資源簡介

用樣本估計總體
【教學目標】
1．理解樣本數據標眾數、中位數、平均數的意義和作用，學會計算數據的眾數、中位數、平均數.
2．理解樣本數據方差、標準差的意義和作用，學會計算數據的方差、標準差.
【教學重難點】
會用樣本的基本數字特征來估計總體的基本數字特征．
【教學過程】
一、基礎知識
1．眾數、中位數、平均數
眾數、中位數、平均數定義
（1）眾數：一組數據中出現次數最多的數．
（2）中位數：把一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(或中間兩個數的平均數)叫做這組數據的中位數．
（3）平均數：如果n個數x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做這n個數的平均數．
思考：平均數、中位數、眾數中，哪個量與樣本的每一個數據有關，它有何缺點？
答案：平均數與樣本的每一個數據有關，它可以反映出更多的關于樣本數據總體的信息，但是平均數受數據中極端值的影響較大．
2．方差、標準差
標準差、方差的概念及計算公式
（1）標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示．
s＝.
（2）標準差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是樣本數據，n是樣本容量，是樣本平均數)．
（3）標準差(或方差)越小，數據越穩定在平均數附近．s＝0時，每一組樣本數據均為.
二、合作探究
1.眾數、中位數、平均數的計算
（1）某學習小組在一次數學測驗中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數學成績的平均數、眾數、中位數分別為( )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
（2）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．
已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為16.8，則x，y的值分別為( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
答案（1）C （2）C
解析（1）平均數為＝87，眾數為85，中位數為85．
（2）結合莖葉圖上的原始數據，根據中位數和平均數的概念列出方程進行求解．
由于甲組數據的中位數為15＝10＋x，所以x＝5．又乙組數據的平均數為＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分別為5,8．
【教師小結】平均數、眾數、中位數的計算方法：
平均數一般是根據公式來計算的；計算眾數、中位數時，可先將這組數據按從小到大或從大到小的順序排列，再根據各自的定義計算．
2．標準差、方差的計算及應用
甲、乙兩名戰士在相同條件下各打靶10次，每次命中的環數分別是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．
（1）分別計算以上兩組數據的平均數；
（2）分別求出兩組數據的方差；
（3）根據計算結果，估計兩名戰士的射擊情況．若要從這兩人中選一人參加射擊比賽，選誰去合適？
解（1）甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(環)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(環)．
（2）由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2．
（3）甲＝乙，說明甲、乙兩戰士的平均水平相當．
又s＞s說明甲戰士射擊情況波動比乙大．
因此，乙戰士比甲戰士射擊情況穩定，從成績的穩定性考慮，應選擇乙參加比賽．
【教師小結】
（1）方差和標準差都是用來描述一組數據波動情況的特征數，常用來比較兩組數據的波動大小．
（2）樣本標準差反映了各樣本數據圍繞樣本平均數波動的大小，標準差越小，表明各樣本數據在樣本平均數周圍越集中；反之，標準差越大，表明各樣本數據在樣本平均數的兩邊越分散．
（3）當樣本的平均數相等或相差無幾時，就要用樣本數據的離散程度來估計總體的數據分布情況，而樣本數據的離散程度是由標準差來衡量的．
三、課堂總結
1．標準差的平方s2稱為方差，有時用方差代替標準差測量樣本數據的離散程度．方差與標準差的測量效果是一致的，在實際應用中一般多采用標準差．
2．現實中的總體所包含的個體數往往很多，總體的平均數與標準差是未知的，我們通常用樣本的平均數和標準差去估計總體的平均數與標準差，但要求樣本有較好的代表性．
3．在抽樣過程中，抽取的樣本是具有隨機性的，因此樣本的數字特征也有隨機性，用樣本的數字特征估計總體的數字特征，是一種統計思想，沒有唯一答案.
【課堂檢測】
1．某市2017年各月的平均氣溫(℃)數據的莖葉圖如圖：
則這組數據的中位數是( )
A．19 B．20
C．21.5 D．23
答案 B
解析 由莖葉圖知，平均氣溫在20℃以下的有5個月，在20℃以上的也有5個月，恰好是20℃的有2個月，由中位數的定義知，這組數據的中位數為20.故選B．
2．下列關于平均數、中位數、眾數的說法中正確的一個是( )
A．中位數可以準確地反映出總體的情況
B．平均數可以準確地反映出總體的情況
C．眾數可以準確地反映出總體的情況
D．平均數、中位數、眾數都有局限性，都不能準確地反映出總體的情況
答案 D
3．在某次測量中得到的A樣本數據如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B樣本數據恰好是A樣本數據每個都加2后所得的數據，則A，B兩樣本的下列數字特征對應相同的是( )
A．眾數 B．平均數
C．中位數 D．標準差
答案 D
4．某校開展“愛我母校，愛我家鄉”攝影比賽，七位評委為甲，乙兩名選手的作品打出的分數的莖葉圖如圖所示(其中m為數字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲，乙兩名選手得分的平均數分別為a1，a2，則一定有( )
A．a1>a2
B．a2>a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小與m的值有關
答案 B
解析 由莖葉圖知，
a1＝80＋＝84，
a2＝80＋＝85，故選B．
5．若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為________．
答案 16
解析 設樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為s，則s＝8，
可知數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為2s＝16．
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