資源簡介

(共45張PPT)
第六章　平面向量及其應用　6.2　平面向量的運算
6.2.2　向量的減法運算
課標要求
借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的減法運算及運算法則，理解向量減法的幾何意義.
在數的運算中，減法是加法的逆運算，其運算法則是“減去一個數等于加上這個數的相反數”，類比數的減法，向量的減法與加法有什么關系？如何定義向量的減法法則？
引入
課時精練
一、向量減法的定義及三角形法則
二、向量加、減法的混合運算
三、向量加減法的綜合應用
課堂達標
內容索引
向量減法的定義及三角形法則
一
探究 在實數的運算中，減法是加法的逆運算，它的運算法則是什么？
提示　減去一個數等于加上這個數的相反數.
1.相反向量
(1)相反向量的定義：與向量a長度______，方向______的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
(2)相反向量的性質
①對于相反向量有：a＋(－a)＝0.
②若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
③零向量的相反向量仍是零向量.
2.向量減法的定義
向量a加上b的__________，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b).求兩個向量____的運算叫做向量的減法.
知識梳理
相等
相反
相反向量
差
3.向量減法的幾何意義
b
a
溫馨提示
向量減法的三角形法則可簡記為：“共起點，連終點，指被減”.
例1
√
如圖，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，
(2)(鏈接教材P12例3)如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.
求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作
a＋(－b)即可.
(2)可以直接用向量減法的幾何意義，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.
思維升華
(1)(多選)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論正確的是
訓練1
√
√
√
(2)如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
向量加、減法的混合運算
二
例2
√
√
(2)(多選)下列結果為零向量的是
√
√
思維升華
(鏈接教材P22T4(4)(5)(6)(7))化簡下列式子：
訓練2
向量加減法的綜合應用
三
例3
所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形，從而OA⊥OB，
所以?OACB為矩形.
即|a＋b|＝4.
思維升華
1.由|a|，|b|及|a－b|出發，找出三者之間的數量關系，從而進一步判斷向量三角形的形狀，再求|a＋b|的值.
2.解決此類問題要充分利用平面幾何知識，靈活運用平行四邊形法則和三角形法則.
訓練3
A.8 B.4 C.2 D.1
√
又四邊形ACDB為平行四邊形，
所以四邊形ACDB為矩形，故AC⊥AB.
則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，
以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ACDB，則由向量加、減法的幾何意義可知
【課堂達標】
1.(多選)若非零向量m與n是相反向量，則下列正確的是
A.m＝n B.m＝－n
C.|m|＝|n| D.m與n方向相反
√
相反向量的大小相等、方向相反，故A錯誤.
√
√
√
√
2
【課時精練】
√
A.a－b＋c B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c D.b－a＋c
√
√
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
√
4.(多選)下列各式中結果為零向量的有
√
√
如圖，作菱形ABCD，
7.若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
0
2
若a，b為相反向量，則a＋b＝0，
所以|a＋b|＝0，
又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，
因為a與－b共線且同向，
所以|a－b|＝2.
8
(1)b＋c－a；
(2)a－b－c.
(1)如圖所示，
√
11.(多選)已知向量a，b不是方向相反的向量，且|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的可能取值有
A.2 B.4 C.5 D.6
由已知必有||a|－|b||≤|a－b|<|a|＋|b|，則2≤|a－b|＜6，故選ABC.
√
√
A.四邊形ABCD對角線交點 B.AC中點
C.BD中點 D.CD邊上一點
√
故P為AC中點.
當a，b滿足|a＋b|＝|a－b|時，平行四邊形的兩條對角線的長度相等，四邊形ABCD為矩形；
當a，b滿足|a|＝|b|時，平行四邊形的兩條鄰邊的長度相等，四邊形ABCD為菱形；
當a，b滿足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|時，四邊形ABCD為正方形.
(1)|a＋b＋c|；
(2)|a－b＋c|.
∴|a－b＋c|＝2.6.2.2　 向量的減法運算
(分值：100分)
單選題每小題5分，共25分；多選題每小題6分，共12分.
一、基礎鞏固
1.如圖，設＝a，＝b，＝c，則等于(　　)
a－b＋c b－(a＋c)
a＋b＋c b－a＋c
2.在平行四邊形ABCD中，M為AB上任一點，則－＋＝(　　)
3.已知在四邊形ABCD中，－＝－，則四邊形ABCD一定是(　　)
平行四邊形 菱形 矩形 正方形
4.(多選)下列各式中結果為零向量的有(　　)
＋－
＋＋＋
＋＋－
＋－＋
5.在邊長為1的正三角形ABC中，|－|的值為(　　)
1 2
6.在△ABC中，D是BC上一點，則＋－＝________.
7.若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
8.在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，則|＋－|＝________，|＋＋|＝________.
9.(10分)如圖，O為△ABC內一點，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；
(2)a－b－c.
10.(10分)如圖所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，試用a，b，c，d，e，f表示下列各式：
(1)－；(2)＋；(3)－.
二、綜合運用
11.(多選)已知向量a，b不是方向相反的向量，且|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的可能取值有(　　)
2 4 5 6
12.P為四邊形ABCD所在平面上一點，＋＋＋＝＋，則P為(　　)
四邊形ABCD對角線交點 AC中點
BD中點 CD邊上一點
13.(13分)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：當a，b分別滿足什么條件時，四邊形ABCD為矩形、菱形、正方形？
三、創新拓展
14.(15分)如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，＝a，＝b，＝c，求：
(1)|a＋b＋c|；(2)|a－b＋c|.
向量的減法運算
1.A　[∵＝＋＝a＋c，
∴＝－＝a＋c－b.]
2.B　[－＋＝＋＋＝＋＝，在平行四邊形ABCD中，＝，所以－＋＝.]
3.A　[由－＝－，可得＝，所以四邊形ABCD一定是平行四邊形.]
4.AC　[由向量的減法運算得，＋－＝－＝0，故結果為零向量；
＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝，結果不為零向量；
＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0，故結果為零向量；
＋－＋＝－＋＋＝，結果不為零向量.]
5.D　[如圖，作菱形ABCD，
則|－|
＝|－|
＝||＝.]
6.　[由題意得＋－＝－＝.]
7.0　2　[若a，b為相反向量，則a＋b＝0，
所以|a＋b|＝0，
又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，
因為a與－b共線且同向，所以|a－b|＝2.]
8.4　8　[在矩形ABCD中，因為＋－＝＋＋＝(＋)＋＝＋，
所以|＋－|＝2||＝4.
因為＋＋＝＋＋＝＋(＋)＝＋，
所以|＋＋|＝2||＝8.]
9.解　(1)如圖所示，
以，為鄰邊作 OBDC，連接OD，AD，則＝＋＝b＋c，
所以b＋c－a＝－＝.
(2)由圖可知，＝，
則a－b－c＝－－＝－＝.
10.解　(1)－＝(－)－(－)＝d－a－b＋a＝d－b.
(2)＋＝(－)＋(－)＝b－a＋f－c.
(3)－＝(－)－(－)＝f－e－f＋c＝c－e.
11.ABC　[由已知必有||a|－|b||≤|a－b|<
|a|＋|b|，則2≤|a－b|＜6，故選ABC.]
12.B　[∵＝＋，＝＋，
∴＋＋＋＝＋＋＋，即－＝－，故2＝2，＋＝0，故P為AC中點.]
13.解　由向量的平行四邊形法則，得＝a＋b，＝－＝a－b.
當a，b滿足|a＋b|＝|a－b|時，平行四邊形的兩條對角線的長度相等，四邊形ABCD為矩形；
當a，b滿足|a|＝|b|時，平行四邊形的兩條鄰邊的長度相等，四邊形ABCD為菱形；
當a，b滿足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|時，四邊形ABCD為正方形.
14.解　(1)由已知得a＋b＝＋＝，
∵＝c，
∴延長AC到E，使||＝||，如圖所示，
則a＋b＋c＝，
且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，連接CF，BD，
則＋＝，
而＝－＝－＝a－b，
∴|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.6.2.2　向量的減法運算
課標要求　借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的減法運算及運算法則，理解向量減法的幾何意義.
【引入】 在數的運算中，減法是加法的逆運算，其運算法則是“減去一個數等于加上這個數的相反數”，類比數的減法，向量的減法與加法有什么關系？如何定義向量的減法法則？
一、向量減法的定義及三角形法則
探究 在實數的運算中，減法是加法的逆運算，它的運算法則是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.相反向量
(1)相反向量的定義：與向量a長度________，方向________的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
(2)相反向量的性質
①對于相反向量有：a＋(－a)＝0.
②若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
③零向量的相反向量仍是零向量.
2.向量減法的定義
向量a加上b的________，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b).求兩個向量____的運算叫做向量的減法.
3.向量減法的幾何意義
作法一：已知非零向量a，b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b，如圖所示.即a－b可以表示為從向量____的終點指向向量____的終點的向量.
作法二： (相反向量法)在平面內任取一點O，作＝a，＝b，＝－b，連接AB.由向量減法的定義知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四邊形OCAB中，OB綉CA，所以OCAB是平行四邊形，所以＝＝a－b.
溫馨提示　向量減法的三角形法則可簡記為：“共起點，連終點，指被減”.
例1 (1)在△ABC中，D，E，F分別為AB，BC，CA的中點，則－等于(　　)
A. B. C. D.
(2)(鏈接教材P12例3)如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
(2)可以直接用向量減法的幾何意義，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.
訓練1 (1)(多選)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論正確的是(　　)
A.＋＝0 B.＋＝
C.－＝ D.＋＝0
(2)如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、向量加、減法的混合運算
例2 (1)已知正六邊形ABCDEF，則＋－＝(　　)
A. B. C. D.
(2)(多選)下列結果為零向量的是(　　)
A.＋(－)
B.－＋－
C.－＋
D.＋＋－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　向量加減法運算的基本方法
(1)利用相反向量統一成加法(相當于向量求和)；
(2)運用減法公式－＝(正用或逆用)；
(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉化為以其中一確定點為起點的向量，使問題轉化為有共同起點的向量問題.
訓練2 (鏈接教材P22T4(4)(5)(6)(7))化簡下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、向量加減法的綜合應用
例3 已知非零向量a，b滿足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.由|a|，|b|及|a－b|出發，找出三者之間的數量關系，從而進一步判斷向量三角形的形狀，再求|a＋b|的值.
2.解決此類問題要充分利用平面幾何知識，靈活運用平行四邊形法則和三角形法則.
訓練3 設點M是線段BC的中點，點A在線段BC外，||＝4，|＋|＝|－|，則||＝(　　)
A.8 B.4 C.2 D.1
【課堂達標】
1.(多選)若非零向量m與n是相反向量，則下列正確的是(　　)
A.m＝n B.m＝－n
C.|m|＝|n| D.m與n方向相反
2.化簡－＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
3.在矩形ABCD中，O是兩條對角線AC，BD的交點，則＋－＝(　　)
A. B. C. D.
4.若菱形ABCD的邊長為2，則|－＋|的長度為________.
向量的減法運算
探究　提示　減去一個數等于加上這個數的相反數.
知識梳理
1.(1)相等　相反
2.相反向量　差
3.b　a
例1　(1)D　[如圖，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，
∴＝，＝，
因此－＝－＝＝.
(或－＝－＝)]
(2)解　 法一　如圖①，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c.
法二　如圖②，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c.
訓練1　(1)ABD　[由||＝||，且與的方向相反，知與是一對相反向量，因此有＋＝0，故選項A正確；
由向量加法的平行四邊形法則知＋＝，故選項B正確；
由－＝＋＝，故選項C錯誤；
與是一對相反向量，故＋＝0，故選項D正確.]
(2)解　如圖，在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，則向量＝a－b，再作向量＝c，則向量＝a－b－c.
例2　(1)B　[如圖，由正六邊形的特征可知＝，＝，所以＋－＝＋－＝＝.]
(2)BCD　[對于A，＋(－)＝＋(＋)＝＋＝≠0，故選項A不正確；
對于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故選項B正確；
對于C，－＋＝＋＝0，故選項C正確；
對于D，＋＋－＝＋－＝－＝0，故選項D正確.]
訓練2　解　(1)原式＝＋－
＝＋＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
例3　解　如圖所示，設＝a，＝b，則＝a－b.
以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，
故||2＋||2＝||2.
所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形，從而OA⊥OB，所以 OACB為矩形.
根據矩形的對角線相等有||＝||＝4，
即|a＋b|＝4.
訓練3　C　[以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ACDB，則由向量加、減法的幾何意義可知＝＋，＝－.
因為|＋|＝|－|，
所以||＝||.
又四邊形ACDB為平行四邊形，
所以四邊形ACDB為矩形，故AC⊥AB.
則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，
因此，||＝||＝2.]
課堂達標
1.BCD　[相反向量的大小相等、方向相反，故A錯誤.]
2.B　[原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.]
3.B　[＋－＝－＝.]
4.2　[|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.]

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