資源簡介

(共61張PPT)
第六章　平面向量及其應用　6.2　平面向量的運算
6.2.3　向量的數乘運算
課標要求
1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義. 2.了解平面向量線性運算的性質及其幾何意義.
一根細繩東西方向擺放，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，如果螞蟻向東運動1秒鐘的位移對應的向量為a，那么它向東運動3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？這就是我們今天要學到的數乘運算.
引入
課時精練
一、向量的數乘運算
二、向量的線性運算
三、用已知向量表示其他向量
課堂達標
內容索引
四、向量共線定理
向量的數乘運算
一
探究1 如圖，已知非零向量a做出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它們的長度和方向是怎樣的？類比數的乘法，該如何表示運算結果？它們的長度和方向分別怎樣？
顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍.
一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個______，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，它的長度與方向規定如下：
①|λa|＝________.
②當λ>0時，λa的方向與a的方向______；
當λ<0時，λa的方向與a的方向______；
當λ＝0時，λa＝____.
知識梳理
向量
|λ||a|
相同
相反
0
溫馨提示
(1)數乘向量仍是向量；(2)實數λ與向量a不能相加減.
例1
√
(多選)已知λ，μ∈R，且a≠0，則在以下各說法中，正確的是
A.當λ<0時，λa的方向與a的方向一定相反
B.當λ＝0時，λa與a是共線向量
C.|λa|＝λ|a|
D.當λμ>0時，λa的方向與μa的方向一定相同
√
√
根據實數λ與向量a的積λa的方向的規定，易知A正確；
對于B，當λ＝0時，λa＝0，0與a是共線向量，故B正確；
對于D，由λμ>0可得λ，μ同為正或同為負，所以λa和μa都與a同向，或者都與a反向，所以λa與μa是同向的，故D正確；
對于C，|λa|＝|λ||a|，C錯誤.
λ的正負決定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小決定λa的模.
思維升華
(多選)已知a，b是兩個非零向量，則下列說法中正確的是
A.－2a與a是共線向量，且－2a的模是a的模的兩倍
訓練1
√
C.－2a與2a是一對相反向量
D.a－b與－(b－a)是一對相反向量
√
√
A中，∵－2<0，
∴－2a與a方向相反，兩向量共線，
且|－2a|＝2|a|，∴A正確；
B中，∵3>0，
∴3a與a方向相同，且|3a|＝3|a|；
∵5>0，∴5a與a方向相同，且|5a|＝5|a|，
∴B正確；
C中，按照相反向量的定義可以判斷正確；
D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，
∴a－b與－(b－a)為相等向量.
∴D不正確.
向量的線性運算
二
探究2 實數的乘法滿足哪些運算律？
提示　ab＝ba(交換律)，(ab)c＝a(bc)(結合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律).
知識梳理
1.數乘運算的運算律
設λ，μ為實數，那么
(1)λ(μa)＝____________；
(2)(λ＋μ)a＝____________；
(3)λ(a＋b)＝____________.
特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的線性運算
向量的______________運算統稱為向量的線性運算.對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________________.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
加、減、數乘
λμ1a±λμ2b
例2
原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.
4a－b
思維升華
1.向量的線性運算類似于實數的運算，其化簡的方法與代數式的化簡類似，可以進行加、減、數乘等運算，也滿足運算律，可以進行去括號、移項、合并同類項等變形手段.
2.向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.
訓練2
√
A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b
(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，則x＝________.
0
由題設得2x－a－b＝x－a－b，則x＝0.
用已知向量表示其他向量
三
例3
法一　連接CN，則AN綉DC，所以四邊形ANCD是平行四邊形.
又因為在四邊形ADMN中，
思維升華
1.用圖形中的已知向量表示所求向量，應結合已知和所求，聯想相關的法則和幾何中的有關定理，將所求向量反復分解，直到可以用已知向量表示，其實質是向量的線性運算的應用.
2.若直接表示向量較困難時，可考慮設出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量關系，求解關于所求量的方程.
訓練3
√
向量共線定理
四
探究3 如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共線？反過來，若向量b與非零向量a共線，那么是否存在一個實數λ，使得b＝λa(a≠0)
提示　共線；存在.
提示　x＋y＝1，證明如下：
∵A，B，C三點共線，
則x＝1＋λ，y＝－λ，
∴x＋y＝1.
提示　共線.證明如下：
故A，B，C三點共線.
知識梳理
1.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使__________.
b＝λa
溫馨提示
(1)向量共線定理中規定a≠0 .
(2)λ的值是唯一存在的.
2.向量共線定理的推論
例4
A.A，B，C三點共線 B.A，B，D三點共線
C.A，C，D三點共線 D.B，C，D三點共線
√
√
思維升華
訓練4
1
【課堂達標】
1.(多選)下列運算正確的是
A.(－3)·2a＝－6a
B.2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C.(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D.2(3a－b)＝6a－2b
√
√
√
根據向量數乘運算和加減運算規律知A，B，D正確；
C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以該運算錯誤.
√
2.(多選)下列說法正確的是
A.λa與a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0)
B.若a∥b，則b＝λa(λ∈R)
C.若|b|＝2|a|，則b＝±2a
D.若b＝±2a，則|b|＝2|a|
√
當λ>0時，a與λa方向相同，當λ<0時，a與λa方向相反，故A正確；
當a≠0時，結論才成立，故B錯誤；
當|b|＝2|a|時，b與2a不一定共線，C錯誤；
顯然當b＝±2a時，|b|＝2|a|，故D正確.
√
因為M是BC的中點，
4.設a，b是兩個不共線的向量，若向量2a－3b與向量a＋tb(t∈R)共線，則t＝________.
由題意可知存在實數λ，2a－3b＝λ(a＋tb)，即2a－3b＝λa＋λtb，
【課時精練】
√
1.(多選)下列各式計算正確的有
A.(－7)6a＝－42a
B.7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C.a－2b＋a＋2b＝2a
D.4(2a＋b)＝8a＋4b
√
√
ACD正確，B錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
√
2.下列各組向量中，一定能推出a∥b的是
①a＝－3e，b＝2e；
A.① B.①② C.②③ D.①②③
√
A.矩形 B.梯形
C.平行四邊形 D.菱形
∴四邊形ABCD一定是梯形.
√
4.設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則k等于
∵向量m與向量n共線，
∴設m＝λn(λ∈R)，
∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
即(2λ－1)e1＝(λ－k)e2，
∵e1與e2不共線，
√
∵A，B，D三點共線，
8.若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.
∵b與a方向相反，
∴設a＝λb(λ<0)，
∴|a|＝|λ||b|，即5＝|λ|×7，
9.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共線.問是否存在實數λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？
由題意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
若d與c共線，則存在實數k≠0，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2，
因為e1與e2不共線，
故存在實數λ，μ，且λ＝－2μ，使d與c共線.
法一　如圖所示，在?ABCD中，設AC交BD于O點，
則O平分AC和BD.
∴N為OC的中點，
√
∵△DEF∽△BEA，
3
∴點M是△ABC的重心.
由已知可得，m－2＝1，即m＝3.
∴C，M，N三點共線.
√
∴3x＋6y＝6.6.2.3　 向量的數乘運算
(分值：100分)
單選題每小題5分，共30分；多選題每小題6分，共6分.
一、基礎鞏固
1.(多選)下列各式計算正確的有(　　)
(－7)6a＝－42a
7(a＋b)－8b＝7a＋15b
a－2b＋a＋2b＝2a
4(2a＋b)＝8a＋4b
2.下列各組向量中，一定能推出a∥b的是(　　)
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
① ①② ②③ ①②③
3.在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O.若2＋3＝2＋3，則四邊形ABCD一定是(　　)
矩形 梯形 平行四邊形 菱形
4.設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則k等于(　　)
0 1 2
5.如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，＝2，則用向量，表示為(　　)
＝－＋
＝－＋
＝－
＝＋
6.在△ABC中，已知D是AB邊上的一點，若＝2，＝＋λ，則實數λ＝________.
7.如圖正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC上靠近C的三等分點，則＝________________(用向量，表示).
8.若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.
9.(13分)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共線.問是否存在實數λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？
10.(15分)在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，求(用a，b表示).
二、綜合運用
11.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若＝a，＝b，則等于(　　)
a＋b a＋b a＋b a＋b
12.已知在△ABC中，點M滿足＋＋＝0，若存在實數m使得＋＝m成立，則m＝________.
13.(16分)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN＝BD.求證：M，N，C三點共線.
三、創新拓展
14.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC的中點，＝2，若＝x＋y，則3x＋6y等于(　　)
－ －6 6
向量的數乘運算
1.ACD　[ACD正確，B錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.]
2.B　[①中，a＝－b，所以a∥b；
②中，b＝－e1＝＝－a，
所以a∥b；
③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1與e2共線，則a與b共線，若e1與e2不共線，則a與b不共線.]
3.B　[∵2＋3＝2＋3，
∴2(－)＝3(－)，
∴2＝3，∴四邊形ABCD一定是梯形.]
4.D　[∵向量m與向量n共線，
∴設m＝λn(λ∈R)，
∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
即(2λ－1)e1＝(λ－k)e2，
∵e1與e2不共線，
∴∴]
5.A　[由題意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝－.]
6.　[∵A，B，D三點共線，
∴＋λ＝1，λ＝.]
7.－　[∵＝＝－，＝＝－，
∴＝－＝－.]
8.－　[∵b與a方向相反，
∴設a＝λb(λ<0)，
∴|a|＝|λ||b|，即5＝|λ|×7，
∴λ＝±.
又λ<0，∴λ＝－.]
9.解　由題意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
若d與c共線，則存在實數k≠0，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2，
因為e1與e2不共線，
所以
解得λ＝－2μ，
故存在實數λ，μ，且λ＝－2μ，使d與c共線.
10.解　法一　如圖所示，在 ABCD中，設AC交BD于O點，
則O平分AC和BD.
∵＝3，
∴＝，
∴N為OC的中點，
又M為BC的中點，
∴MN綉BO，
∴＝＝＝(b－a).
法二　＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a).
11.D　[∵△DEF∽△BEA，
∴＝＝，
∴DF＝AB＝DC，
∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
聯立得＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)
＝a＋b.]
12.3　[法一　∵＋＋＝0，
∴點M是△ABC的重心.
∴＋＝3，∴m＝3.
法二　在△ABC中，＝－，
＝－，
若＋＝m成立，則
(－)＋(－)＝m成立，
整理得＋＋(m－2)＝0，
由已知可得，m－2＝1，即m＝3.]
13.證明　設＝a，＝b，則由向量減法的三角形法則可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BN＝BD，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，
∴與共線，且有公共點C，
∴C，M，N三點共線.
14.D　[＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋.
∵＝x＋y，
∴x＋y＝＋，
∴＝，
又與不共線，
∴x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝.
∴3x＋6y＝6.]6.2.3　向量的數乘運算
課標要求　1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義. 2.了解平面向量線性運算的性質及其幾何意義.
【引入】 一根細繩東西方向擺放，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，如果螞蟻向東運動1秒鐘的位移對應的向量為a，那么它向東運動3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？這就是我們今天要學到的數乘運算.
一、向量的數乘運算
探究1 如圖，已知非零向量a做出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它們的長度和方向是怎樣的？類比數的乘法，該如何表示運算結果？它們的長度和方向分別怎樣？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個________，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，它的長度與方向規定如下：
①|λa|＝________.
②當λ>0時，λa的方向與a的方向________；
當λ<0時，λa的方向與a的方向________；
當λ＝0時，λa＝____.
溫馨提示　(1)數乘向量仍是向量；(2)實數λ與向量a不能相加減.
例1 (多選)已知λ，μ∈R，且a≠0，則在以下各說法中，正確的是(　　)
A.當λ<0時，λa的方向與a的方向一定相反
B.當λ＝0時，λa與a是共線向量
C.|λa|＝λ|a|
D.當λμ>0時，λa的方向與μa的方向一定相同
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　λ的正負決定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小決定λa的模.
訓練1 (多選)已知a，b是兩個非零向量，則下列說法中正確的是(　　)
A.－2a與a是共線向量，且－2a的模是a的模的兩倍
B.3a與5a的方向相同，且3a的模是5a的模的
C.－2a與2a是一對相反向量
D.a－b與－(b－a)是一對相反向量
二、向量的線性運算
探究2 實數的乘法滿足哪些運算律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.數乘運算的運算律
設λ，μ為實數，那么：
(1)λ(μa)＝________；
(2)(λ＋μ)a＝________；
(3)λ(a＋b)＝________.
特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的線性運算
向量的____________運算統稱為向量的線性運算.對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________.
例2 (1)(鏈接教材P14例5)2(3a－2b)－6＝________.
(2)若a，b為已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，則c＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.向量的線性運算類似于實數的運算，其化簡的方法與代數式的化簡類似，可以進行加、減、數乘等運算，也滿足運算律，可以進行去括號、移項、合并同類項等變形手段.
2.向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.
訓練2 (1)化簡的結果是(　　)
A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b
(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，則x＝________.
三、用已知向量表示其他向量
例3 (鏈接教材P14例6)如圖，ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是DC和AB的中點，已知＝a，＝b，試用a，b表示和.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.用圖形中的已知向量表示所求向量，應結合已知和所求，聯想相關的法則和幾何中的有關定理，將所求向量反復分解，直到可以用已知向量表示，其實質是向量的線性運算的應用.
2.若直接表示向量較困難時，可考慮設出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量關系，求解關于所求量的方程.
訓練3 如圖，在平面四邊形ABCD中，E，F分別為AB，DC的中點，＝m，＝n，則＝(　　)
A.m＋n B.m＋n C.m＋n D.m＋n
四、向量共線定理
探究3 如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共線？反過來，若向量b與非零向量a共線，那么是否存在一個實數λ，使得b＝λa(a≠0)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 若A，B，C三點共線，O為直線外一點，且＝x＋y，那么x與y有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 若＝x＋y，且x＋y＝1，那么A，B，C三點共線嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使________.
溫馨提示　(1)向量共線定理中規定a≠0.
(2)λ的值是唯一存在的.
2.向量共線定理的推論
在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：＝x＋y(O為平面內直線AB外任意一點)，其中x＋y＝1.
例4 (1)(鏈接教材P15例7)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共線，則(　　)
A.A，B，C三點共線 B.A，B，D三點共線
C.A，C，D三點共線 D.B，C，D三點共線
(2)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上一點.若＝m＋，則實數m的值為(　　)
A. B. C. D.
(3)(鏈接教材P16例8)已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，a－tb共線，則實數t＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.證明或判斷三點共線的方法
一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
2.利用向量共線求參數的方法
已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數對應相等求解.
訓練4 (1)設e1，e2是兩個不共線的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，則實數k＝________.
(2)在△ABC中，點D在線段BC上，且滿足|BD|＝|BC|，點E為AD上任意一點，若實數x滿足＝x＋，則x＝________.
【課堂達標】
1.(多選)下列運算正確的是(　　)
A.(－3)·2a＝－6a
B.2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C.(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D.2(3a－b)＝6a－2b
2.(多選)下列說法正確的是(　　)
A.λa與a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0)
B.若a∥b，則b＝λa(λ∈R)
C.若|b|＝2|a|，則b＝±2a
D.若b＝±2a，則|b|＝2|a|
3.如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若＝a，＝b，則等于(　　)
A.(a－b) B.－(a－b) C.(a＋b) D.－(a＋b)
4.設a，b是兩個不共線的向量，若向量2a－3b與向量a＋tb(t∈R)共線，則t＝________.
向量的數乘運算
探究1　提示　＝＋＋＝a＋a＋a＝3a.
＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍.
知識梳理
向量　①|λ||a|　②相同　相反　0
例1　ABD　[根據實數λ與向量a的積λa的方向的規定，易知A正確；
對于B，當λ＝0時，λa＝0，0與a是共線向量，故B正確；
對于D，由λμ>0可得λ，μ同為正或同為負，所以λa和μa都與a同向，或者都與a反向，所以λa與μa是同向的，故D正確；
對于C，|λa|＝|λ||a|，C錯誤.]
訓練1　ABC　[A中，∵－2<0，
∴－2a與a方向相反，兩向量共線，
且|－2a|＝2|a|，∴A正確；
B中，∵3>0，
∴3a與a方向相同，且|3a|＝3|a|；
∵5>0，∴5a與a方向相同，且|5a|＝5|a|，
∴3a與5a方向相同，且3a的模是5a的模的，
∴B正確；
C中，按照相反向量的定義可以判斷正確；
D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，
∴a－b與－(b－a)為相等向量.
∴D不正確.]
探究2　提示　ab＝ba(交換律)，(ab)c＝a(bc)(結合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律).
知識梳理
1.(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb
2.加、減、數乘　λμ1a±λμ2b
例2　(1)4a－b　[原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.]
(2)b－a　[∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
∴a－2c＋15c－12b＝0，
化簡得13c＝12b－a，
∴c＝b－a.]
訓練2　(1)B　(2)0　[(1)原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝2b－a.
(2)由題設得2x－a－b＝x－a－b，則x＝0.]
例3　解　法一　
連接CN，則AN綉DC，所以四邊形ANCD是平行四邊形.
＝－＝－b，
又因為＋＋＝0，
所以＝－－＝b－a，
所以＝－＝＋
＝－b＋a＝a－b.
法二　因為＋＋＋＝0，
則a＋＋＋(－b)＝0，
所以＝b－a，
又因為在四邊形ADMN中，
有＋＋＋＝0，
即b＋a＋＋＝0，
所以＝a－b.
訓練3　A　[由已知可得＋＝0，＋＝0，由平面向量的加法可得 上述兩個等式相加可得2＝＋＝m＋n，則＝(m＋n).]
探究3　提示　共線；存在.
探究4　提示　x＋y＝1，證明如下：
∵A，B，C三點共線，
∴存在實數λ，使得＝λ，
即－＝λ(－)，
∴＝(1＋λ)－λ，
又＝x＋y，
則x＝1＋λ，y＝－λ，
∴x＋y＝1.
探究5　提示　共線.證明如下：
由＝x＋y，且x＋y＝1，可得
＝x＋(1－x)
＝x＋－x
即－＝x(－)
所以＝x，
由向量共線定理，得與共線，
故A，B，C三點共線.
知識梳理
1.b＝λa
例4　(1)B　[∵＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共線，
∴＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b.
∵＝a＋5b，
∴＝，即與共線且有公共點B，則A，B，D三點共線.]
(2)D　[由題意可得＝5，則＝m＋×5＝m＋.因為B，P，N三點共線，所以m＋＝1，即m＝.]
(3)±　[∵b－ta與a－tb共線，
∴存在實數λ，使得b－ta＝λ，
即a＋b＝0.
∵a與b不共線，∴
解得t＝±.]
訓練4　(1)1　[依題意，＝e1＋2e2，
故＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2.
已知A，B，D三點共線，可設＝λ，
則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)＝λe1＋kλe2，
即(7－λ)e1＝(kλ－k－6)e2，
因為e1與e2不共線，
所以解得k＝1.]
(2)　[因為|BD|＝|BC|，
＝x＋，
所以＝x＋，
由A，E，D三點共線可得x＋＝1，得x＝.]
課堂達標
1.ABD　[根據向量數乘運算和加減運算規律知A，B，D正確；
C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以該運算錯誤.]
2.AD　[當λ>0時，a與λa方向相同，當λ<0時，a與λa方向相反，故A正確；
當a≠0時，結論才成立，故B錯誤；
當|b|＝2|a|時，b與2a不一定共線，C錯誤；
顯然當b＝±2a時，|b|＝2|a|，故D正確.]
3.C　[因為M是BC的中點，
所以＝(a＋b).]
4.－　[由題意可知存在實數λ，2a－3b＝λ(a＋tb)，即2a－3b＝λa＋λtb，
即(2－λ)a＝(λt＋3)b，
因為a與b不共線，所以
解得t＝－.]

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