資源簡介

(共54張PPT)
第六章　平面向量及其應用　6.2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算
課標要求
借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加法運算及運算法則，并理解向量加法的幾何意義.
我們知道，數能進行運算，因為有了運算而使數的威力無窮，那么，向量是否也能像數一樣進行運算呢？唐僧當年取經的路線是從東土大唐出發，先繞到新疆，再往天竺，若孫悟空單獨前往，可以直接飛往西天，兩種走法的位移相同嗎？如果把位移看成向量，我們就引入了向量的運算.
引入
課時精練
一、向量加法的定義及三角形法則
二、向量加法的平行四邊形法則
三、向量加法的運算律及應用
課堂達標
內容索引
四、向量加法的實際應用
向量加法的定義及三角形法則
一
探究1 某質點從點A經過點B到點C，這個質點的位移如何表示？
1.向量加法的定義
(1)定義：求____________的運算，叫做向量的加法.
(2)對于零向量與任意向量a，規定a＋0＝0＋a＝a.
知識梳理
兩個向量和
溫馨提示
運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再首尾相連”.
例1
√
(2)(鏈接教材P10T3)如圖所示，
①a＋b＝________；
②c＋d＝________；
③a＋b＋d＝________；
④c＋d＋e＝________.
c
f　
f
g
思維升華
訓練1
√
向量加法的平行四邊形法則
二
探究2 如圖，作AD綉BC，
(3)相等.
知識梳理
溫馨提示
應用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點”,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實際上就是向量加法的幾何意義.
例2
(鏈接教材P8例1)(1)如圖①所示，求作向量a＋b；
(2)如圖②所示，求作向量a＋b＋c.
(2)法一　(三角形法則)如圖④所示，
法二　(平行四邊形法則)如圖⑤所示，
以OA，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，
再以OD，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，
思維升華
向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的適用條件
法則 三角形法則 平行四邊形法則
兩向量位置關系 兩向量共線或不共線均可 只適用于兩向量不共線的情況
兩向量起點、終點的特點 一個向量的終點為另一個向量的起點 兩向量起點相同
訓練2
√
向量加法的運算律及應用
三
探究3 請結合課本第8頁例1，探索一下|a＋b|與|a|，|b|之間的關系？
提示　(1)當向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)當a與b同向時，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)當a與b反向時，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
探究4 我們知道實數的加法滿足交換律與結合律，向量的加法是否也滿足交換律和結合律呢？你能證明自己的猜想嗎？
圖②
圖①
知識梳理
1.|a＋b|與|a|，|b|之間的關系
一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是__________的非零向量時等號成立.
2.向量加法的運算律
交換律：a＋b＝b＋a.
結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
方向相同
例3
(鏈接教材P22習題T4(2))設A，B，C，D是平面上的任意四點，試化簡：
思維升華
向量加法運算律的意義和應用原則
(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據，實現了恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上，由于向量的加法滿足交換律和結合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
(2)應用原則：利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
訓練3
1
向量加法的實際應用
四
例4
(鏈接教材P9例2)在靜水中船的速度為20 m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向.
作出圖形，如圖.船速v船與岸的方向成α角，由圖可知v水＋v船＝v實際，結合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，
從而船與水流方向成120°的角.
故船行進的方向是與水流的方向成120°的角的方向.
若例4條件不變，則經過3小時，該船的實際航程是多少km
遷移1
則經過3小時，該船的實際航程是
遷移2
若例4的條件不變，改為若船沿垂直于水流的方向航行，求船實際行進的方向的正切值(相當于與河岸的夾角).
則tan ∠BAC＝2，即為所求.
思維升華
應用向量解決實際問題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題.
(2)運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關向量進行運算，解答向量問題.
(3)還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題.
訓練4
如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小.(繩子的重量忽略不計)
如圖所示，
由題意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
【課堂達標】
√
根據平面向量的加法運算，得
A.1 B.2 C.3 D.0
√
∵a＋b＝0，
∴a，b互為相反向量，
又b＋c＝0，
∴b，c互為相反向量，故a＝c，故①正確；
若a＋b＝0且b＝0，則a＝0，－a＝0，故③正確.
√
等腰直角三角形
以AB，AC為鄰邊作?ABDC(如圖).
又AB＝AC＝1，且BD＝AC，
∴AB＝BD＝1，
從而△ABD為等腰直角三角形.
因此?ABDC為正方形，
故△ABC為等腰直角三角形.
【課時精練】
√
√
A.向東北方向航行2 km
B.向北偏東30°方向航行2 km
C.向北偏東60°方向航行2 km
如圖，
√
√
√
|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|.
由于a，b是非零不共線向量，故a＋b與b不共線，故等號不成立.
5.若非零不共線向量a，b滿足|a＋b|＝|b|，則
A.|2a|>|2a＋b| B.|2a|<|2a＋b|
C.|2b|>|a＋2b| D.|2b|<|a＋2b|
6.如圖所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量.
0
20
則由|ν1|2＋|ν2|2＝|ν0|2，
所以|ν0|＝20 km/h，
即小船實際航行速度的大小為20 km/h.
1
以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，
9.如圖所示，在△ABC中，O為重心，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，化簡下列各式：
所以∠AOC＝30°.
√
A.P在△ABC的內部 B.P在△ABC的邊AB上
C.P在AB邊所在的直線上 D.P在△ABC的外部
如圖所示，連接AG并延長交BC于點E，點E為BC的中點，延長AE到點D，使ED＝GE，
0
14.設|a|＝2，e為單位向量，則|a＋e|的最大值為________.
3
因為e為單位向量，
所以點B在以點A為圓心、半徑為1的圓上(如圖所示)，
由圖可知當點B在點B1時，O，A，B1三點共線，6.2.1　向量的加法運算
(分值：100分)
單選題每小題5分，共30分.
一、基礎鞏固
1.＋＋＋＋等于(　　)
2.若向量a表示“向東航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，則向量
a＋b表示(　　)
向東北方向航行2 km
向北偏東30°方向航行2 km
向北偏東60°方向航行2 km
向東北方向航行(1＋)km
3.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則＋＋＋等于(　　)
4.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，則向量＋＋的長度為(　　)
2 4 2 6
5.若非零不共線向量a，b滿足|a＋b|＝|b|，則(　 )
|2a|>|2a＋b| |2a|<|2a＋b| |2b|>|a＋2b| |2b|<|a＋2b|
6.如圖所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量.
(1)＋＝________；
(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
7.小船以10 km/h的靜水速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為
10 km/h，則小船實際航行速度的大小為________ km/h.
8.在邊長為1的等邊三角形ABC中，|＋|＝______，|＋|＝______.
9.(13分)如圖所示，在△ABC中，O為重心，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，化簡下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
10.(15分)雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是4.0 m/s，現在有風，風使雨滴以 m/s的速度水平向東移動，求雨滴著地時速度的大小和方向.
二、綜合運用
11.已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足＋＝，則下列結論中正確的是(　　)
P在△ABC的內部
P在△ABC的邊AB上
P在AB邊所在的直線上
P在△ABC的外部
12.已知點G是△ABC的重心，則＋＋＝________.
13.(17分)如圖，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且BP＝QC.求證：＋＝＋.
三、創新拓展
14.設|a|＝2，e為單位向量，則|a＋e|的最大值為________.
向量的加法運算
1.C　[＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.]
2.B　[如圖，易知tan α＝，
所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏東30°，
且|a＋b|＝2(km).]
3.B　[＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.]
4.B　[因為＋＝，
所以＋＋＝，
所以向量＋＋的長度為4.]
5.C　[|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|.
由于a，b是非零不共線向量，故a＋b與b不共線，故等號不成立.]
6.(1)　(2)　(3)0
7.20　[如圖，設船在靜水中的速度的大小為|ν1|＝10 km/h，河水的流速的大小為|ν2|＝10 km/h，小船實際航行速度為ν0，
則由|ν1|2＋|ν2|2＝|ν0|2，
得(10)2＋102＝|ν0|2，所以|ν0|＝20 km/h，
即小船實際航行速度的大小為20 km/h.]
8.1　　[易知|＋|＝||＝1，
以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，
則|＋|＝||＝2||·sin 60°＝2×1×＝.]
9.解　(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
10.解　如圖，用表示無風時雨滴下落的速度，表示風使雨滴水平向東的速度.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則就是雨滴下落的實際速度.
在Rt△OAC中，||＝4，
||＝||＝，
所以||＝
＝＝，
所以tan∠AOC＝＝＝，
所以∠AOC＝30°.
故雨滴著地時速度的大小是 m/s，方向為與豎直向下方向成30°角向東.
11.D　[＋＝，根據向量加法的平行四邊形法則，如圖，則點P在△ABC外.]
12.0　[如圖所示，連接AG并延長交BC于點E，點E為BC的中點，延長AE到點D，使ED＝GE，
則＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.]
13.證明　＝＋，
＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
因為與大小相等，方向相反，
所以＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
14.3　[在平面內任取一點O，作＝a，＝e，則a＋e＝＋＝，
因為e為單位向量，
所以點B在以點A為圓心、半徑為1的圓上(如圖所示)，
由圖可知當點B在點B1時，O，A，B1三點共線，
||即|a＋e|最大，最大值是3.]6.2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算
課標要求　借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加法運算及運算法則，并理解向量加法的幾何意義.
【引入】 我們知道，數能進行運算，因為有了運算而使數的威力無窮，那么，向量是否也能像數一樣進行運算呢？唐僧當年取經的路線是從東土大唐出發，先繞到新疆，再往天竺，若孫悟空單獨前往，可以直接飛往西天，兩種走法的位移相同嗎？如果把位移看成向量，我們就引入了向量的運算.
一、向量加法的定義及三角形法則
探究1 某質點從點A經過點B到點C，這個質點的位移如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.向量加法的定義
(1)定義：求____________的運算，叫做向量的加法.
(2)對于零向量與任意向量a，規定a＋0＝0＋a＝a.
2.三角形法則如圖，已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝________.
溫馨提示　運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再首尾相連”.
例1 (1)已知平面四邊形ABCD，則＋＋＝(　　)
A. B. C. D.0
(2)(鏈接教材P10T3)如圖所示，
①a＋b＝________；
②c＋d＝________；
③a＋b＋d＝________；
④c＋d＋e＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　向量加法的三角形法則的特征為首尾順次相接，其和為由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即＋＋…＋＝.
訓練1 點O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則＋＋等于(　　)
A. B. C. D.0
二、向量加法的平行四邊形法則
探究2 如圖，作AD綉BC，
(1)四邊形ABCD的形狀如何？
(2)向量與是什么關系？
(3)由向量加法的三角形法則可知，＋＝，則＋與相等嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b，以OA，OB為鄰邊作 OACB，則以O為起點的向量(OC是 OACB的對角線)就是向量a與b的________.
溫馨提示　應用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點”，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實際上就是向量加法的幾何意義.
例2 (鏈接教材P8例1)(1)如圖①所示，求作向量a＋b；
(2)如圖②所示，求作向量a＋b＋c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的適用條件
法則 三角形法則 平行四邊形法則
兩向量位置關系 兩向量共線或不共線均可 只適用于兩向量不共線的情況
兩向量起點、終點的特點 一個向量的終點為另一個向量的起點 兩向量起點相同
訓練2 如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則＋＝(　　)
A. B. C. D.
三、向量加法的運算律及應用
探究3 請結合課本第8頁例1，探索一下|a＋b|與|a|，|b|之間的關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 我們知道實數的加法滿足交換律與結合律，向量的加法是否也滿足交換律和結合律呢？你能證明自己的猜想嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.|a＋b|與|a|，|b|之間的關系
一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是________的非零向量時等號成立.
2.向量加法的運算律
交換律：a＋b＝b＋a.
結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
例3 (鏈接教材P22習題T4(2))設A，B，C，D是平面上的任意四點，試化簡：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　向量加法運算律的意義和應用原則
(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據，實現了恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上，由于向量的加法滿足交換律和結合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
(2)應用原則：利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
訓練3 已知正方形ABCD的邊長等于1，則|＋＋|＝________.
四、向量加法的實際應用
例4 (鏈接教材P9例2)在靜水中船的速度為20 m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
遷移1 若例4條件不變，則經過3小時，該船的實際航程是多少km
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
遷移2 若例4的條件不變，改為若船沿垂直于水流的方向航行，求船實際行進的方向的正切值(相當于與河岸的夾角).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　應用向量解決實際問題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題.
(2)運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關向量進行運算，解答向量問題.
(3)還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題.
訓練4 如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小.(繩子的重量忽略不計)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【課堂達標】
1.化簡＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
2.下列三個結論：①若a＋b＝0，b＋c＝0，則a＝c；②＝的等價條件是點A與點C重合，點B與點D重合；③若a＋b＝0且b＝0，則－a＝0.其中正確的個數是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
3.如圖所示，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A.0 B. C. D.
4.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，則△ABC的形狀是________.
向量的加法運算
探究1　提示　這個質點兩次位移，的結果，與從點A直接到點C的位移的結果相同，因此位移可以看成是位移與合成的，即可以看作是與的和.
知識梳理
1.兩個向量和
2.
例1　(1)A　[＋＋＝＋＝.]
(2)①c　②f　③f　④g
訓練1　A　[＋＋＝＋＝.]
探究2　提示　(1)平行四邊形.
(2)＝.
(3)相等.
知識梳理
和
例2　解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖③所示.
(2)法一　(三角形法則)如圖④所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝a＋b＋c即為所求.
法二　(平行四邊形法則)如圖⑤所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，
則＝＋＝a＋b.
再以OD，OC為鄰邊作 ODEC，連接OE，
則＝＋＝a＋b＋c即為所求.
訓練2　C　[以OP，OQ為鄰邊作平行四邊形，如圖所示，則＋＝，
由和的模相等，方向相同，
得＝，即＋＝.]
探究3　提示　(1)當向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)當a與b同向時，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)當a與b反向時，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
探究4　提示　在如圖①所示的平行四邊形ABCD中，＝＝a，＝＝b，則在△ABC中，＝＋＝a＋b，在△ADC中，＝＋＝b＋a，故a＋b＝b＋a，即向量的加法滿足交換律.
　　
　　　圖①　　　　　 　　圖②
如圖②所示，＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋c，所以在△ADC中，＝＋＝(a＋b)＋c，在△ADB中，＝＋＝a＋(b＋c)，從而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法滿足結合律.
知識梳理
1.方向相同
例3　解　(1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
(2)＋＋＋
＝＋＋＋
＝.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝0.
訓練3　1　[|＋＋|＝|＋＋|＝||＝1.]
例4　解　作出圖形，如圖.船速v船與岸的方向成α角，由圖可知v水＋v船＝
v實際，結合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，
從而船與水流方向成120°的角.
故船行進的方向是與水流的方向成120°的角的方向.
遷移1　解　由例4解圖可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，
則經過3小時，該船的實際航程是
3×＝(km).
遷移2　解　如圖所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，
||＝|v水|＝10 m/min，
則tan ∠BAC＝2，即為所求.
訓練4　解　如圖所示，
設，分別表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，則＋＝.
由題意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°＝10×＝5(N).
∴A處所受力的大小為5 N，B處所受力的大小為5 N.
課堂達標
1.C　[根據平面向量的加法運算，得
＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.]
2.B　[∵a＋b＝0，∴a，b互為相反向量，
又b＋c＝0，
∴b，c互為相反向量，故a＝c，故①正確；
當＝時，應有||＝||，且由點A到點B與由點C到點D的方向相同，但不一定有點A與點C重合，點B與點D重合，故②錯誤；
若a＋b＝0且b＝0，則a＝0，－a＝0，故③正確.]
3.D　[由于＝，
故＋＋＝＋＋＝.]
4.等腰直角三角形　[以AB，AC為鄰邊作 ABDC(如圖).
則|＋|＝||＝.
又AB＝AC＝1，且BD＝AC，
∴AB＝BD＝1，
從而△ABD為等腰直角三角形.
因此 ABDC為正方形，
故△ABC為等腰直角三角形.]

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