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第1課時 整數與整除
課時目標
1. 理解和掌握自然數、整數、整除、因數、倍數等概念；
2. 理解和掌握整除的條件，會區分整除和除盡；
3. 在整除中，能夠說明誰是誰的倍數，誰是誰的因數；
4. 理解和掌握求一個整數的所有因數的方法，理解整數的最小和最大的因數；
5. 理解和掌握求一個整數在一定范圍內的倍數，理解整數的最小的倍數.
知識精要
1. 整數： 正整數 、 零 、 負整數 ，統稱為整數.
零 和 正整數 統成為自然數.
　　 正整數
整數 零 自然數
　　負整數
整除：整數a除以整數b，如果除得的商是整數而余數為零，
我們就說a能被b整除；或者說b能整除a.
注：（1）整除的條件：(3整1零)
①除數、被除數都是整數；
②被除數除以除數，商是整數而且余數為零.
（2）凡是整除一定能除盡，但除盡的不一定能整除；
3. 因數與倍數：如果數a能被數b整除，那么a就叫做b的倍數，b叫做a的因數(也稱為約數).
注：（1）因數、倍數是互相依存的.不能說a是倍數、b是因數！
（2）一個數的因數的個數是有限的，
其中最小的因數是1，最大的因數是它本身.
（3）一個正整數的倍數的個數是無限的，
沒有最大的倍數，最小的倍數是它本身.
（4）1只有一個因數1，除1以外的整數，至少有2個因數.
（5）一個整數既是它本身的約數又是它本身的倍數.
（6）1是任何一個整數的因數，任何整數都是1的倍數.
（7）0是任何一個不為0的整數的倍數，
任何一個不等于0的整數都是0的因數.
4. 能被2、5整除的數：
（1）能被2整除的數的特征是個位上的數字是0、2、4、6、8；
（2）能被5整除的數的特征是個位上的數字是5或0；
（3）能同時被2、5整除的數的特征是個位上的數字是0.
（4）能被3整除的數的特征是各個數位上的數字相加的和是3的倍數.
5. 奇數和偶數：能被2整除的整數叫做偶數，不能被2整除的整數叫做奇數.
6. 素數、合數與分解素因數：
（1）正整數按照因數的個數分類可以分為素數、合數、1.
（2）素數(質數)：只有1和它本身兩個因數；
合數：至少要有3個因數.
注：（1）最小的素數是2；最小的合數是4；
（2）1 既不是素數也不是合數；
7. 分解素因數：把一個合數用素因數相乘的形式表示出來叫分解素因數.
分解素因數常用的方法有：樹枝分解法、短除法、口算法等.
熱身練習
一、整數
1、下列說法中，錯誤的是： ( )
A. 最小的整數是0 B. 最大的正整數不存在
C. 最大的負整數是－1 D. 最大的自然數不存在
最小的正整數是 ，最大的負整數是 .
3、把下列各數填入相應的橫線上：－3， 18，－143， 0， 5，100.
負整數： ；正整數： ；
整數： .
二、整除
4、下列各組數中，第一個數能被第二個數整除的是： ( )
A. 4和12 B. 24和5 C. 35和8 D. 91和7
5、除式9÷1.5=6表示 ( )
A. 9能被1.5整除 B. 1.5能整除9
C. 9能被1.5除盡 D. 以上說法都不確切
6、28能被a整除，a一定是 ( )
A. 4或7 B. 2、4或7
C.2、4、7、14或28 D. 1、2、4、7、14或28
7、18÷9=2，我們就說 能被 整除或 能整除 .
8、能整除14的數是 .
三、因數和倍數
9、 6的因數有 ( )
A.8個 B. 6個 C. 4個 D. 2個
10、6的倍數有 ( )
A.1個 B. 2個 C. 3個 D. 無數個
11、已知14能整除a，那么a是 ( )
A.1和14 B. 2和14 C. 14的因數 D. 14的倍數
12、下列說法錯誤的是 ( )
A. 一個數的因數的個數是有限的，最小的是1，最大的是它本身
B. 一個正整數的倍數的個數是無限的，最小的是它本身
C. 12在100以內的倍數共有10個
D. 一個數既是16的因數，又是16的倍數，這個數就是16
四、能被2、5整除的數
13、末位數字是 的數一定能被2整除.
14、能同時被2、5整除的數，它的個位上的數必是 .
15、能被5整除的最大的兩位數是 ，最小的兩位數是 .
16、奇數與偶數的積必定是 .
17、兩個連續自然數的和是 .
18、寫出100以內能同時被2、3、5整除的數 .
五、素數、合數與分解素因數：
19、在正整數1到20中，奇數有 個，偶數有 個，素數有 個，合數有 個 .
20、在1、2、9這三個數中， 既是素數又是偶數， 既是合數又是奇數，
既不是素數也不是合數.
21、老師將259本新書平均分給六(2)班全體同學，你認為六(2)班有同學 位.
精解名題
例1 下列算式中，被除數能被除數整除的是 ( )
A. 25÷4 B. 25÷0.5 C. 2.5÷5 D. 5÷5
例2 12÷4=3，下列說法不正確的是 ( )
A. 12是4的倍數 B. 4是12的因數 C. 4是12的約數 D.12是倍數
例3 下面哪些數能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同時被2和5整除？
35、85、60、108、321、1234、2010
能被2整除：
能被5整除：
能同時被2和5整除：
例4 下列數中，哪些是奇數？哪些是偶數？
13、24、37、10、9、123、88、0、345
奇數：
偶數：
例5 兩個2位數的積是216，這兩個數的和是多少？
例6 除式21÷5=4……1，如果除數不變，要使這個除式成為整除，那么被除數至少增加 ，這時候商為 .
5 5 5 5 1+？
線段圖解
例7 1到100之間，因數個數是奇數的自然數有哪些？
鞏固練習
一、填空題
1、24的因數有 .
2、若□27□能同時被2和5整除，那么這個四位數最大是 .
3、在20的所有因數中，最大的是 ，最小的是 .
4、一堆蘋果，2個2個數、3個3個數和5個5個數都剩下一個，這堆蘋果最少有 個.
二、選擇題
5、下列各組數中，第一個數能整除第二個數的是： ( )
A. 14和7 B. 2.5和5 C. 9和18 D. 0.4和8
6、能同時被2、5整除的最大兩位數加上1后是： ( )
A. 91 B. 89 C. 11 D. 9
7、一個正方形的邊長是奇數，它的周長是： ( )
A.偶數 B. 奇數 C.無法確定 D.我承認我不知道
8、有兩個質數，它們的和是18，積是65，它們的差是 ( )
A. 11 B. 9 C.12 D. 8
三、解答題
9、將下列各數分別填入相應的集合圈內：
－5、0、21、81、、215、－9、－8.1、1.
整數 正整數 負整數
寫出63的所有因數 .
11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，則A和B相同的因數有哪些？
12、用0、3、4、5四個數字，按下列要求排成沒有重復數字的四位數，并請指出滿足條件的這些四位數中最大的四位數.
（1）能被2整除，但不能被5整除；
（2）能被5整除，但不能被2整除；
（3）既能被2整除，又能被5整除；
答案：
熱身練習
一、整數
1、下列說法中，錯誤的是： ( A )
A. 最小的整數是0 B. 最大的正整數不存在
C. 最大的負整數是－1 D. 最大的自然數不存在
最小的正整數是 1 ，最大的負整數是 －1 .
3、把下列各數填入相應的橫線上：－3， 18，－143， 0， 5，100.
負整數： －3 ，－143 ；正整數： 18，5，100 ；
整數： －3， 18， －143，0 ，5，100 .
二、整除
4、下列各組數中，第一個數能被第二個數整除的是： ( D )
A. 4和12 B. 24和5 C. 35和8 D. 91和7
5、除式9÷1.5=6表示 ( C )
A. 9能被1.5整除 B. 1.5能整除9
C. 9能被1.5除盡 D. 以上說法都不確切
6、28能被a整除，a一定是 ( D )
A. 4或7 B. 2、4或7
C.2、4、7、14或28 D. 1、2、4、7、14或28
7、18÷9=2，我們就說 18 能被 9 整除或 9 能整除 18 .
8、能整除14的數是 1、2、7、14 .
三、因數和倍數
9、 6的因數有 ( C )
A.8個 B. 6個 C. 4個 D. 2個
10、6的倍數有 ( D )
A.1個 B. 2個 C. 3個 D. 無數個
11、已知14能整除a，那么a是 ( D )
A.1和14 B. 2和14 C. 14的因數 D. 14的倍數
12、下列說法錯誤的是 ( C )
A. 一個數的因數的個數是有限的，最小的是1，最大的是它本身
B. 一個正整數的倍數的個數是無限的，最小的是它本身
C. 12在100以內的倍數共有10個
D. 一個數既是16的因數，又是16的倍數，這個數就是16
四、能被2、5整除的數
13、末位數字是 0、2、4、6、8 的數一定能被2整除.
14、能同時被2、5整除的數，它的個位上的數必是 0 .
15、能被5整除的最大的兩位數是 95 ，最小的兩位數是 10 .
16、奇數與偶數的積必定是 偶數 .
17、兩個連續自然數的和是 奇數 .
18、寫出100以內能同時被2、3、5整除的數 30、60、90 .
五、素數、合數與分解素因數：
19、在正整數1到20中，奇數有 10 個，偶數有 10 個，素數有 8 個，合數有 11 個 .
20、在1、2、9這三個數中， 2 既是素數又是偶數， 9 既是合數又是奇數，
1 既不是素數也不是合數.
21、老師將259本新書平均分給六(2)班全體同學，你認為六(2)班有同學 37 位.
精解名題
例1 下列算式中，被除數能被除數整除的是 ( D )
A. 25÷4 B. 25÷0.5 C. 2.5÷5 D. 5÷5
例2 12÷4=3，下列說法不正確的是 ( D )
A. 12是4的倍數 B. 4是12的因數 C. 4是12的約數 D.12是倍數
例3 下面哪些數能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同時被2和5整除？
35、85、60、108、321、1234、2010
能被2整除： 60、108、1234、2010
能被5整除： 35、85、60、2010
能同時被2和5整除： 60、2010
例4 下列數中，哪些是奇數？哪些是偶數？
13、24、37、10、9、123、88、0、345
奇數： 13、37、9、123、345
偶數： 24、10、88、0
例5 兩個2位數的積是216，這兩個數的和是多少？
解：216=2×2×2×3×3×3=12×18所以這兩個數就是12和18，它們和是30.
例6 除式21÷5=4……1，如果除數不變，要使這個除式成為整除，那么被除數至少增加 4 ，這時候商為 5 .
5 5 5 5 1+？
線段圖解
例7 1到100之間，因數個數是奇數的自然數有哪些？
解：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100（都是平方數）.
鞏固練習
一、填空題
1、24的因數有 1、2、3、4、6、8、12、24 .
2、若□27□能同時被2和5整除，那么這個四位數最大是 9270 .
3、在20的所有因數中，最大的是 20 ，最小的是 1 .
4、一堆蘋果，2個2個數、3個3個數和5個5個數都剩下一個，這堆蘋果最少有 31 個.
二、選擇題
5、下列各組數中，第一個數能整除第二個數的是： ( C )
A. 14和7 B. 2.5和5 C. 9和18 D. 0.4和8
6、能同時被2、5整除的最大兩位數加上1后是： ( A )
A. 91 B. 89 C. 11 D. 9
7、一個正方形的邊長是奇數，它的周長是： ( A )
A.偶數 B. 奇數 C.無法確定 D.我承認我不知道
8、有兩個質數，它們的和是18，積是65，它們的差是 ( D )
A. 11 B. 9 C.12 D. 8
三、解答題
9、將下列各數分別填入相應的集合圈內：
－5、0、21、81、、215、－9、－8.1、1.
整數 正整數 負整數
10、寫出63的所有因數 1、3、7、9、21、63 .
11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，則A和B相同的因數有哪些？
解：1、3、5、15
12、用0、3、4、5四個數字，按下列要求排成沒有重復數字的四位數，并請指出滿足條件的這些四位數中最大的四位數.
（1）能被2整除，但不能被5整除；5304
（2）能被5整除，但不能被2整除；4305
（3）既能被2整除，又能被5整除；5430
－5， 0， 21， 81， 215， －9， 1
－5，－9
21， 81， 215， 1
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