資源簡介

(共53張PPT)
第六章　6.2　平面向量的運(yùn)算　6.2.4　向量的數(shù)量積
第一課時　向量的數(shù)量積(一)
課標(biāo)要求
1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功. 2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量. 3.會計(jì)算平面向量的數(shù)量積.
在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F與s的夾角.
功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看作兩個向量“相乘”的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念.
引入
課時精練
一、向量的夾角
二、向量的數(shù)量積
三、投影向量
課堂達(dá)標(biāo)
內(nèi)容索引
向量的夾角
一
探究1 在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是誰與誰的夾角？
提示　θ是向量F與向量s的夾角.
知識梳理
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
2.當(dāng)θ＝0時，a與b______；當(dāng)θ＝π時，a與b______.
同向
反向
垂直
溫馨提示
例1
已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，
所以平行四邊形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
即a＋b與a的夾角是30°，
a－b與a的夾角是60°.
1.求兩個向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點(diǎn)重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.
2.特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數(shù))的夾角為θ0，當(dāng)λ1λ2<0時，θ0＝180°－θ；當(dāng)λ1λ2>0時，θ0＝θ.
思維升華
訓(xùn)練1
√
A.30° B.60° C.120° D.150°
向量的數(shù)量積
二
探究2 如圖所示，一物體在力F作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α這個公式有什么特點(diǎn)？請完成下列填空：
(1)W(功)是________量；
(2)F(力)是________量；
(3)s(位移)是________量；
(4)α是________量.
提示　(1)數(shù)　(2)向　(3)向　(4)數(shù)
知識梳理
1. 向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝___________.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為____.
2.向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
①a·e＝e·a＝_________.
②a⊥b?a·b＝____.
|a||b|cos θ
0
|a|cos θ
0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
溫馨提示
(1)數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫.
(2)向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個零向量.
例2
(鏈接教材P17例9)已知正三角形ABC的邊長為1，求：
思維升華
定義法求平面向量的數(shù)量積
若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.
訓(xùn)練2
√
設(shè)a與b的夾角為θ，
由題意知|a|＝|b|＝1，
投影向量
三
探究3 如圖所示，設(shè)∠AOB＝θ，過點(diǎn)A作OB的垂線AD，則線段OD就是線段OA在OB上的投影，試用|OA|和θ表示|OD|.
提示　|OD|＝|OA|cos θ.
知識梳理
投影
投影
溫馨提示
(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量.
(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
(3)由定義可知，投影是一個過程，而投影向量是一個結(jié)果.
例3
例3 (鏈接教材P20練習(xí)T3)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，與b同向的單位向量為e.
(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
思維升華
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量).
訓(xùn)練3
1
已知向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影向量的模是________.
已知向量a，b的夾角θ＝60°，
故b在a上的投影向量的模為
【課堂達(dá)標(biāo)】
√
√
2.(多選)對于任意向量a，b，c，下列說法中正確的是
A.若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0
B.向量a與向量b夾角的范圍是[0，π)
C.若a⊥b，則a·b＝0
√
a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，所以A錯誤；
向量夾角的范圍是[0，π]，所以B錯誤；
由數(shù)量積的性質(zhì)知，C正確；
因?yàn)閍·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
3.設(shè)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為________.
4.已知|a|＝2，且a與b的夾角為60°，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為________.
e
【課時精練】
√
1.若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夾角為135°，則a·b＝
√
A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
所以四邊形ABCD是矩形.
√
3.如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角.則當(dāng)小車向前運(yùn)動10 m時，力F做的功為
由題意，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J).
√
設(shè)a與b的夾角為θ，
√
5.(多選)已知向量a，b和實(shí)數(shù)λ，則下列選項(xiàng)中正確的是
A.若a與b是兩個單位向量，則a2＝b2
B.|a·b|＝|a||b|
C.λ(a＋b)＝λa＋λb
D.|a·b|≤|a||b|
√
√
選項(xiàng)B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ為a與b的夾角，故B錯誤，其余都正確.
6.若|a|＝3，|b|＝2，a·b＝5，則a與b夾角的余弦值為________.
7.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，則向量a在向量b上的投影向量為________.
設(shè)a與b的夾角為θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，
9.已知|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角θ＝120°，與b同向的單位向量為e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝3×2·cos 120°＝－3.
(2)a在b上的投影向量為
10.如圖，已知△ABC是等邊三角形.
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵∠DBC＝120°，
如圖，延長AB至點(diǎn)D，使BD＝AB，
∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
√
11.(多選)下列說法正確的是
√
對于A，根據(jù)投影向量的定義，知A正確；
對于D，|a·b|＝||a||b|cos θ|，故D錯誤.
12.定義：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于
A.8 B.－8 C.8或－8 D.6
√
14.如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動點(diǎn)C，D分別在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
∵OC＝BD，∴k∈[0，1]，6.2.4　 向量的數(shù)量積(一)
(分值：100分)
單選題每小題5分，共25分；多選題每小題6分，共12分.
一、基礎(chǔ)鞏固
1.若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夾角為135°，則a·b＝(　　)
－3 －6 6 2
2.在四邊形ABCD中，·＝0，＝，則四邊形ABCD是(　　)
直角梯形 菱形 矩形 正方形
3.如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角.則當(dāng)小車向前運(yùn)動10 m時，力F做的功為(　　)
100 J 50 J 50 J 200 J
4.已知|b|＝3，a在b上的投影向量為b，則a·b的值為(　　)
3 2
5.(多選)已知向量a，b和實(shí)數(shù)λ，則下列選項(xiàng)中正確的是(　　)
若a與b是兩個單位向量，則a2＝b2
|a·b|＝|a||b|
λ(a＋b)＝λa＋λb
|a·b|≤|a||b|
6.若|a|＝3，|b|＝2，a·b＝5，則a與b夾角的余弦值為________.
7.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，則向量a在向量b上的投影向量為________.
8.在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a等于________.
9.(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角θ＝120°，與b同向的單位向量為e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
10.(10分)如圖，已知△ABC是等邊三角形.
(1)求向量與向量的夾角；
(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角.
二、綜合運(yùn)用
11.(多選)下列說法正確的是(　　)
向量a在向量b上的投影向量可表示為·
若a·b<0，則a與b的夾角θ的范圍是
若△ABC是等邊三角形，則，的夾角為60°
|a·b|＝|a||b|cos θ
12.定義：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于(　　)
8 －8 8或－8 6
13.(13分)如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且與的夾角為60°，求·的值.
三、創(chuàng)新拓展
14.(15分)如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動點(diǎn)C，D分別在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若點(diǎn)D是線段OB靠近點(diǎn)O的四分之一分點(diǎn)，用，表示向量；
(2)求·的取值范圍.
向量的數(shù)量積(一)
1.B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6.]
2.C　[由·＝0，知AB⊥BC.
由＝，知BC綉AD，
所以四邊形ABCD是矩形.]
3.B　[由題意，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J).]
4.B　[設(shè)a與b的夾角為θ，
∵|a|·cos θ＝b，
∴|a|·cos θ＝，
∴|a|·cos θ＝，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.]
5.ACD　[選項(xiàng)B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ為a與b的夾角，故B錯誤，其余都正確.]
6.　[cos θ＝＝＝.]
7.b　[設(shè)a與b的夾角為θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，
∴|a|cos θ＝，＝，
即a在b上的投影向量為b.]
8.－　[a·b＝·＝－·
＝－||·||cos 60°＝－.
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.]
9.解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝3×2·cos 120°＝－3.
(2)a在b上的投影向量為
|a|cos θe＝e＝－e.
10.解　
(1)∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°.
如圖，延長AB至點(diǎn)D，使BD＝AB，
則＝，
∴∠DBC為向量與的夾角.
∵∠DBC＝120°，
∴向量與的夾角為120°.
(2)∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
∴向量與的夾角為90°.
11.AB　[對于A，根據(jù)投影向量的定義，知A正確；
對于B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，則cos θ<0，又0≤θ≤π，∴θ∈，故B正確；
對于C，若△ABC是等邊三角形，則，的夾角為120°，故C錯誤；
對于D，|a·b|＝||a||b|cos θ|，故D錯誤.]
12.A　[cos θ＝＝＝－，
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，
∴|a×b|＝2×5×＝8.]
13.解　(1)若＝，則＝＋，
故x＝y(tǒng)＝.
(2)因?yàn)閨|＝4，||＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以||＝2.
又因?yàn)椋?，所以||＝，
所以||＝＝，
cos ∠OPB＝.
所以與的夾角θ的余弦值為－，
所以·＝||||cos θ＝－3.
14.解　(1)由已知可得＝，
四邊形OAMB是菱形，則＝＋，
所以＝－＝－(＋)
＝－－.
(2)設(shè)＝k，
則＝－＝(k－1)－，
＝－＝－－k，
·＝[(k－1)－]·(－－k)＝，
∵OC＝BD，∴k∈[0，1]，
∴·∈.6.2.4　向量的數(shù)量積
第一課時　向量的數(shù)量積(一)
課標(biāo)要求　1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功. 2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量. 3.會計(jì)算平面向量的數(shù)量積.
【引入】 在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F與s的夾角.
功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看作兩個向量“相乘”的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念.
一、向量的夾角
探究1 在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是誰與誰的夾角？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則______________________叫做向量a與b的夾角.
2.當(dāng)θ＝0時，a與b________；當(dāng)θ＝π時，a與b________.
如果a與b的夾角是，我們說a與b________，記作a⊥b.
溫馨提示　(1)兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是[0，π]，而兩直線夾角的范圍為.
(2)兩個向量只有起點(diǎn)重合時所對應(yīng)的角才是向量的夾角.
例1 已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.求兩個向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點(diǎn)重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.
2.特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數(shù))的夾角為θ0，當(dāng)λ1λ2<0時，θ0＝180°－θ；當(dāng)λ1λ2>0時，θ0＝θ.
訓(xùn)練1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，則與的夾角是(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
二、向量的數(shù)量積
探究2 如圖所示，一物體在力F作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α這個公式有什么特點(diǎn)？請完成下列填空：
(1)W(功)是________量；
(2)F(力)是________量；
(3)s(位移)是________量；
(4)α是________量.
【知識梳理】
1.向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝________________.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為____.
2.向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
①a·e＝e·a＝________.
②a⊥b a·b＝____.
③當(dāng)a與b同向時，a·b＝________；當(dāng)a與b反向時，a·b＝________，特別地，a·a＝________或|a|＝.
④|a·b|____|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)向量a，b共線時，等號成立).
⑤cos θ＝.
溫馨提示　(1)數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫.
(2)向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個零向量.
例2 (鏈接教材P17例9)已知正三角形ABC的邊長為1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　定義法求平面向量的數(shù)量積
若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.
訓(xùn)練2 (1)在等腰Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝，則·的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2 D.2
(2)(鏈接教材P18例10)已知向量a，b均為單位向量，a·b＝，則a與b的夾角為______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、投影向量
探究3 如圖所示，設(shè)∠AOB＝θ，過點(diǎn)A作OB的垂線AD，則線段OD就是線段OA在OB上的投影，試用|OA|和θ表示|OD|.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.如圖，設(shè)a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b________，叫做向量a在向量b上的________向量.
2.如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關(guān)系為＝|a|cos θe.
溫馨提示　(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量.
(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
(3)由定義可知，投影是一個過程，而投影向量是一個結(jié)果.
例3 (鏈接教材P20練習(xí)T3)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，與b同向的單位向量為e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量).
　訓(xùn)練3 已知向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影向量的模是________.
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.已知|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角是120°，則a·b等于(　　)
A.3 B.－3 C.－3 D.3
2.(多選)對于任意向量a，b，c，下列說法中正確的是(　　)
A.若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0
B.向量a與向量b夾角的范圍是[0，π)
C.若a⊥b，則a·b＝0
D.|a|＝
3.設(shè)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為________.
4.已知|a|＝2，且a與b的夾角為60°，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為________.
向量的數(shù)量積(一)
探究1　提示　θ是向量F與向量s的夾角.
知識梳理
1.∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
2.同向　反向　垂直
例1　解　如圖所示，
作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，
則＝a＋b，＝a－b.
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，
所以平行四邊形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以與的夾角為30°，與的夾角為60°.
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.
訓(xùn)練1　C　[如圖，作向量＝，則∠BAD是與的夾角，在△ABC中，因?yàn)椤螦CB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即與的夾角是120°.]
探究2　提示　(1)數(shù)　(2)向　(3)向　(4)數(shù)
知識梳理
1.|a||b|cos θ　0
2.①|(zhì)a|cos θ　②0　③|a||b|　－|a||b|　|a|2
④≤
例2　解　(1)∵與的夾角為60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
(2)∵與的夾角為120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵與的夾角為60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
訓(xùn)練2　(1)B　(2)　
[(1)·＝||||cos ∠ABC
＝2×·cos 45°＝2.
(2)設(shè)a與b的夾角為θ，
由題意知|a|＝|b|＝1，
則cos θ＝＝，
又∵0≤θ≤π，
∴θ＝.]
探究3　提示　|OD|＝|OA|cos θ.
知識梳理
1.投影　投影
例3　解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
(2)a在b上的投影向量為|a|cos θe＝e＝－e＝－e.
訓(xùn)練3　1　[已知向量a，b的夾角θ＝60°，
故b在a上的投影向量的模為
|b|cos θ＝2cos 60°＝2×＝1.]
課堂達(dá)標(biāo)
1.B　[由數(shù)量積的定義，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.]
2.CD　[a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A錯誤；
向量夾角的范圍是[0，π]，所以B錯誤；
由數(shù)量積的性質(zhì)知，C正確；
因?yàn)閍·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
所以|a|＝，所以D正確.]
3.　[設(shè)a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]
4.e　[因?yàn)閍與b的夾角為60°，a在b上的投影向量為|a|cos 60°e＝2×e＝e.]

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