出min + 1, 2 + 3,| ― 1| = 1 ― ,0 < < 1 ，然后解不等式即可；
― 1, ≥ 1
（3）設(shè)出max + 1 , 2 + 后由基本不等式進(jìn)行求解.

1 1
【詳解】（1）由題意得 + ≥ 2 ，即 ≤ 4，當(dāng)且僅當(dāng) = = 2時等號成立，
故max 1 , 1 = ；
4 4
（2）令 + 1 = | ― 1|，得 = 0，
當(dāng) < 0時 + 1 < | ― 1|，當(dāng) > 0時 + 1 > | ― 1|，
而 2 +3 > + 1即 2 ― + 2 > 0恒成立，
+ 1, ≤ 0
故min + 1, 2 + 3,| ― 1| = 1 ― ,0 < < 1 ，
― 1, ≥ 1
min + 1, 2 + 3,| ― 1| > 2 ― 3 ≤ 0 0 < < 1 ≥ 1可化為 + 1 > 2 ― 3 或 1 ― > 2 ― 3 或 ― 1 > 2 ― 3 ，
解得 < 2，故原不等式的解集為( ― ∞,2)；
3 = max + 1
1
（ ）設(shè) , 2 + ，由題意得 ≥ + > 0, ≥
2
+ > 0，
則 2 ≥ ( + 1 2 )( + ) = 3 + +
2
≥ 3 + 2 2，
+ 1 = 2 +
當(dāng)且僅當(dāng) 即 = 2 = 1 時等號同時成立， = 2
故max + 1 , 2 + 的最小值為 2 +1．

18.若方程 2 + + = 0 ， ∈ 有兩個不相等的實數(shù)根 1， 22，且( 1 + 2) ―4 1 2 = 4．
(1)求證： 2 = 4 + 4；
2 4 2
(2) ≤ ―4 若 ，求 1 ― + 2 2 1+ 2 的最小值．1
【答案】(1)證明見解析
(2)8
【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論；
（2）首先，將原式通分，變形，再將韋達(dá)定理代入；然后，利用（1）的結(jié)論消去 ，得到關(guān)于一個 的式
子；再對式子變形，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】（1）證明：根據(jù)韋達(dá)定理得， 1 + 2 = ― ， 1 2 = ，
所以( 1 + 2)2 ―4 21 2 = ( ― ) ―4 = 4，
所以 2 = 4 + 4.
2 4 2 3 3 4
（2） 1 ― + 2 1+ 2 2 1+ 2 =1 1 ―2 1+ 2
( 1 + 22) 1 ― 1 2 + 2= 2
4
―1 2 1 + 2
( 1 + 2) ( 1 + 2)2 ― 3 = 1
2 4
1
―
2 1 + 2
( ― ) ( ― )2 ― 3 4
= ― ―
3 4 4 3 4
= ― + 3 + = ― 2 ― 4 + 3 +
4 3 ― 16 + 16 4
= ― 2 ― 4 + 3 +
16
= ―4 ― 16 2―4 +3 +
4 = ― + 4 + ― + 4，
因為 ≤ ―4，
所以 ― + 4 > 0，
4 16
所以 ― + + ― + 4 ≥ 2 16 = 8，
4 16
當(dāng)且僅當(dāng) ― + = ― + 4即 = ―2 ― 2 2時，等號成立，
2 4 2
所以 1 ― 2 + + 的最小值為 8.2 1 2 1
19．柯西是一位偉大的法國數(shù)學(xué)家，許多數(shù)學(xué)定理和結(jié)論都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，
它在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的一般形式為：設(shè) 1, 2, 3, , , 1, 2, 3, , ∈ ，則
2 + 2 + + 2 2 + 2 + + 21 2 1 2 ≥ ( 1 1 + 2 2 + + )2 當(dāng)且僅當(dāng) = 0( = 1,2, , )或存在一個
數(shù) ，使得 = ( = 1,2, , )時，等號成立.
(1)請你寫出柯西不等式的二元形式；
(2)設(shè) P 是棱長為 2的正四面體 內(nèi)的任意一點，點 到四個面的距離分別為 1、 2、 3、 4，求 21 +
2 + 2 + 22 3 4的最小值；
(3)已知無窮正數(shù)數(shù)列{ }滿足：①存在 ∈ ，使得 ≤ ( = 1,2, )；②對任意正整數(shù) 、 ( ≠ )，均有
1
| ― | ≥ + .求證：對任意 ≥ 4， ∈
，恒有 ≥ 1.
【答案】(1)答案見解析
(2)13
(3)證明見解析
【分析】（1）利用柯西不等式的定義，寫出 = 2時的形式；
2 2 3（ ）由體積法求出 1 + 2 + 3 + 4 = ，構(gòu)造柯西不等式求 2 21 + 2 + 2 23 + 4的最小值；3
1
（3）0 < 1 < 2 < < ≤ 時，由 ― ―1 ≥ + ( = 2,3, , )，有 ≥ ―1 > ― 1 =
1 1 1
( ― ) + ―1 ( ―1 ― ) + + ―2 ( 2 ― 1) ≥ + + ―1 + + ―1+ ―2 2+ 1
3 ―4
由柯西不等式得 ≥ 1 ― 2+ ―3，可得 ≥ 1.
【詳解】（1）柯西不等式的二元形式為：
設(shè) 1, , , ∈ R，則 2 + 2 22 1 2 1 2 1 + 22 ≥ ( 1 1 + )22 2 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 = 2 1時等號成立.
（2）由正四面體 的體積 = ― + ― + ― + ― ，
2 3 1 2得 ( 2) = 3 ×
3( 2)
12 4 ( 1 + 2 + 3 + 4)，所以 1 + 2 + 3 + 4 =
2 3
，
3
又由柯西不等式得 2 2 2 21 + 2 + 3 + 4 (1 + 1 + 1 + 1) ≥ ( 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1)2 =
( 1 + + + )22 3 4 ，
2
所以 21 + 2 + 2 + 2 ≥
( 1+ 2+ 3+ 4) 1
2 3 4 4 = 3，
當(dāng)且僅當(dāng) 1 = 2 = 3 = = 34 時等號成立.6
（3）對 ≥ 4，記 1, 2, , 是1,2, , 的一個排列，
且滿足0 < 1 < 2 < < ≤ .
1
由條件②得： ― ―1 ≥ ( = 2,3, , ). + ―1
于是，對任意的 ≥ 4，
1 1 1
都有 ≥ > ― 1 = ( ― + + + ≥ + + + ―1) ( ―1 ― ―2) ( 2 ― 1) + ―1 ―1+ ―2 2+ 1
1 1 1
由柯西不等式得 + + + [( + ) + ( 2
+ + + ―1 ―1
+ ―2) + + ( 2 + 1)] ≥ ( ― 1)
―1 ―1 ―2 2 1
1 1 1 ( ―1)2
所以 + + + + + + ≥ ―1 ―1 ―2 2 1 ( + ―1)+( ―1+ ―2)+ +( 2+ 1)
( ― 1)2 ( ― 1)2 ( ― 1)2 3 ― 4
= 2( + + + ) ― ― = 2 + ― ― ≥1 2 1 1 2 + ― 3
= 1 ― 2 + ― 3
從而，對任意的 ≥ 4，都有 ≥ 1 ― 3 ―4 2+ ―3，
故對任意 ≥ 4, ∈ N 3 ―4， 2+ ―3 > 0，恒有 ≥ 1.
【點睛】方法點睛：
遇到新定義問題一定要準(zhǔn)確理解題目的定義，按照新定義交代的性質(zhì)或者運算規(guī)律來解題.
第一，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化.解決新信息問題，一定要理解題目定義的本質(zhì)含義.緊扣題目所給的定義、運算法則對所
求問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.
第二，方法的選取.對新信息題可以采取一般到特殊的特例法，從邏輯推理的.角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化.理解題目定義
的本質(zhì)蘋并進(jìn)行推廣、運算.
第三，應(yīng)該仔細(xì)審讀題目.嚴(yán)格按新信息的要求運用算.解答問題時要避免課本知識或者已有知識對新信息
問題的干擾.2.1.2 基本不等式
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
+ 1 + （1）掌握基本不等式 ( , 0) 。結(jié) （ ）理解基本不等式 2 ( , 0)的證明;2
合具體實例, + 能用基本不等式解決簡單的最大 （2） 掌握利用基本不等式 2 ( , 0)求最值
值或最小值問題。 的常見方法. （難點)
知識點 01 基本不等式
若 > 0 , > 0，則 + ≥ 2 (當(dāng)且僅當(dāng) = 時，等號成立).
+ ① 2 叫做正數(shù) , 的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù) , 的幾何平均數(shù).
② 基本不等式的幾何證明
(當(dāng)點 、 重合，即 = 時，取到等號)
③運用基本不等式求解最值時，牢記：一正，二定，三等.
一正指的是 > 0 , > 0；二定指的是 是個定值，三等指的是不等式中取到等號.
【即學(xué)即練 1】 求函數(shù) = + 4 ( > 0)的最值.
知識點 02 基本不等式的變形
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (當(dāng)且僅當(dāng) = 時等號成立)
+
(調(diào)和均值 ≤ 幾何均值 ≤ 算術(shù)均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，積定求和；
≤ +
2
② 2 ，和定求積：
2
③ 2 + 2 ≥ ( + ) (聯(lián)系了 + 與平方和 2 + 22 )
2+ 2
④ ≤ 2 (聯(lián)系了 與平方和
2 + 2)
【即學(xué)即練 2】
若 > 0， > 0， + = 1，則（ ）
A 1 + 1． ≤ 1 B．4 ≤ 1
C． 2 + 2 ≥ 1 D． + ≤ 1
【題型一：基本不等式的內(nèi)容及辨析】
例 1．下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng) > 1時， + 1 的最小值為 2 B．當(dāng) < 0
1
時， + ≤ ―2
1 1
C．當(dāng)0 < < 1時， + 的最小值為 2 D．當(dāng) > 1時， + ≥ 2 2
變式 1-1．下列說法正確的是（ ）
A． + 1 1 最小值為 2 B． + 最大值為 2
1 1
C． 2 + 1 + 2+1最小值為 2 D．
2 + 1 + 2+1最大值為 2
變式 1-2．下列不等式中等號可以取到的是（ ）
1
A． 2 + 5 + ≥ 2 B． 22 +2 +
1
2+2 ≥ 2 +5
1
C． 2 + 1 2 ≥ 2 D．| | + 3 + | |+3 ≥ 2
【方法技巧與總結(jié)】
在利用基本不等式求最值時，要注意“一正二等三定”六字.
【題型二：基本不等式求和的最小值】
方法 1 直接法
例 2．若 > 0, > 0,3 + 2 = 1，則8 + 4 的最小值為（ ）
A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2
7
變式 2-1． 2 + 2 + 7的最小值為（ ）
A．2 7 B．3 7 C．4 7 D．5 7
變式 2-2．下列命題中正確的是(　　)

A．若 ， ∈ ，則 + ≥ 2
= 2 B．若 > 0 +
1
，則 > 2
C．若 < 0，則 + 4 ≥ ―2
4 = ―4 D．若 ∈ ，則2 + 2― ≥ 2 2 2― = 2

方法 2 湊項法
例 3．已知 > 1，則2 + 2 ―1的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
2
變式 3-1．已知 > ―1，則 + +1的最小值為（ ）
A．2 2 B．2 C．2 2 ―1 D．2 2 +1
變式 3-2．已知 > 0， > 0且 + = 1 1 4 ，則4 + 2 + 的最小值為（ ）
A 3．2 B
7 9
．4 C．2 D．4
方法 3 巧 法
8
例 4 1．已知正實數(shù) x，y 滿足2 + = 2，則 + 的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
變式 4-1．已知 , 為正實數(shù)，且滿足 + 2 = 1 2 1，則 + 的最小值為（ ）
A．4 2 B．4 + 2 2 C．8 D．6
4-2 > 0, > 0 + 3 = 2 1變式 ．已知 ，且 ，則 +1 +
1
3 的最小值為（ ）
A 2 B 1 C 4．3 ． ．3 D．2
方法 4 換元法
2
5 ( ) = ―2 +2例 ．設(shè) 2 ―2 , ∈ ( ― 1,1)，則 （ ）
A． ( )min = 1 B． ( )max = 1
C． ( )min = ―1 D． ( )max = ―1
2
變式 5-1 ( ) = ―5 +3．函數(shù) +1 ( 0) 的最小值是（ ）
A．-1 B．3 C．6 D．12
變式 5-2．已知 , ∈ R， + = 4 1 1，則 2+1 + 2+1的最大值為（ ）
A． 5+1 B． 5+2 C． 5+1 D． 5+2
2 2 4 4
【方法技巧與總結(jié)】
1 利用基本不等式求最值的方法有很多，常見的是直接法、湊項法、巧 1 法、換元法、消元法等，要理解
各種方法的“基本套路”和思考“什么情況下會想到這個方法”；
2 一般一道題目的方法可有很多種，解題時要多嘗試多思考.
【題型三：條件等式求最值】
例 6．已知2 + = ( > 0, > 0)，下列說法正確的是（ ）
A． 的最大值為 8
B 1 2． ―1 + ―2的最小值為 2
C． + 有最小值3 + 2
D． 2 ―2 + 2 ―4 有最大值 4
1
變式 6-1．已知 > 0 3， > 0，且 + = 1，則2 + + 的最小值為（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
變式 6-2．（多選）已知正數(shù) , 滿足4 + + = 5，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． 的最大值為 1 B．4 + 的最小值為 4
C．16 2 + 2的最小值為 9 D 1 1 10． +1 + 的最小值為 9
5 2
變式 6-3．已知正實數(shù) , 滿足4 2 +25 2 = 1，則 + 的最小值為（ ）
A．20 B．40 C．20 2 D．40 2
【方法技巧與總結(jié)】
理解基本不等式的各種變形，以及變形公式中把什么聯(lián)系在一起了，多熟悉下！
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (當(dāng)且僅當(dāng) = 時等號成立)
+
(調(diào)和均值 ≤ 幾何均值 ≤ 算術(shù)均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，積定求和；
2
② ≤ + 2 ，和定求積：
2
③ 2 + 2 ≥ ( + )2 (聯(lián)系了 + 與平方和
2 + 2)
≤
2+ 2
④ (聯(lián)系了 與平方和 22 +
2)
【題型四：基本不等式的恒成立問題】

例 7．若正實數(shù) 、 滿足( ― 1)( ― 4) = 4，且 + 4 ≥
2 ―3 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A．{ | ― 1 < < 4} B．{ | ― 1 ≤ ≤ 4}
C．{ | ― 4 ≤ ≤ 1} D．{ | ― 4 < < 1}
變式 7-1．當(dāng) > 0, > 0，且滿足2 + ― 2 = 0時，有2 + > 2 + ― 8恒成立，則 的取值范圍為
（ ）
A．( ― 4,3) B．[ ― 4,3] C．( ― 3,4) D．[ ― 3,4]
1
變式 7-2．“ = 9”是“不等式 ( + ) + ≥ 8（ > 0）對于任意正實數(shù) x，y 恒成立”的（ ）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2 2
變式 7-3 + ．若不等式 2 +3 ≥ ( + )對任意正數(shù) , 恒成立，則實數(shù) x 的最大值為（ ）
A． 2 B．2 C． 3 D．1
【方法技巧與總結(jié)】
恒成立問題，常見的分離參數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為某式子或函數(shù)的最值問題，若式子中含有兩個變量常常會
想到基本不等式求最值.
一、單選題
1．已知 ， 為實數(shù)，且 ≠ 0，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若 > 0 > 0 + ， ，則 2 ≥
+
B．若 2 ≥ ，則 > 0， > 0
C ≠ + ．若 ，則 2 > D
+
．若 2 > ，則 ≠
2.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng) < 2 1時， + ―2 ≥ 4 B．當(dāng) ≥ 2時， +
2
的最小值是2 2
4
C．當(dāng) > 0時， + ≥ 4 D．當(dāng) > 0時， +
1
+1的最小值為 1
3.若 > 1，則函數(shù) ( ) = 9 + 1 ―1的最小值為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4.下列命題中正確的是（ ）
A 1．函數(shù) = + 的最小值為 2.
B =
2+3
．函數(shù) 2 的最小值為 2. +2
C．函數(shù) = 2 ― 3 ― 4 ( > 0)的最小值為2 ― 4 3
D 4．函數(shù) = 2 ― 3 ― ( > 0)的最大值為2 ― 4 3
5. 若0 < < 1 1 2，則 + 1― 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．2 + 2 2 D．3 + 2 2
6.若正實數(shù) ， 滿足 + = 1，則下列說法錯誤的是（ ）
A 1 B 1 1． 有最大值4 ． + 有最小值 4
C． 2 + 2有最小值 2 D． + 有最大值2 2
7.已知 > 0， > 0，且 + 9 = ，若不等式 ≤ + 恒成立，則 a 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞,6] B．( ―∞,16]
C．( ―∞,8] D．( ―∞,9]
8.若對任意實數(shù) > 0， > 0，不等式 + ≤ ( + 2 )恒成立，則實數(shù) a 的最小值為（ ）．
A 2+1 B 2+1 C 6+2 6+2． ． ． D．
2 4 2 4
二、多選題
2 2
9．設(shè) > 0， > 0 = + ，已知 ， =
2+ 2
+ ，則下列說法正確的是（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最大值為 2 D． 有最小值為 2
2 2

10.若對于任意 > 0， 2+3 +1 ≤ 恒成立，則實數(shù) 的取值可以是（ ）
A 1 B 1 1 1．5 ．10 C．2 D．3
11.下列不等式正確的是（ ）
A 1 1 2．已知 , 為正實數(shù)， + = 3，則 +1 + +2的最小值為3
1
B． = 2 + 2 + 2+2有最小值 2
C．已知正數(shù) , 滿足 + = 2，則 的最大值是 1
D．若對任意 > 0, 3 +5 2 +4 ≥ 2恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是( ―∞,9]
三、填空題
12．已知 , 均為實數(shù)且 > 0, > 0, + = 3 1 + 1，則 +1 的最小值為 .
13.已知 > ―1 ― ―3，則 +1的最小值是 ．
+2
14.若正數(shù) ， 滿足 = 4，則 的最大值為 .
四、解答題
15．（1）若 > 0, > 0 2，且 + 8 = 1 ，
求：（i） 的最小值；
（ii） + 的最小值.
（2）求 ( ) = 4 +
9
―5( > 5)的最小值.
16.某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為 750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度
為1m的小路，中間 , , 三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹 郁金香 月季（其中 , 區(qū)域的形狀 大小完全相同）.設(shè)
矩形花園的一條邊長為 m，鮮花種植的總面積為 m2.
(1)用含有 的代數(shù)式表示 ，并寫出 的取值范圍；
(2)當(dāng) 的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？
17.定義min{ 1, 2, , }為 個實數(shù) 1， 2，…， 中的最小數(shù)，max{ 1, 2, , }為 個實數(shù) 1， 2，…，
中的最大數(shù)．
(1)設(shè) ， 都是正實數(shù)，且 + = 1 max , 1，求 ；
4
(2)解不等式：min + 1, 2 + 3,| ― 1| > 2 ― 3；
(3)設(shè) ， 都是正實數(shù)，求max + 1 , 2 + 的最小值．

18.若方程 2 + + = 0 ， ∈ 有兩個不相等的實數(shù)根 1， 2，且( + )21 2 ―4 1 2 = 4．
(1)求證： 2 = 4 + 4；
2 4 2
(2)若 ≤ ―4 ，求 1 ―
2
2 +
+ 的最小值．1 2 1
19．柯西是一位偉大的法國數(shù)學(xué)家，許多數(shù)學(xué)定理和結(jié)論都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，
它在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的一般形式為：設(shè) 1, 2, 3, , , 1, 2, 3, , ∈ ，則
2 + 2 + + 21 2 21 + 22 + + 2 ≥ ( 21 1 + 2 2 + + ) 當(dāng)且僅當(dāng) = 0( = 1,2, , )或存在一個
數(shù) ，使得 = ( = 1,2, , )時，等號成立.
(1)請你寫出柯西不等式的二元形式；
(2)設(shè) P 是棱長為 2的正四面體 內(nèi)的任意一點，點 到四個面的距離分別為 1、 、 、 ，求 22 3 4 1 +
22 + 23 + 24的最小值；
(3)已知無窮正數(shù)數(shù)列{ }滿足：①存在 ∈ ，使得 ≤ ( = 1,2, )；②對任意正整數(shù) 、 ( ≠ )，均有
1
| ― | ≥ + .求證：對任意 ≥ 4， ∈
，恒有 ≥ 1.

展開更多......

收起↑