資源簡介

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專題27.1.2圖形的相似（二）五大題型（一課一講）
（內容:平行線分線段成比例）
【人教版】
題型一：平行線分線段成比例之“#”字型
【經典例題1】如圖，已知直線m，n被一組平行線所截，交點分別為A，B，C和D，E，F，則下列結論中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，直線，分別交直線、于點、、、、、，下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】如圖，，若，，則的長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【變式訓練1-3】如圖，已知直線，直線分別交直線，，于點，，，直線分別交直線，，于點，，，若，，則（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【變式訓練1-4】如圖，已知直線，分別交直線m，n于點A，B，C和D，E，F，，，，那么的長為 ．
【變式訓練1-5】如圖，，．

(1)若，，求的長．
(2)若，求的長．
【變式訓練1-6】如圖，若直線，它們依次交直線m、n于點A，B，C和點D，E，F．
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長．
題型二：平行線分線段成比例之“x”字型
【經典例題2】如圖，已知，直線，，分別交直線于點、、，交直線于點、、，那么下列比例式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】如圖，直線，直線分別交，，于點A，B，C，直線分別交，，于點D，E，F，與相交于點H，若，，，，則等于（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，直線分別交直線于點，交直線于點，且，如果，那么 ．
【變式訓練2-3】如圖，已知直線，，分別截直線于點，，，截直線于點，，，且．
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長．
【變式訓練2-4】如圖，直線分別交直線于點A、B、C，交直線于點D、E、F，且．
(1)如果，，求的長．
(2)如果，求的長．
題型三：平行線分線段成比例之“A”字型
【經典例題3】已知 ABC中，D、E分別是邊、上的點，下列各式中，能判斷的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖 ABC，點D、E分別在邊、上，下列選項中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】如圖，已知，．
(1)若，，．求的長；
(2)求證：．
【變式訓練3-3】在 ABC中，點是的中點，以為圓心以為半徑作圓．是的中點，連接，交圓于點．連接，連接并延長，交于點．
(1)求證：平分；
(2)若，，求的長．
【變式訓練3-4】如圖，，，，．
(1)求的值；
(2)求證：．
【變式訓練3-5】如圖，在 ABC中，點D為上一點，且，過點D作交于點E，連接，過點D作交于點F．若，求的長．

題型四：平行線分線段成比例之“8”字型
【經典例題4】如圖，，，若，則的長為 ．
【變式訓練4-1】如圖，矩形的邊長，，E為的中點，F在邊上，且，分別與、相交于點M，N．
①的度數是 ；
②線段的長為 ．
【變式訓練4-2】如圖，與相交于點，且，如果，，，那么 ．

【變式訓練4-3】如圖，為梯形，一條直線與的延長線、的延長線順次交于點，若，則 ．

【變式訓練4-4】如圖，與相交于點，點在線段上，且，若，，，則的值為 .
【變式訓練4-5】如圖，正方形的邊長為1．對角線、相交于點O，P是延長線上的一點，交于點E，交于點H，交于點F，且與平行．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形為平行四邊形．
(3)求的長度．
題型五：平行線分線段成比例綜合
【經典例題5】如圖，是 ABC的中線，E是的中點，的延長線交于點F，求的值．
【變式訓練5-1】如圖，是 ABC的中線，點是上一點，且，連接并延長交于點．
(1)若，求的長；
(2)求的值．
【變式訓練5-2】如圖，在正方形中，點E在邊上，點F在的延長線上，．過點E作EG⊥AF，垂足為G，連接．
(1)求的度數；
(2)若，求的值．
【變式訓練5-3】如圖，是 ABC的中線，E是上一點，過點C作，交的延長線于點G，交于點F．若，求的值．
【變式訓練5-4】如圖，C為線段上一點，作等腰和等腰，，，．在線段上取一點F，使，連接，．
(1)求證：；
(2)若，的延長線恰好經過的中點G，求的長．
【變式訓練5-5】如圖， ABC內接于，D是的直徑的延長線上一點， ，過圓心 O作的平行線交的延長線于點E．
(1)求證：是的切線；
(2)若 ，求的長．
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專題27.1.2圖形的相似（二）五大題型（一課一講）
（內容:平行線分線段成比例）
【人教版】
題型一：平行線分線段成比例之“#”字型
【經典例題1】如圖，已知直線m，n被一組平行線所截，交點分別為A，B，C和D，E，F，則下列結論中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理．根據平行線分線段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，，，
但不能得到，即選項D不正確．
故選：D
【變式訓練1-1】如圖，直線，分別交直線、于點、、、、、，下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線分線段成比例．熟練掌握平行線分線段成比是解題的關鍵．
根據平行線分線段成比例對各選項判斷作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，，A、D正確，故不符合要求；
∴，C正確，故不符合要求；
，B錯誤，故符合要求；
故選：B．
【變式訓練1-2】如圖，，若，，則的長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，先根據平行線分線段成比例定理得到，熟練運用定理解決問題是解題的關鍵．先根據平行線分線段成比例定理得到，結合，即可得解．
【詳解】，
，
又，，
，
，
故選擇：C
【變式訓練1-3】如圖，已知直線，直線分別交直線，，于點，，，直線分別交直線，，于點，，，若，，則（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理．先由，求得，再根據平行線分線段成比例定理即可得到結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【變式訓練1-4】如圖，已知直線，分別交直線m，n于點A，B，C和D，E，F，，，，那么的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據得到，代入數據即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練1-5】如圖，，．

(1)若，，求的長．
(2)若，求的長．
【答案】(1)9
(2)15
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，關鍵是靈活運用平行線分線段成比例定理．
（1）由平行分線段成比例得出，再代入數值計算；
（2）由平行線分線段成比例的性質得出，再代入計算．
【詳解】（1）解：，
，
，，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【變式訓練1-6】如圖，若直線，它們依次交直線m、n于點A，B，C和點D，E，F．
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本題考查平行線分線段成比例定理；
（1）由平行線分線段成比例定理得到，代入有關數據，即可；
（2）由平行線分線段成比例定理推出，得到，即可求出長，得到的長．
【詳解】（1）解：∵，
，
，，，
，
；
（2）∵，
，
，
，
，
，
．
題型二：平行線分線段成比例之“x”字型
【經典例題2】如圖，已知，直線，，分別交直線于點、、，交直線于點、、，那么下列比例式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題是一道關于平行線分線段成比例的題目，掌握平行線分線段成比例的相關知識是解答本題的關鍵．根據平行線分線段成比例定理，即可進行判斷．
【詳解】解：A．∵，
∴，故A正確；
B．根據無法判斷，故B錯誤；
C．∵，
∴，
∵，
∴，故C錯誤；
D．∵，
∴，
∵，
∴，故D錯誤．
故選：A．
【變式訓練2-1】如圖，直線，直線分別交，，于點A，B，C，直線分別交，，于點D，E，F，與相交于點H，若，，，，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查平行線分線段成比例，解題的關鍵是熟知分線段成比例定理的性質．根據可得，再代入數據即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓練2-2】如圖，直線分別交直線于點，交直線于點，且，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線等分線段定理，根據平行線等分線段定理可得，據此即可求解，掌握平行線等分線段定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：
【變式訓練2-3】如圖，已知直線，，分別截直線于點，，，截直線于點，，，且．
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理并找準對應線段是解題的關鍵．
（1）由平行線分線段成比例定理得到，代入已知線段長度即可得到的長；
（2）由平行線分線段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的長，
【詳解】（1）解：∵，，，，
，
即，
解得：；
（2）解：∵，，
，
即，
解得：．
【變式訓練2-4】如圖，直線分別交直線于點A、B、C，交直線于點D、E、F，且．
(1)如果，，求的長．
(2)如果，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，能熟練地運用定理進行計算是解此題的關鍵．
（1）利用平行線分線段成比例定理求得，可求得的長，進一步可求得的長．
（2）利用平行線分線段成比例定理求得，代入數值可求得的長．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
題型三：平行線分線段成比例之“A”字型
【經典例題3】已知 ABC中，D、E分別是邊、上的點，下列各式中，能判斷的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線分線段成比例．熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．
根據平行線分線段成比例判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，不能判斷，故A不符合要求；
不能判斷，故B不符合要求；
不能判斷，故C不符合要求；
由可得，，故D符合要求；
故選：D．
【變式訓練3-1】如圖 ABC，點D、E分別在邊、上，下列選項中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，根據平行線分線段成比例定理即可逐一判斷，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
【詳解】解：A、能判斷，故選項不符合題意；
B、不能判斷，故選項符合題意；
C、能判斷，故選項不符合題意；
D、能判斷，故選項不符合題意；
故選：B．
【變式訓練3-2】如圖，已知，．
(1)若，，．求的長；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．
（1）先求出，根據，得出，代入數據求出結果即可；
（2）根據，得出，根據，得出，求出結果即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練3-3】在 ABC中，點是的中點，以為圓心以為半徑作圓．是的中點，連接，交圓于點．連接，連接并延長，交于點．
(1)求證：平分；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理以及平行線分線段成比例．
（1）由三角形中位線定理以及平行線分線段成比例，證明，根據圓周角定理求得，推出是線段的垂直平分線，據此即可證明平分；
（2）先求得，求得，再利用三角形中位線定理求解即可．
【詳解】（1）證明：∵點是的中點，是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴，
由題意得是的直徑，
∴，
∴是線段的垂直平分線，
∴，，即平分；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，是的中點，
∴是的中位線，
∴．
【變式訓練3-4】如圖，，，，．
(1)求的值；
(2)求證：．
【答案】(1)8
(2)見解析
【分析】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解答的關鍵，注意對應線段的對應位置．
（1）根據平行線分線段成比例得到，進而根據比例性質求解即可；
（2）根據平行線分線段成比例定理得到，進而可得結論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
【變式訓練3-5】如圖，在 ABC中，點D為上一點，且，過點D作交于點E，連接，過點D作交于點F．若，求的長．

【答案】
【分析】本題考查平行線分線段成比例．根據平行線分線段成比例即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
解得：，
∴．
題型四：平行線分線段成比例之“8”字型
【經典例題4】如圖，，，若，則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，先根據建立等式求出，再根據建立等式，即可求出的值．
【詳解】解：∵，
∴．
∵，
∴，即，解得，或（舍去）．
∵，
∴，即，解得，
故答案為：．
【變式訓練4-1】如圖，矩形的邊長，，E為的中點，F在邊上，且，分別與、相交于點M，N．
①的度數是 ；
②線段的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，矩形的性質，靈活根據不同的平行線表示線段之間的關系是解題的關鍵．
①證明是等腰直角三角形即可；
②和的延長線交于H，如圖，先利用勾股定理得到，利用得到，則可計算出，接著利用得到，則可計算出，然后利用得到，可計算出，最后根據計算即可．
【詳解】解：①∵矩形的邊長，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案為：；
②延長和的延長線交于，如圖，
∵是的中點，
∴，
由①可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴ ，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-2】如圖，與相交于點，且，如果，，，那么 ．

【答案】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例、比例的性質；由平行線分線段成比例定理得出比例式是解決問題的關鍵．根據平行線分線段成比例、比例的基本性質求得，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案為．
【變式訓練4-3】如圖，為梯形，一條直線與的延長線、的延長線順次交于點，若，則 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了梯形或平行線分線段成比例的性質，由平行線可得對應線段成比例，結合，可分別求出線段與的關系，進而可求解結論．
【詳解】解：∵為梯形，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：，
∵，
∴，
∴，，
∴
故答案為．
【變式訓練4-4】如圖，與相交于點，點在線段上，且，若，，，則的值為 .
【答案】
【分析】本題考查平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．設，則，求出，再由，即可求出答案．
【詳解】解：設，
，
，
，
解得，
，
，
，
．
故答案為：．
【變式訓練4-5】如圖，正方形的邊長為1．對角線、相交于點O，P是延長線上的一點，交于點E，交于點H，交于點F，且與平行．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形為平行四邊形．
(3)求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性質得出，結合即可得證；
（2）由得出，，由正方形的性質得出，，從而，即，推出，即可得證；
（3）求出和的長，再由勾股定理計算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：∵，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；
（3）解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得：．
【點睛】本題考查了正方形的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
題型五：平行線分線段成比例綜合
【經典例題5】如圖，是 ABC的中線，E是的中點，的延長線交于點F，求的值．
【答案】
【分析】本題考查平行線分線段成比例，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．根據題意先過D作的平行線，交邊于G，得出，再根據D為中點可得出，；同理求得，從而得出，即可得出的值．
【詳解】解：過D作的平行線，交邊于G，如圖所示：
∵D為中點，，
∴，即：，
又E為的中點，的延長線交于F，，
∴，即：，
∴，
∴．
【變式訓練5-1】如圖，是 ABC的中線，點是上一點，且，連接并延長交于點．
(1)若，求的長；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題考查中線定義，線段和差關系，平行線分線段成比例等知識內容，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）過作交于點，繼而得到，再利用中線定義得到，再利用平行線分線段定理可得，繼而得到本題答案；
（2）如圖，過作交于點，，再利用中線定義得到，再利用平行線分線段定理可得，繼而得到本題答案．
【詳解】（1）解：如圖，過作交于點，
∴，
∵是的中線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如圖，過作交于點，
∴，
∵是的中線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【變式訓練5-2】如圖，在正方形中，點E在邊上，點F在的延長線上，．過點E作EG⊥AF，垂足為G，連接．
(1)求的度數；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理、正方形的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）過點G作，交于點N，延長交的延長線于點M，則四邊形是矩形，證明，得出為等腰直角三角形從而得到，即可得解；
（2）設，則，求出，，再由平行線分線段成比例定理即可得解．
【詳解】（1）解：過點G作，交于點N，延長交的延長線于點M，
，
則，
四邊形是矩形，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
為等腰直角三角形，
，
；
（2）解：設，則，
，
，
∵，
∴．
【變式訓練5-3】如圖，是 ABC的中線，E是上一點，過點C作，交的延長線于點G，交于點F．若，求的值．
【答案】1
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，平行線分線段成比例，延長交的延長線于點M，連接，先證明推出四邊形為平行四邊形，得到設，則根據平行線分線段成比例，進行求解即可．
【詳解】解：延長交的延長線于點M，連接．
為的中線，
，
，
，
，
∴四邊形為平行四邊形，
．
，
．
設，則
，
．
．
【變式訓練5-4】如圖，C為線段上一點，作等腰和等腰，，，．在線段上取一點F，使，連接，．
(1)求證：；
(2)若，的延長線恰好經過的中點G，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由等腰三角形的性質得出，，證明出得出，再證明即可得證；
（2）由（1）得．作交于點H，，設，則，，，再由平行線分線段成比例定理計算即可得解．
【詳解】（1）解：∵、是等腰三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）得．
作交于點H，
，，
，
設，則，
，，
，
，
，
，
解得（舍）或，
∴．
【變式訓練5-5】如圖， ABC內接于，D是的直徑的延長線上一點， ，過圓心 O作的平行線交的延長線于點E．
(1)求證：是的切線；
(2)若 ，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由等角對等邊得出，等量代換得，由圓周角定理可得，進而得到，即可得出結論；
（2）根據平行線分線段成比例定理得到，設設，則， ，在中，根據勾股定理求出，據此即可求解．
【詳解】（1）證明∶∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）
，
．
設，則．
在 中， 即
解得 (不合題意，舍去)，
【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質，切線的判定，平行線分線段成比例定理等知識，熟練掌握切線的判定與平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
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