資源簡介

1.2.3 全稱量詞和存在量詞
課程標準 學習目標
（1）通過已知的數學實例, 理解全稱量詞與存
在量詞的意義; （1）掌握全稱量詞和存在量詞的概念;
（2）能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行 （2）會判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假
否定； 性；（難點)
（3）能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行 （3）理解全稱量詞命題和存在量詞命題的否定.
否定。
知識點 01 含有量詞的命題
1 全稱量詞命題
(1) 短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“ ”表示．
(2) 含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題．
全稱量詞命題“對 中任意一個 ，有 ( )成立”，記作 ∈ , ( )．
Eg 1：對所有末位數是0的數能被5整除， > 0, + ≥ 2.
2 存在量詞命題
(1) 短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“ ”表示．
(2) 含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題．
存在量詞命題“存在 中的一個 ，使 ( )成立”，記作 ∈ , ( ).
Eg：至少有一個質數是偶數， > 0, 2 ―2 + 3 < 0.
【即學即練 1】
判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假性.
(1)對所有的正實數 ， 為正且 < ；
(2)存在實數 ，使得 2 ―3 ― 4 = 0；
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據全稱量詞的定義可得命題為全稱量詞命題，取 = 1，可得命題為假命題；
（2）根據全存在量詞的定義可得命題為存在量詞命題，根據判別式可得命題為真命題；
【詳解】（1）為全稱量詞命題，且為假命題，如取 = 1，則 < 不成立.
（2）為存在量詞命題，且為真命題，因為判別式Δ = 2 ―4 = 25 > 0.
知識點 02 含量詞命題的否定
一般地，命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
【即學即練 2】
命題“ ∈ [ ― 2,3], 2 < 9”的否定是（ ）
A． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 B． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
C． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 D． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
【答案】B
【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題分析判斷.
【詳解】由題意可得：命題“ ∈ [ ― 2,3], 2 < 9”的否定是“ ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9”.
故選：B.
【題型一：全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷】
例 1． 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號“ ”或“ ”表示下列命題：
(1)自然數的平方大于或等于零；
(2)有的一次函數圖象經過原點；
(3)所有的二次函數的圖象的開口都向上．
【答案】(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
(3)答案見詳解
【分析】先根據全稱量詞命題和存在量詞命題的定義判斷，再用符號表示即可．
【詳解】（1）全稱量詞命題．表示為 ∈ Ν， 2 ≥ 0．
（2）存在量詞命題．表示為 一次函數，它的圖象過原點．
（3）全稱量詞命題．表示為 二次函數，它的圖象的開口都向上．
變式 1-1．下列命題是全稱量詞命題的是（ ）
A．存在一個實數的平方是負數 B．至少有一個整數 x，使得 2 +3 是質數
C．每個四邊形的內角和都是 360° D． ∈ ， 2 =
【答案】C
【分析】根據全稱命題與特稱命題中的量詞即可判斷求解.
【詳解】選項 A，B，D 中，分別有“存在”，“至少”，“ ”這樣的特稱量詞，所以選項 A，B，D 都為特稱命
題，選項 C：因為有“每個”這樣的全稱量詞，所以命題為全稱命題.
故選：C.
變式 1-2．判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.
(1)凸多邊形的外角和等于360 ；
(2)矩形的對角線不相等；
(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
(4)有些實數 a，b 能使| ― | = | | + | |；
(5)方程3 ― 2 = 10有整數解.
【答案】(1)全稱量詞命題
(2)全稱量詞命題
(3)全稱量詞命題
(4)存在量詞命題
(5)存在量詞命題
【分析】由已知結合全稱量詞命題及存在量詞命題的定義分別檢驗各命題．
【詳解】（1）命題可以改寫為：所有的凸多邊形的外角和等于360 ，故為全稱量詞命題．
（2）命題可以改寫為：所有矩形的對角線不相等，故為全稱量詞命題．
（3）若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題
（4）含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．
（5）命題可以改寫為：存在一對整數 x，y，使3 ― 2 = 10成立．故為存在量詞命題．
【方法技巧與總結】
短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“ ”表示．
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“ ”表示．
【題型二：全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性】
例 2．下列命題中錯誤的有（ ）個
① 20 ∈ , 0 +2 0 +2 < 0；
② 0 ∈ , 20 + 0 = ―1；
③ ∈ , 2 ― + 14 > 0；
④ ∈ , ― 2 ―1 < 0
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據全稱命題和特稱命題結合二次式分析判斷.
【詳解】對于①：因為 20 ∈ , 0 +2 0 +2 = ( 0 + 1)2 +1 ≥ 1 > 0，故①錯誤；
2 1 1
對于② 1：因為 0 ∈ , 20 + 0 = 0 + ― 4 ≥ ― 4 > ―12 ，故②錯誤；
1 1 1 2 1 1
對于③：當 = 22時，則 ― + 4 = ― 2 + 4 = 02 ，故③錯誤；
對于④：因為 2 ≥ 0，則 ― 2 ―1 ≤ ―1 < 0，故④正確；
可知命題中錯誤的有 3 個.
故選：D.
變式 2-1．下列三個命題中有幾個真命題（ ）
① ∈ R， 2 ―5 ― 6 = 0；② ∈ ， 2 +2 + 3 < 0；
③至少有一個實數 ，使得 3 +1 = 0
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據已知命題的描述判斷真假，即可得答案.
【詳解】①由 2 ―5 ― 6 = ( + 1)( ― 6) = 0，可得 = ―1或 = 6，為真命題；
②由 2 +2 + 3 = ( + 1)2 +2 > 0，為假命題；
③當 = ―1時 3 +1 = 0，為真命題.
故選：C
變式 2-2．下列命題中為真命題的是（ ）
A． 1: ∈ ， 2 +1 < 0
B． 2: ∈ ， + | | > 0
C． 3: ∈ ，| | ∈
D． 4: ∈ ， 2 ―7 + 15 = 0
【答案】C
【分析】對 A：由 2 +1 ≥ 1 > 0判斷命題為假；對 B：當 = 0時命題不成立；對 C：由 及 關系判斷命題
為真；對 D：由Δ = 72 ―4 × 15 < 0判斷命題為假.
【詳解】 ∈ ， 2 +1 ≥ 1 > 0，故 1是假命題；
當 = 0時， + | | = 0，故 2是假命題；
∈ ，| | ∈ ，故 3是真命題；
方程 2 ―7 + 15 = 0中Δ = 72 ―4 × 15 < 0，此方程無解，故 4是假命題.
故選:：C.
變式 2-3．在下列命題中，是真命題的是（ ）
A． ∈ R, 2 + + 3 = 0
B． ∈ R, 2 + + 2 > 0
C． ∈ R, 2 > | |
D．已知 = { ∣ = 2 }, = { ∣ = 3 }，則對于任意的 , ∈ *，都有 ∩ =
【答案】B
【分析】可通過分別判斷選項正確和錯誤，來進行選擇/
【詳解】選項 A， ∈ R, 2 + + 3 = 0，即 2 + + 3 = 0有實數解，所以Δ = 1 ― 12 = ―11＜0，顯然此方
程無實數解，故排除；
選項 B， ∈ R, 2 + + 2 > 0， 2 + + 2 = + 1 2 + 7 ≥ 7（ 2） 4 4＞0，故該選項正確；
選項 C， ∈ R, 2 > | |，而當 = 0時,0 > 0，不成立，故該選項錯誤，排除；
選項 D， = { ∣ = 2 }, = { ∣ = 3 }，當 , ∈ *時，當 、 取得 6 的正整數倍時， ∩ ≠ ，所以，
該選項錯誤，排除.
故選：B.
變式 2-4．下列命題中的假命題是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 > 0 B． ∈ R， 2 > ―
1
C． ∈ R，| | < 1 D． ∈ R，| | +1 = 2
【答案】B
【分析】逐個判定命題的真假即可
【詳解】對于 A： 2 = | | ≥ 0，所以 2 +1 > 0，A 是真命題；
對于 B： 2 = | |，所以當 ≤ 0時命題不成立，B 是假命題；
對于 C：取 = 0，則滿足| | < 1，所以 ∈ R，| | < 1，C 是真命題；
1 1
對于 D：取 = 1，則滿足| | +1 = 2，所以 ∈ R，| | +1 = 2，D 是真命題，
故選：B
變式 2-5．設集合 = | 2 + + 2017 > 0 ， = | 2 + + 2018 > 0 ， = | 2 ― 2017 + > 0 ，
= | 2 ― 2018 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列說法正確的是（　　）
A．對 ∈ ，A 是 B 的子集；對 ∈ ，C 不是 D 的子集
B．對 ∈ ，A 是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
C． ∈ ，A 不是 B 的子集；對 ∈ ，C 不是 D 的子集
D． ∈ ，A 不是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
【答案】B
【分析】運用集合的子集的概念，令 ∈ ，推得 ∈ ，可得對任意 ， 是 的子集；再由 = 20172，
= 10092，求得集合 ， ，即可判斷 正確， ， ， 錯誤．
【詳解】解：對于集合 = | 2 + + 2017 > 0 ， = | 2 + + 2018 > 0 ，
可得當 ∈ ，即 2 + + 2017 > 0，可得 2 + + 2017 + 1 > 0，
即有 ∈ ，可得對任意 ， 是 的子集；
當 = 20172時， = | 2 ― 2017 + 20172 > 0 = ， = | 2 ― 2018 + 20172 > 0 = ，
可得 是 的子集；
當 = 10092時， = | 2 ― 2017 + 10092 > 0 = ， = | 2 ― 2018 + 10092 > 0 = { | ≠ 1009且
∈ }，
可得 不是 的子集．
綜上可得，對任意 ， 是 的子集，存在 ，使得 是 的子集．
故選： ．
【點睛】本題考查集合的關系的判斷，注意運用二次不等式的解法，以及任意和存在性問題的解法，考查
判斷和推理能力，屬于中檔題．
【方法技巧與總結】
對于全稱量詞命題，若要判斷命題是真命題，則需要給與證明；若要判斷命題是假命題，只需要舉出個反
例；
對于存在量詞命題，若要判斷命題是真命題，則需要給出一個正例；若要判斷命題是假命題，則要證明，
往往采取反證法.
【題型三：根據全稱量詞命題的真假性求參數】
例 3．若 : ∈ [1,5]， 2 ― ― 4 > 0是真命題，則實數 的取值范圍是（ ）
> 9A． 25 B． ≥ ―
1
16 C． > 5 D． ≥ 5
【答案】C
4 1 4 1
【分析】利用參變量分離法可得出 > 2 + ，當 ∈ [1,5]時，求出 2 + 的取值范圍，即可得出實數 的取
值范圍.
4 1
【詳解】對任意的 ∈ [1,5]， 2 ― ― 4 > 0，則 > 2 + ，
∈ 1 1 4 1因為 [1,5] 9，則5 ≤ ≤ 1，則 2 + ∈ ,5 ， ∴ > 5.25
故選：C.
變式 3-1．若命題“ ∈ R, 2 ―4 + ≠ 0”為假命題，則實數 a 的取值范圍是（　　）
A． ≤ 4 B． < 4 C． < ―4 D． ≥ ―4
【答案】A
【分析】由題意，寫出全稱命題的否定，根據其真假性以及一元二次方程的性質，可得答案．
【詳解】易知： ∈ R, 2 ―4 + = 0是上述原命題的否定形式，故其為真命題，
則方程 2 ―4 + = 0有實數根，即Δ = 16 ― 4 ≥ 0 ≤ 4．
故選：A．
變式 3-2．若命題“ ∈ R, 2 ―2 + 12 > 0”是真命題，則 的取值范圍為（ ）
A．( ―∞,0) ∪ (12, + ∞) B．( ―∞,0] ∪ (12, + ∞)
C．(0,12) D．[0,12)
【答案】D
【分析】根據全稱命題為真，結合不等式恒成立分類討論，即可求得 的取值范圍.
【詳解】若命題“ ∈ R, 2 ―2 + 12 > 0”是真命題，
則當 = 0時，不等式為12 > 0對 ∈ R恒成立；
當 ≠ 0 > 0時，要使得不等式恒成立，則 Δ = 4 2 ― 48 < 0 ，解得0 < < 12
綜上， 的取值范圍為[0,12).
故選：D.
變式 3-3．設 為給定的一個實常數，命題 : ∈ [0,3], 2 ―4 + ≥ 0，則“ > 6”是“命題 為真命題”的
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】先求出命題 為真命題時 ≥ 4，進而判斷出答案.
【詳解】由題意得 ≥ ― 2 +4 對 ∈ [0,3]恒成立，
其中 = ― 2 +4 = ― ( ― 2)2 +4，
故 = ― 2 +4 在 = 2處取得最大值，最大值為 4，故 ≥ 4，
即命題 為真命題時 ≥ 4，
由于 > 6 ≥ 4，但 ≥ 4 > 6，
故則“ > 6”是“命題 為真命題”的充分不必要條件.
故選：A
【方法技巧與總結】
1 對于恒成立求參數問題，可轉化為最值問題，可采取分離參數法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【題型四：根據存在量詞命題的真假性求參數】
例 4．已知函數 ( ) = 2 ― + ― 3，則“ 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”是“ < 3”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】
由不等式有解得到 的取值范圍，從而得到充分性不成立；通過 < 3，判斷函數對應的不等式有解，說明必
要性成立.
【詳解】由” 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”，即 2 ― + ― 3 < 0，所以Δ = 1 ― 4( ― 3) > 0，
即 < 134 ，充分性不成立；
已知函數 ( ) = 2 ― + ― 3，當“ < 3”時，Δ = 1 ― 4( ― 3) > 0，函數與 軸有兩個交點，所以“ 0
∈ ，使 ( 0) < 0”成立，即必要性成立.
綜述，已知函數 ( ) = 2 ― + ― 3，則“ 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”是“ < 3”的必要而不充分條件.
故選：B.
變式 4-1．已知“ 0 ∈ ，2024 20 ―2024 0 ― < 0”為真命題，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A． > ―506 B． ≥ ―506 C． ≤ ―506 D． < ―506
【答案】A
【分析】根據給定條件，分離參數，借助二次函數求出最小值即得.
【詳解】“ 0 ∈ ，2024 20 ―2024 0 ― < 0”為真命題，則“ 20 ∈ ， > 2024 0 ―2024 0”為真命題，
2
而2024 20 ―2024 0 = 2024( 0 ―
1 ) ―506 ≥ ―506 1，當且僅當 0 = 2時取等號，則 > ―5062 ，
所以實數 a 的取值范圍為 > ―506.
故選：A
變式 4-2．已知命題“ 20 ∈ [1,2]， 0 ―2 0 +1 > 0”是真命題，則實數 的取值范圍為（ ）
( ― ∞,5] [5A． 4 B． 4, + ∞) C．( ― ∞,
5 5
4) D．(4, + ∞)
【答案】C
1
【分析】由題意可得2 < 0 + 在[1，2]的最大值，運用對勾函數的單調性可得最大值，即可得到所求 0
的范圍．
【詳解】解：命題“ 0 ∈ [1，2]， 20 ―2 0 +1 > 0”是真命題，
1
即有2 < 0 + 在[1，2]的最大值，0
由 = + 1 在[1，2]
5
上單調遞增，可得 = 2取得最大值2，
2 < 5則 2，可得 <
5
4，
故選： ．
【點睛】本題考查存在性命題的真假問題解法，注意運用分離參數，運用對勾函數的單調性，考查運算能
力，屬于中檔題．
變式 4-3．已知命題 : ∈ [0,1], 2 ―2 ― 2 + > 0；命題 : ∈ R, 2 ―2 ― ≠ 0，若命題 , 均為假命
題，則實數 的取值范圍為（ ）
A．[ ―1,3] B．[ ―1,2] C．[0,2] D．( ―∞, ― 1]
【答案】B
【分析】求出 , 為真命題時 的范圍，進一步可得答案．
【詳解】由 ∈ [0,1], 2 ―2 ― 2 + > 0，得 ∈ [0,1], > ― 2 +2 + 2，
― 2 +2 + 2 = ― ( ― 1)2 +3， ∈ [0,1]，
則當 = 0時， ― 2 +2 + 2取最小值 2，所以 > 2，
命題 : ∈ R, 2 ―2 ― ≠ 0，則Δ = ( ― 2)2 +4 < 0，即 < ―1，
若命題 , 均為假命題，則 ≤ 2且 ≥ ―1，即 ―1 ≤ ≤ 2，
∴實數 的取值范圍為[ ―1,2]．
故選：B.
【方法技巧與總結】
1 對于能成立求參數問題，可轉化為最值問題，可采取分離參數法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【題型五：含有一個量詞的命題的否定】
例 5．命題“對于任意 ∈ Z，都有 2 +2 + > 0”的否定命題是（ ）
A．存在 ∈ Z，使 2 +2 + > 0
B．存在 ∈ Z，使 2 +2 + ≤ 0
C．對于任意 ∈ Z，不都有 2 +2 + ≤ 0
D．對于任意 ∈ Z，都沒有 2 +2 + > 0
【答案】B
【分析】利用含有一個量詞的命題的否定規律“改量詞，否結論”分析判斷即可得解.
【詳解】解：因為命題“對于任意 ∈ Z，都有 2 +2 + > 0”是全稱量詞命題，
所以其否定命題為存在量詞命題，即“存在 ∈ Z，使 2 +2 + ≤ 0”.
故選：B.
變式 5-1．命題“ ∈ R, ∈ N*，使得 ≤ ”的否定形式是（ ）
A． ∈ R, ∈ N*，使得 > B． ∈ R, ∈ N ,都有 >
C． ∈ R, ∈ N*，使得 > D． ∈ R, ∈ N ，都有 >
【答案】D
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題，即可求解.
【詳解】“ ∈ R, ∈ N*，使得 ≤ ”是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題
故否定形式是 ∈ R, ∈ N ，都有 > .
故選：D
變式 5-2．命題“ > 0, 2 + ― 1 > 0”的否定是（ ）
A． > 0, 2 + ― 1 > 0 B． > 0, 2 + ― 1 ≤ 0
C． ≤ 0, 2 + ― 1 > 0 D． ≤ 0, 2 + ― 1 ≤ 0
【答案】B
【分析】根據存在量詞命題的否定形式，即可求解.
【詳解】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，
即命題“ > 0, 2 + ― 1 > 0”的否定為“ > 0, 2 + ― 1 ≤ 0”.
故選：B.
變式 5-3．下列命題的否定為假命題的是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 = 0 B． ∈ R，| | + < 0
C． ∈ [0, + ∞)， + 1 ≤ +1 D． ∈ R， 2 ∈ Q
【答案】C
【分析】根據原命題與其否定真假性相反可得.
【詳解】選項 A：因 2 +1 = 0無實數解，故命題 ∈ R， 2 +1 = 0為假命題，其否定為真命題，故 A 錯
誤；
選項 B：當 ≥ 0時，| | + = + = 2 ≥ 0，當 < 0時，| | + = ― + = 0，
故| | + ≥ 0，即命題 ∈ R，| | + < 0為假命題，其否定為真命題，故 B 錯誤；
選項 C：當 ≥ 0時，因為 + 1 ― ( + 1)2 = + 1 ― ― 2 ―1 = ―2 ≤ 0，
所以 + 1 ≤ ( + 1)2，即 + 1 ≤ +1，
故命題 ∈ [0, + ∞)， + 1 ≤ +1為真命題，其否定為假命題，故 C 正確；
選項 D： 2 = | |，因 ∈ R，所以| |不一定為有理數，
故命題 ∈ R， 2 ∈ Q為假命題，其否定為真命題，故 D 錯誤.
故選：C
【方法技巧與總結】
1 一般地，命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
2 常見的否定形式

是 不是 都是 不都是
等于 不等于 都不是 至少有一個是
大于 小于等于 所有 不是所有
【題型六：含有一個量詞的命題的否定的應用】
例 6．已知命題 p 為“ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 ≥ 0”．若 p 為假命題，則實數 a 的取值范圍是（ ）
A． ≥ 1 4 4B． > 1 C．7 < < 1 D．7 ≤ ≤ 1
【答案】B
【分析】將問題轉化為命題 “ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 < 0”為真命題，令 ( ) = 2 +2 ― 3 ，利用
二次函數的性質求解.
【詳解】解：因為命題 p“ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 ≥ 0”為假命題，
所以命題 “ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 < 0”為真命題，
令 ( ) = 2 +2 ― 3 ，其對稱軸為 = ― ，
當 ― ≤ ―2，即 ≥ 2時， (1) = 1 + 2 ― 3 < 0，解得 > 1，此時 ≥ 2；
4
當 ― ≥ 1，即 ≤ ―1時， ( ―2) = 4 ― 4 ― 3 < 0，解得 > 7，此時無解；
> 1
當 ―2 < ― < 1 ―1 < < 2 (1) = 1 + 2 ― 3 < 0，即 時， ( ―2) = 4 ― 4 ― 3 < 0 ，即 > 4 ，此時1 < < 2，
7
綜上：實數 a 的取值范圍是 > 1，
故選：B
變式 6-1．命題“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”為假命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． ≤ ― 14 B． ≤ 0 C． ≥ 6 D． ≥ 8
【答案】D
【分析】首先轉化為存在量詞命題的否定，求參數 的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.
【詳解】若命題“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”為假命題，
則命題的否定“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― ≤ 0”為真命題，
即 ≥ 2 ― ， ∈ [ ―2,1]恒成立，
= 2 ― = ― 1
2
― 1
2 4，
∈ [ ―2,1]，當 = ―2，取得最大值 = 6，
所以 ≥ 6，選項中只有{ | ≥ 8 }是{ | ≥ 6 }的真子集，
所以命題“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”為假命題的一個充分不必要條件為 ≥ 8.
故選：D
變式 6-2．已知命題：“ ∈ R，使4 2 + 1( ― 2) + 4 = 0”是假命題，則命題成立的必要不充分條件是
（ ）
A．{ | < 0 } B．{ |0 ≤ ≤ 4 }
C．{ | ≥ 4 } D．{ |0 < < 4 }
【答案】B
【分析】利用一元二次方程解的情況、含有存在量詞的命題的否定、充分條件和必要條件的定義分析運算
即可得解.
【詳解】解：∵“ ∈ R，使4 2 +( ― 2) + 14 = 0”是假命題，
即“ ∈ R，4 2 +( ― 2) + 14 ≠ 0”是真命題，
即方程4 2 +( ― 2) + 14 = 0沒有實數根，
∴Δ = ( ― 2)2 ―4 × 4 × 14 =
2 ―4 = ( ― 4) < 0
∴0 < < 4 ∈ R 4 2 + + 1，即命題：“ ，使 ( ― 2) 4 = 0”是假命題
等價于 ∈ { |0 < < 4 }，
設有集合 ，命題 ： ∈ { |0 < < 4 }，命題 的必要不充分條件為命題 ： ∈ ，
則命題 ，而 不能 ，
∴集合{ |0 < < 4 }是集合 的真子集，選項 B 中集合{ |0 ≤ ≤ 4 }滿足要求，
∴選項 B 正確.
故選：B.
變式 6-3．設函數 ( ) = 2 ― ― 1，命題“存在1 ≤ ≤ 3， ( ) ≤ ― + 2”是假命題，則實數 的取值
范圍為（ ）
3 3
A．{ | < 7} B．{ | ≤ 3} C．{ | > 7} D．{ | > 3}
【答案】D
3
【分析】根據題意，轉化為命題“任意1 ≤ ≤ 3， ( ) > ― + 2”為真命題，進而得到 > 2― +1在[1,3]上
3
恒成立，結合二次函數的性質，求得 2― +1的最大值，即可求解.
【詳解】由命題“存在1 ≤ ≤ 3， ( ) ≤ ― + 2”的否定為命題“任意1 ≤ ≤ 3， ( ) > ― + 2”，
根據題意，可得命題“任意1 ≤ ≤ 3， ( ) > ― + 2”為真命題，
即對任意1 ≤ ≤ 3，不等式 ( ) > ― + 2恒成立，
所以 2 ― ― 1 > ― + 2，即 2 ― + > 3在[1,3]上恒成立，
> 3即 2― +1在[1,3]上恒成立，
2
令 ( ) = 2 ― + 1 = ( ― 1 ) +
3
2 4
, ∈ [1,3]，
根據二次函數的性質，當 = 1時， ( )min = (1) = 1
3
，即 2― +1的最大值為3，
所以 > 3，即實數 的取值范圍為(3, + ∞).
故選：D.
變式 6-4．已知命題 : ∈ R， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
1 1 1
A． < 3 B． ≤ 1 C． ≤ 3 D． ≥ 3
【答案】A
【分析】根據全稱命題的否定，結合二次函數的性質，利用分類討論，求得參數范圍，再根據充分不必要
條件的定義，可得答案.
【詳解】由題意，命題 的否定為命題 ： ∈ R， 2 +2 + 3 ≤ 0，
當 = 0 3時，則2 + 3 ≤ 0，解得 ≤ ― 2，此時命題 為真；
當 < 0時，函數 ( ) = 2 +2 + 3為開口向下的二次函數，顯然命題 為真；
當 > 0時，函數 ( ) = 2 +2 + 3為開口向上的二次函數，令Δ = 22 ―4 × 3 ≥ 0，
1
解得 ≤ 3，根據二次函數的性質，此時命題 為真.
綜上可知，當 ∈ ―∞, 1 時，命題 為真.
3
1 1
根據題意，結合充分不必要條件的定義，由 ―∞, ―∞, ，
3 3
故選：A.
【方法技巧與總結】
命題p與命題 p的真假性是互異的.
一、單選題
1．下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（ ）
A．所有的素數都是奇數 B． ∈ ，| | +1 ≥ 1
C．有一個實數 ，使 2 +2 + 3 = 0 D．有些平行四邊形是菱形
【答案】B
【分析】根據全稱量詞命題的定義即可知選項 CD 不合題意，再判斷出命題真假即可得出結論.
【詳解】對于 A，“所有的素數都是奇數”是全稱量詞命題，但是假命題，
例如 2 是素數，但 2 是偶數，所以 A 錯誤；
對于 B，易知“ ∈ ，| | +1 ≥ 1”是全稱量詞命題，
且由| | ≥ 0可得| | +1 ≥ 1，所以是真命題，即 B 正確；
對于 C，“有一個實數 ，使 2 +2 + 3 = 0”是存在量詞命題，不合題意；
對于 D，“有些平行四邊形是菱形”是存在量詞命題，不合題意；
故選：B
2.命題“ > 1, 2 +1 > 2”的否定為（ ）
A． 1, 2 +1 2 B． > 1, 2 +1 2
C． > 1, 2 +1 2 D． 1, 2 +1 2
【答案】C
【分析】“若 ，則 ”的否定為“ 且 ”
【詳解】根據命題的否定形式可得：原命題的否定為“ > 1, 2 +1 2”
故選：C
3.給出下面四個命題：
① ∈ ，| | +1 ≥ 1；
② ∈ ，| | + ≥ 0；
③ ∈ ， 2的個位數字等于 3；
④ ∈ ， 2 ― + 1 = 0.
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根據不等式性質和全稱命題定義判斷；②根據不等式性質和稱命題定義判斷；③用例舉法判
斷；④用一元二次方程根的判斷式判斷.
【詳解】對于①，因為| | ≥ 0，所以 ∈ ，| | +1 ≥ 1，所以①對；
對于②，當 ≥ 0時，| | + = 2 ≥ 0，當 < 0時，| | + = 0 ≥ 0，所以 ∈ ，| | + ≥ 0成立，所以②
對；
對于③，設 = 10 + ， ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 2 = 10(10 2 + 2 ) + 2， 2的個位數字等于 2的個位
數字，
所以 2的個位數字都不等于 3，所以③錯；
對于④，因數 = ( ―1)2 ―4 × 1 × 1 = ―3 < 0，所以方程 2 ― + 1 = 0無實數解，所以④錯.
故選：B.
4.下列命題是真命題的是（ ）
A． ∈ , 2 = B． ∈ , 2 = 3
C． ∈ ,| | ∈ D． ∈ , 2 ―2 + 3 = 0
【答案】C
【分析】舉反例否定選項 ABD，利用絕對值定義可得選項 C 正確.
【詳解】當 = ―1時， 2 ≠ .故選項 A 判斷錯誤；
由 2 = 3可得， =± 3.故選項 B 判斷錯誤；
∈ ,| | ∈ .故選項 C 判斷正確；
由 2 ―2 + 3 > 0，可得選項 D 判斷錯誤.
故選：C
5.若“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 > 0”是假命題，則實數 的取值范圍為（ ）
A．( ―∞,3] B．[3, + ∞) C．(3, + ∞) D．[5, + ∞)
【答案】B
【分析】原命題為假，則其否定為真即“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 ≤ 0”是真命題，利用分離參數思想結合基
本不等式求出最值即可得結果.
【詳解】因為“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 > 0”是假命題，
所以“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 ≤ 0”是真命題，
9
即存在 ∈ (1,4]，使2 ≥ + 成立.又 +
9
≥ 2
9
9 = 6等號僅當 =

，
即 = 3時成立，所以只要2 ≥ 6，解得 ≥ 3.
故選：B.
【點睛】對于能成立問題，常用到以下兩個結論：
（1） ≥ ( )能成立 ≥ ( )min；
（2） ≤ ( )能成立 ≤ ( )max.
6.已知命題 : ∈ ， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命題，那么實數 的取值范圍是（ ）
A． < 13 B．0 < ≤
1 ≤ 1 ≥ 13 C． 3 D． 3
【答案】C
【分析】由題意可知，命題： ∈ ， 2 +2 + 3 ≤ 0為真命題，分 = 0、 ≠ 0兩種情況討論，利用參變
量分離法求出實數 的取值范圍.
【詳解】由題意可知，命題： ∈ ， 2 +2 + 3 ≤ 0為真命題.
①當 = 0時，則3 ≤ 0，不合乎題意；
②當 ≠ 0時，則 ≤ ― 3 2 1 2 ― ，令 = ≠ 0，
2
則 = ―3 2 ―2 = ―3 + 1 + 13 3，
所以，當 = ― 13時，
1 1
max = 3，則 ≤ 3.
≤ 1綜上所述，實數 的取值范圍是 3.
故選：C.
7.已知命題 : ∈ ， + 1 < 0，命題 : ∈ ， 2 + + 1 > 0恒成立，若 ， 至少有一個是假命題，
則實數 的取值范圍是
A．[ ―2, ― 1) B．( ―∞, ― 2] C．[ ―2, ― 1] D．[ ―1, + ∞)
【答案】B
【解析】根據題意可判斷命題 為真命題，所以可得命題 必定為假命題，進而得到參數的取值范圍；
【詳解】因為 ， 中至少有一個為假命題，而命題 : ∈ ， + 1 < 0為真命題；
所以命題 必定為假命題，所以 = 2 ―4 × 1 ≥ 0，解得 ≤ ―2或 ≥ 2.
又命題 : ∈ ， + 1 < 0為真命題，所以 < ―1，于是 ≤ ―2.
故選：B.
【點睛】本題考查全稱命題真假性的判斷、復合命題真假性求參數取值范圍，考查函數與方程思想、轉化
與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.
8.已知命題 ：任意 ∈ [1,2], 2 ― ≥ 0，命題 ：存在 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 ― = 0，若“ 且 ”是假命題，則
實數 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞, ― 2] B．( ―∞,1] C．( ―∞, ― 2] ∪ {1} D．( ―2,1) ∪ (1, + ∞)
【答案】D
【分析】首先分別求兩個命題為真命題時 的取值范圍，取其補集即可得答案.
【詳解】
命題 為真時 ≤ 2恒成立， ∈ [1,2]，即 ≤ ( 2)min， ≤ 1，
命題 為真時Δ ≥ 0，即4 2 ―4(2 ― ) ≥ 0 ，解得： ≤ ―2或 ≥ 1.
命題“ 且 ”是真命題時，取交集部分，可得 ≤ ―2或 = 1，
所以命題“ 且 ”是假命題時，可得 > ―2且 ≠ 1，
故選： D.
二、多選題
9．下列命題中，是全稱量詞命題的有（ ）
A．至少有一個 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
B．對任意的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0成立
C．對所有的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0不成立
D．存在 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
【答案】BC
【分析】利用全稱量詞命題的定義逐項判斷可得出結論.
【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，BC 選項中的命題為全稱量詞命題，AD 選項中的命題不是全稱量詞
命題.
故選：BC.
10.下列說法中正確的有（ ）
A．命題 ∈ , 2 +2 + 2 ≥ 0是全稱量詞命題
B．“| | > | |”是“ > ”的既不充分又不必要條件
C．命題“ ∈ , 2 > 0”是真命題
D．“ < 0”是“關于 的方程 2 ―2 + = 0有一正一負根”的充要條件
【答案】ABD
【分析】選項 A 直接根據全稱量詞命題的定義判斷，選項 B 利用特殊值法判斷即可，選項 C 取特殊值說明
即可，選項 D 利用充要條件判斷即可.
【詳解】命題 ∈ , 2 +2 + 2 ≥ 0是全稱量詞命題，A 正確；
| | > | |不能推出 > ，例如| ―2| > |1|，但 ―2 < 1；
> 也不能推出| | > | |，例如2 > ―3，而|2| < | ―3|；
所以“| | > | |”是“ > ”的既不充分又不必要條件，B 正確；
當 = 0時， 2 = 0，所以 C 錯誤；
關于 的方程 2 ―2 + = 0 4 ― 4 > 0有一正一負根 < 0 < 0 ，
所以“ < 0”是“關于 的方程 2 ―2 + = 0有一正一負根”的充要條件，
故 D 選項正確．
故選：ABD．
11.下列四個結論中正確的是（ ）
A．命題“ ∈ ，3 2 ―2 ― 1 < 0”的否定是“ 0 ∈ ，3 20 ―2 0 ―1 > 0”
B．設 ， ∈ ，則“ 2 > 2”的充分不必要條件是“ > ”
C．若“ 0 ∈ ， 20 ―2 0 ― < 0”為假命題，則 ≤ ―1
D．若函數 ( ) = 2 ―2 + 4在區間[0, ]上的最大值為 4，最小值為 3，則實數 的取值范圍是[1,2]
【答案】CD
【分析】由全稱命題的否定即可判斷 A，舉出反例即可判斷 B，由一元二次不等式恒成立即可判斷 C，由二
次函數的對稱性即可判斷 D.
【詳解】命題“ ∈ ，3 2 ―2 ― 1 < 0”的否定是“ 0 ∈ ，3 20 ―2 0 ―1 ≥ 0”，故 A 錯誤；
當 > 時，得不到 2 > 2，比如當 = 1, = ―2時，不滿足；
當 2 > 2時，也得不到 > ，比如當 = ―2, = 1，故 B 錯誤；
若“ 2 20 ∈ ， 0 ―2 0 ― < 0”為假命題，則“ ∈ ， ―2 ― ≥ 0”為真命題，
則Δ = ( ―2)2 +4 ≤ 0 ≤ ―1，故 C 正確；
函數 ( ) = 2 ―2 + 4 = ( ― 1)2 +3，其對稱軸為 = 1，由于函數在區間[0, ]上的最大值為 4，最小值
為 3，則1 ≤ ≤ 2，故 D 正確；
故選：CD
三、填空題
12．命題 : , ∈ R, 2 + 2 ≤ 1是 (填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，它是 命題(填“真”或
“假”)．
【答案】 存在量詞命題 真
【分析】根據量詞“ ”即可判斷它是存在量詞命題，通過舉列子可說明是真命題.
【詳解】命題 p 是存在量詞命題，當 = = 0時， 2 + 2 = 0 ≤ 1成立，故 p 是真命題．
故答案為：存在量詞命題；真.
13.已知命題 : ∈ R 1， 2―1 ≤ 0，則 的否定形式是： .
【答案】 ∈ R 1， 2―1 > 0或 =± 1
【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題進行求解即可.
【詳解】根據題意，命題 等價于 ∈ R, 2 ―1 < 0，其否定為 ∈ R, 2 ―1 ≥ 0，
1
即 ∈ R, 2―1 > 0或 =± 1，
故答案為： ∈ R 1， 2―1 > 0或 =± 1.
14.若“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”的否定是假命題，則實數 的取值范圍是 ．
【答案】[1, + ∞)
【分析】利用存在量詞命題的否定是假命題得“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”是真命題，再利用存在量詞命題
為真得關于 x 的方程 2 +2 + 2 ― = 0有實根，最后利用判別式計算得結論．
【詳解】因為“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”的否定是假命題，
所以“ 20 ∈ R, 0 +2 0 +2 = ”是真命題，
因此關于 x 的方程 2 +2 + 2 ― = 0有實根，
所以Δ = 22 ―4 × 1 × (2 ― ) ≥ 0，解得 ≥ 1．
因此實數 m 的取值范圍是 ≥ 1．
故答案為：[1, + ∞)．
四、解答題
15．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．
(1)至少有一個整數，既能被 11 整除，又能被 9 整除；
(2) ∈ R， 2 ―4 + 6 > 0；
(3) ∈ N*，使 為 29 的約數；
(4) ∈ N， 2 > 0．
【答案】(1)存在量詞命題，真命題
(2)全稱量詞命題，真命題
(3)存在量詞命題，真命題
(4)全稱量詞命題，假命題
【分析】利用全稱量詞命題與存在量詞命題的概念，及不等式的性質，舉例子分別判斷各命題.
【詳解】（1）命題中含有存在量詞“至少有一個”，因此是存在量詞命題，
99既能被11整除，又能被9整除，故該命題為真命題．
（2）命題中含有全稱量詞“ ”，故是全稱量詞命題，
因為 2 ―4 + 6 = ( ― 2)2 +2 ≥ 2，所以 2 ―4 + 6 > 0恒成立，故該命題為真命題．
（3）命題中含有存在量詞“ ”，故是存在量詞命題，
當 = 1時， 為29的約數，所以該命題為真命題．
（4）命題中含有全稱量詞“ ”，故是全稱量詞命題，
當 = 0時， 2 = 0，所以該命題為假命題．
16.已知 ∈ ，命題 : ∈ , 2 ―4 + ≤ 0, : ∈ , 2 ―( ― 3) + 1 ≥ 0．
(1)判斷 , 是全稱量詞命題，還是存在量詞命題；
(2)若 , 均為真命題，求 的取值范圍．
【答案】(1) 是存在量詞命題， 是全稱量詞命題
(2)[1,4]
【分析】（1）根據定義判斷是全稱量詞命題，或是存在量詞命題即可；
（2）根據命題均為真命題分別求出 的范圍，之后取交集即可.
【詳解】（1）因為符號“ ”表示“存在一個”，“存在一個”是存在量詞，
所以 是存在量詞命題．
因為符號“ ”表示“所有”，“所有”是全稱量詞，
所以 是全稱量詞命題．
（2）若 : ∈ , 2 ―4 + ≤ 0為真命題，則Δ1 = 16 ― 4 ≥ 0，解得 ≤ 4．
若 : ∈ , 2 ―( ― 3) + 1 ≥ 0為真命題，則Δ 22 = ( ― 3) ―4 ≤ 0，解得1 ≤ ≤ 5．
因為 , 均為真命題，所以 的取值范圍為[1,4]．
17.設命題 : ∈ [ ―1,1]，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0恒成立；命題 : ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2
―3 成立．
(1)若 為真命題，求實數 的取值范圍；
(2)若命題 、 有且只有一個是真命題，求實數 的取值范圍．
【答案】(1)( ― ∞,0)
(2)( ― ∞,3]
【分析】（1）若 為真命題，即 ∈ ―1，1 ，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0成立，則轉化對于 ∈
―1，1 ， < （ ― 2 +2 + 3） 即可.min
（2）若 為真命題，即 ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2 ―3 成立，則轉化為對于 ∈ [0,1]，(2 ― 2)max ≥
2 ―3 即可.
【詳解】（1）若 為真命題，即 ∈ ―1，1 ，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0成立，
則對于 ∈ ―1，1 ， < （ ― 2 +2 + 3） 即可.min
由于 ∈ ―1，1 ,（ ― 2 +2 + 3） = 0，則 ∈ ( ― ∞,0)min
（2）若 為真命題，即 ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2 ―3 成立，
則對于 ∈ [0,1]，(2 ― 2) 2max ≥ ―3 即可.
由于 ∈ 0，1 ，2 ― 2 ∈ ―2，0 ， ∴ 2 ―3 ≤ 0，解得 ∈ 0，3
p q < 0 ≥ 0、 有且只有一個是真命題，則 < 0或 > 3 或 0 ≤ ≤ 3 ，
解得 ∈ ( ― ∞,3].
18.已知命題：“ ∈ { ∣ ― 1 < < 1}，使等式4 2 ― ― = 0成立”是真命題.
(1)求實數 的取值集合 ；
(2)設不等式( ― )( + ― 2) < 0的解集為 ，若 ∈ 是 ∈ 的必要條件，求 的取值范圍.
【答案】(1) = | ― 1 ≤ < 516
(2) ≥ 5或 ≤ ―3
【分析】（1）根據題意，將方程有解問題轉化為 在 ( )值域內，求得二次函數的值域，即可得到結果；
（2）根據題意，將問題轉化為 ，然后分 > 1， = 1與 < 1討論，即可求解.
【詳解】（1）由題意，方程 = 4 2 ― 在( ―1,1)上有解，
2
令 ( ) = 4 2 ― = 2 ― 1 ―
1
4 16( ―1 < < 1)，只需 在 ( )值域內，
當 = 18時， ( )min = ―
1
16，當 = ―1時， ( ) = 5，
( ) ― 1所以 值域為 ,5 ，
16
∴ 1的取值集合為 = | ― ≤ < 5 ；16
（2）由題意， ，顯然 不為空集.
①當 > 2 ― ，即 > 1時， = (2 ― , )，
2 ― < ― 1
16
≥ 5 ， ∴ ≥ 5；
> 1
②當 = 2 ― ，即 = 1時， = ，不合題意舍去；
③當 < 2 ― ，即 < 1時， = ( ,2 ― ).
2 ― ≥ 5
< ― 1
16 ， ∴ ≤ ―3；
< 1
綜上可得 ≥ 5或 ≤ ―3.
19．已知集合 = { | ―3 ≤ < 4 }, = { |2 ― 1 ≤ ≤ + 1 }
(1)若 ∪ ≠ ，求實數 的取值范圍.
(2)命題 q：“ ∈ ，使得 ∈ ”是真命題，求實數 m 的取值范圍.
【答案】(1){ | < ―1 }
(2){ | ―4 ≤ ≤ 2}
【分析】（1）考慮 ∪ = 的情況，然后求解出 的范圍，最后根據對應范圍在實數集下的補集求解出結
果；
（2）根據條件先分析出 ∩ ≠ ，然后考慮 ∩ = 的情況，由此求解出符合條件的 的取值范圍.
【詳解】（1）當 ∪ = 時， ，
若 = ，滿足 ，則 + 1 < 2 ― 1，解得 > 2；
2 ― 1 ≥ ―3
若 ≠ ，因為 ，所以 + 1 < 4 ，所以 ―1 ≤ ≤ 2，
2 ― 1 ≤ + 1
所以 ∪ = 時， 的取值范圍是{ | ≥ ―1 }，
所以 ∪ ≠ 時， 的取值范圍是{ | < ―1 }.
（2）因為“ ∈ ，使得 ∈ ”是真命題，所以 ∩ ≠ ，
當 ∩ = 時，
若 = ， ∩ = 成立，此時 + 1 < 2 ― 1，解得 > 2；
若 ≠ + 1 < ―3 2 ― 1 ≥ 4，則有 + 1 ≥ 2 ― 1 或 + 1 ≥ 2 ― 1 ，解得 < ―4，
所以 ∩ = 時， 的取值范圍是{ | < ―4 或 > 2}，
所以命題 為真命題時 的取值范圍是{ | ―4 ≤ ≤ 2} .1.2.3 全稱量詞和存在量詞
課程標準 學習目標
（1）通過已知的數學實例, 理解全稱量詞與存
在量詞的意義; （1）掌握全稱量詞和存在量詞的概念;
（2）能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行 （2）會判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假
否定； 性；（難點)
（3）能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行 （3）理解全稱量詞命題和存在量詞命題的否定.
否定。
知識點 01 含有量詞的命題
1 全稱量詞命題
(1) 短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“ ”表示．
(2) 含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題．
全稱量詞命題“對 中任意一個 ，有 ( )成立”，記作 ∈ , ( )．
Eg 1：對所有末位數是0的數能被5整除， > 0, + ≥ 2.
2 存在量詞命題
(1) 短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“ ”表示．
(2) 含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題．
存在量詞命題“存在 中的一個 ，使 ( )成立”，記作 ∈ , ( ).
Eg：至少有一個質數是偶數， > 0, 2 ―2 + 3 < 0.
【即學即練 1】
判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假性.
(1)對所有的正實數 ， 為正且 < ；
(2)存在實數 ，使得 2 ―3 ― 4 = 0；
知識點 02 含量詞命題的否定
一般地，命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
【即學即練 2】
命題“ ∈ [ ― 2,3], 2 < 9”的否定是（ ）
A． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 B． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
C． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 D． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
【題型一：全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷】
例 1． 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號“ ”或“ ”表示下列命題：
(1)自然數的平方大于或等于零；
(2)有的一次函數圖象經過原點；
(3)所有的二次函數的圖象的開口都向上．
變式 1-1．下列命題是全稱量詞命題的是（ ）
A．存在一個實數的平方是負數 B．至少有一個整數 x，使得 2 +3 是質數
C．每個四邊形的內角和都是 360° D． ∈ ， 2 =
變式 1-2．判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.
(1)凸多邊形的外角和等于360 ；
(2)矩形的對角線不相等；
(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
(4)有些實數 a，b 能使| ― | = | | + | |；
(5)方程3 ― 2 = 10有整數解.
【方法技巧與總結】
短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“ ”表示．
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“ ”表示．
【題型二：全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性】
例 2．下列命題中錯誤的有（ ）個
① 0 ∈ , 20 +2 0 +2 < 0；
② 0 ∈ , 20 + 0 = ―1；
③ ∈ , 2 ― + 14 > 0；
④ ∈ , ― 2 ―1 < 0
A．0 B．1 C．2 D．3
變式 2-1．下列三個命題中有幾個真命題（ ）
① ∈ R， 2 ―5 ― 6 = 0；② ∈ ， 2 +2 + 3 < 0；
③至少有一個實數 ，使得 3 +1 = 0
A．0 B．1 C．2 D．3
變式 2-2．下列命題中為真命題的是（ ）
A． 1: ∈ ， 2 +1 < 0 B． 2: ∈ ， + | | > 0
C． 3: ∈ ，| | ∈ D． 4: ∈ ， 2 ―7 + 15 = 0
變式 2-3．在下列命題中，是真命題的是（ ）
A． ∈ R, 2 + + 3 = 0
B． ∈ R, 2 + + 2 > 0
C． ∈ R, 2 > | |
D．已知 = { ∣ = 2 }, = { ∣ = 3 }，則對于任意的 , ∈ *，都有 ∩ =
變式 2-4．下列命題中的假命題是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 > 0 B． ∈ R， 2 > ―
1
C． ∈ R，| | < 1 D． ∈ R，| | +1 = 2
變式 2-5．設集合 = | 2 + + 2017 > 0 ， = | 2 + + 2018 > 0 ， = | 2 ― 2017 + > 0 ，
= | 2 ― 2018 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列說法正確的是（　　）
A．對 ∈ ，A 是 B 的子集；對 ∈ ，C 不是 D 的子集
B．對 ∈ ，A 是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
C． ∈ ，A 不是 B 的子集；對 ∈ ，C 不是 D 的子集
D． ∈ ，A 不是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
【方法技巧與總結】
對于全稱量詞命題，若要判斷命題是真命題，則需要給與證明；若要判斷命題是假命題，只需要舉出個反
例；
對于存在量詞命題，若要判斷命題是真命題，則需要給出一個正例；若要判斷命題是假命題，則要證明，
往往采取反證法.
【題型三：根據全稱量詞命題的真假性求參數】
例 3．若 : ∈ [1,5]， 2 ― ― 4 > 0是真命題，則實數 的取值范圍是（ ）
A． > 9 125 B． ≥ ― 16 C． > 5 D． ≥ 5
變式 3-1．若命題“ ∈ R, 2 ―4 + ≠ 0”為假命題，則實數 a 的取值范圍是（　　）
A． ≤ 4 B． < 4 C． < ―4 D． ≥ ―4
變式 3-2．若命題“ ∈ R, 2 ―2 + 12 > 0”是真命題，則 的取值范圍為（ ）
A．( ―∞,0) ∪ (12, + ∞) B．( ―∞,0] ∪ (12, + ∞)
C．(0,12) D．[0,12)
變式 3-3．設 為給定的一個實常數，命題 : ∈ [0,3], 2 ―4 + ≥ 0，則“ > 6”是“命題 為真命題”的
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【方法技巧與總結】
1 對于恒成立求參數問題，可轉化為最值問題，可采取分離參數法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【題型四：根據存在量詞命題的真假性求參數】
例 4．已知函數 ( ) = 2 ― + ― 3，則“ 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”是“ < 3”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
變式 4-1．已知“ ∈ ，2024 20 0 ―2024 0 ― < 0”為真命題，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A． > ―506 B． ≥ ―506 C． ≤ ―506 D． < ―506
變式 4-2．已知命題“ 0 ∈ [1,2]， 20 ―2 0 +1 > 0”是真命題，則實數 的取值范圍為（ ）
5 5 5 5
A．( ― ∞,4] B．[4, + ∞) C．( ― ∞,4) D．(4, + ∞)
變式 4-3．已知命題 : ∈ [0,1], 2 ―2 ― 2 + > 0；命題 : ∈ R, 2 ―2 ― ≠ 0，若命題 , 均為假命
題，則實數 的取值范圍為（ ）
A．[ ―1,3] B．[ ―1,2] C．[0,2] D．( ―∞, ― 1]
【方法技巧與總結】
1 對于能成立求參數問題，可轉化為最值問題，可采取分離參數法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【題型五：含有一個量詞的命題的否定】
例 5．命題“對于任意 ∈ Z，都有 2 +2 + > 0”的否定命題是（ ）
A．存在 ∈ Z，使 2 +2 + > 0
B．存在 ∈ Z，使 2 +2 + ≤ 0
C．對于任意 ∈ Z，不都有 2 +2 + ≤ 0
D．對于任意 ∈ Z，都沒有 2 +2 + > 0
變式 5-1．命題“ ∈ R, ∈ N*，使得 ≤ ”的否定形式是（ ）
A． ∈ R, ∈ N*，使得 > B． ∈ R, ∈ N ,都有 >
C． ∈ R, ∈ N*，使得 > D． ∈ R, ∈ N ，都有 >
變式 5-2．命題“ > 0, 2 + ― 1 > 0”的否定是（ ）
A． > 0, 2 + ― 1 > 0 B． > 0, 2 + ― 1 ≤ 0
C． ≤ 0, 2 + ― 1 > 0 D． ≤ 0, 2 + ― 1 ≤ 0
變式 5-3．下列命題的否定為假命題的是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 = 0 B． ∈ R，| | + < 0
C． ∈ [0, + ∞)， + 1 ≤ +1 D． ∈ R， 2 ∈ Q
【方法技巧與總結】
1 一般地，命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命題“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
2 常見的否定形式

是 不是 都是 不都是
等于 不等于 都不是 至少有一個是
大于 小于等于 所有 不是所有
【題型六：含有一個量詞的命題的否定的應用】
例 6．已知命題 p 為“ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 ≥ 0”．若 p 為假命題，則實數 a 的取值范圍是（ ）
≥ 1 > 1 4A． B． C．7 < < 1
4
D．7 ≤ ≤ 1
變式 6-1．命題“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”為假命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． ≤ ― 14 B． ≤ 0 C． ≥ 6 D． ≥ 8
變式 6-2．已知命題：“ ∈ R，使4 2 + 1( ― 2) + 4 = 0”是假命題，則命題成立的必要不充分條件是
（ ）
A．{ | < 0 } B．{ |0 ≤ ≤ 4 } C．{ | ≥ 4 } D．{ |0 < < 4 }
變式 6-3．設函數 ( ) = 2 ― ― 1，命題“存在1 ≤ ≤ 3， ( ) ≤ ― + 2”是假命題，則實數 的取值
范圍為（ ）
A．{ | < 37} B．{ | ≤ 3}
3
C．{ | > 7} D．{ | > 3}
變式 6-4．已知命題 : ∈ R， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． < 13 B． ≤ 1 C． ≤
1
3 D． ≥
1
3
【方法技巧與總結】
命題p與命題 p的真假性是互異的.
一、單選題
1．下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（ ）
A．所有的素數都是奇數 B． ∈ ，| | +1 ≥ 1
C．有一個實數 ，使 2 +2 + 3 = 0 D．有些平行四邊形是菱形
2.命題“ > 1, 2 +1 > 2”的否定為（ ）
A． 1, 2 +1 2 B． > 1, 2 +1 2
C． > 1, 2 +1 2 D． 1, 2 +1 2
3.給出下面四個命題：
① ∈ ，| | +1 ≥ 1；
② ∈ ，| | + ≥ 0；
③ ∈ ， 2的個位數字等于 3；
④ ∈ ， 2 ― + 1 = 0.
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.下列命題是真命題的是（ ）
A． ∈ , 2 = B． ∈ , 2 = 3
C． ∈ ,| | ∈ D． ∈ , 2 ―2 + 3 = 0
5.若“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 > 0”是假命題，則實數 的取值范圍為（ ）
A．( ―∞,3] B．[3, + ∞) C．(3, + ∞) D．[5, + ∞)
6.已知命題 : ∈ ， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命題，那么實數 的取值范圍是（ ）
1 1 1 1
A． < 3 B．0 < ≤ 3 C． ≤ 3 D． ≥ 3
7.已知命題 : ∈ ， + 1 < 0，命題 : ∈ ， 2 + + 1 > 0恒成立，若 ， 至少有一個是假命題，
則實數 的取值范圍是
A．[ ―2, ― 1) B．( ―∞, ― 2] C．[ ―2, ― 1] D．[ ―1, + ∞)
8.已知命題 ：任意 ∈ [1,2], 2 ― ≥ 0，命題 ：存在 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 ― = 0，若“ 且 ”是假命題，則
實數 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞, ― 2] B．( ―∞,1] C．( ―∞, ― 2] ∪ {1} D．( ―2,1) ∪ (1, + ∞)
二、多選題
9．下列命題中，是全稱量詞命題的有（ ）
A．至少有一個 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
B．對任意的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0成立
C．對所有的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0不成立
D．存在 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
10.下列說法中正確的有（ ）
A．命題 ∈ , 2 +2 + 2 ≥ 0是全稱量詞命題
B．“| | > | |”是“ > ”的既不充分又不必要條件
C．命題“ ∈ , 2 > 0”是真命題
D．“ < 0”是“關于 的方程 2 ―2 + = 0有一正一負根”的充要條件
11.下列四個結論中正確的是（ ）
A．命題“ ∈ ，3 2 ―2 ― 1 < 0”的否定是“ 20 ∈ ，3 0 ―2 0 ―1 > 0”
B．設 ， ∈ ，則“ 2 > 2”的充分不必要條件是“ > ”
C．若“ 0 ∈ ， 20 ―2 0 ― < 0”為假命題，則 ≤ ―1
D．若函數 ( ) = 2 ―2 + 4在區間[0, ]上的最大值為 4，最小值為 3，則實數 的取值范圍是[1,2]
三、填空題
12．命題 : , ∈ R, 2 + 2 ≤ 1是 (填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，它是 命題(填“真”或
“假”)．
1
13.已知命題 : ∈ R， 2―1 ≤ 0，則 的否定形式是： .
14.若“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”的否定是假命題，則實數 的取值范圍是 ．
四、解答題
15．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．
(1)至少有一個整數，既能被 11 整除，又能被 9 整除；
(2) ∈ R， 2 ―4 + 6 > 0；
(3) ∈ N*，使 為 29 的約數；
(4) ∈ N， 2 > 0．
16.已知 ∈ ，命題 : ∈ , 2 ―4 + ≤ 0, : ∈ , 2 ―( ― 3) + 1 ≥ 0．
(1)判斷 , 是全稱量詞命題，還是存在量詞命題；
(2)若 , 均為真命題，求 的取值范圍．
17.設命題 : ∈ [ ―1,1]，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0恒成立；命題 : ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2
―3 成立．
(1)若 為真命題，求實數 的取值范圍；
(2)若命題 、 有且只有一個是真命題，求實數 的取值范圍．
18.已知命題：“ ∈ { ∣ ― 1 < < 1}，使等式4 2 ― ― = 0成立”是真命題.
(1)求實數 的取值集合 ；
(2)設不等式( ― )( + ― 2) < 0的解集為 ，若 ∈ 是 ∈ 的必要條件，求 的取值范圍.
19．已知集合 = { | ―3 ≤ < 4 }, = { |2 ― 1 ≤ ≤ + 1 }
(1)若 ∪ ≠ ，求實數 的取值范圍.
(2)命題 q：“ ∈ ，使得 ∈ ”是真命題，求實數 m 的取值范圍.

展開更多......

收起↑