資源簡介

1.1.3 集合的交與并
課程標準 學習目標
（1）理解兩個集合的并集的含義，并能求兩個集合
（1）理解兩個集合的并集與交集的含義, 能求
的并集;
兩個集合的并集與交集;
（2）理解兩個集合的交集的含義，并能求兩個集合
（2）能使用 Venn 圖表達集合的基本關系與基
的交集;
本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用。
（3）能對兩個集合進行混合運算.（難點)
知識點 01 兩個集合的交
1 交集
概念 由屬于集合 且屬于集合 所有元素所組成的集合，稱為集合 與 的交集.
記號 (讀作: 交 )
符號 = { | ∈ 且 ∈ }
圖形表示
(1) = ， = ；
(2) = ；
性質
(3) ， ；
(4) = ；
注 (1)交集中的“且”，是“同時滿足”的意思，比如學校搞 ，要求滿足 (其中 = {身高170 以上
}， = {長得帥})，那身高162 的貴哥雖然長得帥但也遺憾出局，只有劉德華這樣的人物才能參加.
(2) 當集合 和集合 無公共元素時，不能說集合 , 沒有交集，而是 = ．
【即學即練 1】設集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 等于 .
解析 由交集的定義可知， ∪ = {5,8}.
知識點 02 兩個集合的并
并集
概念 由所有屬于集合 或屬于集合 的元素所組成的集合，稱為集合 與 的并集.
記號 (讀作: 并 )
符號 = { | ∈ 或 ∈ }
圖形表示
(1) ∪ = ，即一個集合與其本身的并集是其本身；
(2) ∪ = ，即一個集合與空集的并集是其本身；
性質
(3) ∪ = ∪ ，即集合的并集運算滿足交換律；
(4) ∪ = ，即一個集合與其子集的并集是其自身．
注 生活中講的“或”，如你媽獎勵你數學考試滿分：今晚大餐是吃羊排或海鮮；如電視劇里女生對男朋友
說：你選她或我，表達的是“選其一不可兼得”.
并列中的“或”有所不同，它指的是只要滿足其中一個條件即可，比如學校搞個 ，要求滿足 ∪
(其中 = {身高170 以上}， = {長得帥})，那身高162 的貴哥由于長得帥當然能參加了，若劉德華想
參加當然也可以(滿足身高170 以上，又帥).并列中的“或”是可以兩者兼得的.
【即學即練 2】設集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 ∪ 等于 .
解析 由并集的定義可知， ∪ = {3,,4,5,6,7,8}.
【題型一：交集的概念及運算】
例 1． 已知全集 = R， = { | < 1}， = { | ≤ 3}，則 ∩ = （　　）
A．{ | ≥ 1} B．{ | > 3} C．{ |1 < ≤ 3} D．{ |1 ≤ ≤ 3}
【答案】D
【分析】根據補集、交集的定義計算可得.
【詳解】因為全集 = R， = { | < 1}， = { | ≤ 3}，
∴ = { | ≥ 1}，則 ∩ = { |1 ≤ ≤ 3}．
故選：D．
變式 1-1．已知集合 = { || + 1| < 2}， = { ―1,0,1}，則 ∩ = （ ）
A．{ ―1,0} B．{0,1} C．{0} D．{ ―1,1}
【答案】A
【分析】逐個驗證 的三個元素是否在 中，即可得到 ∩ .
【詳解】直接計算知| ―1 + 1| = 0 < 2，|0 + 1| = 1 < 2，|1 + 1| = 2 ≥ 2.
故 中的三個元素 ―1,0,1中，在集合 內的是 ―1和0，所以 ∩ = { ―1,0}.
故選：A.
變式 1-2．已知集合 = ( , )| 2 + 2 ≤ 2, ∈ Z, ∈ Z ， = {( , )| ≥ }，則 ∩ 的子集個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】列舉出集合 ，選擇滿足 ≥ 的元素，得到元素個數，計算得到子集個數.
【詳解】 = ( , )| 2 + 2 ≤ 2, ∈ Z, ∈ Z =
{( ― 1, ― 1),( ― 1,0),( ― 1,1),(0, ― 1),(0,0),(0,1),(1, ― 1),(1,0),(1,1)}，
= {( , )| ≥ }，所以 ∩ = {( ― 1, ― 1),( ― 1,0),( ― 1,1),(0,0),(0,1),(1,1)}，
故 ∩ 的子集個數為26 = 64．
故選：D．
變式 1-3．設集合 = { | = 2 + 1, ∈ Z}， = { | = 3 ― 1, ∈ Z}，則 ∩ = （ ）
A．{ | = 2 + 1, ∈ Z} B．{ | = 3 ― 1, ∈ Z}
C．{ | = 6 + 1, ∈ Z} D．{ | = 6 ― 1, ∈ Z}
【答案】D
【分析】利用最小公倍數排除 A，B，利用奇數和偶數排除 C，求解即可.
【詳解】易知集合 = { | = 2 + 1, ∈ Z}， = { | = 3 ― 1, ∈ Z}，
則 ∩ 中 前面的系數應為2,3的最小公倍數，故排除 A，B，
對于 C，當 = 1時，集合{ | = 6 + 1, ∈ Z}為{ | = 7}，
而令3 ― 1 = 7，可得 不為整數，故 = { | = 3 ― 1, ∈ Z}不含有 7，
可得 ∩ 中不含有 7，故 C 錯誤，
故選：D
【方法技巧與總結】
1 理解交集的概念：由屬于集合 且屬于集合 所有元素所組成的集合，稱為集合 與 的交集；
2 求集合的交集，集合能化簡的先化簡；求連續型集合的交集，利用數軸輔助求解；
3 有時求集合的交集，可利用 venn 圖進行理解求解.
【題型二：根據交集的結果求集合或參數】
例 2．設集合 = {1, ― 2}， = { ∣ ― 1 = 0}，若 ∩ = ，則實數 的值的集合是（ ）
A 1, ― 1． B． ―1, 1
2 2
C． ―1, 1 ,0 D． 1, ― 1 ,0
2 2
【答案】D
【分析】利用 ∩ = ，可得 ，然后討論 = 0和 ≠ 0討論集合 ，即可求解.
【詳解】因為 ∩ = ，所以 ，
當 = 0時 = ，滿足 ，符合題意，
≠ 0 = 1 1 1當 時， ，若 ，則 = 1或 = ―2，
1
解得： = 1或 = ― 2 ，
= ― 1所以 2或 = 0或 = 1，
故選：D.
變式 2-1．已知集合 = { ∣ ― 1 < < 2}, = { }，若 ∩ ≠ ，則 可能是（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
【答案】B
【分析】依題意，得 ―1 < < 2，即可求解．
【詳解】解：因為 ∩ ≠ ，所以 ―1 < < 2，
故選：B
變式 2-2．已知集合 = { | ― < 0 }， = { || ― | = ― }，若 ∩ = [1,2)，則 ― = （ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【分析】化簡可得， = { | < }， = { | ≥ }，由 ∩ = [1,2)求出 ， ，即可求 ― ．
【詳解】 = { | ― < 0 } = { | < }， = { || ― | = ― } = { | ≥ }，
若 ∩ = [1,2)，
則 = 1， = 2，
故 ― = 1．
故選：C.
變式 2-3．設集合 = R，集合 = { ∣ ― 2 ≤ ≤ 5}, = { ∣ ― 6 ≤ < 2 ― 1}，若 ∩ = ，則實數 的
取值范圍為（ ）
A． ―∞, ― 1 B．(11, + ∞) C 1 1． ― ,11 D． ―∞, ― ∪ (11, + ∞)
2 2 2
【答案】D
【分析】結合 是否為空集進行分類討論可求 的范圍．
【詳解】當 = 時， ∩ = ，則 ― 6 ≥ 2 ― 1，即 ≤ ―5，
當 ≠ ∩ = ― 6 < 2 ― 1 ― 6 < 2 ― 1時，若 ，則 2 ― 1 ≤ ―2 或 ― 6 > 5 ，
解得 ―5 < ≤ ― 12或 > 11，
1
綜上，實數 的取值范圍為 ―∞, ― ∪ (11, + ∞)．
2
故選：D．
變式 2-4．已知集合 = { |1 ≤ < 5}， = { | ― < ≤ + 4}，若 ( ∩ )，則 的取值范圍為（ ）
A．{ | ― 2 < < ―1} B．{ | < ―2}
C．{ | ≤ ―1} D．{ | > ―2}
【答案】C
【分析】由 ( ∩ )可以得到 ，從而對集合 分類討論即可求解參數 的范圍.
【詳解】∵已知 ( ∩ )，又因為( ∩ ) ，
∴ ∩ = ，即 ，
①當 = 時，滿足 ，此時 ― ≥ + 4，解得 ≤ ―2；
― < + 4
②當 ≠ 時，由 ，得 ― ≥ 1 ，解得 ―2 < ≤ ―1；
+ 4 < 5
綜上所述， ≤ ―1.
故選：C.
【方法技巧與總結】
1 集合的交集性質： = ；
2 對含參的集合注意它是否會是空集；
3 求參數范圍時，要想清楚是否能“取等號”.
【題型三：并集的概念及運算】
例 3．設全集 = ，集合 = { | < 2}， = { | ― 2 < < 3}，則{ | ≥ 3} = （ ）
A． ( ∪ ) B． ∪ ( ) C． ( ∩ ) D． ∪ ( )
【答案】A
【分析】由交集、并集和補集的定義求解即可.
【詳解】對于 A，由題意得 ∪ = { | < 3}，所以 ( ∪ ) = { | ≥ 3}．故 A 正確；
對于 B， = { | ≥ 2 }， = { | ― 2 < < 3}，所以 ∪ ( ) = { | > ―2 }，故 B 錯誤；
對于 C， ∩ = { | ―2 < < 2} ， ( ∩ ) = { | ≤ ―2 或 ≥ 2}，故 C 錯誤；
對于 D， = { | ≤ ―2 或 ≥ 3}， ∪ ( ) = { | < 2 或 ≥ 3}，故 D 錯誤.
故選：A.
變式 3-1．設集合 = {1,2}, = { ∣ 2 + ― 3 = 0}，若 ∩ = {1}，則 ∪ = （ ）
A．{ ―3,1,2} B．{1,2} C．{ ―3,2} D．{1,2,3}
【答案】A
【分析】由 ∩ = {1}可得方程 2 + ― 3 = 0有一個根是 1，且 2 一定不是它的根，從而代入 = 1，解
得 = 2，再解得 = {1, ― 3}，滿足 ∩ = {1}，從而可計算出結果.
【詳解】因為 ∩ = {1}， = {1,2}, = { ∣ 2 + ― 3 = 0}，
所以方程 2 + ― 3 = 0有一個根是 1，且 2 一定不是它的根，
則12 + 1 ― 3 = 0，解得 = 2，
當 = 2時，方程 2 +2 ― 3 = ( + 3)( ― 1) = 0的根是 1 和 ―3，
所以 = {1, ― 3}，滿足 ∩ = {1}，
即 ∪ = {1,2} ∪ {1, ― 3} = {1,2, ― 3}.
故選：A.
變式 3-2．已知集合 = | = 2 + 2 ， = { | ― 4 < ― 2 < 2}，則 ∪ = （ ）
A．{ |1 < ≤ 2 } B．{ | ―2 < ≤ 2 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > ―2 }
【答案】D
【分析】分別求出兩個集合，再使用并集運算的定義即可得到答案.
【詳解】由題， = | = 2 + 2 = { | ≥ 2}， = { | ― 4 < ― 2 < 2} = { | ― 2 < < 4}，
則 ∪ = { | > ―2 }.
故選：D.
變式 3-3．已知集合 = {2,3,4,6,8}，集合 = {1,3,4,5,9}，集合 = { | ∈ ,1 ≤ ≤ 10}，則 ( ∪ ) =
（ ）
A．{7,10} B．{3,4} C．{1,2,5,6} D．{8,9}
【答案】A
【分析】由并集和補集的運算得出即可.
【詳解】由 ∪ = {1,2,3,4,5,6,8,9}，所以 ( ∪ ) = {7,10}，
故選：A．
【方法技巧與總結】
1 理解并集的概念：由所有屬于集合 或屬于集合 的元素所組成的集合，稱為集合 與 的并集；
2 求集合的并集，集合能化簡的先化簡；求連續型集合的并集，利用數軸輔助求解；
3 求抽象型集合的交集，可以利用 venn 圖進行理解求解.
【題型四：根據并集的結果求集合或參數】
例 4．集合 = { | < ―1 或 ≥ 1}， = { | + 2 ≤ 0 }，若 ∪ = ，則實數 的取值范圍是（ ）
A．[ ―2,2) B．[ ―2,2] C．( ―∞, ― 2) ∪ [2, + ∞) D．[ ―2,0) ∪ (0,2)
【答案】A
【分析】由 ∪ = 可得 ，再分 = 與 ≠ 兩種情況討論，分別求出參數的取值范圍，最后取并
集即可；
【詳解】∵ ∪ = ，故 ，
∴①當 = 時，即 + 2 ≤ 0無解，此時 = 0，滿足題意.
2
②當 ≠ 時，即 + 2 ≤ 0有解，當 > 0時，可得 ≤ ― ，
> 0
要使 ，則需要 ― 2 < ―1 ，解得0 < < 2.

< 0
當 < 0 ≥ ― 2時，可得 ，要使 ，則需要 ― 2 ≥ 1 ，解得 ―2 ≤ < 0，

綜上，實數 的取值范圍是[ ―2,2).
故選：A
變式 4-1．已知集合 = { | > }， = { |1 < ≤ 2 }，且 ∪ = ，則實數 的取值范圍是（ ）
A．{ | ≤ 1 } B．{ | < 1 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > 2 }
【答案】A
【分析】根據補集運算求出 ，然后利用數軸分析可得.
【詳解】因為 = { |1 < ≤ 2 }，所以 = { | ≤ 1 或 > 2}，
又 ∪ = ，所以 ≤ 1.
故選：A
變式 4-2．設 = { | < ―1 或 > 3}， = { | ― ≤ ≤ ― 2 ― 1}，若 ∪ = R， ∩ =
{ |3 < ≤ 4}，則有（ ）
A． = 3， = ―4 B． = 3， = 4
C． = ―3， = 4 D． = ―3， = ―4
【答案】D
― = ―1
【分析】由題知 ― 2 ― 1 = 4 ，再解方程即可.
【詳解】解：因為 = { | < ―1 或 > 3}， = { | ― ≤ ≤ ― 2 ― 1}， ∪ = R， ∩ =
{ |3 < ≤ 4}
― = ―1
所以， ― 2 ― 1 = 4 ，解得 = ―3， = ―4
故選：D
變式 4-3．已知集合 = { | ― 1 = 0 }， = { ∈ N |2 ≤ < 5}，且 ∪ = ，則實數 的所有值構成的集
合是（ ）
A 1 , 1 B 1 , 1 C 1 , 1 , 1 D 1 1 1． ． ． ． 0, , ,
2 3 4 3 2 3 4 2 3 4
【答案】D
【分析】求出 = {2,3,4}，由 ∪ = 得到 ，分 = 與 ≠ ，求出實數 a 的值，得到答案,
【詳解】 = { ∈ N |2 ≤ < 5} = {2,3,4}，
因為 ∪ = ，所以 ，
當 = 時， = 0，滿足要求，
當 ≠ 時， ― 1 = 0只有一個根，
若 = {2}，則2 ― 1 = 0
1
，解得： = 2，
若 = {3}，則3 ― 1 = 0 =
1
，解得： 3，
1
若 = {4}，則4 ― 1 = 0，解得： = 4，
實數 的所有值構成的集合是 0, 1 , 1 , 1 .
2 3 4
故選：D
【方法技巧與總結】
1 集合的并集性質： ∪ = ；
2 對含參的集合注意它是否會是空集；
3 求參數范圍時，要想清楚是否能“取等號”.
【題型五：根據 venn 圖進行集合運算】
例 5．已知集合 = { | ―5 ≤ ≤ 1 }， = { | > ―2 }，則圖中所示的陰影部分的集合可以表示為（ ）
A．{ | ―2 ≤ ≤ 1 } B．{ | ―2 < ≤ 1 }
C．{ | ―5 ≤ ≤ ―2 } D．{ | ―5 ≤ < ―2 }
【答案】C
【分析】圖中所示的陰影部分的集合為 ( ∩ )，結合集合的運算即可得解.
【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合為集合 中的元素去掉集合 ∩ 的元素構成，
而 = { | ―5 ≤ ≤ 1 }， = { | > ―2 }，則 ∩ = { | ― 2 < ≤ 1}，
得 ( ∩ ) = { | ―5 ≤ ≤ ―2 }，
故所求集合為{ | ―5 ≤ ≤ ―2 }.
故選：C.
變式 5-1．若全集 是實數集 ，集合 = { | = 2 ― 1, ∈ }， = {1,2,5,7,8}，則如圖陰影部分表示的
集合為（ ）
A．{2,8} B．{1,5,7} C．{2,7,8} D．{1,2,5,8}
【答案】A
【分析】根據韋恩圖，先求 ∩ ，再由集合 去掉 ∩ 中的元素即可.
【詳解】∵全集 是實數集 ，集合 = | = 2 ― 1， ∈ N ，
∴ ∩ = {1,5,7}，
∴故圖中陰影部分所表示的集合為集合 去掉 ∩ 中的元素,即{2,8}.
故選：A.
變式 5-2．已知全集 = ，集合 = { | ―1 ≤ ≤ 2 }， = { |1 ≤ ≤ 6 }，如圖所示，則圖中陰影部分表
示的集合是（ ）
A．{ | ―1 ≤ ≤ 6 } B．{ | < ―1 }
C．{ | > 6 } D．{ | < ―1 或 > 6}
【答案】D
【分析】先根據并集運算求得，然后利用補集的概念求解陰影部分表示的集合即可.
【詳解】因為 = { | ―1 ≤ ≤ 2 }， = { |1 ≤ ≤ 6 }，所以 ∪ = { | ―1 ≤ ≤ 6 }，
所以圖中陰影部分表示的集合 ( ∪ ) = { | < ―1 或 > 6}.
故選：D
變式 5-3．如圖所示，若 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { | > 0}，則陰影部分表示的集合為（ ）
A．{ |0 < < 2} B．{ |1 < ≤ 2}
C．{ |0 ≤ ≤ 1或 ≥ 2} D．{ | = 0或 > 2}
【答案】D
【分析】根據韋恩圖以及交集、并集和補集的知識求得正確答案.
【詳解】 , 是非空集合，陰影部分表示的集合是 ∪ ( ∩ )，
= { |0 ≤ ≤ 2}， = { | > 0}， ∩ = { |0 < ≤ 2}，
∪ = { | ≥ 0}，則 ∪ ( ∩ ) = { | = 0或 > 2}.
故選：D
【方法技巧與總結】
觀察 venn 圖確定所求的是集合的什么運算再進行運算.
【題型六：容質原理的應用】
例 6．某班有學生 56 人，同時參加了數學小組和英語小組的學生有 32 人，同時參加了英語小組和語文小
組的學生有 22 人，同時參加了數學小組和語文小組的學生有 25 人．已知該班學生每人至少參加了 1 個小
組，則該班學生中只參加了數學小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
【答案】B
【分析】設該班學生中同時參加了數學小組、英語小組和語文小組的人數為 ，只參加其中一個小組的人
數為 ，根據題意列出方程即可.
【詳解】
如圖，設該班學生中同時參加了數學小組、英語小組和語文小組的人數為 ，只參加其中一個小組的人數
為 ，
則(32 ― ) + (25 ― ) + (22 ― ) + + = 56，即 = 2 ― 23．
因為 ≤ 22，所以 ≤ 21．
故選：B.
變式 6-1．2021 年某高中舉辦學生運動會，某班 60 名學生中有一半的學生沒有參加比賽，參加比賽的學生
中，參加田賽的有 16 人，參加徑賽的有 20 人，則田賽和徑賽都參加的學生有多少人？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】設田賽和徑賽都參加的學生有 人，進而得16- +20- + =30，再解方程即可.
【詳解】解：設田賽和徑賽都參加的學生有 人，
則只參加田賽的有16- 人，只參加徑賽的有20- 人，
因為60名學生中有一半的學生沒有參加比賽，
所以，16- +20- + =30，解得 =6
所以，田賽和徑賽都參加的學生有6人.
故選：C
變式 6-2．某班有 21 名學生參加數學競賽，17 名學生參加物理競賽，10 名學生參加化學競賽，他們之中
既參加數學競賽又參加物理競賽的有 12 人，既參加數學競賽又參加化學競賽的有 6 人，既參加物理競賽
又參加化學競賽的有 5 人，三科都參加的有 2 人．現在參加競賽的學生都要到外地學習參觀，則需要預訂
多少張火車票（ ）
A．29 B．27 C．26 D．28
【答案】B
【分析】由題意得，根據 Venn 圖求出參加數理化的人數，即可求出需要預訂多少張火車票.
【詳解】該班學生參加競賽情況如圖所示，集合 A，B，C，D，E，F，G 中的任意兩個集合無公共元素，
其中 G 表示三科都參加的學生集合，G 中的學生數為 2．
因為既參加數學競賽又參加物理競賽的有 12 人，所以 D 中的學生數為12 ― 2 = 10，
同理，得 E 中的學生數為6 ― 2 = 4，F 中的學生數為5 ― 2 = 3．
又因為參加數學、物理、化學競賽的人數分別為 21，17，10，
所以 A 中的學生數為21 ― 2 ― 10 ― 4 = 5，
B 中的學生數為17 ― 2 ― 10 ― 3 = 2，
C 中的學生數為10 ― 3 ― 2 ― 4 = 1，
故置預訂火車票的張數為5 + 2 + 1 + 10 + 4 + 3 + 2 = 27．
故選：B.
【方法技巧與總結】
借助 venn 圖理解求值.
【題型七：集合的新定義】
例 7．已知 = {1,2,…, }， ， = { 1, 2} ，記 = { | = + , ∈ }( = 1,2)，用| |表示有限集合
X 的元素個數.
(1)若 = 4， 1 ∩ 2 = ，分別討論 = {1,2,3}和 = {1,2,4}時，集合 T 的情況；
(2)若 = 6， 1 ∩ 2 = ，求| 1 ∪ 2|的最大值；
(3)若 = 7，| | = 4，則對于任意的 A，是否都存在 T，使得 1 ∩ 2 = ？說明理由.
【答案】(1)當 = {1,2,3}時， = {1,4}；當 = {1,2,4}時， 不存在；
(2)10
(3)不一定存在，理由見解析
【分析】（1）由已知得 1 ― 2 ≠ ― ，其中 , ∈ ，當 = {1,2,3}時， 1， 2相差 3；由此可求得 ，當
= {1,2,4}時，同理可得；
（2）若 = 6， 1 ∩ 2 = ， = {1,2,3,4,5,6}，當 = {2,3,4,5,6}時，則 1， 2相差 5，所以 = {1,6}， 中
至多有 5 個元素，所以 1, 2也至多有 5 個元素，求出 1, 2得出結果.
（3）當 = 1,2,5，7 時，2 ― 1 = 1，5 ― 1 = 4，5 ― 2 = 3，7 ― 1 = 6，7 ―2=5，7 ― 5 = 2，則 1， 2相
差不可能 1，2，3，4，5，6，可得結論.
【詳解】（1）若 1 ∩ 2 = ，則 1 ― 2 ≠ ― ，其中 , ∈ ，
否則 1+ = 2+ ， 1 ∩ 2 ≠ ，
若 = 4，當 = {1,2,3}時，2 ― 1 = 1，3 ― 1 = 2，
所以 1 ― 2 ≠ 1,2，則 1， 2相差 3，
因為 = {1,2,3,4}， = { 1, 2} ，
所以 = {1,4}；
當 = {1,2,4}時，2 ― 1 = 1，4 ― 2 = 2，4 ― 1 = 3，
所以 1 ― 2 ≠ 1,2,3，
因為 = {1,2,3,4}， = { 1, 2} ，
所以 不存在；
（2）若 = 6， 1 ∩ 2 = ， = {1,2,3,4,5,6}，
當 = 時，2 ― 1 = 1，5 ― 1 = 4，5 ― 2 = 3，7 ― 1 = 6，7 ―2=5，7 ― 5 = 2，
所以 ≠ ， 1 ― 2 ≠ 1,2,3,4,5，所以 不存在；
所以 中至多有 5 個元素；
當 = {2,3,4,5,6}時，3 ― 2 = 1，4 ― 2 = 2，5 ― 2 = 3，6 ― 2 = 4，
所以 1 ― 2 ≠ 1,2,3,4，則 1， 2相差 5，
所以 = {1,6}；
= { | = + , ∈ }( = 1,2)，
所以 1 = {3,4,5,6,7}， 2 = {8,9,10,11,12}， 1 ∪ 2 = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
因為 中至多有 5 個元素，所以 1, 2也至多有 5 個元素，
所以| 1 ∪ 2|的最大值為 10.
（3）不一定存在，
當 = {1,2,5,7}時，
2 ― 1 = 1，5 ― 1 = 4，5 ― 2 = 3，7 ― 1 = 6，7 ―2=5，7 ― 5 = 2，
則 1， 2相差不可能 1，2，3，4，5，6，這與 = 1， 2 1，2，3，4，5，6，7 矛盾，
故不都存在 .
變式 7-1．設集合 = {1 ， 2 ， 3 ， ， }， ，把 的所有元素的乘積稱為 的容量（若 中只有一
個元素，則該元素的數值即為它的容量，規定空集的容量為0）.若 的容量是奇（偶）數，則稱 為 的奇
（偶）子集，若 = 3，則 的所有偶子集的容量之和為
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【詳解】由題意可知：當 = 3時，集合 = {1,2,3}
∴ 所有的偶子集為： ，{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}
∴當 = 3時，集合 所有的偶子集的容量之和為0 + 2 + 2 + 6 + 6 = 16
故選 D
點睛：本題考查的是集合的子集和新定義的綜合問題．在解答過程當中充分體現了新定義問題的規律、列
舉的方法還有問題轉化的思想，解答本題的關鍵是正確理解奇、偶子集與容量的概念．

變式 7-2．對于數集 ， ，定義 + = { | = + , ∈ , ∈ }， ÷ = { | = ， ∈ , ∈ )，若集
合 = {1,2}，則集合( + ) ÷ 中所有元素之和為（ ）
10 15 21 23
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
【答案】D
【分析】由題意，理解新定義，可得( + ) = {2，3，4}，通過 ÷ 的集定義與集合運算即可得出結論.

【詳解】試題分析：根據新定義，數集 ， ，定義 + = { | = + , ∈ , ∈ }， ÷ = { | = ，
∈ , ∈ )，集合 = {1,2}，( + ) = {2，3，4}，( + ) ÷ = {1，2，3，4，1.5}，則可知所有元素
的和為11.5，
故選：D.
變式 7-3．設集合 = { , }, = { , }，定義 與 的一個運算“·”為： · = { | = ，其中
∈ , ∈ }．
(1)試舉出兩組集合 M、N，分別計算 · ；
(2)對上述集合 M、N，計算 · ，由此你可以得到什么一般性的結論？
(3)舉例說明( · )· 與 ·( · )之間的關系．
【答案】(1)答案見解析
(2) · = ·
(3)( · )· = ·( · )，答案見解析.
【分析】（1）先舉出兩組滿足題意的集合 M、N；再根據題目中定義的運算即可得出答案.
（2）先根據題目中定義的運算計算 · ；再結合（1）的結果即可得出 · = · ；最后根據題目中的集
合 M、N 及定義的運算即可得出一般結論.
（3）先舉出三組滿足題意的集合 , , ，再根據題目中定義的運算即可得出答案.
【詳解】（1）不妨設 = {1,2}, = {3,4}，
則 · = {3,4,6,8}；
或設 = { ― 1,1}, = {3, ― 3}，
則 · = { ― 3,3}等．
（2）對 = {1,2}, = {3,4}，
則 · = {3,6,4,8}；
對 = { ― 1,1}, = {3, ― 3}，
則 · = { ― 3,3}．
由（1）知， · = · .
由此猜測，對任意集合 = { , }, = { , }，總有 · = · ．
證明如下：
對任意 ∈ · ，有 = ，其中 ∈ , ∈ ；
又 = = ，則 ∈ · ．于是 · · ．
對任意 ∈ · ，有 = ，其中 ∈ , ∈ ；
又 = = ，則 ∈ · ．于是 · · ．
因此 · = · .
（3）設 = { ― 1,1}, = {3, ― 3}, = {2,4}，
則 · = { ― 3,3}，于是( · )· = { ― 6,6, ― 12,12}；
又 · = {6,12, ― 6, ― 12}，于是 ·( · ) = { ― 6, ― 12,6,12}．
因此( · )· = ·( · )．
變式 7-4．對于集合 ，定義函數 ( ) =
―1, ∈
1, ．對于兩個集合 , ，定義集合 =
{ ∣ ( ) ( ) = ―1}．已知集合 = {1,3,5,7,9}, = {2,3,5,6,9}．
(1)求 (1)與 (1)的值；
(2)用列舉法寫出集合 ；
(3)用Card( )表示有限集合 所包含元素的個數．已知集合 是正整數集的子集，求Card( ) + Card
( )的最小值，并說明理由.
【答案】(1) (1) = ―1， (1) = 1；
(2) = {1,2,6,7}；
(3)4.
【分析】
（1）根據給定的定義計算即得.
（2）求出 ∩ ，再結合定義及運算寫出集合 .
（3）根據給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案.
【詳解】（1）依題意，1 ∈ ,1 ，所以 (1) = ―1， (1) = 1.
（2）由 = {1,3,5,7,9}, = {2,3,5,6,9}，得 ∩ = {3,5,9}，
因此屬于 不屬于 的元素為1,7，屬于 不屬于 的元素為2,6，
所以 = {1,2,6,7}.
（3）依題意，對于集合 ， ，
①若 ∈ 且 ，則Card( ( ∪ { })) = Card( ) ― 1，
②若 且 ，則Card( ( ∪ { })) = Card( ) + 1，
因此要使Card( ) + Card( )的值最小，3，5，9 一定屬于集合 ，
1,2,6,7是否屬于集合 不影響Card( ) + Card( )的值，集合 不能含有 ∪ 之外的元素，
所以當 為集合{1,2,6,7}的子集與集合{3,5,9}的并集時，Card( ) + Card( )取得最小值4.
【點睛】關鍵點點睛：涉及集合新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義進行集合的
分拆并結合集合元素的性質、包含關系以及集合運算等知識綜合解決.
變式 7-5．定義 1：通常我們把一個以集合作為元素的集合稱為族（collection）.
定義 2：集合 上的一個拓撲（topology）乃是 的子集為元素的一個族Γ，它滿足以下條件：（1） 和 在Γ
中；（2）Γ的任意子集的元素的并在Γ中；（3）Γ的任意有限子集的元素的交在Γ中.
(1)族 = { , }，族 = { | }，判斷族 與族 是否為集合 的拓撲；
(2)設有限集 為全集
（i）證明： ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ ) = ( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( )( ∈ *)；
（ii）族Γ為集合 上的一個拓撲，證明：由族Γ所有元素的補集構成的族Γ 為集合 上的一個拓撲.
【答案】(1)都是集合 的拓撲
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）根據集合 的拓撲定義判斷即可；
（2）（i）根據集合 的拓撲定義證明充要性即可；
（ii）結合（i）的結論，根據集合 的拓撲定義證明.
【詳解】（1）族 = { , }， = { | }都是集合 的拓撲.
（2）（i）設 ∈ ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ )，則 1 ∩ 2 ∩ ∩ ，
故存在整數 (1 ≤ ≤ )使 ，因此 ∈ ，得 ∈ ( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( ).
設 ∈ ( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( )，則存在整數 (1 ≤ ≤ )使 ∈ ，故 ，
因此 1 ∩ 2 ∩ ∩ ，得 ∈ ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ )
（ii）因為 ， ∈ Γ，所以 ， ∈ Γ ；
設 = { 1, 2, }為Γ 的任意子集，則 = { 1, 2, , } Γ，
1 ∩ 2 ∩ ∩ = (( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( ))，
因為( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( ) ∈ Γ，故 1 ∩ 2 ∩ ∩ ∈ Γ ；
1 ∪ 2 ∪ ∪ = (( 1) ∩ ( 2) ∩ ∩ ( ))，
因為( 1) ∩ ( 2) ∩ ∩ ( ) ∈ Γ，故 1 ∪ 2 ∪ ∪ ∈ Γ .
【點睛】方法點睛：解決集合創新型問題的方法：（1）緊扣定義，首項分析新定義的特點，把新定義所敘
述的問題本質弄清楚，并能夠運用到具體的解題過程中；（2）用好集合性質，集合性質時破解新定義型集
合問題的基礎，也是突破口，在關鍵之處用好集合的性質.
【方法技巧與總結】
集合的新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，可利用一些特殊例子先“感性認識”，再“理性”感知
其規律或本質.有必要的時候，也可舉反例理解定義.
一、單選題
1．設全集 = { ∈ N | ≤ 8 }，集合 = {1,3,5,8}， = {5,6,7,8}，則( ) ∪ ( )=（ ）
A．{1,2,3,4,5,8} B．{1,2,3,4,6,7} C．{5,6,7,8} D．{2,4}
【答案】B
【分析】利用補集、并集的定義直接求解即得.
【詳解】依題意，全集 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，則 = {1,3,5,8}， = {5,6,7,8}，
得 = {2,4,6,7}, = {1,2,3,4}，所以( ) ∪ ( ) = {1,2,3,4,6,7}.
故選：B
2.若全集 = ，集合 = { |0 ≤ < 3}, = { |1 < < 4}，則 ∩ ( ) = （ ）
A．[0,1) B．[0,1] C．( ―∞,1) D．( ―∞,1]
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用補集、交集的定義求解即得.
【詳解】由 = { |1 < < 4}，得 = { | ≤ 1或 ≥ 4}，而 = { |0 ≤ < 3}，
所以 ∩ ( ) = [0,1].
故選：B
3.若集合 = {1,3,5,7}， = { ∈ Z∣1 ≤ ≤ 9}，則圖中陰影部分表示的集合中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用集合運算求解陰影部分即可.
【詳解】 = { ∈ Z∣1 ≤ ≤ 9} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
故圖中陰影部分表示的集合為 = {2,4,6,8,9}，共 5 個元素.
故選：C
4.已知集合 = { | ― 1 < ≤ 2}， = { |0 < ≤ }，若 ∪ = { ∣ ― 1 < ≤ 3}，則 ∩ = （ ）
A．{ | ― 2 < < 0} B．{ |0 < ≤ 2 }
C．{ ∣1 < ≤ 3} D．{ ∣0 < < 2}
【答案】B
【分析】根據給定的并集結果求出 a 值，再利用交集的定義求解作答.
【詳解】因為集合 = { | ― 1 < ≤ 2}， = { |0 < ≤ }， ∪ = { ∣ ― 1 < ≤ 3}，因此 = 3，即
= { |0 < ≤ 3}，
所以 ∩ = { |0 < ≤ 2 }.
故選：B
5.已知集合 = | 2 < 1 , = { | > }( ∈ R)，若 ∩ = ，則 的取值范圍為（ ）
A．( ― ∞,1] B．(1, + ∞) C．( ― ∞,1) D．[1, + ∞)
【答案】D
【分析】先求出集合 ，再根據 ∩ = ，求得 的取值范圍.
【詳解】由題意知 = { | ― 1 < < 1}，又 = { | > }( ∈ R)且 ∩ = ，
故 ≥ 1，即 的取值范圍為[1, + ∞).
故選：D.
6.已知集合 = {0,4, }， = {0, 2}，且 ∪ = ，則 m 的值為（ ）
A．0 B． ―2或2
C． ―2或1或2 D． ―2或0或1或2
【答案】C
【分析】根據并集的結果可得 2 = 4或 2 = ，再根據集合的性質求解即可.
【詳解】由 ∪ = 可得 2 = 4或 2 = ，解得 = 2， = ―2， = 1或 = 0.
又集合 = {0,4, }與 = {0, 2}，故 ≠ 0，故 = 2， = ―2或 = 1.
故選：C
7.對于集合 A，B，定義 A\B={ | ∈ 且 }，則對于集合 A={ | = 6 + 5， ∈ N}，B={ | = 3 + 7，
∈ N}， = | ∈ 且 < 1000}，以下說法正確的是（ ）
A．若在橫線上填入”∩”，則 C 的真子集有 212﹣1 個.
B．若在橫線上填入”∪”，則 C 中元素個數大于 250.
C．若在橫線上填入”\”，則 C 的非空真子集有 2153﹣2 個.
D．若在橫線上填入”∪ N”，則 NC 中元素個數為 13.
【答案】B
【分析】根據各個選項確定相應的集合 ，然后由集合與子集定義得結論．
【詳解】 = 6 + 5 = 3 × (2 + 1) + 2， = 3 + 7 = 3( + 2) + 1，集合 , 無公共元素，
選項 A 中，集合 為空集，沒有真子集，A 錯；
選項 B 中，由6 + 5 < 1000 < 1655得 6，由3 + 7 < 1000得 < 331，因此 中元素個數為
166 + 331 = 497，B 正確；
選項 C 中， 中元素個數為 166，非空真子集個數為2166 ―2，C 錯；
選項 D 中， = ( ∪ ) = ∩ ( ) = ∩ ，而 ，因此其中元素個數為 331 個，D
錯．
故選：B．
8.已知[ ]表示不超過 x 的最大整數，集合 = { ∈ |0 < [ ] < 3 }， = |( 2 + )( 2 + 2 + ) = 0 ，且
∩ R = ，則集合 B 的子集個數為（ ）．
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】由新定義及集合的概念可化簡集合 = {1,2}，再由 ∩ ( ) = 可知 ，分類討論1,2的歸
屬，從而得到集合 的元素個數，由此利用子集個數公式即可求得集合 的子集的個數.
【詳解】由題設可知， = { ∈ Z|0 < [ ] < 3} = {1,2}，
又因為 ∩ ( ) = ，所以 ，
而 = |( 2 + )( 2 + 2 + ) = 0 ，
因為 2 + = 0的解為 =0或 = ― ， 2 +2 + = 0的兩根 1, 2滿足 1 + 2 = ―2，
所以1,2分屬方程 2 + = 0與 2 +2 + = 0的根，
12
1 2 + = 0 2 2 +2 + = 0 +1 × =0 = ―1若 是 的根， 是 的根，則有 22+2 × 2+ =0 ，解得 = ―8 ，
代入 2 + = 0與 2 +2 + = 0，解得 =0或 =1與 =2或 = ―4，
故 = {0,1,2, ― 4}；
2
若2是 2 + = 0 1 2 +2 + = 0 2 +2 × =0 = ―2的根， 是 的根，則有 12+2 × 1+ =0 ，解得 = ―3 ，
代入 2 + = 0與 2 +2 + = 0，解得 =0或 =2與 =1或 = ―3，
故 = {0,1,2, ― 3}；
所以不管1,2如何歸屬方程 2 + = 0與 2 +2 + = 0，集合 總是有 4 個元素，
故由子集個數公式可得集合 的子集的個數為24=16.
故選：C
二、多選題
9 已知集合 = {0,1}, = | 2 ― 2 + = 0, ∈ ，若集合 滿足 且 ∩ ≠ ，則下列說法正確的是
（ ）
A． = {1,2} B． = {0,1,2}
C．集合 的個數為 6 D．集合 的個數為 5
【答案】BC
【分析】解集合 B 中的方程，得集合 B，由已知列舉出集合 C，驗證選項即可.
【詳解】 ∈ ，當 = 0時，方程 2 ―2 + = 0的解為 = 0或 = 2；
當 = 1時，方程 2 ―2 + = 0的解為 = 1，
得 = {0,1,2}，A 選項錯誤，B 選項正確；
由 且 ∩ ≠ ，則 = {0},{1},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}，共 6 個．
C 選項正確，D 選項錯誤.
故選：BC
10.下列結論正確的是（ ）
A．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 < ―3
B．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 ≤ ―3
C．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 ≥ ―3
D．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 > ―3
【答案】BD
【分析】先將條件等價轉化，然后根據對應范圍判斷命題的真假即可.
【詳解】對于選項 A 和 B，{ | + 3 > 0} = { | > ―3}，{ | ― < 0} = { | < }，
若{ | > ―3} ∩ { | < } = ，則 的取值范圍是 ≤ ―3，所以 A 錯誤，B 正確；
對于選項 C 和 D，若{ | > ―3} ∪ { | < } = R，則 的取值范圍是 > ―3，所以 D 正確，C 錯誤.
故選：BD.
11.大數據時代，需要對數據庫進行檢索，檢索過程中有時會出現笛卡爾積現象，而笛卡爾積會產生大量的
數據，對內存、計算資源都會產生巨大壓力，為優化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積.兩個集合 和
，用 中元素為第一元素， 中元素為第二元素構成有序對，所有這樣的有序對組成的集合叫作 與 的笛
卡兒積，又稱直積，記為 × .即 × = {( , )| ∈ 且 ∈ }.關于任意非空集合 ， ， ，下列說法錯
誤的是（ ）
A． × = × B．( × ) × = × ( × )
C． × ( ∪ ) ( × ) ∪ ( × ) D． × ( ∩ ) = ( × ) ∩ ( × )
【答案】ABC
【分析】對于 ABC，舉例分析判斷，對于 D，利用直積的定義分析判斷即可.
【詳解】對于 A，若 = {1}, = {1,2}，則 × = {(1,1),(1,2)}, × = {(1,1),(2,1)}, × ≠ × ，A
錯誤；
對于 B，若 = {1}, = {2}, = {3}，則 × = {(1,2)},( × ) × = {((1,2),3)}，
而 × ( × ) = {(1,(2,3))},( × ) × ≠ × ( × )，B 錯誤；
對于 C，若 = {1}, = {2}, = {3}，則 × ( ∪ ) = {(1,2),(1,3)}，
× = {(1,2)}， × = {(1,3)}， × ( ∪ ) = ( × ) ∪ ( × )，C 錯誤；
對于 D，任取元素( , ) ∈ × ( ∩ )，則 ∈ 且 ∈ ∩ ，則 ∈ 且 ∈ ，
于是( , ) ∈ × 且( , ) ∈ × ，即( , ) ∈ ( × ) ∩ ( × )，
反之若任取元素( , ) ∈ ( × ) ∩ ( × )，則( , ) ∈ × 且( , ) ∈ × ，
因此 ∈ ， ∈ 且 ∈ ，即 ∈ 且 ∈ ∩ ，
所以( , ) ∈ × ( ∩ )，即 × ( ∩ ) = ( × ) ∩ ( × )，D 正確.
故選：ABC
三、填空題
12．已知集合 = {1,2}, = { ― , 2 + 3}．若 ∪ = {1,2,4}，則實數 = ．
【答案】 ―1
【分析】依據給定的并集結果，分類討論求解參數即可.
【詳解】因為 ∪ = {1,2,4}，故 4 必定在 = { ― , 2 + 3}中，
當 2 +3 = 4時，解得 = 1或 = ―1，而此時有 ― = 1或 ― = 2，
解得 = ―1或 = ―2，故此時 = ―1，
當 ― = 4時，解得 = ―4，此時 = {4,19}，不滿足 ∪ = {1,2,4}，故排除，
綜上 = ―1，即實數 的值為 ―1.
故答案為： ―1
13.已知全集 = { ∈ N | ≤ 7}，集合 = {1,2,3,6}，集合 = { ∈ || | < 5}，則( ) ∩ = ，
∪ = ．
【答案】 {4} { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4,6}
【分析】根據題意，分別求得 = {1,2,3,4,5,6,7}和 = { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4}，結合集合運算法則，
即可求解.
【詳解】由全集 = { ∈ N | ≤ 7} = {1,2,3,4,5,6,7}，
集合 = {1,2,3,6}，集合 = { ∈ Z|| | < 5} = { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4}，
可得 = {4,5,7}，則( ) ∩ = {4}， ∪ = { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4,6}.
故答案為：{4}；{ ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4,6}.
14.在即將舉行的中加秋季運動會中，高一某班同學積極報名參賽，報名田賽的學生有 21 人，報名徑賽的
學生有 18 人，田賽和徑賽都報名的有 5 人，另外還有 4 個人既不報名田賽也不報名徑賽，那么該班級共
有學生人數為 ．
【答案】38
【分析】根據題意，設出集合，結合集合的運算，即可求解.
【詳解】設該班級的總人數構成全集 ，報名田賽的學生構成集合 ，報名徑賽的學生構成集合 ，既不報
名田賽也不報名徑賽構成集合 ，
則 ( ) = 21, ( ) = 18, ( ∩ ) = 5, ( ) = 4，
則 ( ) = ( ) + ( ) ― ( ∩ ) + ( ) = 21 + 18 ― 5 + 4 = 38人.
故答案為：38.
四、解答題
15．已知全集 = {2,3,4,5,6,7}，集合 = {4,5,7}， = {2,3,5}，求：
(1) ∩ ， ∪ ；
(2)( ) ∩
【答案】(1){5}，{2,3,4,5,7}；
(2){2,3}
【分析】（1）根據交集和并集的定義，即可求解；
（2）首先計算補集，再求交集.
【詳解】（1）由交集的定義可知， ∩ = {5}；
由并集的定義可知， ∪ = {2,3,4,5,7}；
（2）由補集定義可知， = {2,3,6}，
( ) ∩ = {2,3}.
16.設集合 = { | ― 1 ≤ ≤ 2}， = { |2 < < 3}，
(1)若 = 1，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ∩ ( )中只有一個整數，求實數 m 的取值范圍．
【答案】(1) ∪ = { | ― 1 ≤ < 3}，( R ) ∩ = { |2 < < 3}
(2) | ― 3 ≤ < ―1
2
【分析】（1）根據條件得到 = { |2 < < 3}，再利用集合的運算即可求出結果；
（2）由（1）知 R = { | < ―1或 > 2}，根據條件，借助數軸，即可求出結果.
【詳解】（1）因為 = 1，所以 = { |2 < < 3}，
又 = { | ― 1 ≤ ≤ 2}，所以 R = { | < ―1或 > 2}，
所以 ∪ = { | ― 1 ≤ < 3}，( R ) ∩ = { |2 < < 3}．
（2）由（1）知 R = { | < ―1或 > 2}，又 ∩ ( R )中只有一個整數，
由圖知， ≠ ，且 ―3 ≤ 2 < ―2，+
― 3解得 2 ≤ < ―1
3
，所以實數 m 的取值范圍是 | ― ≤ < ―1 ．
2
17.已知集合 = { | ―3 ≤ ≤ 3 }， = { |3 ― < < + 1 }
(1)當 = 4時，求( ) ∩ ；
(2)在① ∪ = ② ∩ = 中任選一個作為已知，求實數 的取值范圍．
【答案】(1)( ) ∩ = { |3 < < 5 }
(2) ≤ 2
【分析】（1）當 = 4時，寫出集合 ，利用補集和交集的定義可求得集合( ) ∩ ；
（2）選條件①或②，都有 ，分 = 、 ≠ 兩種情況討論，根據集合的包含關系可得出關于實數
的不等式（組），綜合可得出實數 的取值范圍.
【詳解】（1）解：因為 = { | ―3 ≤ ≤ 3 }，所以， = { | < ―3 或 > 3}，
當 = 4時， = { |3 ― < < + 1 } = { | ―1 < < 5 }，
因此，( ) ∩ = { |3 < < 5 }.
（2）解：選條件①或②，都有 ，
當 = 時，3 ― ≥ + 1，解得 ≤ 1，滿足題意；
3 ― < + 1
當 ≠ 時，則 3 ― ≥ ―3 ，解得1 < ≤ 2，
+ 1 ≤ 3
綜上： ≤ 2，因此，實數 的取值范圍為 ≤ 2.
18.對于集合 A，B，我們把集合{ | ∈ , }叫作集合 A 與 B 的差集，記為 ― ； ― 可用圖中的陰
影部分來表示.
(1)若 = {1,3,5,9}， = {3,5,7}，求集合 ― 和 ― ；
(2)集合 = | 2 ― 5 + 6 ≤ 0 ，集合 = { |2 ― 3 ≤ ≤ 2 + 3 }，若 ― = ，求實數 m 的取值范圍.
【答案】(1) ― = {1,9}， ― = {7}
(2) 0, 5
2
【分析】（1）由函數的新定義求解即可；
（2）先求出集合 ，再由 ― = 可得 2 ― 3 ≤ 2，即 2 + 3 ≥ 3 ，解不等式即可得出答案.
【詳解】（1）由 = {1,3,5,9}， = {3,5,7}可知： ― = {1,9}， ― = {7}，
（2）由 2 ―5 + 6 ≤ 0可得：2 ≤ ≤ 3，
由題意可知 = [2,3]，
由 ― = 可知 ；
2 ― 3 ≤ 2 5
所以 2 + 3 ≥ 3 ，解得0 ≤ ≤ 2，
所以 ∈ 0, 5
2
19．已知集合 = { 1, 2, , }， ∈ N ， ≥ 3，若 ∈ ， ∈ ， + ∈ 或 ― ∈ ，則稱集合 A 具有
“包容”性．
(1)判斷集合{ ―1,1,2,3}和集合{ ―1,0,1,2}是否具有“包容”性；
(2)若集合 = {1, , }具有“包容”性，求 2 + 2的值；
(3)若集合 C 具有“包容”性，且集合 C 的子集有 64 個，1 ∈ ，試確定集合 C．
【答案】(1)集合{ ―1,1,2,3}不具有“包容”性，集合{ ―1,0,1,2}具有“包容”性
(2)1
(3){ ―2, ― 1,0,1,2,3}， ―1, ― 1 ,0, 1 ,1, 3 ― 2 , ― 1 ,0, 1 , 2， ,1 ，{ ―3, ― 2, ― 1,0,1,2}或
2 2 2 3 3 3 3
― 3 , ― 1, ― 1 ,0, 1 ,1 ．
2 2 2
【分析】（1）根據“包容”性的定義，逐一判斷即可；
（2）根據“包容”性的定義，能得到0 ∈ {1, , }，分類討論，得出 a 和 b 的值，即可得出結果；
（3）由集合 C 的子集有 64 個，推出集合 C 中共有 6 個元素，且0 ∈ ，再由條件1 ∈ ，推出集合中有正
數也有負數，將這幾個元素設出來，再通過對正數負數個數的討論，即可求出結果.
【詳解】（1）（Ⅰ）集合{ ―1,1,2,3}中的3 + 3 = 6 { ―1,1,2,3}，3 ― 3 = 0 { ―1,1,2,3}，
所以集合{ ―1,1,2,3}不具有“包容”性．
集合{ ―1,0,1,2}中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，得到的兩數中至少有一個屬于集合
{ ―1,0,1,2}，所以集合{ ―1,0,1,2}具有“包容”性．
（2）（Ⅱ）已知集合 = {1, , }具有“包容”性，記 = max{1, , }，則 ≥ 1，
易得2 {1, , }，從而必有0 ∈ {1, , }，
不妨令 = 0，則 = {1,0, }， ≠ 0且 ≠ 1，
則{1 + ,1 ― } ∩ {1,0, } ≠ ，
且{1 + , ― 1} ∩ {1,0, } ≠ ，
①當1 + ∈ {1,0, }時，若1 + = 0，得 = ―1，此時 = {1,0, ― 1}具有包容性；
若1 + = 1，得 = 0，舍去；若1 + = ，無解；
②當1 + {1,0, }時，則{1 ― , ― 1} {1,0, }，由 ≠ 0且 ≠ 1，可知 b 無解，
故 = {1,0, ― 1}．
綜上， 2 + 2 = 1．
（3）（Ⅲ）因為集合 C 的子集有 64 個，所以集合 C 中共有 6 個元素，且0 ∈ ，又1 ∈ ，且 C 中既有正
數也有負數，
不妨設 { ― , ― ―1, , ― 1,0, 1, 2, , }，
其中 + = 5，0 < 1 < < ，0 < 1 < < ，
根據題意{ 1 ― , , ―1 ― } { ― , ― ―1, , ― 1}，
且{ ― 1, ―1 ― 1, , 2 ― 1} { 1, 2, , }，
從而( , ) = (2,3)或(3,2)．
①當( , ) = (3,2)時，{ 3 ― 1, 3 ― 2} = { 1, 2}，
并且由{ ― 3 + 1, ― 3 + 2} = { ― 1, ― 2}，得 3 = 1 + 2，由 2 ― 1 ∈ { 1, 2}，得 2 = 2 1，
由上可得( 2, 1) = ( 3 ― 1, 3 ― 2) = ( 2, 1) = (2 1, 1)，并且 3 = 1 + 2 = 3 1，
綜上可知 = { ―3 1, ― 2 1, ― 1,0, 1,2 1}；
②當( , ) = (3,2)時，同理可得 = { ― 2 1, ― 1,0, 1,2 1,3 1}．
綜上，C 中有 6 個元素，且1 ∈ 時，符合條件的集合 C 有 5 個，
分別是{ ―2, ― 1,0,1,2,3} ―1, ― 1， ,0, 1 ,1, 3 ， ― 2 , ― 1 ,0, 1 , 2 ,1 ，
2 2 2 3 3 3 3
{ ―3, ― 2, ― 1,0,1,2} ― 3 , ― 1, ― 1或 ,0, 1 ,1 ．
2 2 2
【點睛】關鍵點點睛：本題是新定義題型，對于此類問題，要先弄清楚新定義的性質，按照其要求，嚴格
“照章辦事”，逐條分析驗證。此題中，確定出0 ∈ {1, , }后，分類討論滿足定義的幾種情況，就能順利地完
成.1.1.3 集合的交與并
課程標準 學習目標
（1）理解兩個集合的并集的含義，并能求兩個集合
（1）理解兩個集合的并集與交集的含義, 能求
的并集;
兩個集合的并集與交集;
（2）理解兩個集合的交集的含義，并能求兩個集合
（2）能使用 Venn 圖表達集合的基本關系與基
的交集;
本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用。
（3）能對兩個集合進行混合運算.（難點)
知識點 01 兩個集合的交
1 交集
概念 由屬于集合 且屬于集合 所有元素所組成的集合，稱為集合 與 的交集.
記號 (讀作: 交 )
符號 = { | ∈ 且 ∈ }
圖形表示
(1) = ， = ；
(2) = ；
性質
(3) ， ；
(4) = ；
注 (1)交集中的“且”，是“同時滿足”的意思，比如學校搞 ，要求滿足 (其中 = {身高170 以上
}， = {長得帥})，那身高162 的貴哥雖然長得帥但也遺憾出局，只有劉德華這樣的人物才能參加.
(2) 當集合 和集合 無公共元素時，不能說集合 , 沒有交集，而是 = ．
【即學即練 1】設集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 等于 .
知識點 02 兩個集合的并
并集
概念 由所有屬于集合 或屬于集合 的元素所組成的集合，稱為集合 與 的并集.
記號 (讀作: 并 )
符號 = { | ∈ 或 ∈ }
圖形表示
(1) ∪ = ，即一個集合與其本身的并集是其本身；
(2) ∪ = ，即一個集合與空集的并集是其本身；
性質
(3) ∪ = ∪ ，即集合的并集運算滿足交換律；
(4) ∪ = ，即一個集合與其子集的并集是其自身．
注 生活中講的“或”，如你媽獎勵你數學考試滿分：今晚大餐是吃羊排或海鮮；如電視劇里女生對男朋友
說：你選她或我，表達的是“選其一不可兼得”.
并列中的“或”有所不同，它指的是只要滿足其中一個條件即可，比如學校搞個 ，要求滿足 ∪
(其中 = {身高170 以上}， = {長得帥})，那身高162 的貴哥由于長得帥當然能參加了，若劉德華想
參加當然也可以(滿足身高170 以上，又帥).并列中的“或”是可以兩者兼得的.
【即學即練 2】設集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 ∪ 等于 .
【題型一：交集的概念及運算】
例 1． 已知全集 = R， = { | < 1}， = { | ≤ 3}，則 ∩ = （　?。?br/>A．{ | ≥ 1} B．{ | > 3} C．{ |1 < ≤ 3} D．{ |1 ≤ ≤ 3}
變式 1-1．已知集合 = { || + 1| < 2}， = { ―1,0,1}，則 ∩ = （ ）
A．{ ―1,0} B．{0,1} C．{0} D．{ ―1,1}
變式 1-2．已知集合 = ( , )| 2 + 2 ≤ 2, ∈ Z, ∈ Z ， = {( , )| ≥ }，則 ∩ 的子集個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
變式 1-3．設集合 = { | = 2 + 1, ∈ Z}， = { | = 3 ― 1, ∈ Z}，則 ∩ = （ ）
A．{ | = 2 + 1, ∈ Z} B．{ | = 3 ― 1, ∈ Z}
C．{ | = 6 + 1, ∈ Z} D．{ | = 6 ― 1, ∈ Z}
【方法技巧與總結】
1 理解交集的概念：由屬于集合 且屬于集合 所有元素所組成的集合，稱為集合 與 的交集；
2 求集合的交集，集合能化簡的先化簡；求連續型集合的交集，利用數軸輔助求解；
3 有時求集合的交集，可利用 venn 圖進行理解求解.
【題型二：根據交集的結果求集合或參數】
例 2．設集合 = {1, ― 2}， = { ∣ ― 1 = 0}，若 ∩ = ，則實數 的值的集合是（ ）
A 1, ― 1． B． ―1, 1
2 2
C． ―1, 1 ,0 D． 1, ― 1 ,0
2 2
變式 2-1．已知集合 = { ∣ ― 1 < < 2}, = { }，若 ∩ ≠ ，則 可能是（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
變式 2-2．已知集合 = { | ― < 0 }， = { || ― | = ― }，若 ∩ = [1,2)，則 ― = （ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
變式 2-3．設集合 = R，集合 = { ∣ ― 2 ≤ ≤ 5}, = { ∣ ― 6 ≤ < 2 ― 1}，若 ∩ = ，則實數 的
取值范圍為（ ）
A 1 1 1． ―∞, ― B．(11, + ∞) C． ― ,11 D． ―∞, ― ∪ (11, + ∞)
2 2 2
變式 2-4．已知集合 = { |1 ≤ < 5}， = { | ― < ≤ + 4}，若 ( ∩ )，則 的取值范圍為（ ）
A．{ | ― 2 < < ―1} B．{ | < ―2}
C．{ | ≤ ―1} D．{ | > ―2}
【方法技巧與總結】
1 集合的交集性質： = ；
2 對含參的集合注意它是否會是空集；
3 求參數范圍時，要想清楚是否能“取等號”.
【題型三：并集的概念及運算】
例 3．設全集 = ，集合 = { | < 2}， = { | ― 2 < < 3}，則{ | ≥ 3} = （ ）
A． ( ∪ ) B． ∪ ( ) C． ( ∩ ) D． ∪ ( )
變式 3-1．設集合 = {1,2}, = { ∣ 2 + ― 3 = 0}，若 ∩ = {1}，則 ∪ = （ ）
A．{ ―3,1,2} B．{1,2} C．{ ―3,2} D．{1,2,3}
變式 3-2．已知集合 = | = 2 + 2 ， = { | ― 4 < ― 2 < 2}，則 ∪ = （ ）
A．{ |1 < ≤ 2 } B．{ | ―2 < ≤ 2 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > ―2 }
變式 3-3．已知集合 = {2,3,4,6,8}，集合 = {1,3,4,5,9}，集合 = { | ∈ ,1 ≤ ≤ 10}，則 ( ∪ ) =
（ ）
A．{7,10} B．{3,4} C．{1,2,5,6} D．{8,9}
【方法技巧與總結】
1 理解并集的概念：由所有屬于集合 或屬于集合 的元素所組成的集合，稱為集合 與 的并集；
2 求集合的并集，集合能化簡的先化簡；求連續型集合的并集，利用數軸輔助求解；
3 求抽象型集合的交集，可以利用 venn 圖進行理解求解.
【題型四：根據并集的結果求集合或參數】
例 4．集合 = { | < ―1 或 ≥ 1}， = { | + 2 ≤ 0 }，若 ∪ = ，則實數 的取值范圍是（ ）
A．[ ―2,2) B．[ ―2,2] C．( ―∞, ― 2) ∪ [2, + ∞) D．[ ―2,0) ∪ (0,2)
變式 4-1．已知集合 = { | > }， = { |1 < ≤ 2 }，且 ∪ = ，則實數 的取值范圍是（ ）
A．{ | ≤ 1 } B．{ | < 1 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > 2 }
變式 4-2．設 = { | < ―1 或 > 3}， = { | ― ≤ ≤ ― 2 ― 1}，若 ∪ = R， ∩ =
{ |3 < ≤ 4}，則有（ ）
A． = 3， = ―4 B． = 3， = 4
C． = ―3， = 4 D． = ―3， = ―4
變式 4-3．已知集合 = { | ― 1 = 0 }， = { ∈ N |2 ≤ < 5}，且 ∪ = ，則實數 的所有值構成的集
合是（ ）
A 1 , 1 B 1 , 1 C 1 , 1 , 1 D 0, 1 , 1 , 1． ． ． ．
2 3 4 3 2 3 4 2 3 4
【方法技巧與總結】
1 集合的并集性質： ∪ = ；
2 對含參的集合注意它是否會是空集；
3 求參數范圍時，要想清楚是否能“取等號”.
【題型五：根據 venn 圖進行集合運算】
例 5．已知集合 = { | ―5 ≤ ≤ 1 }， = { | > ―2 }，則圖中所示的陰影部分的集合可以表示為（ ）
A．{ | ―2 ≤ ≤ 1 } B．{ | ―2 < ≤ 1 }
C．{ | ―5 ≤ ≤ ―2 } D．{ | ―5 ≤ < ―2 }
變式 5-1．若全集 是實數集 ，集合 = { | = 2 ― 1, ∈ }， = {1,2,5,7,8}，則如圖陰影部分表示的
集合為（ ）
A．{2,8} B．{1,5,7} C．{2,7,8} D．{1,2,5,8}
變式 5-2．已知全集 = ，集合 = { | ―1 ≤ ≤ 2 }， = { |1 ≤ ≤ 6 }，如圖所示，則圖中陰影部分表
示的集合是（ ）
A．{ | ―1 ≤ ≤ 6 } B．{ | < ―1 } C．{ | > 6 } D．{ | < ―1 或 > 6}
變式 5-3．如圖所示，若 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { | > 0}，則陰影部分表示的集合為（ ）
A．{ |0 < < 2} B．{ |1 < ≤ 2}
C．{ |0 ≤ ≤ 1或 ≥ 2} D．{ | = 0或 > 2}
【方法技巧與總結】
觀察 venn 圖確定所求的是集合的什么運算再進行運算.
【題型六：容質原理的應用】
例 6．某班有學生 56 人，同時參加了數學小組和英語小組的學生有 32 人，同時參加了英語小組和語文小
組的學生有 22 人，同時參加了數學小組和語文小組的學生有 25 人．已知該班學生每人至少參加了 1 個小
組，則該班學生中只參加了數學小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
變式 6-1．2021 年某高中舉辦學生運動會，某班 60 名學生中有一半的學生沒有參加比賽，參加比賽的學生
中，參加田賽的有 16 人，參加徑賽的有 20 人，則田賽和徑賽都參加的學生有多少人？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
變式 6-2．某班有 21 名學生參加數學競賽，17 名學生參加物理競賽，10 名學生參加化學競賽，他們之中
既參加數學競賽又參加物理競賽的有 12 人，既參加數學競賽又參加化學競賽的有 6 人，既參加物理競賽
又參加化學競賽的有 5 人，三科都參加的有 2 人．現在參加競賽的學生都要到外地學習參觀，則需要預訂
多少張火車票（ ）
A．29 B．27 C．26 D．28
【方法技巧與總結】
借助 venn 圖理解求值.
【題型七：集合的新定義】
例 7．已知 = {1,2,…, }， ， = { 1, 2} ，記 = { | = + , ∈ }( = 1,2)，用| |表示有限集合
X 的元素個數.
(1)若 = 4， 1 ∩ 2 = ，分別討論 = {1,2,3}和 = {1,2,4}時，集合 T 的情況；
(2)若 = 6， 1 ∩ 2 = ，求| 1 ∪ 2|的最大值；
(3)若 = 7，| | = 4，則對于任意的 A，是否都存在 T，使得 1 ∩ 2 = ？說明理由.
變式 7-1．設集合 = {1 ， 2 ， 3 ， ， }， ，把 的所有元素的乘積稱為 的容量（若 中只有一
個元素，則該元素的數值即為它的容量，規定空集的容量為0）.若 的容量是奇（偶）數，則稱 為 的奇
（偶）子集，若 = 3，則 的所有偶子集的容量之和為
A．6 B．8 C．12 D．16

變式 7-2．對于數集 ， ，定義 + = { | = + , ∈ , ∈ }， ÷ = { | = ， ∈ , ∈ )，若集
合 = {1,2}，則集合( + ) ÷ 中所有元素之和為（ ）
10 15 21 23
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
變式 7-3．設集合 = { , }, = { , }，定義 與 的一個運算“·”為： · = { | = ，其中
∈ , ∈ }．
(1)試舉出兩組集合 M、N，分別計算 · ；
(2)對上述集合 M、N，計算 · ，由此你可以得到什么一般性的結論？
(3)舉例說明( · )· 與 ·( · )之間的關系．
變式 7-4 ―1, ∈ ．對于集合 ，定義函數 ( ) = 1, ．對于兩個集合 , ，定義集合 =
{ ∣ ( ) ( ) = ―1}．已知集合 = {1,3,5,7,9}, = {2,3,5,6,9}．
(1)求 (1)與 (1)的值；
(2)用列舉法寫出集合 ；
(3)用Card( )表示有限集合 所包含元素的個數．已知集合 是正整數集的子集，求Card( ) + Card
( )的最小值，并說明理由.
變式 7-5．定義 1：通常我們把一個以集合作為元素的集合稱為族（collection）.
定義 2：集合 上的一個拓撲（topology）乃是 的子集為元素的一個族Γ，它滿足以下條件：（1） 和 在Γ
中；（2）Γ的任意子集的元素的并在Γ中；（3）Γ的任意有限子集的元素的交在Γ中.
(1)族 = { , }，族 = { | }，判斷族 與族 是否為集合 的拓撲；
(2)設有限集 為全集
（i）證明： ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ ) = ( 1) ∪ ( *2) ∪ ∪ ( )( ∈ )；
（ii）族Γ為集合 上的一個拓撲，證明：由族Γ所有元素的補集構成的族Γ 為集合 上的一個拓撲.
【方法技巧與總結】
集合的新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，可利用一些特殊例子先“感性認識”，再“理性”感知
其規律或本質.有必要的時候，也可舉反例理解定義.
一、單選題
1.設全集 = { ∈ N | ≤ 8 }，集合 = {1,3,5,8}， = {5,6,7,8}，則( ) ∪ ( )=（ ）
A．{1,2,3,4,5,8} B．{1,2,3,4,6,7} C．{5,6,7,8} D．{2,4}
2.若全集 = ，集合 = { |0 ≤ < 3}, = { |1 < < 4}，則 ∩ ( ) = （ ）
A．[0,1) B．[0,1] C．( ―∞,1) D．( ―∞,1]
3.若集合 = {1,3,5,7}， = { ∈ Z∣1 ≤ ≤ 9}，則圖中陰影部分表示的集合中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.已知集合 = { | ― 1 < ≤ 2}， = { |0 < ≤ }，若 ∪ = { ∣ ― 1 < ≤ 3}，則 ∩ = （ ）
A．{ | ― 2 < < 0} B．{ |0 < ≤ 2 }
C．{ ∣1 < ≤ 3} D．{ ∣0 < < 2}
5.已知集合 = | 2 < 1 , = { | > }( ∈ R)，若 ∩ = ，則 的取值范圍為（ ）
A．( ― ∞,1] B．(1, + ∞) C．( ― ∞,1) D．[1, + ∞)
6.已知集合 = {0,4, }， = {0, 2}，且 ∪ = ，則 m 的值為（ ）
A．0 B． ―2或2
C． ―2或1或2 D． ―2或0或1或2
7.對于集合 A，B，定義 A\B={ | ∈ 且 }，則對于集合 A={ | = 6 + 5， ∈ N}，B={ | = 3 + 7，
∈ N}， = | ∈ 且 < 1000}，以下說法正確的是（ ）
A．若在橫線上填入”∩”，則 C 的真子集有 212﹣1 個.
B．若在橫線上填入”∪”，則 C 中元素個數大于 250.
C．若在橫線上填入”\”，則 C 的非空真子集有 2153﹣2 個.
D．若在橫線上填入”∪ N”，則 NC 中元素個數為 13.
8.已知[ ]表示不超過 x 的最大整數，集合 = { ∈ |0 < [ ] < 3 }， = |( 2 + )( 2 + 2 + ) = 0 ，且
∩ R = ，則集合 B 的子集個數為（ ）．
A．4 B．8 C．16 D．32
二、多選題
9 已知集合 = {0,1}, = | 2 ― 2 + = 0, ∈ ，若集合 滿足 且 ∩ ≠ ，則下列說法正確的是
（ ）
A． = {1,2} B． = {0,1,2}
C．集合 的個數為 6 D．集合 的個數為 5
10.下列結論正確的是（ ）
A．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 < ―3
B．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 ≤ ―3
C．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 ≥ ―3
D．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，則 的取值范圍是 > ―3
11.大數據時代，需要對數據庫進行檢索，檢索過程中有時會出現笛卡爾積現象，而笛卡爾積會產生大量的
數據，對內存、計算資源都會產生巨大壓力，為優化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積.兩個集合 和
，用 中元素為第一元素， 中元素為第二元素構成有序對，所有這樣的有序對組成的集合叫作 與 的笛
卡兒積，又稱直積，記為 × .即 × = {( , )| ∈ 且 ∈ }.關于任意非空集合 ， ， ，下列說法錯
誤的是（ ）
A． × = × B．( × ) × = × ( × )
C． × ( ∪ ) ( × ) ∪ ( × ) D． × ( ∩ ) = ( × ) ∩ ( × )
三、填空題
12．已知集合 = {1,2}, = { ― , 2 + 3}．若 ∪ = {1,2,4}，則實數 = ．
13.已知全集 = { ∈ N | ≤ 7}，集合 = {1,2,3,6}，集合 = { ∈ || | < 5}，則( ) ∩ = ，
∪ = ．
14.在即將舉行的中加秋季運動會中，高一某班同學積極報名參賽，報名田賽的學生有 21 人，報名徑賽的
學生有 18 人，田賽和徑賽都報名的有 5 人，另外還有 4 個人既不報名田賽也不報名徑賽，那么該班級共
有學生人數為 ．
四、解答題
15．已知全集 = {2,3,4,5,6,7}，集合 = {4,5,7}， = {2,3,5}，求：
(1) ∩ ， ∪ ；
(2)( ) ∩
16.設集合 = { | ― 1 ≤ ≤ 2}， = { |2 < < 3}，
(1)若 = 1，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ∩ ( )中只有一個整數，求實數 m 的取值范圍．
17.已知集合 = { | ―3 ≤ ≤ 3 }， = { |3 ― < < + 1 }
(1)當 = 4時，求( ) ∩ ；
(2)在① ∪ = ② ∩ = 中任選一個作為已知，求實數 的取值范圍．
18.對于集合 A，B，我們把集合{ | ∈ , }叫作集合 A 與 B 的差集，記為 ― ； ― 可用圖中的陰
影部分來表示.
(1)若 = {1,3,5,9}， = {3,5,7}，求集合 ― 和 ― ；
(2)集合 = | 2 ― 5 + 6 ≤ 0 ，集合 = { |2 ― 3 ≤ ≤ 2 + 3 }，若 ― = ，求實數 m 的取值范圍.
19．已知集合 = { 1, 2, , }， ∈ N ， ≥ 3，若 ∈ ， ∈ ， + ∈ 或 ― ∈ ，則稱集合 A 具有
“包容”性．
(1)判斷集合{ ―1,1,2,3}和集合{ ―1,0,1,2}是否具有“包容”性；
(2)若集合 = {1, , }具有“包容”性，求 2 + 2的值；
(3)若集合 C 具有“包容”性，且集合 C 的子集有 64 個，1 ∈ ，試確定集合 C．

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