資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題27.2.2&27.2.3相似三角形（二）九大題型（一課一講）
（內(nèi)容:相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用）
【人教版】
題型一：重心的有關(guān)性質(zhì)
【經(jīng)典例題1】如圖， ABC的兩條中線、交于點，且，連接并延長與交于點，如果，，那么下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，∠B=90°，點O是的重心，如果，則點O到邊的距離是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，已知，是 ABC的中線， 點G是 ABC的重心， 過G作交于點E，交于點F． 若 ABC面積為36， 則的面積為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【變式訓(xùn)練1-3】在 ABC中，是邊上的中線，點G是重心，如果，那么線段的長是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【變式訓(xùn)練1-4】在中，，，，點G是 ABC的重心，，垂足為點E，那么線段的長是（ ）
A．2 B． C．2 D．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，點為的重心，，，分別為，，的中點，且的面積為，則的面積為（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
題型二：利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度
【經(jīng)典例題2】如圖，點是 ABC內(nèi)一點，，，，，，的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，矩形中，，、分別為、上點，交于，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，若，，，，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，為正方形的對角線上的一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點恰好落到邊上，線段交對角線于點，且為的中點．若正方形的邊長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，正方形中，M為上一點，，交的延長線于點E．若，，則的長為（ ）
A．18 B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，正方形中，M為上一點，，交的延長線于點E．若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
題型三：利用相似比求周長比
【經(jīng)典例題3】如果兩個相似三角形對應(yīng)面積的比為，則這兩個三角形對應(yīng)周長的比是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-1】在 ABC和中，已知，且 ABC的周長為6，的周長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接交點，則的周長與的周長之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，，相交于點O，，點E，F(xiàn)分別是線段，的中點，若，的周長為，的周長為，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，在中，，，分別是邊AB、AC上的高線，連接，那么和的周長之比為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-5】已知如圖所示，在 ABC中，點在邊上，點、在邊上，且，使．
(1)求證：；
(2)把 FDE與的周長分別記作、，如果，求的值．
題型四：利用相似比求面積比
【經(jīng)典例題4】如圖，在中，點E在邊上，與交于點O，，則與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在 ABC中，點分別為的中點，則與 ABC的面積之比為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-2】已知，且 ，且 ABC與的周長和為175 ，則 ABC的周長為 ．
【變式訓(xùn)練4-3】已知：如圖，點D、E分別在 ABC的邊上，，且，連接，則 ADE與 BEC的面積比的比值為 ．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，點是 ABC的角平分線的中點，點、分別在、邊上，線段過點，且，那么 ADE和 ABC的面積比是 ．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖1，在學(xué)習(xí)三角形的中位線時，我們知道D，E，F(xiàn)分別是 ABC三邊的中點，且，則三條中位線在三角形內(nèi)部構(gòu)成的新三角形，其面積與原三角形面積的比值是；如圖2，已知D，E，F(xiàn)分別是 ABC三邊的三等分點，且，依次連接，則與 ABC面積的比值是 ．
題型五：相似三角形中動點問題
【經(jīng)典例題5】如圖，在中，， ， ，點從點開始沿以的速度向點運動，點從點開始沿以的速度向點運動，如果，分別從，同時出發(fā)，其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止，設(shè)運動時間為． 當(dāng)為何值時，以，，為頂點的三角形與相似
【變式訓(xùn)練5-1】在平行四邊形中，的面積為48．
(1)如圖1，求邊上的高的長；
(2)P是邊上的一個動點，點C，D同時繞按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．
i）如圖2，當(dāng)落在射線上時，求的長；
ii）當(dāng)是直角三角形時，求的長．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在矩形ABCD中，，，動點M以的速度從A點出發(fā)，沿向點B運動，同時動點N以的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為秒．
(1)當(dāng)為何值時，的面積等于矩形面積的？
(2)是否存在某一時刻，使得以A、M、N為頂點的三角形與相似 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在 ABC中，，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿向點A運動，過點P作于點Q，以為邊向右作矩形，使，點F落在射線上．設(shè)點P的運動時間為t（）秒．
(1)求的長；（用含t的代數(shù)式表示）
(2)連接，當(dāng)與 ABC相似時，求t的值；
(3)當(dāng)將 ABC的面積分成兩部分時，直接寫出點E到的距離．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，在矩形中，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿射線方向運動，動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿線段方向運動．點P和點Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點D時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（）．
(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長；
(2)當(dāng)與矩形的對角線平行時，求t的值；
(3)若點M為的中點，求以M、P、C為頂點的三角形與 ABC相似時t的值；
(4)直接寫出點B關(guān)于直線的對稱點落在邊上時t的值．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在中，，，，動點P從點A出發(fā)，沿折線向終點B運動，當(dāng)點P不與點A、B重合時，過點P作于點D，以、為鄰邊作矩形．
(1)線段的長為______；
(2)當(dāng)矩形恰好是正方形時，求該正方形的邊長；
(3)當(dāng)時，求的長；
(4)延長到點Q，使，連接．當(dāng)直線分矩形的面積為兩部分時直接寫出的長．
題型六：在網(wǎng)格中畫出與已知三角形相似的三角形
【經(jīng)典例題6】圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點， ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中，分別在邊、上畫點、，連結(jié)，使，且．
(2)在圖②中，分別在邊、上畫點、，連結(jié)，使，且．
(3)在圖③中畫出，點、分別在邊、上，且與的位似比為．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，的頂點均在格點上，在該網(wǎng)格中畫出（頂點均在格點上），使（相似比），并求出相似比．
【變式訓(xùn)練6-2】正方形網(wǎng)格中，三個頂點都在網(wǎng)格格點上的三角形叫做格點三角形．請分別在圖2，圖3中畫一個大小不一樣的格點三角形，且與圖1中的格點三角形相似（不包括全等）．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點， ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中 ABC的邊上確定一點，連結(jié)，使；
(2)在圖②中 ABC的邊上確定一點，連結(jié)，使．
【變式訓(xùn)練6-4】以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點A、B、C、D均在格點上．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．
(1)如圖①，在上找一點P，使．
(2)如圖②，在上找一點P，使．
【變式訓(xùn)練6-5】圖①、圖②、均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點， ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①的網(wǎng)格中確定一點D，連結(jié)，使與 ABC全等．（畫出兩個）
(2)在圖②中 ABC的邊上確定一點E，連結(jié)，使；
(3)在圖③中 ABC的邊上確定一點P，在邊上確定一點Q，連結(jié)，使，且相似比為．
題型七：利用相似求坐標(biāo)
【經(jīng)典例題7】已知直線：與直線：相交于點，且兩直線的夾角為，則點的坐標(biāo)為 ．
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為、，連接．動點P從點A開始在折線段上以每秒2個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段上以每秒3個單位長度的速度向點A移動．設(shè)點P、Q移動的時間為t秒，當(dāng)與 AOB相似時，點P的坐標(biāo)是 ．
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，直線與雙曲線相交于和兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D．
(1)求雙曲線的解析式；
(2)連接、，求 AOB的面積；
(3)在y軸上是否存在一點P，使與相似？若存在求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練7-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．若a，b的值是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，且．
(1)直接寫出___________，___________
(2)若點P在y軸上，且，求點P的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練7-5】如圖，矩形的頂點、分別在軸和軸上，點的坐標(biāo)為，雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點，且與交于點，連接
(1)求 BDE的面積
(2)若點是邊上一點，且∽，求點坐標(biāo)．
題型八：相似三角形的實際應(yīng)用
【經(jīng)典例題8】為了證明光是沿直線傳播的這一性質(zhì)，大約二千四百年前我國杰出的科學(xué)家墨翟和他的學(xué)生做了世界上第一個小孔成倒像的實驗，解釋了小孔成倒像的原理．如圖是小孔成像原理的示意圖，長的蠟燭在暗盒中所成的像的長是，則像到小孔的距離為（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【變式訓(xùn)練8-1】某天小明和小亮去某影視基地游玩，當(dāng)小明給站在城樓上的小亮照相時，發(fā)現(xiàn)他自己的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面的距離為米，涼亭頂端離地面的距離為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為38米，小亮身高為米．求城樓的高度．
【變式訓(xùn)練8-2】 如圖，玻璃桌面與地面平行、桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光源O與鉛筆所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，在地面上形成的影子為（不計折射），，已知點O到距離為，桌面的高度EF為，鉛筆，在桌面上沿著方向平移鉛筆，試求影子的長度．
【變式訓(xùn)練8-3】如圖，濤濤同學(xué)在公園里散步，他發(fā)現(xiàn)：當(dāng)他站在甲、乙兩盞路燈（路燈足夠亮）之間，并且自己被兩邊的路燈照在水平地面上的影子成一直線時，甲燈照射的影子長2米，乙燈照射的影子長3米，已知濤濤同學(xué)身高為1.6米，兩盞路燈和的高度相同，兩路燈相距為15米，求路燈的高．
【變式訓(xùn)練8-4】如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在測量旗桿（與地面垂直）的高度時，由于旗桿底部無法直接到達(dá)，他們先在點C出放一小鏡，然后站在點E處，從點E的垂直上方點D處用激光筆照射小鏡發(fā)現(xiàn)反射光線正好照到旗桿頂端A，此時測得，，接著將小鏡向點E處移動到點G，調(diào)整激光筆高度，在點F（點F在上）處發(fā)現(xiàn)反射光線又照到旗桿頂端A，測得，已知圖中各點均在同一平面內(nèi)，求旗桿的高度．
【變式訓(xùn)練8-5】小明想測量電線桿的高度，他發(fā)現(xiàn)電線桿的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此時刻得高的標(biāo)桿在地面的影長為．
(1)點D到地面的距離為 米
(2)求電線桿的高（結(jié)果保留根號）
(3)若是在坡底下C處的一棵大樹，樹尖剛好落在光線上，在山坡上有一建筑物高，求此時它落在坡面上的影長 （結(jié)果保留根號）．
題型九：相似三角形的性質(zhì)和判定綜合
【經(jīng)典例題9】如圖，在梯形中，，，，點、分別在線段、上，．的延長線交邊于點，交于點、其延長線交的延長線于點．
（1）求證：；
（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)與相似時，求的長．
【變式訓(xùn)練9-1】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．
（1）求證：四邊形EFDG是菱形；
（2）求證EG2＝GF AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的長．
【變式訓(xùn)練9-2】如圖，已知是的直徑，點C是的中點，點D是的中點，連接，，，與交于點E，過點D作于點F．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求的長度．
【變式訓(xùn)練9-3】如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上點F處，延長交的延長線于點G．
(1)求線段的長；
(2)如圖2，M，N分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設(shè)，．
①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；
②是否存在這樣的點M，使是等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練9-4】在矩形中，． 沿過點的直線折疊矩形，使點落在邊上點處，折痕為．
【嘗試】
（1）如圖1，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由．
【探究】
（2）隨著折痕位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時，是否存在點，使？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．
【延伸】
（3）如圖2，折疊，使邊落在上處，折痕為． 若，求的值．
【變式訓(xùn)練9-5】在等腰 ABC中，，點是邊上一點（不與點B、C重合），連接．
(1)如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接，則 ；
(2)若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
①在圖2中補全圖形；
②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)如圖3，若，且．試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題27.2.2&27.2.3相似三角形（二）九大題型（一課一講）
（內(nèi)容:相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用）
【人教版】
題型一：重心的有關(guān)性質(zhì)
【經(jīng)典例題1】如圖， ABC的兩條中線、交于點，且，連接并延長與交于點，如果，，那么下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的中線和重心，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判斷；由直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得，即得，即可判斷、，據(jù)此即可求解，掌握三角形的中線和重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵ ABC的兩條中線交于點，
∴點是 ABC的重心，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，故正確，不符合題意；錯誤，符合題意；
∵，是的中點，
∴，
∴，
∴，故、正確，不符合題意；
故選：．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，∠B=90°，點O是的重心，如果，則點O到邊的距離是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的重心，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
連接并延長交于點，作于點，連接并延長交于點，作交于，證明得，由點是的重心得，，代入比例式即可求解．
【詳解】解∶連接并延長交于點，作于點，連接并延長交于點，作交于，
點是的重心，，
，
，
，，，
，
，
根據(jù)題意，在中，，，
，
，
點是的重心，，
，
，
，
所以點到邊的距離是6．
故答案為∶B．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，已知，是 ABC的中線， 點G是 ABC的重心， 過G作交于點E，交于點F． 若 ABC面積為36， 則的面積為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本題考查三角形重心的性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．理解和掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)重心的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得，接著證明，，然后根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得，，從而求出，，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：∵點G是 ABC的重心，
∴，
∴，
∵是 ABC的中線，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故選：A．
【變式訓(xùn)練1-3】在 ABC中，是邊上的中線，點G是重心，如果，那么線段的長是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【分析】本題主要考查了重心的定義和性質(zhì)，根據(jù)重心的性質(zhì)解答即可.
【詳解】∵是邊上的中線，點G是重心，，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-4】在中，，，，點G是 ABC的重心，，垂足為點E，那么線段的長是（ ）
A．2 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握三角形重心的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵；延長交于，根據(jù)勾股定理求出，再證明，結(jié)合重心的性質(zhì)可得，即可求出．
【詳解】解：如圖，延長交于，
，，，
，
點G是 ABC的重心，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，點為的重心，，，分別為，，的中點，且的面積為，則的面積為（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【分析】本題考查三角形重心的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，由線段的比例關(guān)系和的面積即可得的面積為，進(jìn)而可得的面積為9，根據(jù)中線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵點為的重心，
∴
∵的面積為，
的面積為，
的面積為，
點為的中點，
的面積等于的面積，
的面積為．
故選：C．
題型二：利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度
【經(jīng)典例題2】如圖，點是 ABC內(nèi)一點，，，，，，的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，如圖，延長交于M，延長交于N，易證得四邊形、四邊形為平行四邊形，則，，根據(jù)相似三角形的判定易得，利用相似比可得，再判斷，利用相似比可得，由，于是解方程即可得解，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
【詳解】如圖，延長交于M，延長交于N，
∵，，，
∴四邊形、四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，矩形中，，、分別為、上點，交于，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接， 設(shè)點為的中點，可得點四點共圓，即得，進(jìn)而可得，得到，即可得，再利用勾股定理求出即可求出．
【詳解】解：連接， 設(shè)點為的中點，
∵，
∴點四點共圓，如圖所示，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴是圓的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：．
【點睛】本題考查了四點共圓，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，若，，，，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得到，把、、代入比例式中求解即可．
【詳解】解：，
，
，，，
，
解得：，
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，為正方形的對角線上的一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點恰好落到邊上，線段交對角線于點，且為的中點．若正方形的邊長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，過點作于點，先證明是等腰直角三角形，得到，再證明得到，，求出，得到，明，得到，求出（負(fù)值舍去），則 ，即可得到．
【詳解】解：如圖，過點作 于點，
∵四邊形是正方形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∴
∴，
∵正方形的邊長為
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴ （負(fù)值舍去），
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，正方形中，M為上一點，，交的延長線于點E．若，，則的長為（ ）
A．18 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求出的長，證明，列出比例式，求出的長，進(jìn)而求出的長即可．
【詳解】解：∵正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，正方形中，M為上一點，，交的延長線于點E．若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求出的長，證明，列出比例式，求出的長，進(jìn)而求出的長即可．
【詳解】解：∵正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選B．
題型三：利用相似比求周長比
【經(jīng)典例題3】如果兩個相似三角形對應(yīng)面積的比為，則這兩個三角形對應(yīng)周長的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，對應(yīng)周長的比等于相似比解答．
【詳解】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)的面積之比為，
∴相似比是，
又∵相似三角形對應(yīng)周長的比等于相似比，
∴對應(yīng)周長的比為，
故選：D．
【變式訓(xùn)練3-1】在 ABC和中，已知，且 ABC的周長為6，的周長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得．
【詳解】解：∵，
，
的周長與的相似比為，
的周長等于6，
的周長為，
故選：D．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接交點，則的周長與的周長之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證明，再由相似三角形的周長之比等于相似比即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
，
，
∴，
與的相似比為，
∵，
∴，
∴，
根據(jù)的周長與的周長之比等于與 BFA的相似比可得，
故選：B．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的周長之比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，，相交于點O，，點E，F(xiàn)分別是線段，的中點，若，的周長為，的周長為，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線．由題意知為的中位數(shù)，得，進(jìn)而可知，由，可知，在根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵點E，F(xiàn)分別是線段，的中點，即：為的中位數(shù)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，在中，，，分別是邊AB、AC上的高線，連接，那么和的周長之比為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由∠A=60°，CD、BE是AB、AC邊上的高，可得∠ABE=∠ACD=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得，由∠A是公共角，即可證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形周長比等于相似比即可得答案.
【詳解】∵∠A=60°，CD、BE是AB、AC邊上的高，
∴∠ABE=∠ACD=30°，
∴，
∵∠A為△ADE和△ACB的公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴△ADE與△ACB的相似比為，
∴和的周長之比=.
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；熟練掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練3-5】已知如圖所示，在 ABC中，點在邊上，點、在邊上，且，使．
(1)求證：；
(2)把 FDE與的周長分別記作、，如果，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，解一元二次方程．
（1）由得比例，結(jié)合已知比例，利用過渡比得出，即可證明，得到，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
∴解得：（舍負(fù)），
∴．
題型四：利用相似比求面積比
【經(jīng)典例題4】如圖，在中，點E在邊上，與交于點O，，則與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．由，可得出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得出與的面積之比．
【詳解】解：∵在中，
∴，，
∴，
∴相似比為，
∵，即，
∴，
∴，即與的面積之比為，
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在 ABC中，點分別為的中點，則與 ABC的面積之比為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的應(yīng)用，正確判定相似，利用面積之比等于相似比的平方，計算即可．
【詳解】∵點分別為的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可證，，，，
∴，
∴，
故選：C．
【變式訓(xùn)練4-2】已知，且 ，且 ABC與的周長和為175 ，則 ABC的周長為 ．
【答案】75
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得△ABC的周長:△DEF的周長=3:4，然后根據(jù)與的周長和為175即可計算出△ABC的周長．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF的面積比為9：16，
∴△ABC與△DEF的相似比為3：4，
∴△ABC的周長：△DEF的周長=3：4，
∵與的周長和為175 ，
∴△ABC的周長=×175=75．
故答案是：75．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
【變式訓(xùn)練4-3】已知：如圖，點D、E分別在 ABC的邊上，，且，連接，則 ADE與 BEC的面積比的比值為 ．
【答案】
【分析】本題考查相似三角形判定及性質(zhì)．根據(jù)題意利用平行線性質(zhì)可得，繼而利用相似三角形性質(zhì)可得本題答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∴，
∴ ADE與 BEC的面積比的比值為： ，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，點是 ABC的角平分線的中點，點、分別在、邊上，線段過點，且，那么 ADE和 ABC的面積比是 ．
【答案】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先證，推出，再證，則．
【詳解】解：點是的中點，
，
是 ABC的角平分線，
，
又，即，
，
；
，，
，
，
ADE和 ABC的面積比是，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖1，在學(xué)習(xí)三角形的中位線時，我們知道D，E，F(xiàn)分別是 ABC三邊的中點，且，則三條中位線在三角形內(nèi)部構(gòu)成的新三角形，其面積與原三角形面積的比值是；如圖2，已知D，E，F(xiàn)分別是 ABC三邊的三等分點，且，依次連接，則與 ABC面積的比值是 ．
【答案】
【分析】本題考查三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．取中點G，中點H，中點I，連接，，，先證，推出，根據(jù)等高三角形面積比等于底邊長度之比，可得，同理推出，，即可求解．
【詳解】解：如圖，取中點G，中點H，中點I，連接，，，
，
，，，
，
又，
，
，即，
，
，
同理可證，，
，
綜上可知，與的面積的比值為．
故答案為：．
題型五：相似三角形中動點問題
【經(jīng)典例題5】如圖，在中，， ， ，點從點開始沿以的速度向點運動，點從點開始沿以的速度向點運動，如果，分別從，同時出發(fā)，其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止，設(shè)運動時間為． 當(dāng)為何值時，以，，為頂點的三角形與相似
【答案】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．本題中兩個三角形相似存在兩種情況：當(dāng)時，；當(dāng)時，，對應(yīng)角不同相似三角形的對應(yīng)邊也不相同，所以本題要分兩種情況討論，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如下圖所示，
點運動的時間為，點運動的時間為，
當(dāng)運動時間為時，，，
則有
中，，以，，為頂點的三角形中，
如果和以，，為頂點的三角形相似，
則有或，
當(dāng)時，，
，
，
解得：；
當(dāng)時，，
，
，
解得：；
綜上所述當(dāng)運動的時間為或時，以，，為頂點的三角形與相似．
【變式訓(xùn)練5-1】在平行四邊形中，的面積為48．
(1)如圖1，求邊上的高的長；
(2)P是邊上的一個動點，點C，D同時繞按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．
i）如圖2，當(dāng)落在射線上時，求的長；
ii）當(dāng)是直角三角形時，求的長．
【答案】(1)8
(2)i）；ii）6或
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可解決問題；
（2）i）過點C作于點H，過點作交延長線于點Q，證明，得，設(shè)，則， ，，證明，由對應(yīng)邊成比例求出x的值，即可得BP的長；
ii）分三種情況討論： 當(dāng)以為直角頂點時，根據(jù)勾股定理求解即可；當(dāng)以A為直角頂點時，先證明，再證明，設(shè)，根據(jù)列方程，解方程求出t的值即可；當(dāng)以D為直角頂點時，不符合題意．
【詳解】（1）解：如圖1，連接，
的面積，
，
，
邊上的高的長為8；
（2）i）解：如圖2，當(dāng)落在射線上時，過點C作于點H，過點作交延長線于點Q，則，
點繞P按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
，
的長為；
ii）解：如圖，延長交， 分別于E，F(xiàn)，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
當(dāng)以為直角頂點時，是直角三角形，如圖，
，
落在線段的延長線上，
，
，
由（1）知，，
，
；
當(dāng)以A為直角頂點時，是直角三角形，如圖，
設(shè)與射線交于點，過點C作于點H，則，
由旋轉(zhuǎn)可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由知，，
設(shè)，則，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
當(dāng)以為直角頂點時，點P落在的延長線上，不符合題意，
綜上所述：的長為6或．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識，正確的作出輔助線，熟練運用分類討論思想．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在矩形ABCD中，，，動點M以的速度從A點出發(fā)，沿向點B運動，同時動點N以的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為秒．
(1)當(dāng)為何值時，的面積等于矩形面積的？
(2)是否存在某一時刻，使得以A、M、N為頂點的三角形與相似 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)時，的面積等于矩形面積的；
(2)當(dāng)或時，以A、M、N為頂點的三角形與相似．
【分析】本題考查了相似三角形——動點問題和平行四邊形的動點問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
（1）由的面積等于矩形面積的，可得，即可求得；
（2）與相似，分為兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知：，，
∴，
∵的面積等于矩形面積的，
∴，
解之得：，
∴時，的面積等于矩形面積的；
（2）解：存在．理由如下：
∵與相似，
∴分為兩種情況：
①當(dāng)時，
∴，即，
解得：；
②當(dāng)時，
∴，即，
解得：，
綜上所述，當(dāng)或時，以A、M、N為頂點的三角形與相似．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在 ABC中，，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿向點A運動，過點P作于點Q，以為邊向右作矩形，使，點F落在射線上．設(shè)點P的運動時間為t（）秒．
(1)求的長；（用含t的代數(shù)式表示）
(2)連接，當(dāng)與 ABC相似時，求t的值；
(3)當(dāng)將 ABC的面積分成兩部分時，直接寫出點E到的距離．
【答案】(1)
(2)的值為或1
(3)1或
【分析】（1）由題意可知，得，由此可知，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解；
（2）由（1）可知，，，則，則，分兩種情況：當(dāng)時，；當(dāng)時，，即：，分別求解即可；
（3）由題意得，若將的面積分成兩部分，可知或，分兩種情況：當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合面積列出方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由題意可知，，則，
∴；
（2）解：由（1）可知，，，則，
則，
∵，
∴當(dāng)時，，
即：，解得：；
當(dāng)時，，
即：，解得：；
綜上，當(dāng)與相似時，的值為或1；
（3）解：由題意可得：，
∵，，，，
∴，
∵矩形，
∴，
若將的面積分成兩部分，
則或，
當(dāng)時，，
∴，
解得：或（不符合題意舍去），
此時，，，則，
∴點在線段上，則，
即：點到的距離為1；
當(dāng)時，，
∴，
解得：或（不符合題意舍去）
此時，，，則，
∴點在射線上，則，
即點到的距離為；
綜上，點到的距離為1或．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、列代數(shù)式、方程的應(yīng)用等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，在矩形中，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿射線方向運動，動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿線段方向運動．點P和點Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點D時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（）．
(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長；
(2)當(dāng)與矩形的對角線平行時，求t的值；
(3)若點M為的中點，求以M、P、C為頂點的三角形與 ABC相似時t的值；
(4)直接寫出點B關(guān)于直線的對稱點落在邊上時t的值．
【答案】(1)當(dāng)時，，當(dāng)時，；
(2)的值為或；
(3)的值為或或；
(4)點關(guān)于直線的對稱點落在邊上時的值為或．
【分析】（1）由題意得，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（2）分兩種情況討論，一是當(dāng)時，，則，所以，求得，二是當(dāng)時，，則，可證明，則，求得；
（3）由點為的中點，求得，再分四種情況討論，一是當(dāng)，且時，則，二是當(dāng)，且時，則，三是當(dāng)，且時，則，四是當(dāng)，且時，則解方程求出相應(yīng)的符合題意的值即可；
（4）當(dāng)點落在上時，由勾股定理求得，則，于是得(，求得．
【詳解】（1）解：由題意得，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，
當(dāng)點與點重合時，則，
解得：，
當(dāng)點與點重合時，則，
∵當(dāng)點到達(dá)點時，兩點同時停止運動，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
（2）解：當(dāng)時，如圖1，，則，
，
，
解得：，
當(dāng)時，如圖2，則，
，
，
，
解得：，
綜上所述，的值為或．
（3）解：∵點為的中點，，
，
，
當(dāng)，且時，如圖3，
則，
解得：，
當(dāng)，，且時，如圖4，
則，
，
解得：，
當(dāng)，，且時，如圖5，
則
解得：，
當(dāng)，且時，如圖6，
則，
，
解得：不符合題意，舍去，
綜上所述，的值為或或．
（4）解：當(dāng)點落在上時，如圖7，
，，，
，
，
，
，
解得：，
當(dāng)點落在上時，如圖8，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
綜上，點關(guān)于直線的對稱點落在邊上時的值為或．
【點睛】此題重點考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合與分類討論思想．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在中，，，，動點P從點A出發(fā)，沿折線向終點B運動，當(dāng)點P不與點A、B重合時，過點P作于點D，以、為鄰邊作矩形．
(1)線段的長為______；
(2)當(dāng)矩形恰好是正方形時，求該正方形的邊長；
(3)當(dāng)時，求的長；
(4)延長到點Q，使，連接．當(dāng)直線分矩形的面積為兩部分時直接寫出的長．
【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）可證明，則當(dāng)點P在上時，，故此時，即此時矩形不是正方形不符合題意；當(dāng)點P在上時，根據(jù)矩形恰好是正方形，則，證明，求出，，再根據(jù)線段之間的關(guān)系建立方程求解即可；
（3）先證明當(dāng)點P在上時不成立，當(dāng)點P在上時， 由（2）知，，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（4）分情況討論，當(dāng)點在上時，當(dāng)點在上時，根據(jù)三角形相似和矩形面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵在中，，，，
，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∴當(dāng)點P在上時，，
∴此時，即此時矩形不是正方形不符合題意；
當(dāng)點P在上時，∵矩形恰好是正方形，
，
，
，
，
又，
∴，
，
，
，，
∴，
，
，
∴，
∴此時正方形的邊長為；
（3）解：當(dāng)點P在上時，∵，
∴矩形恰好是正方形，
由（2）可知，此種情況不存在；
當(dāng)點P在上時， 由（2）知，，，
，
，
，
，
矩形，
，，
，
，
，
，
的值為；
（4）解：設(shè)與交于點，
當(dāng)點在上時，
，
∴，
，
，
直線分矩形的面積為兩部分，
或，
或，
，
∴（舍去）或，
∴，
∴
，
；
當(dāng)點在上時，
，
，
，
直線分矩形的面積為兩部分，
或，
或，
，
∴（舍去）或，
∴，
∴
∽，
，
，
∴
，
，
；
綜上，的值為或．
【點睛】此題主要考查矩形綜合題，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分類討論思想和相似三角形的判定與性質(zhì)．
題型六：在網(wǎng)格中畫出與已知三角形相似的三角形
【經(jīng)典例題6】圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點， ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中，分別在邊、上畫點、，連結(jié)，使，且．
(2)在圖②中，分別在邊、上畫點、，連結(jié)，使，且．
(3)在圖③中畫出，點、分別在邊、上，且與的位似比為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查格點圖中畫相似三角形：
（1）取格點R，T，連接交于點D，取與網(wǎng)格線的交點E，連接，即可求解；
（2）取格點P，Q，連接交于點G，取與網(wǎng)格線的交點F，連接，即可求解；
（3）取格點L，K，連接交于點M，取與網(wǎng)格線的交點N，連接，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：如圖，即為所求；
【變式訓(xùn)練6-1】如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，的頂點均在格點上，在該網(wǎng)格中畫出（頂點均在格點上），使（相似比），并求出相似比．
【答案】畫圖見解析，相似比為
【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用相似三角形的判定畫出圖形，然后求出對應(yīng)邊的比即可．
【詳解】解：如圖，即為所求，
由網(wǎng)格知：，，，，，，
∴，，，
∴，
∴即，
相似比為
【變式訓(xùn)練6-2】正方形網(wǎng)格中，三個頂點都在網(wǎng)格格點上的三角形叫做格點三角形．請分別在圖2，圖3中畫一個大小不一樣的格點三角形，且與圖1中的格點三角形相似（不包括全等）．
【答案】見解析
【分析】本題考查網(wǎng)格中作已知三角形的相似三角形，已知的三角形是直角三角形，兩直角邊長比值為，據(jù)此作圖即可．
【詳解】解：與圖1中的格點三角形相似的格點三角形如圖所示：
【變式訓(xùn)練6-3】如圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點， ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中 ABC的邊上確定一點，連結(jié)，使；
(2)在圖②中 ABC的邊上確定一點，連結(jié)，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查格點無刻度直尺作圖，主要考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)；
（1）勾股定理逆定理，得到為直角三角形，過點作于點，即為所求；
（2）取格點，連接，交于點，連接，即為所求；
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

由勾股定理可得：，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
又，
∴；
（2）如圖，即為所求；

由圖可知：，
∴，
∴，
∴；
【變式訓(xùn)練6-4】以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點A、B、C、D均在格點上．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．
(1)如圖①，在上找一點P，使．
(2)如圖②，在上找一點P，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
（1）如圖中，利用平行線分線段成比例求解即可；
（2）如圖中，取格點，連接交于點P，連接．點P即為所求作．
【詳解】（1）解：如圖1所示，
取格點E、F，連接交于點P，
，
，
，
，
點P即為所要找的點；
（2）解：如圖2所示，作點A關(guān)于的對稱點，連接，交于點P，連接，
點P即為所要找的點，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練6-5】圖①、圖②、均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點， ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①的網(wǎng)格中確定一點D，連結(jié)，使與 ABC全等．（畫出兩個）
(2)在圖②中 ABC的邊上確定一點E，連結(jié)，使；
(3)在圖③中 ABC的邊上確定一點P，在邊上確定一點Q，連結(jié)，使，且相似比為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查作圖 應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
（1）根據(jù)全等三角形的判定，取格點D，使，作出圖形即可；
（2）由圖及勾股定理可知，進(jìn)而可得根據(jù)相似三角形的判定作出圖形即可；
（3）取格點，連接，交于點，點P，點Q即為所求．
【詳解】（1）解：如圖中，點中任取兩個即為所求；
（2）解：如圖中，點E即為所求；
由圖可知，，
，
又，
，
是直角三角形，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：如圖，取格點，連接，交于點，點P，點Q即為所求，
如圖：，
四邊形是平行四邊形，
，
則：，
∴，
相似比為：．
題型七：利用相似求坐標(biāo)
【經(jīng)典例題7】已知直線：與直線：相交于點，且兩直線的夾角為，則點的坐標(biāo)為 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)直線恒經(jīng)過點，分類討論，結(jié)合一次函數(shù)的圖象，構(gòu)建直角三角形，等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求值即可求解．
【詳解】解：∵直線，即恒過點，
當(dāng)時，過點作軸交于點，點作軸交于點，點作交于點，過點作軸交于點，如圖：

∵，故，，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，
即，，
解得，，
∵兩直線的夾角為，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵點到軸的距離為1，故點到軸的距離為，
點到軸的距離為2，故點到軸的距離為，
即點的縱坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，
故；
當(dāng)時，過點作軸交于點，點作軸交于點，點作交于點，過點作交于點，如圖：

∵，故，，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，即， ，
解得，，
∵兩直線的夾角為，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵點到軸的距離為1，故點到軸的距離為，
點到軸的距離為2，故點到軸的距離為，
即點的縱坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，
故；
綜上，點的坐標(biāo)為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為、，連接．動點P從點A開始在折線段上以每秒2個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段上以每秒3個單位長度的速度向點A移動．設(shè)點P、Q移動的時間為t秒，當(dāng)與 AOB相似時，點P的坐標(biāo)是 ．
【答案】或；
【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由題意易得，然后可分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時，有；②當(dāng)時，有；進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵點A，B的坐標(biāo)分別為、，
∴，，
∴ ，，
①當(dāng)時，有，如圖所示：
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)時，有，如圖所示：
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴；
綜上所述：當(dāng)與 AOB相似時，或；
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，直線與雙曲線相交于和兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D．
(1)求雙曲線的解析式；
(2)連接、，求 AOB的面積；
(3)在y軸上是否存在一點P，使與相似？若存在求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根據(jù)點，利用待定系數(shù)法求解即可得；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，從而可得點的坐標(biāo)和的長，再根據(jù) AOB的面積等于與的面積之和即可得；
（3）先推出是等腰直角三角形，，再分兩種情況：①過點作軸，交軸于點，則；②過點作，交軸于點，則，由此即可得．
【詳解】（1）解：將點代入得：，
則雙曲線的解析式為．
（2）解：如圖，連接、，
將點代入得：，即，
將點，代入得：，
解得，
則，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，解得，即，
則 AOB的面積為．
（3）解：，
是等腰直角三角形，，
①如圖，過點作軸，交軸于點，
，符合題意，
，
；
②如圖，過點作，交軸于點，
則是等腰直角三角形，
在和中，，
，符合題意，
又軸，軸軸，
，
，
，即，
綜上，在軸上存在一點，使與相似，點的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、相似三角形的判定等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．若a，b的值是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，且．
(1)直接寫出___________，___________
(2)若點P在y軸上，且，求點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)2，3
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先求出的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】（1）解：，
因式分解，得，
解得或，
的值是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，且，
，
故答案為：2，3．
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，，
，
解得，
又，且點在軸上，
．
【點睛】本題考查了解一元二次方程、相似三角形的性質(zhì)、點坐標(biāo)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-5】如圖，矩形的頂點、分別在軸和軸上，點的坐標(biāo)為，雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點，且與交于點，連接
(1)求 BDE的面積
(2)若點是邊上一點，且∽，求點坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用D點為BC的中點得到D（1，3），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y＝，接著利用E點的橫坐標(biāo)為2得到E（2，），然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比可求出CF，然后計算出OF的長，從而得到點F坐標(biāo)．
【詳解】（1）點為的中點，，
，
把代入得，
反比例函數(shù)解析式為，
， 點的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，即，
的面積；
（2）∽，
，即，解得，
，
點坐標(biāo)為．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征．
題型八：相似三角形的實際應(yīng)用
【經(jīng)典例題8】為了證明光是沿直線傳播的這一性質(zhì)，大約二千四百年前我國杰出的科學(xué)家墨翟和他的學(xué)生做了世界上第一個小孔成倒像的實驗，解釋了小孔成倒像的原理．如圖是小孔成像原理的示意圖，長的蠟燭在暗盒中所成的像的長是，則像到小孔的距離為（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形性質(zhì)，理解相似三角形的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
設(shè)像到小孔的距離為，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來求解．
【詳解】解：設(shè)像到小孔的距離為，
由題意可知與相似，
，
．
故選：C．
【變式訓(xùn)練8-1】某天小明和小亮去某影視基地游玩，當(dāng)小明給站在城樓上的小亮照相時，發(fā)現(xiàn)他自己的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面的距離為米，涼亭頂端離地面的距離為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為38米，小亮身高為米．求城樓的高度．
【答案】則城樓的高度為米．
【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，過點A作于點M，交于點N，可得出，繼而利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答．
【詳解】解：過點A作于點M，交于點N，
由題意得，，，，
則；
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴（米）；
答：城樓的高度為米．
【變式訓(xùn)練8-2】 如圖，玻璃桌面與地面平行、桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光源O與鉛筆所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，在地面上形成的影子為（不計折射），，已知點O到距離為，桌面的高度EF為，鉛筆，在桌面上沿著方向平移鉛筆，試求影子的長度．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，運用相似三角形的判定與性質(zhì)證明當(dāng) ,，再運用相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)平移到，在地面上形成的影子為．
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練8-3】如圖，濤濤同學(xué)在公園里散步，他發(fā)現(xiàn)：當(dāng)他站在甲、乙兩盞路燈（路燈足夠亮）之間，并且自己被兩邊的路燈照在水平地面上的影子成一直線時，甲燈照射的影子長2米，乙燈照射的影子長3米，已知濤濤同學(xué)身高為1.6米，兩盞路燈和的高度相同，兩路燈相距為15米，求路燈的高．
【答案】路燈的高為6.4米
【分析】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意，得，，，，，繼而得到，，之后列出比例式，解答即可．
【詳解】解：由題意知：，，，，，
，，
， ，
又，
，
，
解得，
，
，
答：路燈的高為米．
【變式訓(xùn)練8-4】如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在測量旗桿（與地面垂直）的高度時，由于旗桿底部無法直接到達(dá)，他們先在點C出放一小鏡，然后站在點E處，從點E的垂直上方點D處用激光筆照射小鏡發(fā)現(xiàn)反射光線正好照到旗桿頂端A，此時測得，，接著將小鏡向點E處移動到點G，調(diào)整激光筆高度，在點F（點F在上）處發(fā)現(xiàn)反射光線又照到旗桿頂端A，測得，已知圖中各點均在同一平面內(nèi)，求旗桿的高度．
【答案】旗桿的高度為．
【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，證明，，再利用相似三角形的性質(zhì)建立方程解題即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，
∴，即，
∴，
∴
解得
答：旗桿的高度為．
【變式訓(xùn)練8-5】小明想測量電線桿的高度，他發(fā)現(xiàn)電線桿的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此時刻得高的標(biāo)桿在地面的影長為．
(1)點D到地面的距離為 米
(2)求電線桿的高（結(jié)果保留根號）
(3)若是在坡底下C處的一棵大樹，樹尖剛好落在光線上，在山坡上有一建筑物高，求此時它落在坡面上的影長 （結(jié)果保留根號）．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用、直角三角形的性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
（1）如圖：延長交地面于M點，過D作垂直于的延長線于M，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）在求電線桿在地面的實際影長，然后根據(jù)影長與實物比即可求得電線桿的高度；
（3）由題意得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：如圖：延長交地面于M點，過D作垂直于的延長線于N，
∵，
∴．
故答案為：2．
（2）解：由勾股定理得，
∵得高的標(biāo)桿在地面的影長為，
∴，
∴的影長，
∴電線桿的高為．
（3）解：由題意得∶，，
∴，
∴，即，解得：，
由題意可得：，
∴，
∴，
∴，即，解得：．
題型九：相似三角形的性質(zhì)和判定綜合
【經(jīng)典例題9】如圖，在梯形中，，，，點、分別在線段、上，．的延長線交邊于點，交于點、其延長線交的延長線于點．
（1）求證：；
（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)與相似時，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．
【分析】（1）由AD∥BC知，，結(jié)合DB=DC=15，DE=DF=5知，從而得，據(jù)此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根據(jù)得，即DN＝，再根據(jù)知NQ＝，由三角形的面積公式可得答案；
（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH兩種情況分別求解可得．
【詳解】解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）過點D作DP⊥BC，過點N作NQ⊥AD，垂足分別為點P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD NQ＝x (0＜x≤9)．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）當(dāng)∠ADN=∠FGH時，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）當(dāng)∠ADN=∠GFH時，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x (18 2x)＝ 10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
綜上所述，當(dāng)△HFG與△ADN相似時，AD的長為3或．
【點睛】本題是相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論思想的運用等知識點．
【變式訓(xùn)練9-1】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．
（1）求證：四邊形EFDG是菱形；
（2）求證EG2＝GF AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．
【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；
（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；
（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．
【詳解】（1）證明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四邊形EFDG為菱形．
（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點O．
∵四邊形EFDG為菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO AF．
∵，
∴；
（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．
∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，F(xiàn)G=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO AF是解題答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練9-2】如圖，已知是的直徑，點C是的中點，點D是的中點，連接，，，與交于點E，過點D作于點F．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）如圖，連結(jié)交于點，由圓周角定理可得，可推出，即可證明為的切線．
（2）首先由點C為的中點，得到，由可得，，從而求出的長．
【詳解】（1）解：如圖，連結(jié)交于點，
點為的中點，
，
，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
為的切線；
（2）點C為的中點，
，
，
由（1）得，
，
，
∴，
，，
，
即，
，
，
，
．
【點睛】本題重點考查垂徑定理、圓周角定理、切線的判定定角平分線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合運用，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線．
【變式訓(xùn)練9-3】如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上點F處，延長交的延長線于點G．
(1)求線段的長；
(2)如圖2，M，N分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設(shè)，．
①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；
②是否存在這樣的點M，使是等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①，y有最小值為；②存在，或，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)得到，，結(jié)合勾股定理得到，進(jìn)而得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理建立方程求解，即可解題．
（2）①利用勾股定理得到，結(jié)合折疊的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)證明，利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合，建立函數(shù)解析式，并結(jié)合二次函數(shù)最值情況求解，即可解題；
②根據(jù)是等腰三角形，分情況討論，結(jié)合三角形外角性質(zhì)推出，當(dāng)時，當(dāng)時，利用等腰三角形性質(zhì)，以及相似三角形性質(zhì)和判定建立等式求解，即可解題．
【詳解】（1）解：矩形中，，，
，，，
由折疊的性質(zhì)可知，，，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
即，
解得，
線段的長為；
（2）解：①，
，
由折疊的性質(zhì)可知，，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
即，
整理得，，
，
當(dāng)時，y有最小值為；
②存在，
是等腰三角形，
又，，
，即，
當(dāng)時，
，
，
，
，
即，
解得，
當(dāng)時，
，
，，
，
，
，
解得，
綜上所述，是等腰三角形時，或．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)最值情況，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
【變式訓(xùn)練9-4】在矩形中，． 沿過點的直線折疊矩形，使點落在邊上點處，折痕為．
【嘗試】
（1）如圖1，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由．
【探究】
（2）隨著折痕位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時，是否存在點，使？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．
【延伸】
（3）如圖2，折疊，使邊落在上處，折痕為． 若，求的值．
【答案】（1）與始終保持相似關(guān)系，理由見詳解
（2）存在點，使，此時的長為
（3）
【分析】本題主要考查矩形與折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識的綜合運用，理解圖示，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)可得，由相似三角形的判定即可求解；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，由（1）可得，則，得到，根據(jù)題意求出，，由折疊的性質(zhì)可得，在中由勾股定理可得，則，再根據(jù)即可求解；
（3）根據(jù)題意可得，由矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，可得，可證，得到，設(shè)，則，，在中由勾股定理可得，解得，可得，由此即可求解．
【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，
∴，
∵折疊，
∴，
∵，
∴，且，
∴與始終保持相似關(guān)系；
（2）存在，此時，理由如下，
∵四邊形是矩形，
∴，，
由（1）可得，與始終保持相似關(guān)系，即，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
∵折疊，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴存在點，使得，此時；
（3）∵，若，
∴，
∵四邊形是矩形，折疊，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，
∴，
解得，或（不符合題意，舍去），
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練9-5】在等腰 ABC中，，點是邊上一點（不與點B、C重合），連接．
(1)如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接，則 ；
(2)若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
①在圖2中補全圖形；
②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)如圖3，若，且．試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)
(2)①見解析②，證明見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）可證明 ABC是等邊三角形，得的度數(shù)，再由軸對稱的性質(zhì)可得，據(jù)此利用三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；
（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；②可證明 ABC是等邊三角形，得的度數(shù)，再證明，即可得；
（3）連接，根據(jù)已知可證，得，，從而可證明，得到，即可得到．
【詳解】（1）解：∵，
∴ ABC是等邊三角形，
∴，
∵點D關(guān)于直線的對稱點為點E，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）解：①補全圖形如下：
②，證明如下：
∵，
∴ ABC是等邊三角形，
∴，
∵線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，證明如下：
連接，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．

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