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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題27.2.1相似三角形（一）七大題型（一課一講）
（內(nèi)容:相似三角形及其判定）
【人教版】
題型一：判斷兩個三角形是否相似
【經(jīng)典例題1】如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對應(yīng)成比例，分別對各選項進(jìn)行分析即可得出答案．此題考查三角形相似判定定理的應(yīng)用，勾股定理與網(wǎng)格．
【詳解】解：已知給出的三角形的三邊按小到大分別為，
A選項的三邊按小到大排序是，不與原三角形三邊成比例，故該選項不符合題意；
B選項的三邊按小到大排序是，與原三角形三邊成比例，故該選項符合題意；
C選項的三邊按小到大排序是，不與原三角形三邊成比例，故該選項不符合題意；
D選項的三邊按小到大排序是，不與原三角形三邊成比例，故該選項不符合題意；
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-1】在下列四個圖形中，已知，則四個圖中不一定有相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法逐一判斷即可，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、如圖，
∵，，
∴，不符合題意；
、如圖，
∵，，
∴，不符合題意；
、如圖，
∵，，
∴，不符合題意；
、如圖，
由，不能證明和相似，符合題意；
故選：．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，已知△，下列4個三角形中，與△相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和相似三角形的判定，此題難度不大．
根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求出各個選項中三角形的每個角的度數(shù)，然后與題干中的三角形的度數(shù)相比較即可得出答案．
【詳解】∵由圖可知，，，
∴，，
A選項中三角形各角的度數(shù)不能確定，
B選項中三角形各角的度數(shù)分別為，，
C選項中三角形各角的度數(shù)分別為，，，
D選項中三角形各角的度數(shù)分別為，，，
∴只有D選項中三角形各角的度數(shù)與題干中三角形各角的度數(shù)相等，
故選：D．
【變式訓(xùn)練1-3】在和中，，下列各組的條件不能判定這兩個三角形相似的是（ ）
A．，； B．，，，；
C．，，，； D．，，，．
【答案】B
【分析】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：兩角對應(yīng)相等，兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等，三邊對應(yīng)成比例，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)相似三角形的判定方法和勾股定理，對各個選項進(jìn)行分析即可．
【詳解】A．相似：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，不符合題意；
B．有一組角相等兩邊對應(yīng)成比例，但該組角不是這兩邊的夾角，故不相似，符合題意；
C．相似：∵，，，，
∴．
又∵，
∴，不符合題意；
D．相似：∵，，，，，
∴，，
∴．
∵，
∴，不符合題意；
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-4】已知 ABC的三邊長為1、2、，在下列給定條件的中，與 ABC一定相似的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，．
【答案】D
【分析】本題主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；由題意可知是一個含30度的直角三角形，然后可進(jìn)行排除選項．
【詳解】解：∵的三邊長為1、2、，且，
∴是一個直角三角形，
由選項可知：，所以只需滿足即可；
故選D．
【變式訓(xùn)練1-5】下列各條件中，能判斷的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，，，
【答案】C
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定條件．兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩組對應(yīng)邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似．
根據(jù)相似三角形的判定條件對各選項進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A、∵，，只有一角一邊，
∴不能判斷兩個三角形相似，故A不符合題意；
B、∵，，不是與的夾角，
∴不能判斷兩個三角形相似，故B不符合題意；
C、由，可得，
再由，得，
∵兩組對應(yīng)邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，
∴可判斷，故C符合題意；
D、由，，
得，
由，，
得，
∵只有，
∴不能得，故D不符合題意．
故選：C．
題型二：添加一個條件讓兩個三角形相似
【經(jīng)典例題2】如圖，已知，那么添加下列的一個條件后，仍無法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)相似三角形的判定：（1）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；（2）如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；（3）如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似，逐項判斷即可．
【詳解】解：∵，
，
，
A、由兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等可得，故不符合題意；
B、由兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等可得，故不符合題意；
C、不符合兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，無法判定，故符合題意；
D、由兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等可得，故不符合題意；
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，下列所添加條件不能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形相似的判定定理，結(jié)合所給條件及隱含條件逐一進(jìn)行判斷即可．
本題考查了三角形相似的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解∶∵，，
∴，故選項A錯誤，符合題意；
∵，，
∴，故選項B正確，不符合題意；
∵，，
∴，故選項C正確，不符合題意；
∵，，
∴，故選項D正確，不符合題意；
故選：A．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在 ABC中，點是上一點，下列條件不能判定的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的判定，兩組對應(yīng)角相等或者夾角相等，兩邊成比例的三角形是相似三角形，據(jù)此進(jìn)行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、因為，，所以，故該選項不符合題意；
B、因為，，所以，故該選項不符合題意；
C、因為，且夾角都不是，即夾角不相等，所以不相似，故該選項符合題意；
D、因為，且，即夾角相等兩邊成比例，所以，故該選項不符合題意；
故選：C
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，在 ABC中，點、分別在邊、上，下列條件中不能判斷 ABC與相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定，結(jié)合相似三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：A.∵，，
∴，故A不符合題意；
B.∵，而與不一定相等，不能使和相似，故B符合題意；
C.∵
∴，
∴，故C不符合題意；
D.∵，，
∴，故D不符合題意．
故選：B．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，在 ABC和 ADE中，，點E在邊上，添加一個條件后，能判定 ABC與相似，這個條件是 ．(添加一個即可)
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題主要考查三角形相似的判定，根據(jù)三角形相似的判定方法可再添加一組角對應(yīng)相等，或添加和的兩邊對應(yīng)成比例，或添加．
【詳解】解：在和中，
，
故只需要增加一組角對應(yīng)相等即可，
可添加，
此時，
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，點D，E分別在 ABC的，邊上，增加下列條件中的一個：①，②，③，④，⑤，使 ADE與一定相似的有 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，故①符合題意；
∵，，
∴，故②符合題意；
∵，，
∴，故④符合題意；
由，或，不能滿足兩邊成比例且夾角相等，不能證明與相似，故③⑤不符合題意；
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2-6】根據(jù)下列條件，判斷 ABC與是否相似，并說明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，．
【答案】(1)，理由見解析
(2)，理由見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握相似三角形的判定方法，通過計算得出三邊成比例或兩角對應(yīng)相等是解決問題的關(guān)鍵．
（1）通過計算得出兩個三角形三邊成比例，即可得出結(jié)論；
（2）由三角形內(nèi)角和定理求出，得出，，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解： ，理由如下：
，，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，，
，，
．
題型三：相似三角形的證明
【經(jīng)典例題3】如圖，已知線段與交于點O，，，，，求證：．
【答案】證明見解析．
【分析】本題考查相似三角形的判定，找準(zhǔn)對應(yīng)邊的比，正確計算是本題的解題關(guān)鍵．
根據(jù)題意求得，，進(jìn)而判定三角形相似．
【詳解】證明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，在 ABC中，．
(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點D，求證∶．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖—作已知角的角平分線，相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)為解題關(guān)鍵．
（1）利用基本作圖作的平分線即可；
（2）利用角平分線定義結(jié)合已知可得，結(jié)合即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，即為的角平分線；
（2）由（1）可得：，
，
，
又，
．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在 ABC中，，點D是上一點，，于點E，連接．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，三線合一定理，先由三線合一定理得到，再由垂直的定義推出，再由，即可證明．
【詳解】證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【變式訓(xùn)練3-3】平行四邊形中，過A作，垂足為，連、為線段上一點，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】該題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法．
先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證出，再根據(jù)可得出，由此可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，點D、E分別在線段和上，與相交于點O，，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)可證，通過可證，然后根據(jù)相似的傳遞性即可得證．
【詳解】證明： ，
，
，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，在平行四邊形中，點為邊上一點，連接，點為線段上一點，且，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，利用平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)鄰補角互補可得，利用可推出，利用等式的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，且，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等，鄰補角的定義，等式的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型四：判斷與已知三角形相似的個數(shù)
【經(jīng)典例題4】如圖，在 ABC中，，，，是上一點，，點從出發(fā)沿方向，以的速度運動至點處，線段將 ABC分成兩部分，可以使其中一部分與 ABC相似的點的個數(shù)為（　?。?br/>A．0個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定定理，根據(jù)相似三角形的判定定理“有兩個角分別相等的兩個三角形相似”，按點P的運動軌跡，依次進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①當(dāng)時，，，
②當(dāng)時，，，
③當(dāng)時，，，
④當(dāng)時，，，
綜上：一共有4個，
故選：D．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在中，，E、F分別為、的中點，連接，H為的中點，過點H作，交于點 D，連接，則與相似(不含)的三角形個數(shù)為（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定等知識點，由三角形中位線定理可得，可得，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可證，可得結(jié)論，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵E、F分別為、的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故選：D．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在由相同的小正方形組成的的網(wǎng)格中，點、、、、、、都在小正方形頂點上，則圖中能用字母表示（不再添加輔助線）的三角形中，與相似的三角形的個數(shù)是（　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，相似三角形的判定；根據(jù)勾股定理求得各邊長，且，根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行判斷，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)圖形可得，，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
綜上所述，與相似的三角形的個數(shù)是3個，
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在中，分別為的中點，連接為的中點，過點H作，交于點D，連接，則與 ABC相似（不含 ABC）的三角形個數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
由三角形中位線定理可得，可得，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可證，可得結(jié)論．
【詳解】解：∵、分別為、的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，銳角 ABC的高和高相交于，則與相似的三角形（不含自身）個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟記三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵，本題結(jié)合三角形的高的含義，分別證明，，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，
∵、是高，
∴，
又∵，
∴，
又∵、是高，
∴，
∵，
∴，
同理可證，
∴，
∴和相似的三角形有3個．
故選C．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在 ABC中，是的平分線，與交于點M，，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　　）

① ；② ；
③；④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟練的結(jié)合角平分線的含義，利用兩角分別相等的兩個三角形相似逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，故②符合題意；
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，；故①④符合題意；
與 CDE只有一組角相等，無法證明相似，
∴故③不符合題意；
故選C．
【變式訓(xùn)練4-6】新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知 ABC是的網(wǎng)格圖中的格點三角形，那么該網(wǎng)格中所有與 ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數(shù)是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】取的中點，再取網(wǎng)格點M、N，連接格點，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證明，，，再根據(jù)，，，，可得，結(jié)合，有，即可獲得答案．
【詳解】解：如圖，取的中點，再取網(wǎng)格點M、N，連接格點，

則，且，
∴，，
∴．
同理可證：，．
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
綜上，滿足條件的三角形有4個，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．
題型五：裁剪使兩個三角形相似
【經(jīng)典例題5】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行逐一判定即可．
【詳解】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；
B、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；
C、，兩三角形的對應(yīng)邊成比例，且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；
D、，兩三角形的對應(yīng)邊成比例，但夾角不相等，兩三角形不相似，故本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．由，，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明，可判斷不符合題意；由，，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明，可判斷不符合題意；由，，根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明，可判斷不符合題意；由與的對應(yīng)邊不成比例，可知與不相似，可判斷符合題意，于是得到問題的答案．
【詳解】解：如圖1，
，，
，故A不符合題意；
如圖2，
，，
，故B不符合題意；
如圖3，
，，，
，，
，
，
，故C不符合題意；
如圖4，
與的對應(yīng)邊不成比例，
與不相似，
故D符合題意，
故選：D．
【變式訓(xùn)練5-2】剪一張含角的直角三角形，如圖所示，將直角沿直線折疊，使點C落在斜邊上的點D處，則圖中一定相似（不含全等）的三角形是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)折疊性質(zhì)和相似三角形的判定逐個判斷即可．
【詳解】解：由題意， ABC是等腰直角三角形，則，
由折疊性質(zhì)得，，，故選項C不符合題意；
∴，
則 ADE與 BDE、 ADE與 BCE不相似，故選項A、B不符合題意；
∵，，
∴，故選項D符合題意，
故選：D．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由于點D，得，則，而，即可證明，可判斷A不符合題意；由，得，則，可證明，可判斷B不符合題意；由，得，而，可證明，可判斷C不符合題意；由，得，，則，而，所以與 ABC不相似，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．
【詳解】解：如圖1，
∵于點D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合題意；
如圖2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合題意；
如圖3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合題意；
如圖4，
∵，
∴，，
∴，
假設(shè)，
∵，
∴，與已知條件不符，
∴與 ABC不相似，
故D符合題意，
故選：D．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖， ABC中，，，．將 ABC沿圖中的剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）

A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定逐一判斷即可．
【詳解】解：A、∵，
∴，故本選項不符合題意；
B、∵，
∴，故本選項不符合題意；
C、由圖形可知，只有，不能判斷，故本選項符合題意；
D、∵，
∴，故本選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在三角形紙片中，，，．將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有 ．（請在橫線上填上符合條件的序號）
【答案】①②④
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行逐一判定即可．
【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；
②陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；
③兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似；
④兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似．
故答案為：①②④．
題型六：尺規(guī)作圖使兩個三角形相似
【經(jīng)典例題6】在 ABC中，，用直尺和圓規(guī)在AB上確定點D，使，根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了尺規(guī)作垂線，相似三角形的判定，過點C作，結(jié)合已知條件可知，再證明，然后可得．
【詳解】時，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-1】數(shù)學(xué)課上，老師提出下面的問題：如圖，在 ABC中，，請用直尺和圓規(guī)在上確定點D，使與 ABC相似．下面是四個學(xué)生的不同作法，根據(jù)作圖痕跡可以判斷，作法正確的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本題考查尺規(guī)作圖、相似三角形的判定．
根據(jù)作圖痕跡判斷即可．
【詳解】若使與 ABC相似，
則，
即是的垂線，
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-2】在 ABC中，，用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點，使，根據(jù)作圖痕跡判斷，下列正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定、尺規(guī)作圖—作角平分線、尺規(guī)作圖—作垂線、直角三角形兩銳角互余等知識，熟練掌握相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)，可得，即是的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷即可獲得答案．
【詳解】解：當(dāng)是的垂線時，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
根據(jù)作圖痕跡可知，
A選項中，是的角平分線，不一定與垂直，不符合題意；
B選項中，是的中線，不一定與垂直，不符合題意；
C選項中，是的垂線，符合題意；
D選項中，不與垂直，不符合題意．
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-3】在矩形中，
(1)P是邊上一點，且，請用直尺和圓規(guī)作出所有滿足條件的點P．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)任意選取一點P，證明：．
【答案】(1)圖見解析
(2)見解析
【分析】本題考查尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，圓周角定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定：
（1）根據(jù)，得到點在以為直徑的圓上，作的垂線，確定圓心的位置，再以為直徑畫圓，圓與的交點即為點；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角相等，利用兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似，即可得證．
【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，已知鈍角 ABC中．
(1)請用無刻度直尺和圓規(guī)在上定一點P，使得．（保留痕跡，不寫作法）
(2)請用數(shù)學(xué)語言簡述作圖的合理性．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．
(1)作線段的垂直平分線，交于點P，連接，點P即為所求作．
(2)利用兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，說明即可．
【詳解】（1）如圖，作線段的垂直平分線，交于點P，連接，
則點P即為所求作．
（2）根據(jù)作圖，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故作法是合理的．
【變式訓(xùn)練6-5】在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分線分別與AB，AC交于點E，D兩點．
(1)用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連接BD；
(2)找出一組相似三角形（不用說明理由）．
【答案】(1)見解析
(2)△CBD∽△CAB
【分析】（1）以大于二分之一AB的長度為半徑，分別以A，B兩點為圓心在線段AB的兩側(cè)畫弧，分別交于一點，連接兩個交點即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出角之間的等量關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的相似的條件判斷即可．
【詳解】（1）解：如圖，直線DE即為所求．
（2）解：△CBD∽△CAB．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°
∵∠A＝40°，
∴∠∠CBD＝∠A＝40°，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB．
【點睛】本題考查尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，以及相似三角形的判定，能夠熟練掌握相似三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．
題型七：相似三角形中多結(jié)論問題
【經(jīng)典例題7】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，與相交于點H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。?br/>
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正確；
在中，，
∴，，
∴，故③錯誤；
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正確．
綜上分析可知，正確的結(jié)論有4個，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，與相交于點H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正確；
在中，，
∴，，
∴，故③錯誤；
綜上分析可知，正確的結(jié)論有3個，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：
①；
②連接，，則為直角三角形；
③；
④若，，則的長為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及定理求得，，從而求得，，然后求得，從而得到，由此判斷①；
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連接，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)根據(jù)結(jié)合定理求得，得到，結(jié)合正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，從而可得，然后根據(jù)定理求得，，從而得到，，從而求得，由此判斷②；
由垂直可得 ，然后結(jié)合①中已證，可得，由此得到 ，然后根據(jù)定理求得三角形形式，由此判斷③；
旋轉(zhuǎn)到，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和定理可得得，，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程求，從而求得正方形的邊長，設(shè)，結(jié)合②中的結(jié)論列方程求的值，從而判斷④．
【詳解】解：如圖中，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中， ，
，
，
同理可證，
，
，
，
，故①正確；
如圖②，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連接，，
由旋轉(zhuǎn)知：，，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，又，
，
，
四邊形是正方形，
．
由旋轉(zhuǎn)知：，，
，
，
．
又，，
，
，
同理可證：
，
即為直角三角形，故②正確；
，
，
又，
由①可知：，
，
，
又，
，故③正確；
如圖中，
旋轉(zhuǎn)到，，
，，
同理②中可證：，
，設(shè)，
，，
四邊形是正方形，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，
或舍，
，
，
正方形的邊長為；
由正方形的邊長為，
，
由①可知，
，，
由②得，
設(shè)，
，，
，
，
解得，
，故④正確
故選：A．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，在矩形中，點E是的中點，的平分線交于點F將沿折疊，點D恰好落在上M點處，延長交于點N，有下列四個結(jié)論：①垂直平分；②是等邊三角形；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，可證得CF＝FM＝DF，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出EF＝FN，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)確定△EBN為等腰三角形、BF⊥EN；證明∠EFM＝∠EBF即可證明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可證明．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，
在△DFE與△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∴△EBN為等腰三角形，
無法確定△EBN為等邊三角形，故②錯誤；
由等腰三角形的三線合一得：BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正確；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③正確；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④正確．
綜上所述：①③④都正確，
故選：B．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判斷．此題難度適中，證得△DFE≌△CFN是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-4】如圖，將矩形沿著、、翻折，使得點、、恰好都落在點處，且點、、在同一條直線上，同時點、、在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：；；；；．其中正確的是 ．

【答案】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分析判斷；通過點為中點，點為中點，設(shè)，，利用勾股定理分析求得與的數(shù)量關(guān)系，從而判斷；利用勾股定理求出，再分別求出、及，即可判斷和；根據(jù)相似三角形的判定分析判斷；掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得，，，，，，，，，
∴，，
∴，
∴，故正確；
設(shè)，，則，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，故錯誤；
在中，設(shè)，則，
∴，
解得，
∴，，
在中，
，
∴，，故正確；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴與不相似，故錯誤；
綜上，正確的是，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練7-5】如圖，矩形中，，，動點從點出發(fā)向終點運動，連，并過點作，垂足為．①；②的最小值為；③在運動過程中，掃過的面積始終等于掃過的面積；④在運動過程中，點的運動路徑的長為，其中正確的有 （填寫序號）
【答案】①②④
【分析】由四邊形是矩形，，得，則，即可證明∽，可判斷①正確；取的中點，連接，，可求得，由勾股定理求得，因為，所以，則，即可求得的最小值是，可判斷②正確；當(dāng)點與點重合時，則與矩形的對角線重合，可求得掃過的面積為，由，得，則，，可求得掃過的面積為，可知此時，可判斷③錯誤；可求得，則點的運動路徑的長為，可判斷④正確，于是得到問題的答案．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，
∴，
∴，
∴，故①正確；
如圖1，取的中點，連接，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故②正確；
如圖，點的運動路徑為以的中點為圓心，半徑長為的一段圓弧，中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題27.2.1相似三角形（一）七大題型（一課一講）
（內(nèi)容:相似三角形及其判定）
【人教版】
題型一：判斷兩個三角形是否相似
【經(jīng)典例題1】如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】在下列四個圖形中，已知，則四個圖中不一定有相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，已知△，下列4個三角形中，與△相似的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-3】在和中，，下列各組的條件不能判定這兩個三角形相似的是（ ）
A．，； B．，，，；
C．，，，； D．，，，．
【變式訓(xùn)練1-4】已知 ABC的三邊長為1、2、，在下列給定條件的中，與 ABC一定相似的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，．
【變式訓(xùn)練1-5】下列各條件中，能判斷的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，，，
題型二：添加一個條件讓兩個三角形相似
【經(jīng)典例題2】如圖，已知，那么添加下列的一個條件后，仍無法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，下列所添加條件不能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在 ABC中，點是上一點，下列條件不能判定的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，在 ABC中，點、分別在邊、上，下列條件中不能判斷 ABC與相似的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，在 ABC和 ADE中，，點E在邊上，添加一個條件后，能判定 ABC與相似，這個條件是 ．(添加一個即可)
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，點D，E分別在 ABC的，邊上，增加下列條件中的一個：①，②，③，④，⑤，使 ADE與一定相似的有 ．
【變式訓(xùn)練2-6】根據(jù)下列條件，判斷 ABC與是否相似，并說明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，．
題型三：相似三角形的證明
【經(jīng)典例題3】如圖，已知線段與交于點O，，，，，求證：．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，在 ABC中，．
(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點D，求證∶．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在 ABC中，，點D是上一點，，于點E，連接．求證：．
【變式訓(xùn)練3-3】平行四邊形中，過A作，垂足為，連、為線段上一點，且．求證：．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，點D、E分別在線段和上，與相交于點O，，．求證：．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，在平行四邊形中，點為邊上一點，連接，點為線段上一點，且，求證：．
題型四：判斷與已知三角形相似的個數(shù)
【經(jīng)典例題4】如圖，在 ABC中，，，，是上一點，，點從出發(fā)沿方向，以的速度運動至點處，線段將 ABC分成兩部分，可以使其中一部分與 ABC相似的點的個數(shù)為（　?。?br/>A．0個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在中，，E、F分別為、的中點，連接，H為的中點，過點H作，交于點 D，連接，則與相似(不含)的三角形個數(shù)為（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在由相同的小正方形組成的的網(wǎng)格中，點、、、、、、都在小正方形頂點上，則圖中能用字母表示（不再添加輔助線）的三角形中，與相似的三角形的個數(shù)是（　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在中，分別為的中點，連接為的中點，過點H作，交于點D，連接，則與 ABC相似（不含 ABC）的三角形個數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，銳角 ABC的高和高相交于，則與相似的三角形（不含自身）個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在 ABC中，是的平分線，與交于點M，，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　?。?br/>
① ；② ；
③；④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓(xùn)練4-6】新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知 ABC是的網(wǎng)格圖中的格點三角形，那么該網(wǎng)格中所有與 ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數(shù)是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
題型五：裁剪使兩個三角形相似
【經(jīng)典例題5】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練5-2】剪一張含角的直角三角形，如圖所示，將直角沿直線折疊，使點C落在斜邊上的點D處，則圖中一定相似（不含全等）的三角形是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖， ABC中，，，．將 ABC沿圖中的剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）

A． B． C．D．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在三角形紙片中，，，．將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有 ．（請在橫線上填上符合條件的序號）
題型六：尺規(guī)作圖使兩個三角形相似
【經(jīng)典例題6】在 ABC中，，用直尺和圓規(guī)在AB上確定點D，使，根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】數(shù)學(xué)課上，老師提出下面的問題：如圖，在 ABC中，，請用直尺和圓規(guī)在上確定點D，使與 ABC相似．下面是四個學(xué)生的不同作法，根據(jù)作圖痕跡可以判斷，作法正確的是（ ）
A．B．C． D．
【變式訓(xùn)練6-2】在 ABC中，，用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點，使，根據(jù)作圖痕跡判斷，下列正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練6-3】在矩形中，
(1)P是邊上一點，且，請用直尺和圓規(guī)作出所有滿足條件的點P．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)任意選取一點P，證明：．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，已知鈍角 ABC中．
(1)請用無刻度直尺和圓規(guī)在上定一點P，使得．（保留痕跡，不寫作法）
(2)請用數(shù)學(xué)語言簡述作圖的合理性．
【變式訓(xùn)練6-5】在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分線分別與AB，AC交于點E，D兩點．
(1)用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連接BD；
(2)找出一組相似三角形（不用說明理由）．
題型七：相似三角形中多結(jié)論問題
【經(jīng)典例題7】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，與相交于點H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，與相交于點H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：
①；
②連接，，則為直角三角形；
③；
④若，，則的長為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，在矩形中，點E是的中點，的平分線交于點F將沿折疊，點D恰好落在上M點處，延長交于點N，有下列四個結(jié)論：①垂直平分；②是等邊三角形；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【變式訓(xùn)練7-4】如圖，將矩形沿著、、翻折，使得點、、恰好都落在點處，且點、、在同一條直線上，同時點、、在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：；；；；．其中正確的是 ．

【變式訓(xùn)練7-5】如圖，矩形中，，，動點從點出發(fā)向終點運動，連，并過點作，垂足為．①；②的最小值為；③在運動過程中，掃過的面積始終等于掃過的面積；④在運動過程中，點的運動路徑的長為，其中正確的有 （填寫序號）

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