資源簡(jiǎn)介

9.1隨機(jī)抽樣
【教學(xué)目標(biāo)】
1．理解全面調(diào)查、抽樣調(diào)查、總體、個(gè)體、樣本、樣本量、樣本數(shù)據(jù)等概念
2．理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念，掌握簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法
3．理解分層隨機(jī)抽樣的概念，并會(huì)解決相關(guān)問題
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1．抽樣調(diào)查
2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
3．分層隨機(jī)抽樣
【教學(xué)過程】
一、問題導(dǎo)入
預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：
1．全面調(diào)查、抽樣調(diào)查、總體、個(gè)體、樣本、樣本量、樣本數(shù)據(jù)的概念是什么？
2．什么叫簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣？
3．最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有哪兩種？
4．抽簽法是如何操作的？
5．隨機(jī)數(shù)法是如何操作的？
6．什么叫分層隨機(jī)抽樣？
7．分層隨機(jī)抽樣適用于什么情況？
8．分層隨機(jī)抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是相等的嗎？
9．獲取數(shù)據(jù)的途徑有哪些？
二、基礎(chǔ)知識(shí)
1．全面調(diào)查與抽樣調(diào)查
（1）對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查Ｗ．
（2）在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為個(gè)體Ｗ．
（3）根據(jù)一定的目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查Ｗ．
（4）把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本Ｗ．
（5）樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量Ｗ．
（6）調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱樣本數(shù)據(jù)．
2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
（1）有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n（1≤n（2）不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
（3）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
（4）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本
通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．
（5）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法
實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法很多，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法．
名師點(diǎn)撥
（1）從總體中，逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，一次性批量隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，兩種方法是等價(jià)的．
（2）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，從而保證了抽樣的公平性．
3．總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)
（1）總體平均數(shù)
①一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱＝＝Y(jié)i為總體均值，又稱總體平均數(shù)．
②如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi（i＝1，2，…，k），則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式＝fiYiＷ．
（2）樣本平均數(shù)
如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱＝＝y(tǒng)i為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)．在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)．
4．分層隨機(jī)抽樣
（1）分層隨機(jī)抽樣
一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層Ｗ．
（2）比例分配
在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．
5．分層隨機(jī)抽樣中的總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)
（1）在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n．我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則：①第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為＝＝Xi，＝＝xi．
②第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為＝＝Y(jié)i，＝＝y(tǒng)i．
③總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為＝，＝Ｗ．
（2）由于用第1層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)，用第2層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)．因此我們可以用＝＋估計(jì)總體平均數(shù)．
（3）在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，＝＝，可得＋＝＋＝．因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)．
6．獲取數(shù)據(jù)的途徑
獲取數(shù)據(jù)的基本途徑有：（1）通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；（2）通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)；（3）通過觀察獲取數(shù)據(jù)；（4）通過查詢獲取數(shù)據(jù)
三、合作探究
總體、樣本等概念辨析題
例1：為了調(diào)查參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1 000名運(yùn)動(dòng)員的平均年齡，從中抽取了100名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行調(diào)查，下面說法正確的是（ ）
A．1 000名運(yùn)動(dòng)員是總體
B．每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體
C．抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是樣本
D．樣本量是100
【解析】根據(jù)調(diào)查的目的可知，總體是這1 000名運(yùn)動(dòng)員的年齡，個(gè)體是每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的年齡，樣本是抽取的100名運(yùn)動(dòng)員的年齡，樣本量為100．故答案為D．
【答案】D
[規(guī)律方法]
此類題目要正確理解總體與個(gè)體的概念，要弄明白概念的實(shí)質(zhì)，并注意樣本與樣本容量的不同，其中樣本量為數(shù)目，無單位．
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念
例2：下面的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎？為什么？
（1）從無數(shù)個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本；
（2）倉庫中有1萬支奧運(yùn)火炬，從中一次抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；
（3）某連隊(duì)從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的官兵趕赴災(zāi)區(qū)開展救災(zāi)工作．
【解】（1）不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．因?yàn)楹?jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本總體的個(gè)數(shù)是有限的．（2）不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．雖然“一次性抽取”和“逐個(gè)抽取”不影響個(gè)體被抽到的可能性，但簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求的是“逐個(gè)抽取”．（3）不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．因?yàn)檫@50名官兵是從中挑選出來的，是最優(yōu)秀的，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不同，不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中“等可能抽樣”的要求．
[規(guī)律方法]
要判斷所給的抽樣方法是否為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，關(guān)鍵是看它們是否符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，即簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的四個(gè)特點(diǎn)．
抽簽法及隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用
例3：某班有50名學(xué)生，要從中隨機(jī)地抽出6人參加一項(xiàng)活動(dòng)，請(qǐng)分別寫出利用抽簽法和隨機(jī)數(shù)法抽取該樣本的過程．
【解】（1）利用抽簽法步驟如下：
第一步：將這50名學(xué)生編號(hào)，編號(hào)為01，02，03，…，50．
第二步：將50個(gè)號(hào)碼分別寫在紙條上，并揉成團(tuán)，制成號(hào)簽．
第三步：將得到的號(hào)簽放在一個(gè)不透明的容器中，攪拌均勻．
第四步：從容器中逐一抽取6個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的號(hào)碼．
對(duì)應(yīng)上面6個(gè)號(hào)碼的學(xué)生就是參加該項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生．
（2）利用隨機(jī)數(shù)法步驟如下：
第一步：將這50名學(xué)生編號(hào)，編號(hào)為1，2，3，…，50．
第二步：用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1～50范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的學(xué)生進(jìn)入樣本．
第三步：重復(fù)第二步的過程，直到抽足樣本所需人數(shù)．
對(duì)應(yīng)上面6個(gè)號(hào)碼的學(xué)生就是參加該項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生．
[規(guī)律方法]
（1）利用抽簽法抽取樣本時(shí)應(yīng)注意以下問題：
①編號(hào)時(shí)，如果已有編號(hào)（如學(xué)號(hào)、標(biāo)號(hào)等）可不必重新編號(hào)．（例如該題中50名同學(xué)，可以直接利用學(xué)號(hào)）
②號(hào)簽要求大小、形狀完全相同．
③號(hào)簽要攪拌均勻．
④抽取號(hào)簽時(shí)要逐一、不放回抽取．
（2）利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)應(yīng)注意的問題：如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號(hào)被多次抽到，應(yīng)剔除重復(fù)的編號(hào)并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號(hào)個(gè)數(shù)等于樣本所需的人數(shù)．
分層隨機(jī)抽樣中的有關(guān)計(jì)算
例4：（1）某單位共有老、中、青年職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工的人數(shù)為Ｗ．
（2）某高中學(xué)校為了促進(jìn)學(xué)生個(gè)體的全面發(fā)展，針對(duì)學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社團(tuán)，已知報(bào)名參加這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人，按照要求每人只能參加一個(gè)社團(tuán)，各年級(jí)參加社團(tuán)的人數(shù)情況如下表：
高一年級(jí) 高二年級(jí) 高三年級(jí)
泥塑 a b c
剪紙 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，為了了解學(xué)生對(duì)兩個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的滿意程度，從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取人．
【解析】（1）設(shè)該單位老年職工人數(shù)為x，由題意得3x＝430－160，解得x＝90．則樣本中的老年職工人數(shù)為90×＝18．
（2）法一：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，
故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，
所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)為800×＝320；
因?yàn)椤凹艏垺鄙鐖F(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為＝＝，
所以“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)為320×＝96．
由題意知，抽樣比為＝，
所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為96×＝6．
法二：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，
故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，
所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團(tuán)中的人數(shù)為50×＝20．
又“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為＝＝，
所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為20×＝6．
【答案】（1）18（2）6
[規(guī)律方法]
分層隨機(jī)抽樣中有關(guān)計(jì)算的方法
（1）抽樣比＝＝．
（2）總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．
對(duì)于分層抽樣中求某層個(gè)體數(shù)，或某層要抽取的樣本個(gè)體數(shù)，都可以通過上面兩個(gè)等量關(guān)系求解．
樣本平均數(shù)的求法
例5：（1）甲在本次飛鏢游戲中的成績(jī)?yōu)?，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求甲在本次游戲中的平均成績(jī)．
（2）在了解全校學(xué)生每年平均閱讀多少本文學(xué)經(jīng)典名著時(shí)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6．已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為18的樣本，求合在一起后的樣本均值．
【解】（1）甲在本次游戲中的平均成績(jī)?yōu)椋?．8．
（2）合在一起后的樣本均值為＝＝．
[規(guī)律方法]
在分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為x；第二層的樣本量為n，平均值為y，則樣本的平均值為．
【課堂檢測(cè)】
1．在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，每一個(gè)個(gè)體被抽中的可能性（ ）
A．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽中的可能性要大些
B．與第幾次抽樣無關(guān)，每次抽中的可能性都相等
C．與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽中的可能性要大些
D．每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性無法確定
解析：選B．在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，每一個(gè)個(gè)體被抽中的可能性都相等，與第幾次抽樣無關(guān)．
2．若對(duì)某校1 200名學(xué)生的耐力做調(diào)查，抽取其中120名學(xué)生，測(cè)試他們1500米跑的成績(jī)，得出相應(yīng)的數(shù)值，在這項(xiàng)調(diào)查中，樣本是指（ ）
A．120名學(xué)生
B．1 200名學(xué)生
C．120名學(xué)生的成績(jī)
D．1 200名學(xué)生的成績(jī)
解析：選C．本題抽取的是120名學(xué)生的成績(jī)，因此每個(gè)學(xué)生的成績(jī)是個(gè)體，這120名學(xué)生的成績(jī)構(gòu)成一個(gè)樣本．
3．（2019·廣西欽州市期末考試）某中學(xué)共有1 000名學(xué)生，其中高一年級(jí)350人，該校為了了解本校學(xué)生視力情況，用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從高一年級(jí)抽取的人數(shù)為（ ）
A．20 B．25
C．30 D．35
解析：選D．高一年級(jí)抽取的人數(shù)為×100＝35．故選D．
4．在調(diào)查某中學(xué)的學(xué)生身高時(shí)，利用分層抽樣的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值為170，女生身高的平均值為165．試估計(jì)該中學(xué)所有學(xué)生的平均身高是多少？
解：＝＝167．即該中學(xué)所有學(xué)生的平均身高為167．
第四步，把與號(hào)碼相對(duì)應(yīng)的人抽出，即可得到所要的樣本．
統(tǒng)計(jì)案例 公司員工的肥胖情況調(diào)查分析
【教學(xué)重難點(diǎn)】 【教學(xué)目標(biāo)】 【核心素養(yǎng)】
數(shù)據(jù)分析。 針對(duì)實(shí)際統(tǒng)計(jì)案例進(jìn)行調(diào)查分析。 數(shù)學(xué)應(yīng)用。
【教學(xué)過程】
一、背景導(dǎo)入
近年來，我國(guó)肥胖人群的規(guī)模急速增長(zhǎng)，肥胖人群有很大的心血管安全隱患.目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（Body Mass Index，縮寫B(tài)MT）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是
中國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<23.9為正常；24≤BMI<27.9為偏胖；BMI≥28為肥胖。
二、數(shù)據(jù)調(diào)查
為了解某公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了90名男員工、50名女員工的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，計(jì)算得到他們的BMI值如下：
三、合作探究
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，寫一份該公司員工肥胖情況的統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告.要求：
1．選擇合適的圖表展示數(shù)據(jù)；
2．比較男、女員工在肥胖狀況上的差異；
3．分析公司員工胖瘦程度的整體情況；
4．提出控制體重的建議.
四、教師指導(dǎo)
統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告的主要組成部分
1．標(biāo)題
2．前言
簡(jiǎn)單交代調(diào)查的目的、方法、范圍等背景情況，使讀者了解調(diào)查的基本情況。
3．主體
展示數(shù)據(jù)分析的全過程：首先要明確所關(guān)心的問題是什么，說明數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息；根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需要，說明如何選擇合適的圖表描述和表達(dá)數(shù)據(jù)；從樣本數(shù)據(jù)中提取能刻畫其特征的量，如均值、方差等，用于比較男、女員工在肥胖狀況上的差異；通過樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，分析公司員工胖瘦程度的整體情況.
4．結(jié)尾
對(duì)主體部分的內(nèi)容進(jìn)行概括，結(jié)合控制體重的一般方法（可以查閱有關(guān)文獻(xiàn)），提出控制公司員工體重的建議.

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