資源簡介

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　×　)
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　√　)
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成．(　√　)
(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法．(　√　)
(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　√　)
無
題型一　分類加法計數(shù)原理的應用
例1　高三一班有學生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，其中男生35人，女生20人．
(1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？
(2)從高三一班、二班男生中或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？
解　(1)完成這件事有三類方法：
第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；
第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法；
第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，任選一名學生任學生會主席共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法．
(2)完成這件事有三類方法：
第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；
第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；
第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法．
思維升華　分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．首先根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準；其次分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類．
　定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　)
A．18個 B．16個 C．14個 D．12個
答案　C
解析　第一位為0，最后一位為1，中間3個0,3個1,3個1在一起時為000111,001110；只有2個1相鄰時，共A個，其中110100,110010,110001,101100不符合題意；三個1都不在一起時有C個，共2＋8＋4＝14(個)．
題型二　分步乘法計數(shù)原理的應用
例2　(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　)
A．24 B．18 C．12 D．9
(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．
答案　(1)B　(2)120
解析　(1)從E點到F點的最短路徑有6種，從F點到G點的最短路徑有3種，所以從E點到G點的最短路徑為6×3＝18(種)，故選B.
(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．
引申探究
1．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？
解　每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種)．
2．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？
解　每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種)．
思維升華　(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．
(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．
　(1)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
(2)五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________．五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種．
答案　(1)C　(2)45　54
解析　(1)分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2＝6個，故選C.
(2)五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法．五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性．
題型三　兩個計數(shù)原理的綜合應用
例3　(1)如圖，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法．
(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________．
答案　(1)260　(2)36
解析　(1)區(qū)域A有5處涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(種)涂色方法．
(2)第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面均成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．
思維升華　利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．
(3)弄清分步、分類的標準是什么．
(4)利用兩個計數(shù)原理求解．
　如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有________．
答案　96
解析　按區(qū)域1與3是否同色分類：
(1)區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5(還有3種顏色)有A種方法．∴區(qū)域1與3涂同色，共有4A＝24(種)方法．
(2)區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有一種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法．∴這時共有A×2×1×3＝72(種)方法．
故由分類加法計數(shù)原理，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96.
分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
原理 異同點　　 分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理
定義 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法
區(qū)別 各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事 各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才能做完這件事
典例　(1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有(　　)
A．24種 B．4種 C．43種 D．34種
(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4次，輪船有3次，問此人的走法可有________種．
錯解展示
解析　(1)因為每個信箱有三種投信方法，共4個信箱，
所以共有3×3×3×3＝34(種)投法．
(2)乘火車有4種方法，坐輪船有3種方法，
共有3×4＝12(種)方法．
答案　(1)D　(2)12
現(xiàn)場糾錯
解析　(1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法．只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法．
(2)因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得此人的走法共有4＋3＝7(種)．
答案　(1)C　(2)7
糾錯心得　(1)應用計數(shù)原理解題首先要搞清是分類還是分步．
(2)把握完成一件事情的標準，如典例(1)沒有考慮每封信只能投在一個信箱中，導致錯誤．
1．用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．243 B．252 C．261 D．279
答案　B
解析　由分步乘法計數(shù)原理知，用0,1，…，9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可用重復數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252.故選B.
2．滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(　　)
A．14 B．13 C．12 D．10
答案　B
解析　當a＝0時，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個，故選B.
3．從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．24 B．18 C．12 D．6
答案　B
解析　分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)奇數(shù)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，知共有12＋6＝18(個)奇數(shù)．
4．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種．
答案　32
解析　每位同學都有2種報名方法，因此，可分五步安排5名同學報名，由分步乘法計數(shù)原理，知總的報名方法共2×2×2×2×2＝32(種)．
1．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有(　　)
A．8種 B．9種
C．10種 D．11種
答案　B
解析　設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監(jiān)考方法．
2．小明有4枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面．他想把4個硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，則不同的擺法有(　　)
A．4種 B．5種 C．6種 D．9種
答案　B
解析　記反面為1，正面為2，則正反依次相對有12121212,21212121兩種；有兩枚反面相對有21121212,21211212,21212112三種，共5種擺法，故選B.
3．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，則不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
答案　A
解析　第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(種)選派方法；
第二步，選派兩名學生到甲地，另外兩名到乙地，有C＝6(種)選派方法．
由分步乘法計數(shù)原理，不同的選派方案共有2×6＝12(種)．
4．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　)
A．144個 B．120個 C．96個 D．72個
答案　B
解析　由題意知，首位數(shù)字只能是4,5，若萬位是5，則有3×A＝72(個)；若萬位是4，則有2×A＝48(個)，故比40 000大的偶數(shù)共有72＋48＝120(個)．故選B.
5．將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點的棱不能涂相同顏色，則不同的涂色方案有(　　)
A．1種 B．3種
C．6種 D．9種
答案　C
解析　因為只有三種顏色，又要涂六條棱，所以應該將四面體的對棱涂成相同的顏色．故有3×2×1＝6(種)涂色方案．
6．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(　　)
A．12種 B．18種
C．24種 D．36種
答案　A
解析　先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A種不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有一種排法．因此共有A·2·1＝12(種)不同的排列方法．
7．將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有________種．
答案　9
解析　編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法；編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字3，共有3種不同填法；編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，共有3種不同填法．于是由分類加法計數(shù)原理，得共有3＋3＋3＝9(種)不同的填法．
8．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有________種．
答案　13
解析　四個焊點共有24種情況，其中使線路通的情況有：1,4都通，2和3至少有一個通時線路才通，共3種可能．故不通的情況有24－3＝13(種)可能．
9．從1,2,3,4,7,9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同對數(shù)值的個數(shù)為________．
答案　17
解析　當所取兩個數(shù)中含有1時，1只能作真數(shù)，對數(shù)值為0，當所取兩個數(shù)不含有1時，可得到A＝20(個)對數(shù)，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，綜上可知，共有20＋1－4＝17(個)不同的對數(shù)值．
10．回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3 443,94 249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，…，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則
(1)4位回文數(shù)有________個；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個．
答案　(1)90　(2)9×10n
解析　(1)4位回文數(shù)相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，中間兩位一樣，有10種填法，共計9×10＝90(種)填法，即4位回文數(shù)有90個．
(2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格．結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，知有9×10n種填法．
11．有一項活動需在3名老師，6名男同學和8名女同學中選人參加．
(1)若只需一人參加，有多少種不同選法？
(2)若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同選法？
(3)若需老師，男同學，女同學各一人參加，有多少種不同選法？
解　(1)只需一人參加，可按老師，男同學，女同學分三類各自有3,6,8種方法，總方法數(shù)為3＋6＋8＝17.
(2)分兩步，先選教師共3種選法，再選學生共6＋8＝14(種)選法，由分步乘法計數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×14＝42.
(3)教師，男同學，女同學各一人可分三步，每步方法依次為3,6,8種．由分步乘法計數(shù)原理知總方法數(shù)為3×6×8＝144(種)．
12．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．
解　方法一　設(shè)想染色按S－A－B－C－D的順序進行，對S，A，B染色，有5×4×3＝60(種)染色方法．
由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：
C與A同色時(此時C對顏色的選取方法唯一)，D應與A(C)，S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種可選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇．從而對C、D染色有1×3＋2×2＝7(種)染色方法．
由分步乘法計數(shù)原理，不同的染色方法種數(shù)為60×7＝420.
方法二　根據(jù)所用顏色種數(shù)分類，可分三類．
第一類：用3種顏色，此時A與C，B與D分別同色，問題相當于從5種顏色中選3種涂三個點，共A＝60(種)涂法；
第二類：用4種顏色，此時A與C，B與D中有且只有一組同色，涂法種數(shù)為2A＝240(種)；
第三類：用5種顏色，涂法種數(shù)共A＝120(種)．
綜上可知，滿足題意的染色方法種數(shù)為60＋240＋120＝420.
*13.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，則：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個不同的二次函數(shù)？其中偶函數(shù)有多少個？
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)？
解　(1)a的取值有5種情況，b的取值6種情況，c的取值有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(個)不同的二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，故有5×6＝30(個)．
(2)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上時，a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(個)圖象開口向上的二次函數(shù)．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　 　)
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　 　)
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成．(　 　)
(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法．(　 　)
(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　 　)
無
題型一　分類加法計數(shù)原理的應用
例1　高三一班有學生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，其中男生35人，女生20人．
(1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？
(2)從高三一班、二班男生中或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？
　定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　)
A．18個 B．16個 C．14個 D．12個
題型二　分步乘法計數(shù)原理的應用
例2　(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　)
A．24 B．18 C．12 D．9
(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．
引申探究
1．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？
2．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？
　(1)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
(2)五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________．五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種．
題型三　兩個計數(shù)原理的綜合應用
例3　(1)如圖，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法．
(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________．
　如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有________．
分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
原理 異同點　　 分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理
定義 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法
區(qū)別 各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事 各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才能做完這件事
典例　(1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有(　　)
A．24種 B．4種 C．43種 D．34種
(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4次，輪船有3次，問此人的走法可有________種．
1．用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．243 B．252 C．261 D．279
2．滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(　　)
A．14 B．13 C．12 D．10
3．從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．24 B．18 C．12 D．6
4．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種．
1．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有(　　)
A．8種 B．9種
C．10種 D．11種
2．小明有4枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面．他想把4個硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，則不同的擺法有(　　)
A．4種 B．5種 C．6種 D．9種
3．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，則不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
4．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　)
A．144個 B．120個 C．96個 D．72個
5．將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點的棱不能涂相同顏色，則不同的涂色方案有(　　)
A．1種 B．3種
C．6種 D．9種
6．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(　　)
A．12種 B．18種
C．24種 D．36種
7．將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有________種．
8．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有________種．
9．從1,2,3,4,7,9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同對數(shù)值的個數(shù)為________．
10．回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3 443,94 249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，…，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則
(1)4位回文數(shù)有________個；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個．
11．有一項活動需在3名老師，6名男同學和8名女同學中選人參加．
(1)若只需一人參加，有多少種不同選法？
(2)若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同選法？
(3)若需老師，男同學，女同學各一人參加，有多少種不同選法？
12．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．
*13.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，則：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個不同的二次函數(shù)？其中偶函數(shù)有多少個？
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)？判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　×　)
(2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序．(　×　)
(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　√　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　)
(5)A＝nA.(　√　)
(6)kC＝nC.(　√　)
無
題型一　排列問題
例1　(1)3名男生，4名女生，選其中5人排成一排，則有________種不同的排法．
(2)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有________種．
答案　(1)2 520　(2)216
解析　(1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有A＝2 520(種)排法．
(2)當最左端排甲時，不同的排法共有A種；當最左端排乙時，甲只能排在中間四個位置之一，則不同的排法共有CA種．故不同的排法共有A＋CA＝120＋96＝216(種)．
引申探究
1．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“排成前后兩排，前排3人，后排4人”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
解　前排3人，后排4人，相當于排成一排，共有A＝5 040(種)排法．
2．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，男、女各站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
解　相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有A種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有A·A·A＝288(種)排法.
3．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，男生不能站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
解　不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個女生隔成的5個空中安排共有A種排法，故共有A·A＝1 440(種)排法．
4．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
解　先安排甲，從除去排頭和排尾的5個位置中安排甲，有A＝5(種)排法；再安排其他人，有A＝720(種)排法．所以共有A·A＝3 600(種)排法．
思維升華　排列應用問題的分類與解法
(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．
(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.
　由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的自然數(shù)．
求：(1)有多少個含2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)？
(2)有多少個含數(shù)字1,2,3，且必須按由大到小順序排列的六位數(shù)？
解　(1)先不考慮0是否在首位，0,1,4,5先排三個位置，則有A個，2,3去排四個空檔，有A個，即有AA個；而0在首位時，有AA個，即有AA－AA＝252(個)含有2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)．
(2)在六個位置先排0,4,5，先不考慮0是否在首位，則有A個，去掉0在首位，即有A－A個，0,4,5三個元素排在六個位置上留下了三個空位，1,2,3必須由大到小進入相應位置，并不能自由排列，所以有A－A＝100(個)六位數(shù)．
題型二　組合問題
例2　(1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是(　　)
A．60 B．63
C．65 D．66
(2)要從12人中選出5人去參加一項活動，A，B，C三人必須入選，則有________種不同選法．
答案　(1)D　(2)36
解析　(1)因為1,2,3，…，9中共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)或全為偶數(shù)或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，故有C＋C＋CC＝66(種)不同的取法．
(2)只需從A，B，C之外的9人中選擇2人，即有C＝36(種)不同的選法．
引申探究
1．本例(2)中若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人都不能入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？
解　由A，B，C三人都不能入選只需從余下9人中選擇5人，即有C＝C＝126(種)不同的選法．
2．本例(2)中若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人只有一人入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？
解　可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有C種選法，再從余下的9人中選4人，有C種選法，所以共有C×C＝378(種)不同的選法．
3．本例(2)中若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人至少一人入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？
解　可考慮間接法，從12人中選5人共有C種，再減去A，B，C三人都不入選的情況C種，共有C－C＝666(種)不同的選法．
思維升華　組合問題常有以下兩類題型變化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
　某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．
(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
解　(1)從余下的34種商品中，選取2種有C＝561(種)，
∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．
(2)從34種可選商品中，選取3種，有C種或者C－C＝C＝5 984(種)．
∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種．
(3)從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件有CC＝2 100(種)．
∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種．
(4)選取2件假貨有CC種，選取3件假貨有C種，共有選取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(種)．
∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種．
(5)選取3件的總數(shù)為C，因此共有選取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(種)．
∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種．
題型三　排列與組合問題的綜合應用
命題點1　相鄰問題
例3　一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　)
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
答案　C
解析　把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種坐法．
命題點2　相間問題
例4　某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是________．
答案　120
解析　先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空．安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種情況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”，有ACA＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□”，有AA＝48(種)安排方法．由分類加法計數(shù)原理知共有36＋36＋48＝120(種)安排方法．
命題點3　特殊元素(位置)問題
例5　從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中任取3個組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，當三個數(shù)字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有________個．
答案　51
解析　分三類：第一類，沒有2,3，由其他三個數(shù)字組成三位數(shù)，有A＝6(個)；
第二類，只有2或3其中的一個，需從1,4,5中選兩個數(shù)字組成三位數(shù)，有2CA＝36(個)；
第三類，2,3均有，再從1,4,5中選一個，因為2需排在3的前面，所以可組成CA＝9(個)．
由分類加法計數(shù)原理，知這樣的三位數(shù)共有51個．
思維升華　排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略
(1)相鄰問題捆綁法．在特定條件下，將幾個相關(guān)元素視為一個元素來考慮，待整個問題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列．
(2)相間問題插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當中，它與捆綁法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法．優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
(4)多元問題分類法．將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理求出排列總數(shù)．
　(1)有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個班去做學習經(jīng)驗交流，則每個班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為(　　)
A．150 B．180
C．200 D．280
(2)將甲、乙、丙、丁、戊五位同學分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學，若每所大學至少保送1人，甲不能被保送到北大，則不同的保送方案共有(　　)
A．150種 B．114種
C．100種 D．72種
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)分兩類：一類，3個班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為2,2,1，則有·A＝90(種)分派方法；另一類，3個班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為1,1,3，則有C·A＝60(種)分派方法，所以不同分派方法種數(shù)為90＋60＝150，故選A.
(2)先將五人分成三組，因為要求每組至少一人，所以可選擇的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有＋＝25(種)分組方法．因為甲不能被保送到北大，所以有甲的那組只有上海交大和浙大兩個選擇，剩下的兩組無限制，一共有4種方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(種)．
1．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列
組合 合成一組
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示．
(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示．
3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝
性質(zhì) (1)0！＝1；A＝n！ (2)C＝C；C＝C＋C
典例　有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有________種．
錯解展示
解析　先從一等品中取1個，有C種取法；再從余下的19個零件中任取2個，有C種不同取法，共有C×C＝2 736(種)不同取法．
答案　2 736
現(xiàn)場糾錯
解析　方法一　將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，由分類加法計數(shù)原理，知有CC＋CC＋C＝1 136(種)．
方法二　考慮其對立事件“3個都是二等品”，用間接法：C－C＝1 136(種)．
答案　1 136
糾錯心得　(1)解排列、組合問題的基本原則：特殊優(yōu)先，先分組再分解，先取后排；較復雜問題可采用間接法，轉(zhuǎn)化為求它的對立事件．
(2)解題時要細心、周全，做到不重不漏.
1．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
答案　D
解析　由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個位數(shù)只能是1,3,5；分為兩步：先從1,3,5三個數(shù)中選一個作為個位數(shù)有C種情況，再將剩下的4個數(shù)字排列得到A種情況，則滿足條件的五位數(shù)有C·A＝72(個)．故選D.
2．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
答案　D
解析　“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝4×3×2＝24.
3．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．8 B．24 C．48 D．120
答案　C
解析　末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，
共有AA＝48(種).
4．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有________種．
答案　14
解析　分兩類：①有1名女生：CC＝8.
②有2名女生：CC＝6.
∴不同的選派方案有8＋6＝14(種)．
1．兩家夫婦各帶一個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為(　　)
A．48 B．36 C．24 D．12
答案　C
解析　(捆綁法)爸爸排法有A種，兩個小孩排在一起故看成一體，有A種排法，媽媽和孩子共有A種排法，
∴排法種數(shù)共有AAA＝24(種)．故選C.
2．某小區(qū)有排成一排的7個車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為(　　)
A．16 B．18 C．24 D．32
答案　C
解析　將四個車位捆綁在一起，看成一個元素，先排3輛不同型號的車，在三個車位上任意排列，有A＝6(種)排法，再將捆綁在一起的四個車位插入4個空檔中，有4種方法，故共有4×6＝24(種)方法．
3．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有(　　)
A．34種 B．48種
C．96種 D．144種
答案　C
解析　程序A有A＝2(種)結(jié)果，將程序B和C看作一個元素與除A外的3個元素排列有AA＝48(種)，
由分步乘法計數(shù)原理，知實驗編排共有2×48＝96(種)方法．
4．將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有(　　)
A．12種 B．20種
C．40種 D．60種
答案　C
解析　(消序法)五個元素沒有限制全排列為A，
由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，
故除以這三個元素的全排列A，
可得×2＝40(種)．
5．某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(　　)
A．AC B.AC
C．AA D．2A
答案　B
解析　方法一　將4人平均分成兩組有C種方法，將此兩組分配到6個班級中的2個班有A種．
所以不同的安排方法有CA(種)．
方法二　先從6個班級中選2個班級有C種不同方法，然后安排學生有CC種，故有CCC＝AC(種)．
6．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有(　　)
A．24對 B．30對
C．48對 D．60對
答案　C
解析　正方體中共有12條面對角線，任取兩條作為一對共有C＝66(對)，12條對角線中的兩條所構(gòu)成的關(guān)系有平行、垂直、成60°角．相對兩面上的4條對角線組成的C＝6(對)組合中，平行有2對，垂直有4對，所以所有的平行和垂直共有3C＝18(對)．所以成60°角的有C－3C＝66－18＝48(對)．
7．現(xiàn)有5名教師要帶3個興趣小組外出學習考察，要求每個興趣小組的帶隊教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨帶隊，則不同的帶隊方案有________種．(用數(shù)字作答)
答案　54
解析　第一類，把甲、乙看作一個復合元素，另外3人分成兩組，再分配到3個小組中，有CA＝18(種)；第二類，先把另外的3人分配到3個小組，再把甲、乙分配到其中2個小組，有AA＝36(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36＋18＝54(種)．
8．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種．(用數(shù)字作答)
答案　60
解析　分兩類：第一類：3張中獎獎券分給3個人，共A種分法；
第二類：3張中獎獎券分給2個人相當于把3張中獎獎券分兩組再分給4人中的2人，共有CA種分法．
總獲獎情況共有A＋CA＝60(種)．
9．某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，則不同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答)
答案　240
解析　由題意可知，有一個工廠安排2個班，另外三個工廠每廠一個班，則共有C·C·A＝240種安排方法．
10．若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有________種．
答案　11
解析　把g、o、o、d 4個字母排一列，可分兩步進行，第一步：排g和d，共有A種排法；第二步：排兩個o.共一種排法，所以總的排法種數(shù)為A＝12.其中正確的有一種，所以錯誤的共有A－1＝12－1＝11(種)．
11．將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種．(用數(shù)字作答)
答案　480
解析　從左往右看，若C排在第1位，共有A＝120(種)排法；若C排在第2位，A和B有C右邊的4個位置可以選，共有A·A＝72(種)排法；若C排在第3位，則A，B可排C的左側(cè)或右側(cè)，共有A·A＋A·A＝48(種)排法；若C排在第4,5,6位時，其排法數(shù)與排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(種)排法．
12．2016年某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10 000個號碼中選擇．公司規(guī)定：凡卡號的后四位恰帶有兩個數(shù)字“6”或恰帶有兩個數(shù)字“8”的一律作為“金猴卡”，享受一定優(yōu)惠政策．如后四位數(shù)為“2663”，“8685”為“金猴卡”，求這組號碼中“金猴卡”的張數(shù)．
解　①當后四位數(shù)恰有2個6時，“金猴卡”共有C×9×9＝486(張)；
②當后四位數(shù)恰有2個8時，“金猴卡”也共有C×9×9＝486(張)．
但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由2個6和2個8組成的這種情況，所以要減掉C＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(張)．
13．有9名學生，其中2名會下象棋但不會下圍棋，3名會下圍棋但不會下象棋，4名既會下圍棋又會下象棋．現(xiàn)在要從這9名學生中選出2名學生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有多少種不同的選派方法？
解　設(shè)2名會下象棋但不會下圍棋的同學組成集合A,3名會下圍棋但不會下象棋的同學組成集合B,4名既會下圍棋又會下象棋的同學組成集合C，則選派2名參賽同學的方法可以分為以下4類：
第一類：A中選1人參加象棋比賽，B中選1人參加圍棋比賽，方法數(shù)為C·C＝6(種)；
第二類：C中選1人參加象棋比賽，B中選1人參加圍棋比賽，方法數(shù)為C·C＝12(種)；
第三類：C中選1人參加圍棋比賽，A中選1人參加象棋比賽，方法數(shù)為C·C＝8(種)；
第四類：C中選2人分別參加兩項比賽，方法數(shù)為A＝12(種)．
由分類加法計數(shù)原理，知不同的選派方法共有6＋12＋8＋12＝38(種)．
*14.設(shè)三位數(shù)n＝，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三位數(shù)n有多少個？
解　a，b，c要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為0，即a，b，c∈{1,2,3，…，9}．①若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為n1，由于三位數(shù)中三個數(shù)字都相同，所以n1＝C＝9；②若構(gòu)成等腰(非等邊)三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為n2，由于三位數(shù)中只有2個不同數(shù)字，設(shè)為a，b，注意到三角形腰與底可以互換，所以可取的數(shù)組(a，b)共有2C組，但當大數(shù)為底時，設(shè)a>b，必須滿足ba 9 8 7 6 5 4 3 2 1
b 4,3,2,1 4,3,2,1 3,2,1 3,2,1 1,2 1,2 1 1
共20種情況．同時，每個數(shù)組(a，b)中的兩個數(shù)字填上三個數(shù)位，有C種情況，故n2＝C(2C－20)＝156.綜上，n＝n1＋n2＝165.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　 　)
(2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序．(　 　)
(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　 　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　 　)
(5)A＝nA.(　 　)
(6)kC＝nC.(　 　)
無
題型一　排列問題
例1　(1)3名男生，4名女生，選其中5人排成一排，則有________種不同的排法．
(2)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有________種．
引申探究
1．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“排成前后兩排，前排3人，后排4人”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
2．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，男、女各站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
3．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，男生不能站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
4．本例(1)中若將條件“選其中5人排成一排”改為“全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？
　由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的自然數(shù)．
求：(1)有多少個含2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)？
(2)有多少個含數(shù)字1,2,3，且必須按由大到小順序排列的六位數(shù)？
題型二　組合問題
例2　(1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是(　　)
A．60 B．63
C．65 D．66
(2)要從12人中選出5人去參加一項活動，A，B，C三人必須入選，則有________種不同選法．
引申探究
1．本例(2)中若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人都不能入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？
2．本例(2)中若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人只有一人入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？
3．本例(2)中若將條件“A，B，C三人必須入選”改為“A，B，C三人至少一人入選”，其他條件不變，則不同的選法有多少種？
　某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．
(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？
命題點1　相鄰問題
例3　一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　)
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
命題點2　相間問題
例4　某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是________．
命題點3　特殊元素(位置)問題
例5　從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中任取3個組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，當三個數(shù)字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有________個．
　(1)有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個班去做學習經(jīng)驗交流，則每個班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為(　　)
A．150 B．180
C．200 D．280
(2)將甲、乙、丙、丁、戊五位同學分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學，若每所大學至少保送1人，甲不能被保送到北大，則不同的保送方案共有(　　)
A．150種 B．114種
C．100種 D．72種
1．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列
組合 合成一組
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示．
(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示．
3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝
性質(zhì) (1)0！＝1；A＝n！ (2)C＝C；C＝C＋C
典例　有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有________種．
1．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
2．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
3．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．8 B．24 C．48 D．120
4．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有________種．
、
1．兩家夫婦各帶一個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為(　　)
A．48 B．36 C．24 D．12
2．某小區(qū)有排成一排的7個車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為(　　)
A．16 B．18 C．24 D．32
3．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有(　　)
A．34種 B．48種
C．96種 D．144種
4．將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有(　　)
A．12種 B．20種
C．40種 D．60種
5．某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(　　)
A．AC B.AC
C．AA D．2A
6．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有(　　)
A．24對 B．30對
C．48對 D．60對
7．現(xiàn)有5名教師要帶3個興趣小組外出學習考察，要求每個興趣小組的帶隊教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨帶隊，則不同的帶隊方案有________種．(用數(shù)字作答)
8．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種．(用數(shù)字作答)
9．某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，則不同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答)
10．若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有________種．
11．將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種．(用數(shù)字作答)
12．2016年某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10 000個號碼中選擇．公司規(guī)定：凡卡號的后四位恰帶有兩個數(shù)字“6”或恰帶有兩個數(shù)字“8”的一律作為“金猴卡”，享受一定優(yōu)惠政策．如后四位數(shù)為“2663”，“8685”為“金猴卡”，求這組號碼中“金猴卡”的張數(shù)．
13．有9名學生，其中2名會下象棋但不會下圍棋，3名會下圍棋但不會下象棋，4名既會下圍棋又會下象棋．現(xiàn)在要從這9名學生中選出2名學生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有多少種不同的選派方法？
*14.設(shè)三位數(shù)n＝，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三位數(shù)n有多少個？判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二項展開式的第k項．(　×　)
(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．(　×　)
(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)．(　√　)
(4)在(1－x)9的展開式中系數(shù)最大的項是第五、第六兩項．(　×　)
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128.(　×　)
無
題型一　二項展開式
命題點1　求二項展開式中的特定項或指定項的系數(shù)
例1　(1)(2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是______________．(用數(shù)字填寫答案)
(2)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
答案　(1)10　(2)C
解析　(1)(2x＋)5展開式的通項公式Tk＋1＝C(2x)5－k·()k＝C25－k，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得k＝4，得T5＝C25－4＝10x3，∴x3的系數(shù)是10.
(2)方法一　利用二項展開式的通項公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C.
方法二　利用組合知識求解．
(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C.
命題點2　已知二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)
例2　(1)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝____________.
(2)若5的展開式中x5的系數(shù)為－80，則實數(shù)a＝________.
答案　(1)3　(2)－2
解析　(1)設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)∵Tk＋1＝C(ax2)5－kk＝a5－kC，
∴10－k＝5，解得k＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.
思維升華　求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可．
　(1)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)
(2)(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫答案)
答案　(1)－20　(2)
解析　(1)x2y7＝x·(xy7)，其系數(shù)為C，
x2y7＝y(tǒng)·(x2y6)，其系數(shù)為－C，
∴x2y7的系數(shù)為C－C＝8－28＝－20.
(2)設(shè)通項為Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，
∴k＝3，∴x7的系數(shù)為Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
題型二　二項式系數(shù)的和或各項系數(shù)的和的問題
例3　在(2x－3y)10的展開式中，求：
(1)二項式系數(shù)的和；
(2)各項系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；
(5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和．
解　設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各項系數(shù)的和為a0＋a1＋…＋a10，奇數(shù)項系數(shù)和為a0＋a2＋…＋a10，偶數(shù)項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次項系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和．
(1)二項式系數(shù)的和為C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y(tǒng)＝1，各項系數(shù)和為(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝29，
偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y(tǒng)＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇數(shù)項系數(shù)和為；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶數(shù)項系數(shù)和為.
(5)x的奇次項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次項系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
思維升華　(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
　(1)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　B
解析　由題意得a＝C，b＝C，
∴13C＝7C，
∴＝，
∴＝13，解得m＝6，
經(jīng)檢驗符合題意，故選B.
(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，則＋＋…＋的結(jié)果是多少？
解　當x＝0時，左邊＝1，右邊＝a0，∴a0＝1.
當x＝時，左邊＝0，右邊＝a0＋＋＋…＋，
∴0＝1＋＋＋…＋.
即＋＋…＋＝－1.
題型三　二項式定理的應用
例4　(1)設(shè)a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，則a等于(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)1.028的近似值是________．(精確到小數(shù)點后三位)
答案　(1)D　(2)1.172
解析　(1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，
∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，
∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值為12.
(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.
思維升華　(1)整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應用問題，整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項，而求近似值則應關(guān)注展開式的前幾項．
(2)二項式定理的應用基本思路是正用或逆用二項式定理，注意選擇合適的形式．
　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　)
A．－1 B．1 C．－87 D．87
答案　B
解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10項均能被88整除，∴余數(shù)是1.
(2)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整數(shù)a的最小值．
解　原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a
＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a
＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a，
顯然正整數(shù)a的最小值為4.
1．二項式定理
二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二項展開式 的通項公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項
二項式系數(shù) 二項展開式中各項的系數(shù)C(k∈{0,1,2，…，n})
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)C＝1，C＝1.
C＝C＋C.
(2)C＝C.
(3)n是偶數(shù)時，項的二項式系數(shù)最大；n是奇數(shù)時，與T項的二項式系數(shù)相等且最大．
(4)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
【知識拓展】
二項展開式形式上的特點
(1)項數(shù)為n＋1.
(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
(4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.
典例　(1)若(－)n展開式的各項系數(shù)絕對值之和為1 024，則展開式中含x項的系數(shù)為________．
(2)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展開式中x4的系數(shù)是－35，則a1＋a2＋…＋a7＝________.
錯解展示
解析　(1)(＋)n展開式中，令x＝1可得4n＝1 024，∴n＝5，
∴(－)n展開式的通項Tk＋1＝(－3)k·C·，
令＝1，得k＝1.
故展開式中含x項的系數(shù)為C＝5.
(2)a1＋a2＋…＋a7＝C＋C＋…＋C＝27－1.
答案　(1)5　(2)27－1
現(xiàn)場糾錯
解析　(1)在(＋)n的展開式中，令x＝1，
可得(－)n展開式的各項系數(shù)絕對值之和為4n＝22n＝1 024＝210，∴n＝5.
故(－)5展開式的通項為Tk＋1＝(－3)k·C·，
令＝1，得k＝1，
故展開式中含x項的系數(shù)為－15.
(2)∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝0，∴a0＝(－m)7.
又∵展開式中x4的系數(shù)是－35，∴C·(－m)3＝－35，
∴m＝1.∴a0＝(－m)7＝－1.
在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，
令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，
即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.
答案　(1)－15　(2)1
糾錯心得　和二項展開式有關(guān)的問題，要分清所求的是展開式中項的系數(shù)還是二項式系數(shù)，是系數(shù)和還是二項式系數(shù)的和.
1．(x－y)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是(　　)
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
答案　D
解析　(x－y)n展開式中第m項的系數(shù)為
C(－1)m－1.
2．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為(　　)
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
答案　A
解析　由題可知，含x4的項為Cx4i2＝－15x4.故選A.
3．使(3x＋)n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n值為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B
解析　(3x＋)n的展開式中的第k＋1項為C＝C3n－k·.若展開式中含常數(shù)項，則存在n∈N*，k∈N，使n－k＝0.故最小的n值為5.
4．在(－)n的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是________．
答案　7
解析　由題意知＋1＝5，解得n＝8，
(－)8的展開式的通項Tk＋1＝C()8－k(－)k
＝(－1)k2k－8C，
令8－＝0，得k＝6，
則展開式中的常數(shù)項為(－1)626－8C＝7.
1．在x2(1＋x)6的展開式中，含x4項的系數(shù)為(　　)
A．30 B．20 C．15 D．10
答案　C
解析　因為(1＋x)6的展開式的第k＋1項為Tk＋1＝Cxk，x2(1＋x)6的展開式中含x4的項為Cx4＝15x4，所以系數(shù)為15.
2．已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30，則a等于(　　)
A. B．－ C．6 D．－6
答案　D
解析　5的展開式通項Tk＋1＝C(－1)kak·＝(－1)kakC，令－k＝，則k＝1，
∴T2＝－aC，∴－aC＝30，∴a＝－6，故選D.
3．(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是(　　)
A．－20 B．－15
C．15 D．20
答案　C
解析　設(shè)展開式中的常數(shù)項是第k＋1項，則Tk＋1＝C·(4x)6－k·(－2－x)k＝C·(－1)k·212x－2kx·2－kx＝C·(－1)k·212x－3kx，
∵12x－3kx＝0恒成立，∴k＝4，
∴T5＝C·(－1)4＝15.
4．已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　)
A．29 B．210 C．211 D．212
答案　A
解析　由題意，C＝C，解得n＝10，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n－1＝29.故選A.
5．若在(x＋1)4(ax－1)的展開式中，x4的系數(shù)為15，則a的值為(　　)
A．－4 B. C．4 D.
答案　C
解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系數(shù)為4a－1＝15，∴a＝4.
6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于(　　)
A.(3n－1) B.(3n－2)
C.(3n－2) D.(3n－1)
答案　D
解析　在展開式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，
即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝
＝(3n－1)．
7．若(x＋a)2(－1)5的展開式中常數(shù)項為－1，則a的值為(　　)
A．1 B．9
C．－1或－9 D．1或9
答案　D
解析　由于(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2，而(－1)5的展開式通項為Tk＋1＝(－1)kC·xk－5，其中k＝0,1,2，…，5.于是(－1)5的展開式中x－2的系數(shù)為(－1)3C＝－10，x－1項的系數(shù)為(－1)4C＝5，常數(shù)項為－1，因此(x＋a)2(－1)5的展開式中常數(shù)項為1×(－10)＋2a×5＋a2×(－1)＝－a2＋10a－10，依題意－a2＋10a－10＝－1，解得a2－10a＋9＝0，即a＝1或a＝9.
8．在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
答案　60
解析　展開式的通項Tk＋1＝C·16－k·(－2x)k＝C(－2)k·xk.令k＝2，得T3＝C·4x2＝60x2，即x2的系數(shù)為60.
9．8的展開式中x7的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
答案　－56
解析　8的通項Tk＋1＝C(x2)8－kk＝(－1)kCx16－3k，當16－3k＝7時，k＝3，則x7的系數(shù)為(－1)3C＝－56.
10．在(2－x)6的展開式中，含x3的二項式系數(shù)為________，系數(shù)為________．(均用數(shù)字作答)
答案　20　－160
解析　(2－x)6展開式的通項Tk＋1＝C26－k(－x)k，
令k＝3，∴含x3的二項式系數(shù)為C＝20，
系數(shù)為C×23×(－1)3＝－160.
11．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝________.
答案　10
解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，
它的通項為Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，
T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝－1.①
令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)方法一　∵(1－2x)7展開式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展開式中各項的系數(shù)和，令x＝1，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
13．求證：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．
證明　∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1
＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，
顯然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C為整數(shù)，
∴原式能被31整除．
*14.若(＋)n展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：
(1)展開式中所有x的有理項；
(2)展開式中系數(shù)最大的項．
解　易求得展開式前三項的系數(shù)為1，C，C.
據(jù)題意得2×C＝1＋C n＝8.
(1)設(shè)展開式中的有理項為Tk＋1，
由Tk＋1＝C()8－k()k＝()kC，
∴k為4的倍數(shù)，又0≤k≤8，∴k＝0,4,8.
故有理項為T1＝()0C＝x4，
T5＝()4C＝x，
T9＝()8C＝.
(2)設(shè)展開式中Tk＋1項的系數(shù)最大，
則 k＝2或k＝3.
故展開式中系數(shù)最大的項為
T3＝()2C＝7，
T4＝()3C＝7.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二項展開式的第k項．(　 　)
(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．(　 　)
(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)．(　 　)
(4)在(1－x)9的展開式中系數(shù)最大的項是第五、第六兩項．(　 　)
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128.(　 　)
無
題型一　二項展開式
命題點1　求二項展開式中的特定項或指定項的系數(shù)
例1　(1)(2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是______________．(用數(shù)字填寫答案)
(2)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
命題點2　已知二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)
例2　(1)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝____________.
(2)若5的展開式中x5的系數(shù)為－80，則實數(shù)a＝________.
　(1)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)
(2)(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫答案)
題型二　二項式系數(shù)的和或各項系數(shù)的和的問題
例3　在(2x－3y)10的展開式中，求：
(1)二項式系數(shù)的和；
(2)各項系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；
(5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和．
　(1)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，則＋＋…＋的結(jié)果是多少？
題型三　二項式定理的應用
例4　(1)設(shè)a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，則a等于(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)1.028的近似值是________．(精確到小數(shù)點后三位)
　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　)
A．－1 B．1 C．－87 D．87
1．二項式定理
二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二項展開式 的通項公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項
二項式系數(shù) 二項展開式中各項的系數(shù)C(k∈{0,1,2，…，n})
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)C＝1，C＝1.
C＝C＋C.
(2)C＝C.
(3)n是偶數(shù)時，項的二項式系數(shù)最大；n是奇數(shù)時，與T項的二項式系數(shù)相等且最大．
(4)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
【知識拓展】
二項展開式形式上的特點
(1)項數(shù)為n＋1.
(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
(4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.
典例　(1)若(－)n展開式的各項系數(shù)絕對值之和為1 024，則展開式中含x項的系數(shù)為________．
(2)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展開式中x4的系數(shù)是－35，則a1＋a2＋…＋a7＝________.
1．(x－y)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是(　　)
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
2．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為(　　)
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
3．使(3x＋)n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n值為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
4．在(－)n的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是________．
1．在x2(1＋x)6的展開式中，含x4項的系數(shù)為(　　)
A．30 B．20 C．15 D．10
2．已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30，則a等于(　　)
A. B．－ C．6 D．－6
3．(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是(　　)
A．－20 B．－15
C．15 D．20
4．已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　)
A．29 B．210 C．211 D．212
5．若在(x＋1)4(ax－1)的展開式中，x4的系數(shù)為15，則a的值為(　　)
A．－4 B. C．4 D.
6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于(　　)
A.(3n－1) B.(3n－2)
C.(3n－2) D.(3n－1)
7．若(x＋a)2(－1)5的展開式中常數(shù)項為－1，則a的值為(　　)
A．1 B．9
C．－1或－9 D．1或9
8．在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
9．8的展開式中x7的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
10．在(2－x)6的展開式中，含x3的二項式系數(shù)為________，系數(shù)為________．(均用數(shù)字作答)
11．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝________.
12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
13．求證：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．
*14.若(＋)n展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：
(1)展開式中所有x的有理項；
(2)展開式中系數(shù)最大的項．

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