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第七章 復(fù) 數(shù)
章末復(fù)習(xí)提升
網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
復(fù)數(shù)常設(shè)為z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z為虛數(shù) b≠0；z為純虛數(shù) a＝0且b≠0.
一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
例1
復(fù)數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當(dāng)x為何實數(shù)時：
(1)z∈R；
因為一個復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是虛部為0，
解得x＝4，所以當(dāng)x＝4時，z∈R.
(2)z為虛數(shù)？
因為一個復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0，
A.0 B.－1
C.1 D.－2
訓(xùn)練1
√
其虛部為0.
進行復(fù)數(shù)代數(shù)運算的策略
(1)復(fù)數(shù)的運算的基本思路就是應(yīng)用運算法則進行計算.
(2)復(fù)數(shù)的四則運算中含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式.
二、復(fù)數(shù)的運算
例2
因為z1＝3－2i，z2＝5＋4i，
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝(3－2i)(5＋4i)＝23＋2i，
訓(xùn)練2
A.1＋i或－2＋i B.i或1＋i
C.i或－1＋i D.－1－i或－2＋i
√
設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.
故z＝i或z＝－1＋i.
三、復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用
2.復(fù)數(shù)的加減運算與復(fù)數(shù)的模有明確的幾何意義，利用幾何意義，借助幾何直觀解題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.
例3
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
訓(xùn)練3
四、復(fù)數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用
復(fù)數(shù)具有代數(shù)形式，且復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)又是數(shù)形結(jié)合的橋梁，要注意復(fù)數(shù)與向量、方程、函數(shù)等知識的交匯.
例4
四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C，D四點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，2i，2＋i，z.
(1)求復(fù)數(shù)z；
由題意，復(fù)平面內(nèi)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，3)，(0，2)，(2，1)，
(2)z是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個根，求實數(shù)p，q的值.
3＋2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個根，
訓(xùn)練4
由題意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
由(1)知，點P的坐標(biāo)為(－1，－2sin2θ).章末復(fù)習(xí)提升
一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
復(fù)數(shù)常設(shè)為z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z為虛數(shù) b≠0；z為純虛數(shù) a＝0且b≠0.
例1 復(fù)數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當(dāng)x為何實數(shù)時：
(1)z∈R；(2)z為虛數(shù)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練1 若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋2的虛部為(　　)
A.0 B.－1 C.1 D.－2
二、復(fù)數(shù)的運算
進行復(fù)數(shù)代數(shù)運算的策略
(1)復(fù)數(shù)的運算的基本思路就是應(yīng)用運算法則進行計算.
(2)復(fù)數(shù)的四則運算中含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式.
例2 設(shè)z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練2 復(fù)數(shù)z滿足z(＋1)＝1＋i，其中i是虛數(shù)單位，則z等于(　　)
A.1＋i或－2＋i B.i或1＋i
C.i或－1＋i D.－1－i或－2＋i
三、復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用
1.由復(fù)數(shù)確定有序?qū)崝?shù)對，即z＝a＋bi(a，b∈R)確定有序?qū)崝?shù)對(a，b)，由有序?qū)崝?shù)對(a，b)確定復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)與向量＝(a，b).
2.復(fù)數(shù)的加減運算與復(fù)數(shù)的模有明確的幾何意義，利用幾何意義，借助幾何直觀解題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.
例3 (1)復(fù)數(shù)z＝(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－i|＝，則|z|的最大值是______，|z|的最小值是______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練3 復(fù)平面內(nèi)點A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆時針順序作 ABCD，求||.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、復(fù)數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用
復(fù)數(shù)具有代數(shù)形式，且復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)又是數(shù)形結(jié)合的橋梁，要注意復(fù)數(shù)與向量、方程、函數(shù)等知識的交匯.
例4 四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C，D四點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，2i，2＋i，z.
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)z是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個根，求實數(shù)p，q的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練4 已知復(fù)平面內(nèi)點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點P在直線y＝x上，求θ的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末復(fù)習(xí)提升
例1　解　(1)因為一個復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是虛部為0，
所以
解得x＝4，所以當(dāng)x＝4時，z∈R.
(2)因為一個復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0，
所以
解得x>且x≠4.
所以當(dāng)x>且x≠4時，z為虛數(shù).
訓(xùn)練1　A　[因為z＝1＋i，所以＝1－i，
所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0，
其虛部為0.]
例2　解　因為z1＝3－2i，z2＝5＋4i，
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝(3－2i)(5＋4i)＝23＋2i，
＝＝＝＝－i.
訓(xùn)練2　C　[設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，
由z(＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，
所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.
故z＝i或z＝－1＋i.]
例3　(1)A　(2)3　　[(1)∵z＝＝
＝ [(m－4)－(2＋2m)i]，
∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z.
由得此時無解，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)點Z不可能位于第一象限.
(2)|z＋3－i|＝表示以－3＋i對應(yīng)的點P(－3，)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，
則|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
顯然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.]
訓(xùn)練3　解　如圖，設(shè)D(x，y)，F(xiàn)為 ABCD的對角線的交點，則點F的坐標(biāo)為，
所以即
所以點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝3＋3i，
所以＝－，
所以表示的復(fù)數(shù)為3＋3i－1＝2＋3i，
所以||＝.
例4　解　(1)由題意，復(fù)平面內(nèi)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，3)，(0，2)，(2，1)，
設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，∵＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，
∴x－1＝2，y－3＝－1，
解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個根，
∴3－2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的另一個根，
則3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，即p＝12，q＝26.
訓(xùn)練4　解　(1)由題意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知，點P的坐標(biāo)為(－1，－2sin2θ).
由點P在直線y＝x上，
得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，
又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，因此sin θ＝，
∴θ＝或θ＝.

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