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第二章 機(jī)械振動(dòng)
第3節(jié) 單擺
生活中擺動(dòng)的物體
秋千的搖蕩
掛鐘擺錘的擺動(dòng)
1.認(rèn)識(shí)單擺，了解單擺運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)
2.知道單擺的周期，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算
3.了解其他單擺模型與單擺的應(yīng)用
一、認(rèn)識(shí)單擺
1.伽利略的發(fā)現(xiàn)
18歲的伽利略在比薩大學(xué)念書(shū)時(shí)，一次偶然的機(jī)會(huì)觀(guān)察到教堂的吊燈發(fā)生了輕微的擺動(dòng)，隨著擺幅的縮小，吊燈的擺動(dòng)周期似乎沒(méi)有發(fā)生變化。經(jīng)過(guò)思考，他想到一個(gè)辦法進(jìn)行驗(yàn)證。如果你是伽利略，你打算如何驗(yàn)證自己的想法？
如何簡(jiǎn)化吊燈這一研究對(duì)象？
吊燈的擺動(dòng)
單擺
吊燈
擺動(dòng)范圍
連接桿(擺臂)
由此可見(jiàn)：?jiǎn)螖[是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化和抽象建立的一種理想模型
可以看作質(zhì)點(diǎn)的小球
伸縮量和質(zhì)量可以忽略不計(jì)的繩子
豎直平面內(nèi)
質(zhì)量大，密度大
忽略空氣阻力
繩長(zhǎng)比小球的直徑大很多
擺線(xiàn)：
①質(zhì)量不計(jì)
②長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于小球直徑
③不可伸縮
擺球：
質(zhì)點(diǎn)（體積小 質(zhì)量大）
注意：實(shí)際應(yīng)用的單擺小球大小不可忽略，
擺長(zhǎng) L＝擺線(xiàn)長(zhǎng)度＋小球半徑
懸掛物體繩子的伸縮和質(zhì)量可以忽略不計(jì)，繩長(zhǎng)比物體的尺寸(直徑)大很多，物體可以看做質(zhì)點(diǎn)，這樣的裝置稱(chēng)為單擺.
2.定義：
3.特點(diǎn)：
單擺是實(shí)際擺的理想化模型
二、單擺振動(dòng)性質(zhì)的探究
【探究】：?jiǎn)螖[振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？
問(wèn)題：如何驗(yàn)證？
方法一：從單擺的振動(dòng)圖象（x-t圖像）判斷
方法二：從單擺的受力特征判斷
1.方法一：從單擺的振動(dòng)圖象（x-t圖像）判斷
余弦圖像
單擺是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
思考：?jiǎn)螖[平衡位置在哪？哪個(gè)力提供回復(fù)力？
（1）平衡位置：最低點(diǎn)O
（2）受力分析:
（3）回復(fù)力來(lái)源：重力沿切線(xiàn)方向的分力G2
2.方法二：從單擺的受力特征判斷
切向：
法向：
（向心力）
（回復(fù)力）
回復(fù)力：
F回=mgsinθ
C
B
A
O
θ
T
G
G2
G1
（4）單擺的回復(fù)力：
若考慮回復(fù)力和位移的方向，
①弧長(zhǎng)≈x
F回=mgsinθ
（弧度值）

x

x
mg
T
當(dāng) 很小時(shí)
②sinθ≈θ
B
A
O
P
θ
T
G
G2
G1
若單擺的擺角θ很小，則回復(fù)力
F = G2=mg sinθ
令 ,回復(fù)力 F = - k x
綜上，在擺角很小的情況下，單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。
思考：擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)O（平衡位置）時(shí)回復(fù)力是否為零？合力是否為零？
平衡位置：
x=0， ， 回復(fù)力為零
，合外力不為零

O
FT
G
思考：?jiǎn)螖[振動(dòng)的周期與哪些因素有關(guān)呢？
1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅
2、小球質(zhì)量
3、擺長(zhǎng)
4、重力加速度
證明方法：
控制變量法
三、單擺的周期
實(shí)驗(yàn)1：擺球質(zhì)量相同，擺長(zhǎng)L相同，觀(guān)察周期T與振幅的關(guān)系
結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期與其振幅無(wú)關(guān)(等時(shí)性)。
實(shí)驗(yàn)2：擺長(zhǎng)L相同，振幅相同，觀(guān)察周期T與擺球質(zhì)量的關(guān)系
結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)。
實(shí)驗(yàn)4：擺球質(zhì)量相同，振幅相同，擺長(zhǎng)L相同，在地球和月球?qū)嶒?yàn)
結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期與重力加速度有關(guān)。
實(shí)驗(yàn)3：擺球質(zhì)量相同，振幅相同，觀(guān)察周期T與擺長(zhǎng)L的關(guān)系
結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期與其擺長(zhǎng)有關(guān)。
可見(jiàn)，在同一個(gè)地方，單擺周期T與擺球質(zhì)量和振幅無(wú)關(guān)，
僅與擺長(zhǎng) l 有關(guān)系，且擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大。
荷蘭物理學(xué)家惠更斯（1629-1695）通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步得到：
單擺的周期公式：
單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期跟擺長(zhǎng)的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)
四、了解其他單擺模型
圓槽擺
釘擺
雙線(xiàn)擺
五、單擺的應(yīng)用
１.利用單擺的等時(shí)性計(jì)時(shí)
惠更斯于1656年發(fā)明了世界上第一個(gè)用擺的等時(shí)性來(lái)計(jì)時(shí)的時(shí)鐘(1657年獲得專(zhuān)利權(quán))
2. 用單擺測(cè)定重力加速度
2、如圖所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉到A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線(xiàn)處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，則在擺動(dòng)過(guò)程中(　　)
A．?dāng)[球受到重力、拉力、向心力、回復(fù)力四個(gè)力的作用
B．?dāng)[球在A(yíng)點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，合力與回復(fù)力也為零
C．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，細(xì)線(xiàn)拉力也最大
D．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力也最大
C
3．(多選)一單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，以下說(shuō)法正確的是(　　)
A．t1時(shí)刻擺球速度為零，擺球所受的合力為零
B．t2時(shí)刻擺球速度最大，懸線(xiàn)對(duì)它的拉力最小
C．t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最大
D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線(xiàn)對(duì)它的拉力最大
CD
4、如圖所示，細(xì)繩的上端固定，下端掛一小球，現(xiàn)將小球拉到A點(diǎn)由靜止釋放，小球在豎直平面內(nèi)沿曲線(xiàn)ABC擺動(dòng)，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用
B．在B位置小球處于平衡狀態(tài)
C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大
D．在A(yíng)位置小球受拉力與重力作用，處于非平衡狀態(tài)
D

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