資源簡介

☆緊
2.1.1等式與不等式
01
學習目標
課程標準
學習目標
(1)掌握不等式的性質，并會利用；
(1)梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌
(2)掌握利用作差或作商法比較兩數或兩式大小：
握不等式的性質。
(3)掌握證明不等式的技巧.（難點）
02
思維導圖
知識點1關于兩數大小的基本事實
1傳遞性
2.1.1等式與不等式
2加法法測
知識點2不等式的性質
3乘法法測
4倒數法則
5乘方法則
03
知識清單
知識點01關于兩數大小的基本事實
如果a-b>0,那么a>b;如果a-b=0,那么a=b:如果a-b<0,那么a【即學即練1】比較x2-x+3與x+1的大小
解析：(x2-x+3)-(x+1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
x2-x+3>x+1.
知識點02不等式的性質
秦
(1)傳遞性：a>b,b>c→a>c:
(2)加法法則：a>b→a+c>b+c,a>b,c>d→a+c>b+d:
(3)乘法法則：a>b,c>0→ac>bc,a>b,c<0→ac(④)倒數法則：a>b,b>0→<：
(⑤)乘方法則：a>b>0a”>b”(n∈N*且n>1).
【即學即練2】己知a+b<0且a>0,則()
A、a2<-abB、b2<-abC、a2D、-ab解析a+b<0且a>0,.b<0,
'a+b<0,÷a<-b,又a>0,a2<-ab,
'a+b<0,b<-a,又b<0,b2>-ab,
a2<-ab題型精講
題型4作商法比較代數式的大小
題型1由已知條件判斷所給不等式是否正確
題型5利用不等式求值或取值范圍
2.1.1等式與不等式
題型2比較兩個數的大小
題型6證明不等式
題型3作差法比較代數式的大小
【題型一：由已知條件判斷所給不等式是否正確】
例1.根據條件：a,b,c滿足c0②c(b-a)
<0③cb2≤ab2④ab>ac其中正確的是()
A.①②
B.③④
c.①③
D.②④
【答案】B
【分析】由c【詳解】由c對于b的值可正可負也可為0，
因為ac<0,而a-c>0,所以aC(a-c)<0,所以①錯誤；
因為c<0,b-a<0,從而C(b-a)>0,所以②錯誤：
因為b2≥0，當b2=0時，cb2=ab2=0,
緊2.1.1 等式與不等式
課程標準 學習目標
（1）掌握不等式的性質，并會利用;
（1）梳理等式的性質, 理解不等式的概念, 掌
（2）掌握利用作差或作商法比較兩數或兩式大小；
握不等式的性質。
（3）掌握證明不等式的技巧.（難點)
知識點 01 關于兩數大小的基本事實
如果a ― b > ，那么a > ；如果a ― b = ，那么a = ；如果a ― b < ，那么a < .
【即學即練 1】比較 2 ― + 3與 + 1的大小.
知識點 02 不等式的性質
(1) 傳遞性： > , > > ；
(2) 加法法則： > + > + , > , > + > + ；
(3) 乘法法則： > , > 0 > , > , < 0 < ；
(4) 倒數法則： > , > 0 1 < 1 ；
(5) 乘方法則： > > 0 > ( ∈ 且 > 1).
【即學即練 2】已知 + < 0且 > 0，則 ( )
A、 2 < ― < 2 B、 2 < ― < 2
C、 2 < 2 < ― D、 ― < 2 < 2
【題型一：由已知條件判斷所給不等式是否正確】
例 1．根據條件：a，b，c 滿足 < < ，且 + + = 0，有如下推理：① ( ― ) > 0
② ( ― ) < 0 ③ 2 ≤ 2 ④ > 其中正確的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
變式 1-1．已知 , , ∈ 且 > ，則下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． < B．
2 > 2

C． | | >

| | D． 2+1 > 2+1
變式 1-2．若| | > | |，則下列不等式成立的是（ ）
― > 0 1 1A． B． <
C． > D． 2 > 2
變式 1-3．若 , ∈ ，且 > ，則（ ）
1 1 +
A． 2+1 < 2+1 B．
2 > 2 C． 2 > > 2 D． > 2 >
【方法技巧與總結】
利用不等式的性質求解，若是選擇題，也可采取排除法，即通過舉反例進行否定.
【題型二：比較兩個數的大小】
例 2．設 = 13， = 7 ― 5， = 11 ―3，則 , , 的大小順序是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
變式 2-1．設 = 7， = 3 ― 3，則 （填入“＞”或“＜”）．
變式 2-2．設 = 2， = 7 ― 3， = 6 ― 2，則 P，Q，R 的大小順序是（ ）
A． > > B． > >
C． > > D． > >
【方法技巧與總結】
比較帶有根號的兩個數的大小，思考方向主要是分析法，把帶有根號的數值通過平方轉化為不帶根號的數
值比較大小.
【題型三：作差法比較代數式的大小】
例 3．實數 ， ， 滿足 2 = 2 + ― ― 1且 + 2 +1 = 0，則下列關系式成立的是（ ）
A． ≥ > B． > > C． > ≥ D． > ≥
變式 3-1．下列不等式中成立的是（ ）

A． > > 0 +2 ，則 > +2 B． > > 0，則 ― > ―
C． < < 0 1 1，則 2 < 2 D． < < 0，則 <
變式 3-2．已知實數 a，b，c 滿足3 × 2 ― 2 +1 = 0，且 = + 2 ― + 1( ∈ R)，則 a，b，c 的大小關系
是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
變式 3-3．某人分兩次購買同一種物品，因價格有變動，兩次購買時物品的單價分別為 1， 2且 1 ≠ 2.若
他每次購買數量一定，其平均價格為 1；若他每次購買的費用一定，其平均價格為 2，則（ ）
A． 1 < 2 B． 1 > 2
C． 1 = 2 D． 1， 2不能比較大小
【方法技巧與總結】
1 如果a ― b > ，那么a > ；如果a ― b = ，那么a = ；如果a ― b < ，那么a < .
2 比較兩個式子 ，b 大小，可采取作差法，判斷 ― 與0的大小比較.
【題型四：作商法比較代數式的大小】
例 4．甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑
步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，試判斷誰先到教室？
變式 4-1．已知 c＞1，且 x＝ + 1－ ，y＝ － ― 1，則 x，y 之間的大小關系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y 的關系隨 c 而定
變式 4-2．設 = ( 2 + + 1)―1， = 2 ― + 1，則（ ）．
A． > B． < C． ≥ D． ≤
變式 4-3．設 , ∈ +，試比較 與 的大小.
【方法技巧與總結】
a a a
1 如果b > ，且b > 0，那么a > ；如果b = ，那么a = ；如果b < ，且b > 0，那么a < .
a
2 比較兩個式子 ，b 大小，可采取作商法，判斷b與1的大小比較，但此時要注意 的正負；
3 往往式子是冪的形式，常用作商法.
【題型五：利用不等式求值或取值范圍】
例 5．（多選）十六世紀中葉，英國數學教育家雷科德在《礪智石》一書中首先把“ = ”作為等號使用，后來
英國數學家哈里奧特首次使用“ < ”和“ > ”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響
深遠.已知 ―1 < < 6,3 < < 8，則下列結果正確的有（ ）
1
A． ― 3 < < 2 B．2 < + < 14
C． ―4 < ― < ―2 D． ―3 < < 48
變式 5-1．已知1 < < 3， ―2 < < 1，則 + 2 的取值范圍是 .
變式 5-2．若實數 x，y 滿足 1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，則 xy5的取值范圍是 ．
變式 5-3．（多選）已知實數 x，y 滿足1 < < 6，2 < < 3，則（ ）
A．3 < + < 9 B． ―1 < ― < 3
1
C．2 < < 18 D．2 < ―1 < 6
【方法技巧與總結】
1 利用不等式求值或取值范圍，要注意嚴謹地不等式性質，不能想當然；

2 若a < < ，c < < ，則 + < + < + ― < ― < ― < < ，但 和 是不對的.
【題型六：證明不等式】
例 6．證明下列不等式：
2 2
(1)若 > 0, > 0 ，求證： +

≥ + ；

(2)若 > > 0， < < 0， < 0，求證：( ― )2 > ( ― )2．
變式 6-1．已知函數 ( ) = | ― 1|．若| | < 1，| | < 1，且 ≠ 0，求證： ( ) > | | ．

變式 6-2．設 , , ∈ ， + + = 0， = 1.
(1)證明： + + < 0；
(2)若 > ，證明 3 > 3.
變式 6-3．已知 克糖水中含有 克糖( > > 0)，再添加 克糖( > 0)（假設全部溶解），糖水變甜了.
(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；
(2)在銳角 △ 中，根據（1）中的結論，證明： + + + + + < 2.
【方法技巧與總結】
不等式的證明主要思路包括直接使用不等式的性質、作差法、作商法，也可利用分析法先把要證明的不等
式轉化為較為簡單的不等式形式.
一、單選題
1．若 > ，則下列不等式一定成立的是（ ）
1 < 1A． B．
2 > 2 C． 2 > D．2 > +
2.如果 <0， ―1 < < 0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． > > 2 B． 2 > > C． > > 2 D． > 2 >
3.若 > > 0，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
+1
A． +1 > B． < C． > > +
1
D． > +
1

4. 1 1若 、 為實數，則“0 < < 1”是“ < 或 > ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5.設 > > 0，且 + = 1 1，則此四個數2,2 ,
2 + 2, 中最大的是（ ）
1
A． B． 2 + 2 C．2 D．2
6.設0 < < 1，已知 = 1 + ， = 2 ， =
1
1― ，則 a，b，c 的大小關系是（ ）
A． > > B． > >
C． > > D． > >
7.同學們在生活中都有過陪同爸爸媽媽去加油站加油的經歷，小明發現一個有趣的現象：爸爸和媽媽加油
習慣有所不同.爸爸每次加油都說“師傅，給我加 300 元的油”，而媽媽則說“師傅幫我把油箱加滿”這個時候
小明若有所思，如果爸爸 媽媽加油兩次，第一次加油汽油單價為 x 元/升，第二次加油汽油單價是 y 元/升
( ≠ )，媽媽每次加滿油箱，需加油 a 升，我們規定誰的平均單價低誰就合算，請問爸爸 媽媽誰更合算
呢？（ ）
A．爸爸 B．媽媽 C．一樣 D．不確定
8.已知 , , 為三個非負實數，且滿足3 + 2 + = 5,2 + ― 3 = 1，若 = 3 + ― 7 ，則 u 的最大值與
最小值之和為（ ）
― 62 64 66 68A． 77 B． ― 77 C． ― 77 D． ― 77
二、多選題
9．若 , , ∈ ，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若 > ，則 2 > 2 1 1 B．若 > ，則 <

C．若 > > > 0 <
+
，則 + D．若 > > > 0，則 ― > ―
10.已知實數 ， ， 滿足 + + = 0且 > > ，則（ ）
A． > B． 2 > 2
C．2 ― 2 < 2 ― 2 D．( ― )2 ≤ 2( ― )2 +2( ― )2
11.已知 ―1 < < 6,3 < < 8，則下列結果正確的有（ ）
1
A． ― 3 < < 2 B．2 < + < 14
C． ―4 < ― < ―2 D． ―3 < < 48
三、填空題
2
12．如果 < 0，0 < < 1 1，那么 ， ， 從小到大的順序是
13.設 > ―1，且 ≠ 1，則 3 +1與 2 + 的大小關系是 .
14.記min{ , , }表示 x y 1 1， ，z 中最小的數．設 > 0， > 0，則min , , + 3 的最大值為 ．

四、解答題

15．（1）已知 < < ，且 + + = 0，證明： ― < ― ．
（2）證明： ― ― 2 < ― 1 ― ― 3．( ≥ 3)
2 2
16.已知 , 為正實數．求證： + > + .
17.已知三個不等式：①a，b，x 均為正數 > < + ② ③ +
請你以其中兩個作為條件，余下一個為結論組成一個不等式命題，并判斷其真假，若真請給出證明，若假
請舉出反例說明.
18.已知 ≠ 0，求證： 3 + 3 + ― 2 ― 2 > 0的充要條件是 + > 1．
19．設 是不小于 1 的實數.若對任意 , ∈ [ ―1, ]，總存在 , ∈ [ ―1, ]，使得( + )( + ) = 1，則稱這樣
的 滿足“性質 1”
(1)分別判斷 > 2和1 ≤ < 32時是否滿足“性質 1”;
1
(2)先證明:若 , ≥ 2，且 + ≥
5
2，則 ≥ 1
3
; 并由此證明當2 ≤ ≤ 2時，對任意 , ∈ [ ―1, ]，總存在 1, 1
∈ [ ―1, ]，使得( + 1)( + 1) ≥ 1.
(3)求出所有滿足“性質 1”的實數 t

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