資源簡介

1.1.2 子集和補集
課程標準 學習目標
（1）理解子集和真子集的概念，會用 venn 圖理解
（1）理解集合之間包含與相等的含義, 能識別
集合之間的關系; （難點)
給定集合的子集；
（2）會求已給定集合的子集和真子集；
（2）在具體情境中, 了解全集與空集的含義；
（3）會判斷兩個集合是否相等；
（3）理解在給定集合中一個子集的補集的含
（4）了解掌握補集的概念，會求一給定集合的補集.
義,能求給定子集的補集。
（難點)
知識點 01 集合間的關系
子集
① 概念
對于兩個集合 ， ，如果集合 的任何一個元素都是集合 的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集
合 是集合 的子集( ).
(感覺就像那些富二代跟我這些負二代說的一樣：你有的我都有，你沒的我也有)
記作： (或 )，讀作： 包含于 ，或 包含 .
當集合 不包含于集合 時，記作( 或 ).
② 圖


【即學即練 1】 已知集合 = { ∈ | ― 1 ≤ < 3}， = { | = | |, ∈ }，判斷集合 , 的關系．
真子集
概念：若集合 ，但存在元素 ∈ 且 ，則稱集合 是集合 的真子集.
記作： (或 ) (有些地方 用 或 表示)
讀作： 真包含于 (或 真包含 )
類比 與 的關系就好比 ≤ 與小于 < 的關系，" ≤ "是小于或等于，" "是真包含或相等；
Eg：3 ≤ 3是對的，而3 < 3是錯的，若 < ，則 ≤ 也成立；
對比下， 是對的，但 是錯的，若 ，則 也成立.
【即學即練 2】若{1,2} {1,2,3,4,5}，則滿足條件的集合 的個數是(　　)
A．6 B．8 C．7 D．9
集合相等
如果 是集合 的子集，且集合 是集合 的子集，則集合 與集合 相等．
即 且 = .
幾個結論
① 空集是任何集合的子集： ；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一個集合是它本身的子集；
④ 對于集合 , , ，如果 且 ，那么 ；
⑤ 集合中有 個元素，則子集的個數為2 ，真子集的個數為2 ―1.
【即學即練 3】求集合 = {1,2,3}的子集和真子集.
知識點 02 補集
1 補集
對于集合 ，由全集 中不屬于集合 的所有元素組成的集合，稱為集合 相
概念
對于全集 的補集.
記號 (讀作: 的補集)
符號 = { | ∈ , }
圖形表示
(1) ；
性質 (2) = ， = ；
(3) ( ) = .
注 求集合 的補集的前提是 是全集 的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也不同．
【即學即練 4】已知全集 ＝{1,2,,3,4,5,6,7}， ＝{5,6,7}，則 等于 .
【題型一：判斷集合間的關系】
1 1 1 1例 ．已知集合 = | = + , ∈ Z ， = | = ― , ∈ Z ， = | = + , ∈ Z ，則 M，N，6 2 3 2 6
P 的關系為（ ）
A． = B． = C． D． =
變式 1-1．若 = | 2 = ，則下列說法正確的是（ ）
A．{ } B．{1} =
C．{ ―1,1} D．{0}
變式 1-2．已知集合 = { | ― 1 < < 2}， = { |0 < < 1}，則（ ）
A． > B．A B C．B A D． =
變式 1-3．已知集合 = { | = 4 + 1, ∈ Z}, = { | = 4 ― 3, ∈ Z}， = { | = 8 + 1, ∈ Z}，則 , , 之
間的關系是（ ）
A． B．
C． = D． = =
【方法技巧與總結】
1 元素與集合間的關系是屬于或不屬于，集合間的關系是包含或不包含；
2 理解子集和真子集的概念，遇到集合可先化簡，當集合元素較為復雜，在選擇題中可利用取特殊值的方
法進行排除.
【題型二：求已知集合的子集(真子集)或其的個數】
例 2．設集合 = { ∈ Z| ≤ 0}，則集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的子集的個數為（ ）
A．225 B．224 C．223 D．222
2-1 = ∈ | 8變式 ．已知 ∈ ，則集合 M 的子集的個數是（ ）8―
A．8 B．16 C．32 D．64
變式 2-2．滿足{ } { , , , }的集合 M 共有（ ）
A．16 個 B．15 個
C．8 個 D．7 個
變式 2-3．若集合 = | 2 ― 2 < < 3, ∈ 有 7 個真子集，則實數 的取值范圍為（ ）
A．(0,2) B．[0,2) C．(0,2] D．[0,2]
變式 2-4．已知集合 = { ∣ 2 ― 3 + 2 = 0}， = { ∣0 < < 6, ∈ }，則滿足條件 的集合 的個
數為（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【方法技巧與總結】
集合中有 個元素，則子集的個數為2 ，真子集的個數為2 ―1.
【題型三：根據兩個集合相等求參數】

例 3．已知集合 = , ,1 ，集合 = 2, + ,0 ，若 = ，則 2023 + 2024 = （ ）

A． ―1 B．0 C．1 D．2
變式 3-1．已知集合 = {1, }， = { 2, ― 1}，若 = ，則 = （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
變式 3-2．已知{ ∣ 2 ― 4 + 1 = 0} = { }，其中 , ∈ R，則 = （ ）
1 1 1 1
A．0 B．4或2 C．2 D．4
變式 3-3．已知集合 = { ―2,0}， = | 2 + = 0, , ∈ N ， = ，則 + 的值為（ ）
A．3 B． ―3 C．1 D． ―1
變式 3-4．設 是兩個兩兩不相等的正整數.若{ + ， + ， + } = { 2，( + 1)2，( + 2)2}( ∈ N+
)，則 2 + 2 + 2的最小值是（ ）
A．1000 B．1297 C．1849 D．2020
【方法技巧與總結】
若兩個集合相等，則它們之間的元素均相同；求解過程中要注意元素的互異性，注意檢驗。
【題型四：補集的概念及其運算】
例 4．設全集 = ， = ∈ │ < 5 ， = { ∈ | ≤ 2}，則 與 的關系是(　　)
A．

≠ B．
C． = D．
變式 4-1．設全集 = {1,2,3,4,5}，若集合 滿足{1,4} ，則（ ）
A．4 ∈ B．1
C．2 ∈ D．3
變式 4-2．設全集 = {0,1,2,4}， = {1,4}，則 = （ ）
A．{0,4} B．{0,2} C．{1,2} D．{2,4}
變式 4-3．已知 為整數集， = { ∈ Z,| 2 ≥ 4}，則 = （ ）
A．{ ― 1,0,1} B．{ ― 1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{ ― 2, ― 1,0,1,2}
變式 4-4．已知全集 = { || ― 1| < 3 }， = 0 < < 1 ，則 = （ ）
A．( ―2,0] ∪ [1,4) B．( ―2,0) ∪ (1,4) C．( ―2,0] D．(1,4)
變式 4-5．設全集 = { || | < 4 且 ∈ Z}， = { ―2,1,3}，若 ，( U ) ，則這樣的集合 共有（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【方法技巧與總結】
理解補集的概念：對于集合 ，由全集 中不屬于集合 的所有元素組成的集合，稱為集合 相對于全集 的
補集.在運算時，先把集合化簡，對于連續型集合畫數軸輔助運算！
【題型五：根據補集運算確定集合或參數】
例 5．設全集 = {1,2,3,4}，且 = | 2 ― 5 + = 0, ∈ ，若 = {2,3}，則 m 的值等于（ ）
A．4 B．6 C．4 或 6 D．不存在
變式 5-1．設全集 = {2,3, 2 + ― 4}，集合 = { ,2}， = {3}，則 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ± 2 D． ―4
變式 5-2．設全集 = {2,3, 2 + ― 2}，集合 = {| + 1|,2}, = {4}，則 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ―3 D． ―4
變式 5-3．已知全集 = { |1 ≤ ≤ 5}, = { |1 ≤ < }，若 = { |2 ≤ ≤ 5}，則 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式 5-4．設集合 = { || | < 2}, = { | > }，全集 = R,若 ,則有（ ）
A． = 0 B． ≤ 2 C． ≥ 2 D． < 2
變式 5-5．集合 = { | ≤ ≤ }（ ≥ ， 、 ∈ ），定義 ― 為 的長度.已知數集 = ― 1 ,2
4
( ∈ )， = [0,1] 11，若 ,1 ，則 的長度的最大值是 .12
【方法技巧與總結】
1 A的補集是集合A；
2 對于離散型集合，注意集合的互異性；
3 對于連續型集合，利用數軸輔助思考！
一、單選題
1.設集合 = | 2 ― 2 = 0 ，則下列表述正確的是（ ）
A．{2} ∈ B．2 A
C．{0} D．0
2. = | = + 1若集合 , ∈ ， = | = , ∈ ，則 ， 的關系是（ ）
3 3
A． B． C． D． =
3.滿足條件{1,2} {1,2,3,4,5,6,7}的所有集合 的個數是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
4.已知集合 = {0,1, 2}， = {1,0,2 + 3}，若 = ，則 a 等于（ ）
A． ―1或 3 B．0 或 ―1 C．3 D． ―1
5.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = ∈ N| 3 ∈ N ，則 = （ ）
A．{0,1,3,5} B．{1,3,5} C．{0,2,4,5} D．{2,4,5}
6.若集合 = |( + 1) 2 ― + ― 1 = 0 的所有子集個數是2，則 的取值是（ ）
A ―1 B 2 3 C ± 2 3 D ± 2 3． ． ． ． 或 ―1
3 3 3
7.設集合 = | 2 ― 8 + 15 = 0 ，集合 = { | ― 1 = 0 }，若 ，則實數 a 取值集合的真子集的個
數為（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
8.設集合 1 = | 2 + + 1 > 0 ， 2 = | 2 + + 2 > 0 ， 1 = | 2 + + > 0 ， 2 =
| 2 + 2 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列說法正確的是（ ）
A．對任意 a， 1是 2的子集，對任意的 b， 1不是 2的子集
B．對任意 a， 1是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得 1不是 2的真子集，對任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得 1不是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
二、多選題
9． 下列命題中，是真命題的有（ ）
A．集合{1,2}的所有真子集為{1},{2}
B．若{1, } = {2, }（其中 , ∈ ），則 + = 3
C．{ | 是等邊三角形} { | 是等腰三角形}
D．{ | = 3 , ∈ } { | = 6 , ∈ }
10.已知集合 = { | + 1 = 0, ∈ R}, = | 2 ― ― 56 = 0 ，若 ，則實數 a 的值可以是（ ）．
1 1 1
A．9 B．7 C．0 D． ― 8
11.下列選項正確的有（ ）
A．已知全集 = | 2 ― 3 + 2 = 0 ， = | 2 ― + 2 = 0 ， = ，則實數 p 的值為 3
B ．若 , ,1 = { 2, + ,0}，則 2023 + 2023 = 1

C．已知集合 = 1 | 2 + + 2 = 0, ∈ R 中元素至多只有 1 個，則實數 a 的范圍是 ≥ 8
D．若 = { | ― 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 ― 1}，且 ，則 ≤ 3
三、填空題
12．已知集合 = |3 ≤ 2 ≤ 5， ∈ ，那么 的真子集有 個．
13.已知集合 = { | ―2 ≤ ≤ 5 }， = { |1 ― ≤ ≤ 2 ― 1 }，且 ．則實數 的取值范圍為 ．
14.設集合 = { 1, 2, , } {2,3, ,37}，（ ≥ 2， ∈ ）且 A 中任意兩數之和不能被 5 整除，則 n 的最大
值為 .
四、解答題
15．確定下列每組兩個集合的包含關系或相等關系：
(1)A={ | 為 12 的正約數}與 = {1,3,2,4,6,12}；
(2) = { | = 2 , ∈ }與 = { | 為 4 的正整數倍}.
16. = ∣ 2 ―1已知集合 ≥ 1 ，集合 = [ ― 1,2 + 1].
+1
(1)求集合 A 和集合 R .
(2)已知集合 是集合 A 的子集，求實數 的取值范圍.
17.已知集合 = { | ― 2 < < 6}, = { | < < }，其中 , ( < )是關于 的方程( ― 3 )( + )
= 0( > 0)的兩個不同的實數根.
(1)若 = ，求出實數 的值；(2)若 ，求實數 的取值范圍.
18.設集合 = { ∣ 2 ― 5 + 6 = 0, ∈ }, = { ∣ ― 1 = 0, ∈ }
1
(1)若 = 2，試判斷集合 與 的關系；(2)若 ，求 的值組成的集合 ．
19．已知集合 = { | = ( 1, 2,…, ), ∈ {0,1}, = 1,2,…, }( ≥ 2)，對于 = ( 1, 2,…, )， =

( 1, 2, , ) ∈ ，定義 與 之間的距離為 ( , ) = | ― |．
=1
(1)已知 = (1,1,0,0) ∈ 4，寫出所有的 ∈ 4，使得 ( , ) = 1；
(2)已知 = (1,1, ,1) ∈ ，若 , ∈ ，并且 ( , ) = ( , ) = ≤ ，求 ( , )的最大值；
(3)設集合 , 中有 ( ≥ 2)個元素，若 中任意兩個元素間的距離的最小值為 ，求證 ≤ 2 ― +11.1.2 子集和補集
課程標準 學習目標
（1）理解子集和真子集的概念，會用 venn 圖理解
（1）理解集合之間包含與相等的含義, 能識別
集合之間的關系; （難點)
給定集合的子集；
（2）會求已給定集合的子集和真子集；
（2）在具體情境中, 了解全集與空集的含義；
（3）會判斷兩個集合是否相等；
（3）理解在給定集合中一個子集的補集的含
（4）了解掌握補集的概念，會求一給定集合的補集.
義,能求給定子集的補集。
（難點)
知識點 01 集合間的關系
子集
① 概念
對于兩個集合 ， ，如果集合 的任何一個元素都是集合 的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集
合 是集合 的子集( ).
(感覺就像那些富二代跟我這些負二代說的一樣：你有的我都有，你沒的我也有)
記作： (或 )，讀作： 包含于 ，或 包含 .
當集合 不包含于集合 時，記作( 或 ).
② 圖


【即學即練 1】 已知集合 = { ∈ | ― 1 ≤ < 3}， = { | = | |, ∈ }，判斷集合 , 的關系．
解析 ∵ ∈ ，且 ―1 ≤ < 3， ∴ 的可能取值為 ―1,0,1,2．
∴ = { ― 1,0,1,2}．
又 ∵ ∈ ， ∴ | |分別是0,1,2．
∴ = {0,1,2}． ∴ ．
真子集
概念：若集合 ，但存在元素 ∈ 且 ，則稱集合 是集合 的真子集.
記作： (或 ) (有些地方 用 或 表示)
讀作： 真包含于 (或 真包含 )
類比 與 的關系就好比 ≤ 與小于 < 的關系，" ≤ "是小于或等于，" "是真包含或相等；
Eg：3 ≤ 3是對的，而3 < 3是錯的，若 < ，則 ≤ 也成立；
對比下， 是對的，但 是錯的，若 ，則 也成立.
【即學即練 2】若{1,2} {1,2,3,4,5}，則滿足條件的集合 的個數是(　　)
A．6 B．8 C．7 D．9
解析 ∵ {1,2} {1,2,3,4,5}，
∴ 集合 中除了含有1,2兩個元素以外，至少必須含有另外一個元素，
因此滿足條件的集合 為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7個．故選：
．
集合相等
如果 是集合 的子集，且集合 是集合 的子集，則集合 與集合 相等．
即 且 = .
幾個結論
① 空集是任何集合的子集： ；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一個集合是它本身的子集；
④ 對于集合 , , ，如果 且 ，那么 ；
⑤ 集合中有 個元素，則子集的個數為2 ，真子集的個數為2 ―1.
【即學即練 3】求集合 = {1,2,3}的子集和真子集.
解析 集合 = {1,2,3}的子集是 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共8個；
集合 = {1,2,3}的子集是 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}，共7個；
知識點 02 補集
1 補集
對于集合 ，由全集 中不屬于集合 的所有元素組成的集合，稱為集合 相
概念
對于全集 的補集.
記號 (讀作: 的補集)
符號 = { | ∈ , }
圖形表示
(1) ；
性質 (2) = ， = ；
(3) ( ) = .
注 求集合 的補集的前提是 是全集 的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也不同．
【即學即練 4】已知全集 ＝{1,2,,3,4,5,6,7}， ＝{5,6,7}，則 等于(　　)
解析 全集 中除去集合 A 中元素剩下的元素是1,2,,3,4，則 ＝{1,2,,3,4}.
【題型一：判斷集合間的關系】
例 1．已知集合 = | = + 1 , ∈ Z ， = | = ― 1 , ∈ Z ， = | = + 1 , ∈ Z ，則 M，N，6 2 3 2 6
P 的關系為（ ）
A． = B． = C． D． =
【答案】D
【分析】先將集合 , , 中元素化為統一形式，然后進行判斷即可.
【詳解】 = | = + 1 = 6 +1 = 3 2 +1 , ∈ Z ，6 6 6
= | = ― 1 = 3( ―1)+1 , ∈ Z = | = 3 +1 , ∈ Z ,2 3 6 6
= | = + 1 = 3 +1 , ∈ Z ，2 6 6
故 = ,
故選：D.
變式 1-1．若 = | 2 = ，則下列說法正確的是（ ）
A．{ } B．{1} =
C．{ ―1,1} D．{0}
【答案】D
【分析】求出集合 后，根據集合間的關系逐項判斷即可.
【詳解】 = | 2 = = {0,1}，{ } 是以空集為元素的集合，不是集合 A 的子集，故 A 錯誤；
{1} ≠ {0,1}，故 B 錯誤； ―1 {0,1}，故 C 錯誤；0 ∈ {0,1}，故 D 正確.
故選：D.
變式 1-2．已知集合 = { | ― 1 < < 2}， = { |0 < < 1}，則（ ）
A． > B．A B C．B A D． =
【答案】C
【分析】根據子集包含關系得到答案.
【詳解】{ |0 < < 1} { | ― 1 < < 2}，故 B A.
故選：C
變式 1-3．已知集合 = { | = 4 + 1, ∈ Z}, = { | = 4 ― 3, ∈ Z}， = { | = 8 + 1, ∈ Z}，則 , , 之
間的關系是（ ）
A． B．
C． = D． = =
【答案】C
【分析】化簡 = { | = 4 ― 3 = 4( ― 1) +1, ∈ }，從而可得 = ，排除 ， ，考慮元素 5 與集合的
關系再可排除 ，從而得到結果.
【詳解】∵ = { | = 4 + 1, ∈ Z}， = { | = 4 ― 3 = 4( ― 1) +1, ∈ }，
∴ = ，故排除選項 ， ，
又∵5 ∈ ，5 ，∴排除 ，
故選： .
【點睛】本題主要考查了利用描述法表示集合以及集合的化簡與集合包含關系的判斷，屬于中檔題.
【方法技巧與總結】
1 元素與集合間的關系是屬于或不屬于，集合間的關系是包含或不包含；
2 理解子集和真子集的概念，遇到集合可先化簡，當集合元素較為復雜，在選擇題中可利用取特殊值的方
法進行排除.
【題型二：求已知集合的子集(真子集)或其的個數】
例 2．設集合 = { ∈ Z| ≤ 0}，則集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的子集的個數為（ ）
A．225 B．224 C．223 D．222
【答案】C
【分析】先根據題意得到 ， ， 取值的所有情況，能得到集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的元素個
數，即能得到答案
【詳解】因為 2 + 2 + 2 ≤ 8, ， ， ∈ ， = { ∈ Z| ≤ 0}，
所以 ， ， 只能取 ―2或 ―1或0，
= ―2 = ―1 = ―1 = 0 = 0 = 0
所以當 = 0 或 = ―1 或 = 0 或 = ―1 或 = ―2 或 = 0 時， 可取 ―2或 ―1或0；
= ―2 = ―1
當 = ―1 或 = ―2 時， 可取 ―1或0；
= ―2
當 = ―2 時， 可取0，
因此，集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的元素 ， ， 共有6 × 3 + 2 × 2 + 1 = 23個，
故所求子集的個數為223，
故選：C
變式 2-1．已知 = ∈ | 8 ∈ ，則集合 M 的子集的個數是（ ）8―
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
8
【分析】由8― ∈ N，可得8 ― 為8的正約數，又 ∈ N，求出子集的個數即可.
8
【詳解】因為8― ∈ N，所以8 ― = 1,2,4,8，
又 ∈ N，所以 = 7,6,4,0，
所以集合 = {7,6,4,0}，所以集合的子集個數為24 = 16個．
故選：B．
變式 2-2．滿足{ } { , , , }的集合 M 共有（ ）
A．16 個 B．15 個
C．8 個 D．7 個
【答案】C
【分析】根據集合滿足的條件，列舉出所有情況即可.
【詳解】集合 M 滿足{ } { , , , }，
所以集合 M 可以為：{ },{ , },{ , },{ , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , , }
共有 8 個.
故選：C
變式 2-3．若集合 = | 2 ― 2 < < 3, ∈ 有 7 個真子集，則實數 的取值范圍為（ ）
A．(0,2) B．[0,2) C．(0,2] D．[0,2]
【答案】A
【分析】根據集合 有 7 個真子集，由集合 中包含 3 個元素求解.
【詳解】解：因為集合 有 7 個真子集，
所以集合 中包含 3 個元素，
所以 ―1 ≤ 2 ―2 < 0，
解得0 < < 2.
故選：A
變式 2-4．已知集合 = { ∣ 2 ― 3 + 2 = 0}， = { ∣0 < < 6, ∈ }，則滿足條件 的集合 的個
數為（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】化簡集合 A，B，根據條件 確定集合的個數即可.
【詳解】因為 = { ∣ 2 ― 3 + 2 = 0} = {1,2}， = { ∣0 < < 6, ∈ } = {1,2,3,4,5},
且
所以集合 C 的個數為23 ―1 = 7
故選：C
【方法技巧與總結】
集合中有 個元素，則子集的個數為2 ，真子集的個數為2 ―1.
【題型三：根據兩個集合相等求參數】
例 3．已知集合 = , ,1 ，集合 = 2, + ,0 ，若 = ，則 2023 + 2024 = （ ）

A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據集合相等的概念以及集合中元素的互異性求解.
【詳解】因為 = ，且集合 中 ≠ 0，

所以集合 中的元素 = 0，解得 = 0，
又因為1 ∈ ，所以1 ∈ ，所以 2 = 1或 = 1，
若 2 = 1，解得 = 1或 = ―1，
經檢驗， = 1時，與集合中元素的互異性矛盾， = ―1時，滿足題意，
若 = 1，由上述過程可知，不滿足題意；
綜上 = ―1，所以 2023 + 2024 = ―1 + 0 = ―1，
故選：A.
變式 3-1．已知集合 = {1, }， = { 2, ― 1}，若 = ，則 = （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根據集合相等的定義，即可求解.
【詳解】由 = 可知， = ―1.
故選：A
變式 3-2．已知{ ∣ 2 ― 4 + 1 = 0} = { }，其中 , ∈ R，則 = （ ）
1 1 1 1
A．0 B．4或2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】分二次項系數是否為 0 結合韋達定理求解.
【詳解】由題意知： 為方程 2 ―4 + 1 = 0的根，
= 0 = 1當 時， 4；
2 ― 4 + 1 = 0 1
當 ≠ 0時，二次方程有兩個相同的根，則有 16 ― 4 = 0 ，此時 = 2.
故選:B.
變式 3-3．已知集合 = { ―2,0}， = | 2 + = 0, , ∈ N ， = ，則 + 的值為（ ）
A．3 B． ―3 C．1 D． ―1
【答案】A
【分析】由集合相等求解即可.
【詳解】因為集合 = { ―2,0}， = | 2 + = 0, , ∈ N ， = ，
所以4 ― 2 = 0，即 = 2 ，
所以 + = 3 ，因為 , ∈ N，所以 + 的值為3.
故選：A .
變式 3-4．設 是兩個兩兩不相等的正整數.若{ + ， + ， + } = { 2，( + 1)2，( + 2)2}( ∈ N+
)，則 2 + 2 + 2的最小值是（ ）
A．1000 B．1297 C．1849 D．2020
【答案】B
【分析】不妨設 > > ，則 + > + > + ，根據集合相等的定義可得 + = 2, + = ( + 1)2
, + = ( + 2)2，分析可得( + ) + ( + ) + ( + ) = 2( + + )為偶數，從而可得可得 為奇數，再
分析計算即可得出答案.
【詳解】解：不妨設 > > ，則 + > + > + ，
因為{ + ， + ， + } = { 2，( + 1)2，( + 2)2}( ∈ N+)，
所以 + = 2, + = ( + 1)2, + = ( + 2)2，
因為( + ) + ( + ) + ( + ) = 2( + + )為偶數，
所以 2，( + 1)2，( + 2)2必為兩奇一偶，從而可得 為奇數，
又因為 + > 2，所以 為不小于 3 的奇數，
若 = 3，則{ + ， + ， + } = {32，42，52}，
1
故 + + = 2(3
2 + 42 + 52) = 52，且 + = 52，所以 = 0，不符合要求，
2 + = 7 = 30
若 = 5，則{ + ， + ， + } = {52，62，72}，故 + = 62 ，解得 = 19 ，
+ = 52 = 6
此時， 2 + 2 + 2 = 302 + 192 + 62 = 1297，
所以 2 + 2 + 2的最小值是 1297.
故選：B.
【點睛】本題主要考查的時集合相等的定義，解決本題的關鍵在于先假設 > > ，判斷 2，( + 1)2，
( + 2)2三個數中奇偶數的個數，考查了數據分析及邏輯推理能力.
【方法技巧與總結】
若兩個集合相等，則它們之間的元素均相同；求解過程中要注意元素的互異性，注意檢驗。
【題型四：補集的概念及其運算】
例 4．設全集 = ， = ∈ │ < 5 ， = { ∈ | ≤ 2}，則 與 的關系是(　　)
A．

≠ B．
C． = D．
【答案】A
【分析】由補集的運算求得 ， ，即可得到它們的關系.
【詳解】全集 = ， = ∈ │ < 5 ， = { ∈ | ≤ 2}，則 = { ∈ | ≥ 5}, = { ∈ | 2}，所
以
故選 A
【點睛】本題考查補集的運算，屬基礎題.
變式 4-1．設全集 = {1,2,3,4,5}，若集合 滿足{1,4} ，則（ ）
A．4 ∈ B．1
C．2 ∈ D．3
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用集合的包含關系及補集的定義判斷即得.
【詳解】全集 = {1,2,3,4,5}，由{1,4} ，知1 ∈ ,4 ∈ ，則1 ,4 ，A 錯誤，B 正確；
不能判斷2 ∈ ，也不能判斷3 ，CD 錯誤.
故選：B
變式 4-2．設全集 = {0,1,2,4}， = {1,4}，則 = （ ）
A．{0,4} B．{0,2} C．{1,2} D．{2,4}
【答案】B
【分析】根據補集的定義計算可得.
【詳解】因為 = {0,1,2,4}， = {1,4}，
所以 = {0,2}.
故選：B
變式 4-3．已知 為整數集， = { ∈ Z,| 2 ≥ 4}，則 = （ ）
A．{ ― 1,0,1} B．{ ― 1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{ ― 2, ― 1,0,1,2}
【答案】A
【分析】根據條件，利用集合的運算，即可求出結果.
【詳解】因為 = { ∈ Z,| 2 ≥ 4}，
所以 = ∈ Z| 2 < 4 = { ∈ Z| ― 2 < < 2} = { ―1,0,1}，
故選：A.
變式 4-4．已知全集 = { || ― 1| < 3 }， = 0 < < 1 ，則 = （ ）
A．( ―2,0] ∪ [1,4) B．( ―2,0) ∪ (1,4) C．( ―2,0] D．(1,4)
【答案】A
【分析】化簡集合 ，進而根據補集的定義求得 .
【詳解】因為 = { || ― 1| < 3 } = { | ―2 < < 4 }， = 0 < < 1
所以 = ( ―2,0] ∪ [1,4)，
故選：A.
變式 4-5．設全集 = { || | < 4 且 ∈ Z}， = { ―2,1,3}，若 ，( U ) ，則這樣的集合 共有（ ）
A．5個 B．6個
C．7個 D．8個
【答案】D
【分析】先求出全集 ，再求出集合 的子集即為 U ，再進行補集運算可得集合 ，進而可得正確選項.
【詳解】 = { || | < 4 且 ∈ Z} = { ―3, ― 2, ― 1,0,1,2,3}，
= { ―2,1,3}的子集有 ，{ ―2}，{1}，{3}，{ ―2,1}，{ ―2,3}，{1,3}，{ ―2,1,3}，
= { ―2,1,3}的子集有8個，( U ) ，所以 U 有8個，
因為 U( U ) = ，所以存在一個 U 即有一個相應的 ，
所以 = { ―3, ― 2, ― 1,0,1,2,3}，{ ―3, ― 1,0,1,2,3}，{ ―3, ― 2, ― 1,0,2,3}，{ ―3, ― 2, ― 1,0,1,2}，
{ ―3, ― 1,0,2,3}，{ ―3, ― 1,0,1,2}，{ ―3, ― 2, ― 1,0,2}，{ ―3, ― 1,0,2}有8個，
故選：D.
【方法技巧與總結】
理解補集的概念：對于集合 ，由全集 中不屬于集合 的所有元素組成的集合，稱為集合 相對于全集 的
補集.在運算時，先把集合化簡，對于連續型集合畫數軸輔助運算！
【題型五：根據補集運算確定集合或參數】
例 5．設全集 = {1,2,3,4}，且 = | 2 ― 5 + = 0, ∈ ，若 = {2,3}，則 m 的值等于（ ）
A．4 B．6 C．4 或 6 D．不存在
【答案】A
【分析】根據給定條件，求出集合 ，再借助韋達定理求解作答.
【詳解】由全集 = {1,2,3,4}， = {2,3}，得 = {1,4}，
Δ = 52 ― 4 > 0
即 1，4 是方程 2 ―5 + = 0的兩個根，于是 1 + 4 = 5 ，解得 = 4，
1 × 4 =
所以 m 的值等于 4.
故選：A
變式 5-1．設全集 = {2,3, 2 + ― 4}，集合 = { ,2}， = {3}，則 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ± 2 D． ―4
【答案】A
【分析】因為 = ( ) ∪ ，由集合相等的定義即可列出方程求出 的值，但要注意集合元素具有互異
性，所以求出 的值之后還要回代到具體集合中驗證是否滿足元素之間互異.
【詳解】由題意集合 = { ,2}， = {3}，
又因為 = ( ) ∪ = {2,3, }，且全集 = {2,3, 2 + ― 4}，
所以 = 2 + ― 4，解得 =± 2，
但當 = 2時，集合 = { ,2}違背了元素之間的互異性，
而當 = ―2時，集合 = { ―2,2}， = {3}， = { ―2,2,3}滿足題意,
綜上所述： = ―2.
故選：A.
變式 5-2．設全集 = {2,3, 2 + ― 2}，集合 = {| + 1|,2}, = {4}，則 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ―3 D． ―4
【答案】B
【分析】根據題意可確定 2 + ― 2=4，求得 m 的值，檢驗后確定答案.
【詳解】由題意全集 = {2,3, 2 + ― 2}，集合 = {| + 1|,2}, = {4}，
可得 2 + ― 2=4，解得 = ―3或 = 2，
當 = ―3時，| + 1| = 2，則 = {2,2}不合題意，
= 2時， = {2,3}， = {4}，符合題意，故 = 2，
故選：B.
變式 5-3．已知全集 = { |1 ≤ ≤ 5}, = { |1 ≤ < }，若 = { |2 ≤ ≤ 5}，則 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據題意，結合集合交集的概念及運算，即可求解.
【詳解】由集合 = { |1 ≤ ≤ 5}， = { |1 ≤ < }，
因為 = { |2 ≤ ≤ 5}，可得 = 2.
故選：C.
變式 5-4．設集合 = { || | < 2}, = { | > }，全集 = R,若 ,則有（ ）
A． = 0 B． ≤ 2 C． ≥ 2 D． < 2
【答案】C
【分析】先解不等式| | < 2得到 = { | ― 2 < < 2}，再求出 = { | ≤ }，利用數軸法即可得到 ≥ 2.
【詳解】由| | < 2，解得 ―2 < < 2，故 = { | ― 2 < < 2}
因為 = { | > }， = R，所以 = { | ≤ }，
又因為 ，由數軸法得 ≥ 2.
故選：C.
變式 5-5．集合 = { | ≤ ≤ }（ ≥ ， 、 ∈ 1），定義 ― 為 的長度.已知數集 = ― ,2
4
( ∈ )， = [0,1] 11，若 ,1 ，則 的長度的最大值是 .12
17
【答案】24
11 11
【分析】由 ,1 ，結合題意可求出0 ≤ ≤ 24，即可求出 的長度的最大值.12
1
【詳解】因為數集 = ― ,2 ( ∈ )， = [0,1]，
4
所以2 > ― 1 14，解得： > ― 4，
11
11 11
,1 ，所以0 ≤ 2 ≤
12 12
，所以0 ≤ ≤ 24.
則 的長度為:2 ― 1 = + 1 ― ，
4 4
11 1 17所以 的長度的最大值是：24 + 4 = 24.
17
故答案為：24
【方法技巧與總結】
1 A的補集是集合A；
2 對于離散型集合，注意集合的互異性；
3 對于連續型集合，利用數軸輔助思考！
一、單選題
1.設集合 = | 2 ― 2 = 0 ，則下列表述正確的是（ ）
A．{2} ∈ B．2 A
C．{0} D．0
【答案】C
【分析】根據元素與集合以及集合子集的定義即可結合選項求解.
【詳解】 = | 2 ― 2 = 0 = {0,2},
所以{2} ，{0} ，0 ∈ ，故 ABD 錯誤,C 正確,
故選：C
2.若集合 = | = + 1 , ∈ ， = | = , ∈ ，則 ， 的關系是（ ）
3 3
A． B． C． D． =
【答案】A
【分析】弄清楚集合 ， 的研究對象，由此得到集合 ， 之間的包含關系.
【詳解】由 = + 1 = 3n+13 3 , ∈ ,
所以集合 表示由3n +1除以 3 的數組成的集合.
集合 表示整數 除以 3 的數組成的結合.
所以
故選：A
【點睛】本題考查集合的基本運算，考查判斷兩個集合間的關系，屬于中檔題.
3.滿足條件{1,2} {1,2,3,4,5,6,7}的所有集合 的個數是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【分析】根據已知所給的集合關系將問題轉化求集合真子集即可.
【詳解】由集合 滿足條件{1,2} {1,2,3,4,5,6,7}，
所以集合 至少含元素 1,2，將 1,2 看成一個整體用 來表示，
則上述集合關系式變成：{ } { ,3,4,5,6,7}，
則此時集合 為集合{3,4,5,6,7}的真子集，
問題轉化為求集合{3,4,5,6,7}的真子集的個數即：25 ―1 = 31，
故滿足題意的集合 有 31 個.
故選：B.
4.已知集合 = {0,1, 2}， = {1,0,2 + 3}，若 = ，則 a 等于（ ）
A． ―1或 3 B．0 或 ―1 C．3 D． ―1
【答案】C
【分析】依題意可得 2 = 2 + 3，求出 的值，再檢驗即可.
【詳解】因為 = {0,1, 2}， = {1,0,2 + 3}且 = ，
即 2 = 2 + 3，解得 = ―1或 = 3，
當 = ―1時 2 = 2 + 3 = 1，不滿足集合元素的互異性，故舍去，
當 = 3時 = {0,1,9}， = {1,0,9}，符合題意.
故選：C
5.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = ∈ N| 3 ∈ N ，則 = （ ）
A．{0,1,3,5} B．{1,3,5} C．{0,2,4,5} D．{2,4,5}
【答案】C
【分析】首先求出集合 A，再由補集的概念求 即可.
【詳解】由題意得 = ∈ N| 3 ∈ N = {1,3}，

又因為 = {0,1,2,3,4,5}，所以C = {0,2,4,5}，
故選：C.
6.若集合 = |( + 1) 2 ― + ― 1 = 0 的所有子集個數是2，則 的取值是（ ）
A ―1 B 2 3 C ± 2 3 D ± 2 3． ． ． ． 或 ―1
3 3 3
【答案】D
【分析】分析可知，集合 有且只有一個元素，分 + 1 = 0、 + 1 ≠ 0兩種情況討論，在第一種情況下
直接驗證即可，在第二種情況下，由Δ = 0求出 的值，綜合即可得解.
【詳解】因為集合 = |( + 1) 2 ― + ― 1 = 0 的所有子集個數是2，則集合 有且只有一個元
素，
①當 + 1 = 0時，即當 = ―1時，則 = { | ― 2 = 0 } = {2}，合乎題意；
②當 + 1 ≠ 0時，即當 ≠ ―1時，則關于 的方程( + 1) 2 ― + ― 1 = 0只有一個實數解，
則Δ = 2 ―4( + 1)( ― 1) = 4 ― 3 2 = 0 =± 2 3，解得 .3
2 3
綜上所述， = ―1或 ± .
3
故選：D.
7.設集合 = | 2 ― 8 + 15 = 0 ，集合 = { | ― 1 = 0 }，若 ，則實數 a 取值集合的真子集的個
數為（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先解方程得集合 A，再根據 ，最后根據包含關系求實數 ，即得結果.
【詳解】 = | 2 ― 8 + 15 = 0 = {3,5},
因為 ，
當 = 時， = 0，
當 ≠ 1時，即 ≠ 0時，令 ― 1 = 0，解得 = ，
1
則 = 3
1
或 = 5
1
，則對應實數 的值為3,
1
5，
則實數 a 組成的集合的元素有 3 個，
所以實數 a 組成的集合的真子集個數有23 ―1 = 7，
故選：C.
8.設集合 1 = | 2 + + 1 > 0 ， 2 = | 2 + + 2 > 0 ， 1 = | 2 + + > 0 ， 2 =
| 2 + 2 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列說法正確的是（ ）
A．對任意 a， 1是 2的子集，對任意的 b， 1不是 2的子集
B．對任意 a， 1是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得 1不是 2的真子集，對任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得 1不是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
【答案】B
【分析】結合參數取值情況，根據集合間元素的關系確定子集關系是否成立，即可判斷.
【詳解】解：對于集合 1 = | 2 + + 1 > 0 ， 2 = | 2 + + 2 > 0
可得當 ∈ 1，即 2 + + 1 > 0，可得 2 + + 2 > 0，即有 ∈ 2，可得對任意 a， 1是 2的子集；
當 = 5時， 1 = | 2 + + 5 > 0 = R， 2 = | 2 + 2 + 5 > 0 = R，可得 1是 2的子集；
當 = 1時， 1 = | 2 + + 1 > 0 = R， 2 = | 2 + 2 + 1 > 0 = { | ≠ ―1且 ∈ R}，可得 1不是 2的
子集；
綜上有，對任意 a， 1是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集.
故選：B.
二、多選題
9． 下列命題中，是真命題的有（ ）
A．集合{1,2}的所有真子集為{1},{2}
B．若{1, } = {2, }（其中 , ∈ ），則 + = 3
C．{ | 是等邊三角形} { | 是等腰三角形}
D．{ | = 3 , ∈ } { | = 6 , ∈ }
【答案】BC
【分析】根據真子集的定義即可判斷 A；根據等集的定義即可判斷 B；根據子集的定義即可判斷 CD.
【詳解】集合{1,2}真子集是 ，{1},{2}共 3 個，所以 A 為假命題；
由{1, } = {2, }，知 = 2， = 1，則 + = 3，則 B 為真命題；
等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以 C 為真命題；
{ | = 6 = 2 × 3 , ∈ }，所以{ | = 6 , ∈ } { | = 3 , ∈ }，所以 D 為假命題．
故選：BC.
10.已知集合 = { | + 1 = 0, ∈ R}, = | 2 ― ― 56 = 0 ，若 ，則實數 a 的值可以是（ ）．
1 1 1
A．9 B．7 C．0 D． ― 8
【答案】BCD
【分析】根據題意，求得 = { ― 7,8}，再分 = 0和 ≠ 0，求得集合 ，結合 ，即可求解.
【詳解】由方程 2 ― ― 56 = ( ― 8)( + 7) = 0，解得 = ―7或 = 8，即 = { ― 7,8}，
當 = 0時，則方程 + 1 = 0無實數解，此時 = ，滿足 ，符合題意；
當 ≠ 0時，由 + 1 = 0，可得 = ― 1 此時 = ―
1
，

要使得 1 1 1 1，可得 ― = ―7或 ― = 8，解得 = 7或 = ― 8.
1 1
綜上可得，實數 的值為0或7或 ― 8.
故選：BCD.
11.下列選項正確的有（ ）
A．已知全集 = | 2 ― 3 + 2 = 0 ， = | 2 ― + 2 = 0 ， = ，則實數 p 的值為 3
B ．若 , ,1 = { 2, + ,0}，則 2023 + 2023 = 1

1
C．已知集合 = | 2 + + 2 = 0, ∈ R 中元素至多只有 1 個，則實數 a 的范圍是 ≥ 8
D．若 = { | ― 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 ― 1}，且 ，則 ≤ 3
【答案】AD
【分析】求出集合 ，再求出 p 的值即可判斷 A；由集合相等求出 , 判斷 B；利用已知分類討論求解判斷
C；利用集合的包含關系分類討論求解判斷 D.
【詳解】對于 A， = | 2 ― 3 + 2 = 0 = {1,2}，
因為 = ，所以 = = {1,2}，
即方程 2 ― + 2 = 0的根為1,2，
所以 = 1 + 2 = 3，故 A 正確；
對于 B，由 , ,1 = { 2, + ,0}，得 ≠ 0, ≠ 1,

= 0，
因此 2 = 1，解得 = ―1, = 0，則 2023 + 2023 = ―1，故 B 錯誤；
對于 C，依題意，當 = 0時，由 + 2 = 0，得 = ―2，此時集合 中只有一個元素，
當 ≠ 0時，集合 中最多只有一個元素，
即一元二次方程 2 + + 2 = 0最多一個實根，
于是Δ = 1 ― 8 ≤ 0，解得 ≥ 18，
所以實數 a 的范圍是 = 0或 ≥ 18，故 C 錯誤；
對于 D，因為 ，所以當 = 時， + 1 > 2 ― 1，解得 < 2，
當 ≠ 時， ―2 ≤ + 1 ≤ 2 ― 1 ≤ 5，解得2 ≤ ≤ 3，
綜上， ≤ 3，D 正確.
故選：AD.
三、填空題
12．已知集合 = |3 ≤ 2 ≤ 5， ∈ ，那么 的真子集有 個．
【答案】3
【分析】先求解集合 ，然后可得答案.
【詳解】 = |3 ≤ 2 ≤ 5, ∈ = { ―2,2}，所以 的真子集有22 ―1 = 3個.
故答案為：3
13.已知集合 = { | ―2 ≤ ≤ 5 }， = { |1 ― ≤ ≤ 2 ― 1 }，且 ．則實數 的取值范圍為 ．
【答案】 ≥ 3
【分析】利用 建立不等關系，求解即可.
【詳解】因為 2 ― 1 ≥ 5，所以 1 ― ≤ ―2 ，解得 ≥ 3.
故答案為： ≥ 3
14.設集合 = { 1, 2, , } {2,3, ,37}，（ ≥ 2， ∈ ）且 A 中任意兩數之和不能被 5 整除，則 n 的最大
值為 .
【答案】16
【分析】先根據{2,3, ,37}中的數除以5的余數將集合 進行分組，然后根據整除的知識求得正確答案.
【詳解】根據除以 5 的余數，可將 A 集合分為 5 組：
0 = {5,10,15,20,25,30,35}，則card( 0) = 7，
1 = {6,11,16,21,26,31,36}，則card( 1) = 7，
2 = {2,7,12,17,22,27,32,37}，則card( 2) = 8，
3 = {3,8,13,18,23,28,33}，則card( 3) = 7，
4 = {4,9,14,19,24,29,34}，則card( 4) = 7，
A 中的任何兩個數之和不能被 5 整除，故 1和 4， 2和 3中不能同時取數，且 0中最多取一個，
∴最多的取法是取 1 ∪ 2和 0中的一個元素，card( )max = 7 + 8 + 1 = 16，故 n 的最大值為 16.
故答案為：16
【點睛】兩數之和能被5整除，則兩數分別除以5的余數之和能被5整除.本題的分析方法是先求得{2,3, ,37}
中所有數除以5的余數，從而進行分組，分組之后根據和能被5整除的知識來求得正確答案.
四、解答題
15．確定下列每組兩個集合的包含關系或相等關系：
(1)A={ | 為 12 的正約數}與 = {1,3,2,4,6,12}；
(2) = { | = 2 , ∈ }與 = { | 為 4 的正整數倍}.
【答案】(1) =
(2) 為 的真子集
【分析】（1）用列舉法表示出集合 可得答案；
（2）根據集合 與 里元素的性質可得答案.
【詳解】（1）因為 = {1,2,3,4,6,12}，所以 = ；
（2）因為 = { | = 4 = 2 × 2 , ∈ }， = { | = 2 , ∈ }，
所以 為 .的真子集.
16.已知集合 = ∣ 2 ―1 ≥ 1 ，集合 = [ ― 1,2 + 1].
+1
(1)求集合 A 和集合 R .
(2)已知集合 是集合 A 的子集，求實數 的取值范圍.
【答案】(1) = ( ― ∞, ― 1) ∪ [2, + ∞)， R = [ ― 1,2)
(2)( ― 2, ― 1) ∪ [3, + ∞)
【分析】（1）解分式不等式得到集合 A，然后求出 R ;
（2）根據集合 是集合 A 的子集列出不等式求解即可.
2 ―1 2 ―1
【詳解】（1） +1 ≥ 1 +1 ―1 =
―2 ≥ 0 ( ― 2)( + 1) ≥ 0 +1 + 1 ≠ 0 ≥ 2或 < ―1，
所以 = ( ― ∞, ― 1) ∪ [2, + ∞)， R = [ ― 1,2)
（2） = [ ― 1,2 + 1]且集合 是集合 A 的子集，
― 1 < 2 + 1 ― 1 < 2 + 1
所以 ― 1 ≥ 2 或 2 + 1 < ―1 ，
解得 ≥ 3或 ―2 < < ―1，
故實數 的取值范圍為( ― 2, ― 1) ∪ [3, + ∞).
17.已知集合 = { | ― 2 < < 6}, = { | < < }，其中 , ( < )是關于 的方程( ― 3 )( + )
= 0( > 0)的兩個不同的實數根.
(1)若 = ，求出實數 的值；
(2)若 ，求實數 的取值范圍.
【答案】(1)2
(2)[2, + ∞)
【分析】（1）先根據 = 得到 = ―2, = 6，結合方程的兩根得到方程，求出 = 2；
（2） ，故 ≤ ―2, ≥ 6，結合方程的兩根得到不等式，求出 ≥ 2.
【詳解】（1）因為 = ，故 = ―2, = 6，
又( ― 3 )( + ) = 0( > 0)的兩根分別為 ― ,3 ，
故 ― = ―2,3 = 6，
故 = 2；
（2）因為 ，故 ≤ ―2, ≥ 6，
又( ― 3 )( + ) = 0( > 0)的兩根分別為 ― ,3 ，
― ≤ ―2
故 3 ≥ 6 ，解得 ≥ 2，
故實數 的取值范圍是[2, + ∞).
18.設集合 = { ∣ 2 ― 5 + 6 = 0, ∈ }, = { ∣ ― 1 = 0, ∈ }
1
(1)若 = 2，試判斷集合 與 的關系；
(2)若 ，求 的值組成的集合 ．
【答案】(1) ， 是 的真子集；
(2) = {0,1 12,3}．
【分析】（1）當 = 12時求出集合 A 與 B，再判斷關系；
（2）求出集合 B，注意對 = 0與 ≠ 0分類討論，根據 ，列方程求解．
【詳解】（1） = { ∣ 2 ― 5 + 6 = 0, ∈ }, = { ∣ ― 1 = 0, ∈ }
當 = 12時， = {2,3}, = {2}，
所以 B 是 A 的真子集．
（2） = {2,3}．
若 = 0，則 = ， 是真子集 成立；
若 ≠ 0，則 = {1 }，因為 是 A 真子集，
∴ 1 = 2
1
或 = 3
1
，所以 = 2或 =
1
3．
所以 1 1的值組成的集合 = {0，2，3}．
19．已知集合 = { | = ( 1, 2,…, ), ∈ {0,1}, = 1,2,…, }( ≥ 2)，對于 = ( 1, 2,…, )， =

( 1, 2, , ) ∈ ，定義 與 之間的距離為 ( , ) = | ― |．
=1
(1)已知 = (1,1,0,0) ∈ 4，寫出所有的 ∈ 4，使得 ( , ) = 1；
(2)已知 = (1,1, ,1) ∈ ，若 , ∈ ，并且 ( , ) = ( , ) = ≤ ，求 ( , )的最大值；
(3)設集合 , 中有 ( ≥ 2)個元素，若 中任意兩個元素間的距離的最小值為 ，求證 ≤ 2 ― +1
【答案】(1)(0,1,0,0)、(1,0,0,0)、(1,1,1,0)、(1,1,0,1)
(2) ( , ) = 2 ,2 ≤ max 2( ― ),2 >
(3)證明見解析
【分析】（1）根據題中定義可得 的所有情形；
（2）分2 ≤ 、2 > 兩種情況，利用絕對值三角不等式可求得 ( , )的最大值；
（3）表示出 ′ = {( 1, 2, , ― +1)|( 1, 2, , ― +1, , ) ∈ }，結合定義，可得( 1, 2, , ― +1) ≠
( 1, 2, , ― +1)，即 ′中任意兩元素不相等，可得 ′中至多有2 ― +1個元素，即可得證．
【詳解】（1）已知 = (1,1,0,0) ∈ 4， ∈ 4，且 ( , ) = 1，
所以 的所有情形有：(0,1,0,0)、(1,0,0,0)、(1,1,1,0)、(1,1,0,1)；
（2）設 = ( 1, 2, , )， = ( 1, 2, , )，

因為 ( , )= | ― 1| = (1 ― ) = ，則 1 + 2 + + = ― ，
=1 =1
同理可得 1 + 2 + + = ― ，

當 ≥ 2 時， ( , ) = | ― | = | ― 1 + 1 ― | ≤ |1 ― | + |1 ― | = 2 ；
=1 =1 =1 =1

當 < 2 時， ( , ) = | ― | ≤ + = 2 ― 2 .
=1 =1 =1
當 = 1,1, ,1,0,0, ,0 ， = 0,0, 0,1,1, ,1 時，上式等號成立.
個 1 個 1
( , ) = 2 ,2 ≤ 綜上所述， max 2( ― ),2 > ；
（3）記 ′ = {( 1, 2, , ― +1)|( 1, 2, , ― +1, , ) ∈ }，
我們證明| ′| = | |．一方面顯然有| ′| ≤ | |．另一方面， , ∈ 且 ≠ ，
假設他們滿足 1 = 1, 2 = 2, , ― +1 = ― +1．則由定義有 ( , ) ≤ ― 1，
與 中不同元素間距離至少為 相矛盾．
從而( 1, 2, , ― +1) ≠ ( 1, 2, , ― +1)．
這表明 ′中任意兩元素不相等．從而| ′| = | | = ．
又 ′中元素有 ― + 1個分量，至多有2 ― +1個元素．
從而 ≤ 2 ― +1．
【點睛】方法點睛：解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：
（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解
題過程之中，這是新定義型集合問題難點的關鍵所在；
（2）用好集合的性質，解題時要善于從試題中發現可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之外用好集合
的運算與性質.

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