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章末復(fù)習(xí)提升
第六章　平面向量及其應(yīng)用
網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個向量，因此，對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意向量的大小和方向兩個方面.
一、平面向量的線性運(yùn)算
例1
√
√
A.2 B.－2 C.1 D.－1
訓(xùn)練1
√
即點D在BC的延長線上，且C為BD的中點，
所以λ＝－1，μ＝2，則λ＋μ＝1.
1.數(shù)量積的三種運(yùn)算
(1)已知向量的模和夾角，則
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.
二、向量的數(shù)量積運(yùn)算
2.向量的夾角和模的性質(zhì)
例2
(1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________.
因為a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，
所以由(a－λb)⊥b可得，
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(1)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，則a·b＋b·c＋c·a＝________.
訓(xùn)練2
由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
(2)已知非零向量a，b滿足|a－b|＝|a|，a⊥(a－b)，則a與b夾角為________.
因為|a－b|＝|a|，
所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2，
設(shè)a與b夾角為θ，
則|b|2＝2a·b＝2|a||b|cos θ，
|b|＝2|a|cos θ，①
因為|b|＝2|a|cos θ>0，所以cos θ>0.
又因為a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，
則a2＝a·b，則|a|2＝|a||b|cos θ，
所以|a|＝|b|cos θ，②
三、正弦定理、余弦定理及應(yīng)用
例3
(1)求A的大??；
因為C∈(0，π)，所以sin C>0，
因為D在邊BC上，且CD＝2DB，
訓(xùn)練3
△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知________(只需填序號).
(1)求A的大??；
又0又B∈(0，π)，sin B≠0，
又C∈(0，π)，sin C≠0，
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
可得bc＝3，
四、正、余弦定理的實際應(yīng)用
正、余弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應(yīng)用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實際問題進(jìn)行檢驗.
例4
∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
＝30°＋(90°－60°)＝60°，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos ∠DBC
∴CD＝30(n mile).
答：救援船到達(dá)D點需要1 h.
訓(xùn)練4
某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高.
如圖所示，設(shè)AE為塔，B為塔正東方向一點，沿南偏西60°的方向前進(jìn)40 m到達(dá)C處，
即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.
過點A作AG⊥BC，垂足為G，此時仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面積公式知
＝AC×sin∠ACB
在Rt△AEG中，
∵AE＝AGtan∠AGE，章末復(fù)習(xí)提升
　　
一、平面向量的線性運(yùn)算
向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個向量，因此，對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意向量的大小和方向兩個方面.
例1 (1)設(shè)D，E為△ABC所在平面內(nèi)兩點，＝，＝2，則＝(　　)
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
(2)如圖，在△ABC中，＝，P是線段BD上一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為(　　)
A. B. C.2 D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練1 (1)在△ABC中，＝－2，且＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　)
A.2 B.－2 C.1 D.－1
(2)如圖，已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且＝2，則向量＝________(用，表示).
二、向量的數(shù)量積運(yùn)算
1.數(shù)量積的三種運(yùn)算
(1)已知向量的模和夾角，則
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.
2.向量的夾角和模的性質(zhì)
(1)設(shè)a＝(x1，y1)，則|a|＝.
(2)兩非零向量夾角θ的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝＝.
(3)若a，b為非零向量，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例2 (1)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________.
(2)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點M，N滿足＝3，＝2，則·＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練2 (1)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，則a·b＋b·c＋c·a＝________.
(2)已知非零向量a，b滿足|a－b|＝|a|，a⊥(a－b)，則a與b夾角為________.
三、正弦定理、余弦定理及應(yīng)用
1.已知三角形的任意兩個角和一邊，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及正弦定理解此三角形；已知三角形的兩邊及其夾角或三邊，可用余弦定理解此三角形.
2.邊角互化的常用方法
(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin A＝，cos A＝等，通過代數(shù)變換.
例3 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝sin C－cos C.
(1)求A的大??；
(2)若b＝3，c＝2，點D在邊BC上，且CD＝2DB，求線段AD的長.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練3 在①b(1＋cos A)＝asin B，②bcos＝asin B，③asin C＝ccos(A－)這三個條件中任選一個作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答.
△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知________(只需填序號).
(1)求A的大?。?br/>(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面積.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、正、余弦定理的實際應(yīng)用
正、余弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應(yīng)用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實際問題進(jìn)行檢驗.
例4 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋) n mile的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20 n mile的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30 n mile/h，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練4 某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末復(fù)習(xí)提升
例1　(1)B　[如圖，因為＝，＝2，
所以＝，＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)＝－.]
(2)A　[設(shè)＝λ，
因為＝，所以＝，
則＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝(1－λ)＋λ，
又因為＝m＋，
所以
解得λ＝，m＝.]
訓(xùn)練1　(1)C　[因為＝－2，則＝2，
即點D在BC的延長線上，且C為BD的中點，
則＝＋＝＋2＝＋2(－)＝－＋2，
所以λ＝－1，μ＝2，則λ＋μ＝1.]
(2)＋　[由題可知，點M是△ABC的邊BC的中點，＝2，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]
例2　(1)　[因為a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，
所以由(a－λb)⊥b可得，
3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝.]
(2)9　[因為＝＋＝＋，
＝－＝－，
所以·＝(4＋3)×(4－3)＝(162－92)＝×(16×62－9×42)＝9.]
訓(xùn)練2　(1)－　[由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.]
(2)　[因為|a－b|＝|a|，
所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2，
設(shè)a與b夾角為θ，
則|b|2＝2a·b＝2|a||b|cos θ，
|b|＝2|a|cos θ，①
因為|b|＝2|a|cos θ>0，所以cos θ>0.
又因為a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，
則a2＝a·b，則|a|2＝|a||b|cos θ，
所以|a|＝|b|cos θ，②
①代入②得|a|＝|b|cos θ＝2|a|cos2θ，cos2θ＝，
因為cos θ>0，所以cos θ＝.
所以θ∈[0，π]，所以θ＝.]
例3　解　(1)由已知及正弦定理得＝sin C－cos C，
可化為sin C－sin B＝sin Asin C－sin Acos C，
即sin C－sin(A＋C)＝sin Asin C－sin Acos C，
所以sin C－sin Acos C－sin Ccos A＝sin Asin C－sin Acos C.
因為C∈(0，π)，所以sin C>0，
所以－cos A＝sin A，
即sin＝1.
因為0所以A＋＝，故A＝.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝18＋4－12＝10，則a＝.
因為D在邊BC上，且CD＝2DB，
所以BD＝a＝.
又cos B＝＝－，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝，
所以AD＝.
訓(xùn)練3　解　(1)選①：由正弦定理及已知可得sin B(1＋cos A)＝sin Asin B，又B∈(0，π)，sin B≠0，
∴1＋cos A＝sin A，
則sin＝，
又0∴A－＝，即A＝.
選②：由正弦定理及已知可得sin Bcos ＝sin Asin B，
又B∈(0，π)，sin B≠0，
∴cos＝sin A，
∴sin＝2sin cos .
又∈，∴sin ≠0，
∴cos ＝.
又0∴＝，即A＝.
選③：由正弦定理及已知可得sin Asin C＝sin Ccos，
又C∈(0，π)，sin C≠0，
∴sin A＝cos＝cos A＋sin A，
則tan A＝.
又0(2)由(1)知cos A＝
＝
＝－1＝，
可得bc＝3，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
例4　解　由題意知AB＝5(3＋) n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝，
∴DB＝＝
＝
＝＝10(n mile)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(n mile)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(n mile).
則需要的時間t＝＝1(h).
答：救援船到達(dá)D點需要1 h.
訓(xùn)練4　解　如圖所示，設(shè)AE為塔，B為塔正東方向一點，沿南偏西60°的方向前進(jìn)40 m到達(dá)C處，
即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.
在△ABC中，＝，
即＝，∴AC＝20.
過點A作AG⊥BC，垂足為G，此時仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面積公式知
×BC×AG＝×BC×AC×sin∠ACB.
∴AG＝
＝AC×sin∠ACB＝20sin 15°，
∴AG＝20sin(45°－30°)
＝20×
＝10(－1).
在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE，
∴AE＝10(－1)×
＝10－＝，
∴塔高為 m.

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