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11.1隨機事件的概率-教師版
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)事件發生頻率與概率是相同的．(　×　)
(2)隨機事件和隨機試驗是一回事．(　×　)
(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩定值．(　√　)
(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發生．(　×　)
(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(　√　)
(6)兩互斥事件的概率和為1.(　×　)
題型一　事件關系的判斷
例1　(1)從1,2,3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：
①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；
②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；
③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；
④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數．
上述事件中，是對立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
(2)設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(3)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡
C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡
答案　(1)C　(2)A　(3)A
解析　(1)③中“至少有一個是奇數”即“兩個奇數或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個數根據取到數的奇偶性可認為共有三個事件：“兩個都是奇數”、“一奇一偶”、“兩個都是偶數”，故“至少有一個是奇數”與“兩個都是偶數”是對立事件，易知其余都不是對立事件．
(2)若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.設擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現一次正面”，事件B：“3次出現正面”，則P(A)＝，P(B)＝，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事件．
(3)至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯通卡”，“兩張全是聯通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件．
思維升華　(1)準確把握互斥事件與對立事件的概念
①互斥事件是不可能同時發生的事件，但可以同時不發生．
②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發生，即有且僅有一個發生．
(2)判別互斥、對立事件的方法
判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．
　從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：
①至少有1個白球與至少有1個黃球；
②至少有1個黃球與都是黃球；
③恰有1個白球與恰有1個黃球；
④恰有1個白球與都是黃球．
其中互斥而不對立的事件共有(　　)
A．0組 B．1組 C．2組 D．3組
答案　B
解析　①中“至少有1個白球”與“至少有1個黃球”可以同時發生，如恰好1個白球和1個黃球，①中的兩個事件不是互斥事件．②中“至少有1個黃球”說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，則兩個事件不互斥．③中“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”，都是指有1個白球和1個黃球，因此兩個事件是同一事件．④中兩事件不能同時發生，也可能都不發生，因此兩事件是互斥事件，但不是對立事件，故選B.
題型二　隨機事件的頻率與概率
例2　某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：
上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況，得到如下統計表：
出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
頻數 60 50 30 30 20 10
(1)記A為事件：“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；
(2)記B為事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；
(3)求續保人本年度的平均保費的估計值．
解　(1)事件A發生當且僅當一年內出險次數小于2.由所給數據知，一年內出險次數小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.
(2)事件B發生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4.由所給數據知，一年內出險次數大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.
(3)由所給數據得
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
調查的200名續保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，續保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a.
思維升華　(1)概率與頻率的關系
頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值．
(2)隨機事件概率的求法
利用概率的統計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率．
　某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買.
　　商品 顧客人數　　　 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；
(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；
(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？
解　(1)從統計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，
所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為＝0.2.
(2)從統計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品．
所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為＝0.3.
(3)與(1)同理，可得：
顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為＝0.2，
顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為＝0.6，
顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為＝0.1.
所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大．
題型三　互斥事件、對立事件的概率
命題點1　互斥事件的概率
例3　袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、黃球和綠球的概率各是多少？
解　方法一　從袋中選取一個球，記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A，B，C，D，則有
P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.
方法二　設紅球有n個，則＝，所以n＝4，即紅球有4個．
又得到黑球或黃球的概率是，所以黑球和黃球共5個．
又總球數是12，所以綠球有12－4－5＝3(個)．
又得到黃球或綠球的概率也是，所以黃球和綠球共5個，而綠球有3個，所以黃球有5－3＝2(個)．
所以黑球有12－4－3－2＝3(個)．
因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是
＝，＝，＝.
命題點2　對立事件的概率
例4　某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎，一等獎，二等獎的事件分別為A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分別為，，.
(2)1張獎券中獎包含中特等獎，一等獎，二等獎．
設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.
∵A，B，C兩兩互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.
故1張獎券的中獎概率為.
(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.
思維升華　求復雜事件的概率的兩種方法
求概率的關鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法：
(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；
(2)若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率．
　經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下：
排隊人數 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排隊等候的概率；
(2)至少3人排隊等候的概率．
解　記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．
(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，
所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一　記“至少3人排隊等候”為事件H，
則H＝D＋E＋F，
所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二　記“至少3人排隊等候”為事件H，
則其對立事件為事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
1．概率和頻率
(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝為事件A出現的頻率．
(2)對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率會在某個常數附近擺動并趨于穩定，我們可以用這個常數來刻畫隨機事件A發生的可能性大小，并把這個常數稱為隨機事件A的概率，記作P(A)．
2．事件的關系與運算
定義 符號表示
包含關系 如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等關系 若B A且A B A＝B
并事件 (和事件) 若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (積事件) 若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B為不可能事件(A∩B＝ )，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝
對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 P(A)＋P(B)＝1
3.概率的幾個基本性質
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)對立事件的概率
若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．
【知識拓展】
互斥事件與對立事件的區別與聯系
互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
典例　某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.
一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顧客數(人) x 30 25 y 10
結算時間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；
(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)
思想方法指導　若某一事件包含的基本事件多，而它的對立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解．
規范解答
解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.[2分]
該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為
＝1.9(分鐘)．[7分]
(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[10分]
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.[12分]
故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.[15分]
1．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數a，從{1,2,3}中隨機選取一個數b，則b>a的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　基本事件的個數有5×3＝15，其中滿足b>a的有3種，所以b>a的概率為＝.
2．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)
A．必然事件 B．隨機事件
C．不可能事件 D．無法確定
答案　B
解析　拋擲10次硬幣正面向上的次數可能為0～10，都有可能發生，正面向上5次是隨機事件．
3．某射手在一次射擊中，射中10環，9環，8環的概率分別為0.2,0.3,0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環的概率為(　　)
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
答案　A
解析　依題設知，此射手在一次射擊中不超過8環的概率為1－(0.2＋0.3)＝0.5.
4．袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則①恰有1個紅球和全是白球；②至少有1個紅球和全是白球；③至少有1個紅球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個紅球．在上述事件中，是對立事件的為________．
答案　②
解析　①是互斥不對立的事件，②是對立事件，③④不是互斥事件.
1．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件，所以甲不輸的概率為＋＝.
2．袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．
在上述事件中，是對立事件的為(　　)
A．① B．② C．③ D．④
答案　B
解析　至少有1個白球和全是黑球不同時發生，且一定有一個發生．
∴②中兩事件是對立事件．
3．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為(　　)
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5
答案　C
解析　∵“抽到的產品不是一等品”與事件A是對立事件，
∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
4．有一個游戲，其規則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非對立事件 B．對立事件
C．相互獨立事件 D．以上都不對
答案　A
解析　由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件，故選A.
5．從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30,40]克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為(　　)
A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3
答案　C
解析　由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率為1－0.3－0.5＝0.2，
又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率為0.7.
6．從存放的號碼分別為1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統計結果如下：
卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次數 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
則取到號碼為奇數的卡片的頻率是(　　)
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
答案　A
解析　取到號碼為奇數的卡片的次數為13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻率為＝0.53.故選A.
7．在200件產品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：
①在這200件產品中任意選出9件，全部是一級品；
②在這200件產品中任意選出9件，全部是二級品；
③在這200件產品中任意選出9件，不全是二級品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是隨機事件．
答案　③　②　①
8．若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數a的取值范圍是________________．
答案　(，]
解析　由題意可知 ， 9．在5張卡片上分別寫有數字1,2,3,4,5，然后將它們混合，再任意排列成一行，則得到的數能被2或5整除的概率是________．
答案　
解析　個位數字共有5種情況，只有當個位數字取2,4,5時，得到的數才能被2或5整除，所以概率為.
10．一個口袋內裝有大小相同的紅球，白球和黑球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出紅球的概率為________．
答案　0.2
解析　記事件A，B，C分別是摸出紅球，白球和黑球，則A，B，C互為互斥事件且P(A＋B)＝0.58，P(A＋C)＝0.62，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝0.42，P(B)＝1－P(A＋C)＝0.38，P(A)＝1－P(C)－P(B)＝1－0.38－0.42＝0.2.
11．某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：
賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
車輛數(輛) 500 130 100 150 120
(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；
(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率．
解　(1)設A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1 000＝100(輛)，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.
12．國家射擊隊的隊員為在射擊世錦賽上取得優異成績，正在加緊備戰，經過近期訓練，某隊員射擊一次命中7～10環的概率如下表所示：
命中環數 10環 9環 8環 7環
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求該射擊隊員射擊一次：
(1)射中9環或10環的概率；
(2)命中不足8環的概率．
解　記事件“射擊一次，命中k環”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak之間彼此互斥．
(1)記“射擊一次，射中9環或10環”為事件A，那么當A9，A10之一發生時，事件A發生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.
(2)設“射擊一次，至少命中8環”的事件為B，則表示事件“射擊一次，命中不足8環”．
又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得
P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)
＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
故P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
因此，射擊一次，命中不足8環的概率為0.22.
*13.一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：
(1)取出1球是紅球或黑球的概率；
(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．
解　方法一　(利用互斥事件求概率)
記事件A1＝{任取1球為紅球}，
A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，
則P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
P(A4)＝.
根據題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球為紅球或黑球的概率為
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)
＝＋＝.
(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
方法二　(利用對立事件求概率)
(1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.
(2)因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4，
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.11.1隨機事件的概率-學生版
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)事件發生頻率與概率是相同的．(　 　)
(2)隨機事件和隨機試驗是一回事．(　 　)
(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩定值．(　 　)
(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發生．(　 　)
(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(　 　)
(6)兩互斥事件的概率和為1. ( 　)
題型一　事件關系的判斷
例1　(1)從1,2,3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：
①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；
②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；
③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；
④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數．
上述事件中，是對立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
(2)設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(3)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡
C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡
　從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：
①至少有1個白球與至少有1個黃球；
②至少有1個黃球與都是黃球；
③恰有1個白球與恰有1個黃球；
④恰有1個白球與都是黃球．
其中互斥而不對立的事件共有(　　)
A．0組 B．1組 C．2組 D．3組
題型二　隨機事件的頻率與概率
例2　某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：
上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況，得到如下統計表：
出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
頻數 60 50 30 30 20 10
(1)記A為事件：“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；
(2)記B為事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；
(3)求續保人本年度的平均保費的估計值．
　某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買.
　　商品 顧客人數　　　 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；
(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；
(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？
題型三　互斥事件、對立事件的概率
命題點1　互斥事件的概率
例3　袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、黃球和綠球的概率各是多少？
命題點2　對立事件的概率
例4　某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎，一等獎，二等獎的事件分別為A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
　經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下：
排隊人數 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排隊等候的概率；
(2)至少3人排隊等候的概率．
1．概率和頻率
(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝為事件A出現的頻率．
(2)對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率會在某個常數附近擺動并趨于穩定，我們可以用這個常數來刻畫隨機事件A發生的可能性大小，并把這個常數稱為隨機事件A的概率，記作P(A)．
2．事件的關系與運算
定義 符號表示
包含關系 如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等關系 若B A且A B A＝B
并事件 (和事件) 若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (積事件) 若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B為不可能事件(A∩B＝ )，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝
對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 P(A)＋P(B)＝1
3.概率的幾個基本性質
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)對立事件的概率
若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．
【知識拓展】
互斥事件與對立事件的區別與聯系
互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
典例　某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.
一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顧客數(人) x 30 25 y 10
結算時間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；
(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)
1．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數a，從{1,2,3}中隨機選取一個數b，則b>a的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)
A．必然事件 B．隨機事件
C．不可能事件 D．無法確定
3．某射手在一次射擊中，射中10環，9環，8環的概率分別為0.2,0.3,0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環的概率為(　　)
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
4．袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則①恰有1個紅球和全是白球；②至少有1個紅球和全是白球；③至少有1個紅球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個紅球．在上述事件中，是對立事件的為________．
1．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為(　　)
A. B.
C. D.
2．袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．
在上述事件中，是對立事件的為(　　)
A．① B．② C．③ D．④
3．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為(　　)
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5
4．有一個游戲，其規則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非對立事件 B．對立事件
C．相互獨立事件 D．以上都不對
5．從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30,40]克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為(　　)
A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3
6．從存放的號碼分別為1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統計結果如下：
卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次數 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
則取到號碼為奇數的卡片的頻率是(　　)
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
7．在200件產品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：
①在這200件產品中任意選出9件，全部是一級品；
②在這200件產品中任意選出9件，全部是二級品；
③在這200件產品中任意選出9件，不全是二級品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是隨機事件．
8．若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數a的取值范圍是________________．
9．在5張卡片上分別寫有數字1,2,3,4,5，然后將它們混合，再任意排列成一行，則得到的數能被2或5整除的概率是________．
10．一個口袋內裝有大小相同的紅球，白球和黑球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出紅球的概率為________．
11．某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：
賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
車輛數(輛) 500 130 100 150 120
(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；
(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率．
12．國家射擊隊的隊員為在射擊世錦賽上取得優異成績，正在加緊備戰，經過近期訓練，某隊員射擊一次命中7～10環的概率如下表所示：
命中環數 10環 9環 8環 7環
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求該射擊隊員射擊一次：
(1)射中9環或10環的概率；
(2)命中不足8環的概率．
*13.一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：
(1)取出1球是紅球或黑球的概率；
(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．11.2古典概率-教師版
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發芽”屬于古典概型，其基本事件是“發芽與不發芽”．(　×　)
(2)擲一枚硬幣兩次，出現“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件．(　×　)
(3)從市場上出售的標準為500±5 g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型．(　×　)
(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為.(　√　)
(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數，其和為5的概率是0.2.(　√　)
(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件構成集合A，且集合A中的元素個數為n，所有的基本事件構成集合I，且集合I中元素個數為m，則事件A的概率為.(　√　)
題型一　基本事件與古典概型的判斷
例1　有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標有數字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現的點數，y表示第2顆正四面體玩具出現的點數．試寫出：
(1)試驗的基本事件；
(2)事件“出現點數之和大于3”包含的基本事件；
(3)事件“出現點數相等”包含的基本事件．
解　(1)這個試驗的基本事件為
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出現點數之和大于3”包含的基本事件為
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，
(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出現點數相等”包含的基本事件為
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
思維升華　一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型．
　下列試驗中，古典概型的個數為(　　)
①向上拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；
②向正方形ABCD內，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合；
③從1,2,3,4四個數中，任取兩個數，求所取兩數之一是2的概率；
④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　①中，硬幣質地不均勻，不是等可能事件，
所以不是古典概型；
②④的基本事件都不是有限個，不是古典概型；
③符合古典概型的特點，是古典概型．
題型二　古典概型的求法
例2　(1)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　)
A. B. C. D．1
(2)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．
(3)我國古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”將這五種不同屬性的物質任意排成一列，設事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”，則事件A發生的概率為________．
答案　(1)B　(2)　(3)
解析　(1)從袋中任取2個球共有C＝105(種)取法，其中恰好1個白球，1個紅球共有CC＝50(種)取法，所以所取的球恰好1個白球，1個紅球的概率為＝.
(2)基本事件共有C＝6(種)，
設取出兩只球顏色不同為事件A，
A包含的基本事件有CC＋CC＝5(種)．
故P(A)＝.
(3)五種不同屬性的物質任意排成一列的所有基本事件數為A＝120，滿足事件A“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”的基本事件可以按如下方法進行考慮：從左至右，當第一個位置的屬性確定后，例如：金，第二個位置(除去金本身)只能排土或水屬性，當第二個位置的屬性確定后，其他三個位置的屬性也確定，故共有CC＝10(種)可能，所以事件A出現的概率為＝.
引申探究
1．本例(2)中，若將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2,3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標號和為奇數的概率．
解　基本事件數仍為6.設標號和為奇數為事件A，則A包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，
所以P(A)＝＝.
2．本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率．
解　基本事件數為CC＝16，
顏色相同的事件數為CC＋CC＝6，
所求概率為＝.
思維升華　求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具體應用時可根據需要靈活選擇．
　(1)為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　從4種顏色的花中任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇，有((紅黃)，(白紫))，((白紫)，(紅黃))，((紅白)，(黃紫))，((黃紫)，(紅白))，((紅紫)，(黃白))，((黃白)，(紅紫))，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個花壇的種法有((紅黃)，(白紫))，((白紫)，(紅黃))，((紅白)，(黃紫))，((黃紫)，(紅白))，共4種，故所求概率為P＝＝，故選C.
(2)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字1,2,3，這三張卡片除標記的數字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數字依次記為a，b，c.
①求“抽取的卡片上的數字滿足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率．
解　①由題意知，(a，b，c)所有的可能為
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．
設“抽取的卡片上的數字滿足a＋b＝c”為事件A，
則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的數字滿足a＋b＝c”的概率為.
②設“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率為.
1．基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；
(2)每個基本事件出現的可能性相等．
3．如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
典例　一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n(1)基本事件為取兩個球
↓(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)
把取兩個球的所有結果列舉出來
↓
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓兩球編號之和不大于4
(注意：和不大于4，應為小于4或等于4)
↓
{1,2}，{1,3}
↓利用古典概型概率公式求解
P＝＝
(2)兩球分兩次取，且有放回
↓(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標的形式表示)
基本事件的總數可用列舉法表示
↓
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
↓(注意細節，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號)
n↓(將復雜問題轉化為簡單問題)
計算n≥m＋2的概率
↓
n≥m＋2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)
↓
P1＝
↓(注意細節，P1＝是n≥m＋2的概率需轉化為其對立事件的概率)
n規范解答
解　(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個．
從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2個．
因此所求事件的概率P＝＝. [5分]
(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個． [8分]
又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，
所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝. [12分]
故滿足條件n1－P1＝1－＝. [14分]
1．從1,2,3,4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　基本事件的總數為6，
構成“取出的2個數之差的絕對值為2”這個事件的基本事件的個數為2，
所以所求概率P＝＝，故選B.
2．從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　從甲、乙等5名學生中隨機選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況，則甲被選中的概率為＝.
3．如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　從1,2,3,4,5中任取3個不同的數共有C＝10(個)不同的結果，其中勾股數只有一組，故所求概率為P＝.
4．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________．
答案　
解析　取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為＝.
1．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，所以總的基本事件的個數為15，密碼正確只有一種，概率為，故選C.
2．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由題意知，向量m共有CC＝12(個)，
由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，
則滿足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)，共2個，
故所求概率P＝＝.
3．已知5件產品中有2件次品，其余為合格品．現從這5件產品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　)
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
答案　B
解析　從5件產品中任取2件共有取法C＝10(種)，恰有一件次品的取法有CC＝6(種)，所以恰有一件次品的概率為＝0.6.
4．設a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，則函數f(x)＝x3＋ax－b在區間[1,2]上有零點的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知f′(x)＝3x2＋a>0，
所以f(x)在R上遞增，若f(x)在[1,2]上有零點，
則需經驗證有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11對滿足條件，而總的情況有16種，
故所求概率為.
5．有編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　從編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球中隨機取出4個，有C＝210(種)不同的結果，由于是隨機取出的，所以每個結果出現的可能性是相等的．設事件A為“取出球的編號互不相同”，則事件A包含了C·C·C·C·C＝80(個)基本事件，所以P(A)＝＝.故選D.
6．如圖，三行三列的方陣中有九個數aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個數，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　從九個數中任取三個數的不同取法共有C＝84(種)，因為取出的三個數分別位于不同的行與列的取法共有C·C·C＝6(種)，所以至少有兩個數位于同行或同列的概率為1－＝.
7．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如圖所示，
從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種．若要構成矩形，只要選相對頂點即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為＝.
8．若A、B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，則P(B)＝________.
答案　0.3
解析　因為A、B為互斥事件，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
故P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
9．連續2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時，m＝________.
答案　7
解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出現次數最多．
10．10件產品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．
答案　
解析　從10件產品中取4件，共有C種取法，取到1件次品的取法為CC種，由古典概型概率計算公式得P＝＝＝.
11．設連續擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求事件“a⊥b”發生的概率；
(2)求事件“|a|≤|b|”發生的概率．
解　(1)由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36種．
因為a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3,1)，(6,2)，共2種，
所以事件a⊥b發生的概率為＝.
(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，
有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，其概率為＝.
*12.一輛小客車上有5個座位，其座位號為1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1,2,3,4,5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車．乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規則就座：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位．
(1)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規則就座，則此時共有4種坐法．下表給出了其中兩種坐法，請填入余下兩種坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處)；
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位號 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
(2)若乘客P1坐到了2號座位，其他的乘客按規則就座，求乘客P5坐到5號座位的概率．
解　(1)余下兩種坐法如下表所示：
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位號 3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
(2)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規則就座，則所有可能的坐法可用下表表示：
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位號 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 1
2 5 3 4 1
于是，所有可能的坐法共8種，
設“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數為4，所以P(A)＝＝.
13．袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的．
(1)求袋中原有白球的個數；
(2)求取球2次即終止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．
解　(1)設袋中原有n個白球，從袋中任取2個球都是白球的結果數為C，從袋中任取2個球的所有可能的結果數為C.
由題意知從袋中任取2球都是白球的概率P＝＝，
則n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3個白球．
(2)設事件A為“取球2次即終止”．取球2次即終止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，
P(A)＝＝＝.
(3)設事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因為甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．
所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝.11.2古典概率-學生版
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發芽”屬于古典概型，其基本事件是“發芽與不發芽”．(　 　)
(2)擲一枚硬幣兩次，出現“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件．(　 　)
(3)從市場上出售的標準為500±5 g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型．(　 　)
(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為.(　 　)
(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數，其和為5的概率是0.2.(　 　)
(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件構成集合A，且集合A中的元素個數為n，所有的基本事件構成集合I，且集合I中元素個數為m，則事件A的概率為.(　 　)
題型一　基本事件與古典概型的判斷
例1　有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標有數字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現的點數，y表示第2顆正四面體玩具出現的點數．試寫出：
(1)試驗的基本事件；
(2)事件“出現點數之和大于3”包含的基本事件；
(3)事件“出現點數相等”包含的基本事件．
　下列試驗中，古典概型的個數為(　　)
①向上拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；
②向正方形ABCD內，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合；
③從1,2,3,4四個數中，任取兩個數，求所取兩數之一是2的概率；
④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
題型二　古典概型的求法
例2　(1)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　)
A. B. C. D．1
(2)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．
(3)我國古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”將這五種不同屬性的物質任意排成一列，設事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”，則事件A發生的概率為________．
引申探究
1．本例(2)中，若將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2,3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標號和為奇數的概率．
2．本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率．
　(1)為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　)
A. B. C. D.
(2)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字1,2,3，這三張卡片除標記的數字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數字依次記為a，b，c.
①求“抽取的卡片上的數字滿足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率．
1．基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；
(2)每個基本事件出現的可能性相等．
3．如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
典例　一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n1．從1,2,3,4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
2．從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為(　　)
A. B.
C. D.
3．如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為(　　)
A. B. C. D.
4．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________．
1．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　)
A. B. C. D.
3．已知5件產品中有2件次品，其余為合格品．現從這5件產品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　)
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
4．設a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，則函數f(x)＝x3＋ax－b在區間[1,2]上有零點的概率為(　　)
A. B. C. D.
5．有編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為(　　)
A. B. C. D.
6．如圖，三行三列的方陣中有九個數aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個數，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于(　　)
A. B. C. D.
8．若A、B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，則P(B)＝________.
9．連續2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時，m＝________.
10．10件產品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．
11．設連續擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求事件“a⊥b”發生的概率；
(2)求事件“|a|≤|b|”發生的概率．
*12一輛小客車上有5個座位，其座位號為1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1,2,3,4,5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車．乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規則就座：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位．
(1)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規則就座，則此時共有4種坐法．下表給出了其中兩種坐法，請填入余下兩種坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處)；
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位號 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
(2)若乘客P1坐到了2號座位，其他的乘客按規則就座，求乘客P5坐到5號座位的概率．
13．袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的．
(1)求袋中原有白球的個數；
(2)求取球2次即終止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋擲均勻硬幣一次，出現正面的次數是隨機變量．(　√　)
(2)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現象．(　√　)
(3)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(　×　)
(4)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)
(5)均值是算術平均數概念的推廣，與概率無關．(　×　)
(6)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小．(　√　)
無
題型一　離散型隨機變量分布列的性質
例1　(1)設X是一個離散型隨機變量，其分布列為
X －1 0 1
P 2－3q q2
則q等于(　　)
A．1 B.±
(2)設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，則實數a的值為(　　)
A．1 B. C. D.
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由題意知0(2)∵隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，
∴a[＋()2＋()3]＝1，
解得a＝.故選D.
思維升華　(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數．
(2)求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據分布列，將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式．
　已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，則P(2A. B. C. D.
答案　B
解析　由分布列的性質知，
＋＋＋＝1，
則a＝5，
∴P(2題型二　離散型隨機變量分布列的求法
例2　連續拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數為ai，若存在正整數k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為你的幸運數字．
(1)求你的幸運數字為3的概率；
(2)若k＝1，則你的得分為6分；若k＝2，則你的得分為4分；若k＝3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數字，則記0分，求得分ξ的分布列．
解　(1)設“連續拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.
A1，A2，A3為互斥事件，則
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝C()3＋C··C··C·＋C()2·＝.
(2)由已知得ξ的可能取值為6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝，P(ξ＝4)＝()2＋2×C××＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝.
故ξ的分布列為
ξ 6 4 2 0
P
思維升華　求離散型隨機變量X的分布列的步驟：
(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；
(2)求X取每個值的概率；
(3)寫出X的分布列．
求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數原理、古典概型等知識．
　袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.
答案　
解析　P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球)＝＋＝.
題型三　離散型隨機變量的均值與方差
例3　在2016年全國高校自主招生考試中，某高校設計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題．規定：至少正確回答其中2題的便可通過．已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；且每題正確回答與否互不影響．寫出甲考生正確回答題數的分布列，并計算其均值和方差．
解　(1)甲正確回答的題目數ξ可取1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故其分布列為
ξ 1 2 3
P
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
D(ξ)＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝.
思維升華　求離散型隨機變量的均值與方差．可依題設條件求出離散型隨機變量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．
　某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為(　　)
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
答案　A
解析　由題意得X＝0,1,2，則
P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，
P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，
P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，
∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.
1．離散型隨機變量
隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列及性質
(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)離散型隨機變量的分布列的性質
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
3．離散型隨機變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術平方根為隨機變量X的標準差．
4．均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數)
典例　某射手有5發子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數ξ的分布列．
錯解展示
現場糾錯
解　P(ξ＝1)＝0.9，
P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，
P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，
P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9，
P(ξ＝5)＝0.14＝0.000 1.
∴ξ的分布列為
ξ 1 2 3 4 5
P 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1
糾錯心得　(1)隨機變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應的事件及其概率．
(2)驗證隨機變量的概率和是否為1.
1．拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數之和為X，那么X＝4表示的事件是(　　)
A．一顆是3點，一顆是1點
B．兩顆都是2點
C．甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點
D．以上答案都不對
答案　C
解析　根據拋擲兩顆骰子的試驗結果可知，C正確．
2．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數，則P(X＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
答案　C
解析　設X的分布列為
X 0 1
P p 2p
即“X＝0”表示試驗失敗，“X＝1”表示試驗成功，由p＋2p＝1，得p＝，故選C.
3．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，則D(ξ)等于(　　)
A．8 B．5
C．10 D．12
答案　A
解析　E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
D(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
4．隨機變量ξ的分布列如圖所示，其中a，b，c成等差數列，若E(ξ)＝，則D(ξ)＝________.
ξ -1 0 1
P a b c
答案　
解析　由分布列的性質可得a＋b＋c＝1，由期望公式可得，(－1)×a＋0×b＋1×c＝，由等差數列知，a＝c＝2b，綜上，解得a＝，b＝，c＝.代入方差計算公式即可得結果．
1．某射手射擊所得環數X的分布列為
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
則此射手“射擊一次命中環數大于7”的概率為(　　)
A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51
答案　C
解析　根據X的分布列知，所求概率為0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
2．設X是一個離散型隨機變量，其分布列為
X －1 0 1
P 1－2q q2
則q等于(　　)
A．1 B．1± C．1－ D．1＋
答案　C
解析　由題意知
即解得q＝1－.
3．從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P＝＝.
4．一只袋內裝有m個白球，n－m個黑球，連續不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了X個白球，下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
答案　D
解析　由超幾何分布知P(X＝2)＝.
5．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數目X的均值為(　　)
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
答案　C
解析　X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為
X 3 2 1 0
P 0.6 0.24 0.096 0.064
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
6．袋中裝有大小完全相同，標號分別為1,2,3，…，9的九個球．現從袋中隨機取出3個球．設ξ為這3個球的標號相鄰的組數(例如：若取出球的標號為3,4,5，則有兩組相鄰的標號3,4和4,5，此時ξ的值是2)，則隨機變量ξ的均值E(ξ)為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　依題意得，ξ的所有可能取值是0,1,2.
且P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
7．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數高者勝)，則X的所有可能取值是________．
答案　－1,0,1,2,3
解析　X＝－1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題目都答錯了，
X＝0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題目，
X＝1，甲搶到1題且答對，乙搶到2題且至少答錯1題或甲搶到3題，且1錯2對，
X＝2，甲搶到2題均答對，
X＝3，甲搶到3題均答對．
8．設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若隨機變量Y＝|X－2|，則P(Y＝2)＝________.
答案　0.5
解析　由分布列的性質，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
9．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，則P(2<ξ≤5)＝________.
答案　
解析　P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)
＝＋＋＝.
10．兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數ξ的均值E(ξ)＝________.
答案　
解析　兩封信投入A，B，C三個空郵箱，投法種數是32＝9，
A中沒有信的投法種數是2×2＝4，概率為，
A中僅有一封信的投法種數是C×2＝4，概率為，
A中有兩封信的投法種數是1，概率為，
故A郵箱的信件數ξ的均值
E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.
11．一射擊測試中每人射擊三次，每擊中目標一次記10分，沒有擊中記0分．某人每次擊中目標的概率為，則此人得分的均值與方差分別為________，________.
答案　20　
解析　記此人三次射擊擊中目標次數為X，得分為Y，
則X～B(3，)，Y＝10X，
∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，
D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.
12．一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設每一個球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個球，其中白球的個數為X，則X的均值是________．
答案　
解析　根據題意知X＝0,1,2，
而P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
*13.某高校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”．
(1)若隨機選出的2名校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)當n＝12時，設選出的2位校友代表中女校友人數為ξ，求ξ的分布列和均值．
解　(1)設選出2人為“最佳組合”記為事件A，
則事件A發生的概率P(A)＝＝.
依題意≥，化簡得n2－25n＋144≤0，
∴9≤n≤16，故n的最大值為16.
(2)由題意，ξ的可能取值為0,1,2，且ξ服從超幾何分布，
則P(ξ ＝k)＝(k＝0,1,2)，
∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋擲均勻硬幣一次，出現正面的次數是隨機變量．(　 　)
(2)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現象．(　 　)
(3)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(　 　)
(4)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　 　)
(5)均值是算術平均數概念的推廣，與概率無關．(　 　)
(6)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小．(　 　)
無
題型一　離散型隨機變量分布列的性質
例1　(1)設X是一個離散型隨機變量，其分布列為
X －1 0 1
P 2－3q q2
則q等于________．
(2)設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，則實數a的值為(　　)
A．1 B. C. D.
　已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，則P(2A. B. C. D.
題型二　離散型隨機變量分布列的求法
例2　連續拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數為ai，若存在正整數k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為你的幸運數字．
(1)求你的幸運數字為3的概率；
(2)若k＝1，則你的得分為6分；若k＝2，則你的得分為4分；若k＝3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數字，則記0分，求得分ξ的分布列．
　袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.
題型三　離散型隨機變量的均值與方差
例3　在2016年全國高校自主招生考試中，某高校設計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題．規定：至少正確回答其中2題的便可通過．已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；且每題正確回答與否互不影響．寫出甲考生正確回答題數的分布列，并計算其均值和方差．
　某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為(　　)
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
1．離散型隨機變量
隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列及性質
(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)離散型隨機變量的分布列的性質
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
3．離散型隨機變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術平方根為隨機變量X的標準差．
4．均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數)
典例　某射手有5發子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數ξ的分布列．
1．拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數之和為X，那么X＝4表示的事件是(　　)
A．一顆是3點，一顆是1點
B．兩顆都是2點
C．甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點
D．以上答案都不對
2．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數，則P(X＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
3．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，則D(ξ)等于(　　)
A．8 B．5
C．10 D．12
答案　A
4．隨機變量ξ的分布列如圖所示，其中a，b，c成等差數列，若E(ξ)＝，則D(ξ)＝________.
ξ -1 0 1
P a b c
1．某射手射擊所得環數X的分布列為
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
則此射手“射擊一次命中環數大于7”的概率為(　　)
A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51
2．設X是一個離散型隨機變量，其分布列為
X －1 0 1
P 1－2q q2
則q等于(　　)
A．1 B．1± C．1－ D．1＋
3．從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．一只袋內裝有m個白球，n－m個黑球，連續不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了X個白球，下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
5．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數目X的均值為(　　)
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
6．袋中裝有大小完全相同，標號分別為1,2,3，…，9的九個球．現從袋中隨機取出3個球．設ξ為這3個球的標號相鄰的組數(例如：若取出球的標號為3,4,5，則有兩組相鄰的標號3,4和4,5，此時ξ的值是2)，則隨機變量ξ的均值E(ξ)為(　　)
A. B.
C. D.
7．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數高者勝)，則X的所有可能取值是________．
8．設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若隨機變量Y＝|X－2|，則P(Y＝2)＝________.
9．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，則P(2<ξ≤5)＝________.
10．兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數ξ的均值E(ξ)＝________.
11．一射擊測試中每人射擊三次，每擊中目標一次記10分，沒有擊中記0分．某人每次擊中目標的概率為，則此人得分的均值與方差分別為________，________.
12．一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設每一個球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個球，其中白球的個數為X，則X的均值是________．
*13.某高校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”．
(1)若隨機選出的2名校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)當n＝12時，設選出的2位校友代表中女校友人數為ξ，求ξ的分布列和均值．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“互斥”與“相互獨立”都是描述的兩個事件間的關系．(　√　)
(2)相互獨立事件就是互斥事件．(　×　)
(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)
(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)
無
題型一　相互獨立事件的概率
例1　為了分流地鐵高峰的壓力，某市發改委通過聽眾會，決定實施低峰優惠票價制度．不超過22千米的地鐵票價如下表：
乘坐里程x(單位：km) 0票價(單位：元) 3 4 5
現有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過22千米．已知甲、乙乘車不超過6千米的概率分別為，，甲、乙乘車超過6千米且不超過12千米的概率分別為，.求甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率．
解　由題意可知，甲、乙乘車超過12千米且不超過22千米的概率分別為，，
則甲、乙兩人所付乘車費用相同的概率
P1＝×＋×＋×＝，
所以甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝.
思維升華　求相互獨立事件同時發生的概率的方法
(1)首先判斷幾個事件的發生是否相互獨立．
(2)求相互獨立事件同時發生的概率的方法主要有：
①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
　甲、乙兩隊進行排球決賽．現在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　設Ai (i＝1,2)表示繼續比賽時，甲在第i局獲勝；B事件表示甲隊獲得冠軍，則B＝A1＋A2，
∴P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋×＝.
題型二　獨立重復試驗
例2　甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果相互獨立．分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率．
解　設“甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利”分別為事件A，B，C，則P(A)＝××＝，
P(B)＝C2××＝，
P(C)＝C2×2×＝.
思維升華　在求n次獨立重復試驗中事件恰好發生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率．
　投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且每次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　)
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
答案　A
解析　所求概率為C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.
題型三　二項分布的均值、方差
例3　某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A和B，系統A和系統B在任意時刻發生故障的概率分別為和p.
(1)若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為，求p的值；
(2)設系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
解　(1)設“至少有一個系統不發生故障”為事件C，那么
1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)由題意，得隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3，
則P(ξ＝0)＝3＝，
P(ξ＝1)＝C×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝3＝.
∴隨機變量ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
故隨機變量ξ的均值
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或∵ξ～B(3，)，∴E(ξ)＝3×＝.)
思維升華　在根據獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數n和變量的概率，求得概率，列出分布列．
　某種種子每粒發芽的概率都為0.9，現播種了1 000粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的均值為(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
答案　B
解析　記不發芽的種子數為Y，則Y～B(1 000,0.1)，
∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，
∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.
1．相互獨立事件
(1)設A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(3)若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立．
2．二項分布
(1)一般地，在相同條件下重復做的幾次試驗稱為n次獨立重復試驗．
(2)一般地，在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．
3．兩點分布與二項分布的均值、方差
(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
典例　(1)中國乒乓球隊甲、乙兩名運動員參加奧運乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是，乙奪得冠軍的概率是，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________．
(2)某射手每次射擊擊中目標的概率都是，這名射手射擊5次，有3次連續擊中目標，另外兩次未擊中目標的概率是________．
錯解展示
解析　　(1)設“甲奪得冠軍”為事件A，“乙奪得冠軍”為事件B，則P(A)＝，P(B)＝，由A、B是相互獨立事件，得所求概率為P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×＋×＋×＝＝.
(2)所求概率P＝C×()3×()2＝.
答案　(1)　(2)
現場糾錯
解析　(1)設“甲奪得冠軍”為事件A，“乙奪得冠軍”為事件B，則P(A)＝，P(B)＝.
∵A、B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)設“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射擊中，有3次連續擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則
P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)
＋P(12A3A4A5)
＝3×2＋×3×＋2×3＝.
答案　(1)　(2)
糾錯心得　(1)搞清事件之間的關系，不要混淆“互斥”與“獨立”．
(2)區分獨立事件與n次獨立重復試驗.
1．甲、乙兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　設事件A：甲實習生加工的零件為一等品；
事件B：乙實習生加工的零件為一等品，
則P(A)＝，P(B)＝，
所以這兩個零件中恰有一個一等品的概率為
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×(1－)＋(1－)×＝.
2．小王通過英語聽力測試的概率是，他連續測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　所求概率P＝C·()1·(1－)3－1＝.
3．國慶節放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為________．
答案　
解析　記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，又P( )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝，
“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的對立事件為“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率為1－P( )＝1－＝.
4．拋擲兩枚骰子，當至少一枚5點或一枚6點出現時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數的均值為________．
答案　
解析　拋擲兩枚骰子，當兩枚骰子不出現5點和6點時的概率為×＝，所以至少有一次出現5點或6點的概率為1－＝，用X表示10次試驗中成功的次數，則X～B(10，)，E(X)＝10×＝.
1．一射手對同一目標進行4次射擊，且射擊結果之間互不影響．已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　設此射手未命中目標的概率為p，則1－p4＝，
所以p＝，故1－p＝.
2．已知A，B是兩個相互獨立事件，P(A)，P(B)分別表示它們發生的概率，則1－P(A)P(B)是下列哪個事件的概率(　　)
A．事件A，B同時發生
B．事件A，B至少有一個發生
C．事件A，B至多有一個發生
D．事件A，B都不發生
答案　C
解析　P(A)P(B)是指A，B同時發生的概率，1－P(A)·P(B)是A，B不同時發生的概率，即事件A，B至多有一個發生的概率．
3．甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是.現在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　設“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，“丙命中目標”為事件C，則擊中目標表示事件A，B，C中至少有一個發生．又P( )＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.
故目標被擊中的概率P＝1－P( )＝.
4．一袋中有5個白球，3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現10次時停止，設停止時共取了X次球，則P(X＝12)等于(　　)
A．C()10()2 B．C()9()2
C．C()9()2 D．C()10()2
答案　D
解析　“X＝12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，
因此P(X＝12)＝C()9()2＝C()10()2.
5．設隨機變量X服從二項分布X～B(5，)，則函數f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵函數f(x)＝x2＋4x＋X存在零點，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服從X～B(5，)，
∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝.
6．已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，則二項分布的參數n，p的值分別為(　　)
A．4,0.6 B．6,0.4
C．8,0.3 D．24,0.1
答案　B
解析　由二項分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故選B.
7．如圖所示的電路有a，b，c三個開關，每個開關開或關的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為________．
答案　
解析　燈泡甲亮滿足的條件是a，c兩個開關都開，b開關必須斷開，否則短路．設“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應為事件AC，且A，B，C之間彼此獨立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝，由獨立事件概率公式知P(AC)＝P(A)P()P(C)＝××＝.
8．設隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥1)＝________.
答案　
解析　∵X～B(2，p)，
∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，
解得p＝.又Y～B(3，p)，
∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
9．設事件A在每次試驗中發生的概率相同，且在三次獨立重復試驗中，若事件A至少發生一次的概率為，則事件A恰好發生一次的概率為________．
答案　
解析　設事件A發生的概率為p，由題意知(1－p)3＝1－＝，解得p＝，則事件A恰好發生一次的概率為C××()2＝.
10．國慶節放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為、.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為________．
答案　
解析　用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人去北京旅游這一事件，三人均不去的概率為P( )＝P()·P()·P()＝××＝.故至少有一人去北京旅游的概率為1－＝.
11．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數X的均值是________．
答案　
解析　由題意可知，在一次試驗中，試驗成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P＝1－×＝，
∵2次獨立試驗成功次數X滿足二項分布X～B，
則E(X)＝2×＝.
12．某同學手里有三個球，依次投向編號為①②③的三個盒子，每次投一個球．假定該同學將球投進①號盒子的概率為，投進②號和③號盒子的概率均為p(0答案　　
解析　由P(ξ＝0)＝(1－)(1－p)(1－p)＝，013．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：
作物產量(kg) 300 500
概率 0.5 0.5
作物市場價格(元/kg) 6 10
概率 0.4 0.6
(1)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；
(2)若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率．
解　(1)設A表示事件“作物產量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6 元/kg”，
由題設知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
因為利潤＝產量×市場價格－成本．
所以X所有可能的取值為
500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()
＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
故X的分布列為
X 4 000 2 000 800
P 0.3 0.5 0.2
(2)設Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i＝1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，
3季的利潤均不少于2 000元的概率為
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為
P(1C2C3)＋P(C12C3)＋P(C1C23)
＝3×0.82×(1－0.8)＝0.384，
所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512＋0.384＝0.896.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“互斥”與“相互獨立”都是描述的兩個事件間的關系．(　 　)
(2)相互獨立事件就是互斥事件．(　 　)
(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　 　)
(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.(　 　)
無
題型一　相互獨立事件的概率
例1　為了分流地鐵高峰的壓力，某市發改委通過聽眾會，決定實施低峰優惠票價制度．不超過22千米的地鐵票價如下表：
乘坐里程x(單位：km) 0票價(單位：元) 3 4 5
現有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過22千米．已知甲、乙乘車不超過6千米的概率分別為，，甲、乙乘車超過6千米且不超過12千米的概率分別為，.求甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率．
　甲、乙兩隊進行排球決賽．現在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為(　　)
A. B.
C. D.
題型二　獨立重復試驗
例2　甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果相互獨立．分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率．
　投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且每次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　)
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
題型三　二項分布的均值、方差
例3　某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A和B，系統A和系統B在任意時刻發生故障的概率分別為和p.
(1)若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為，求p的值；
(2)設系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
　某種種子每粒發芽的概率都為0.9，現播種了1 000粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的均值為(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
1．相互獨立事件
(1)設A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(3)若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立．
2．二項分布
(1)一般地，在相同條件下重復做的幾次試驗稱為n次獨立重復試驗．
(2)一般地，在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．
3．兩點分布與二項分布的均值、方差
(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
典例　(1)中國乒乓球隊甲、乙兩名運動員參加奧運乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是，乙奪得冠軍的概率是，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________．
(2)某射手每次射擊擊中目標的概率都是，這名射手射擊5次，有3次連續擊中目標，另外兩次未擊中目標的概率是________．
1．甲、乙兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為(　　)
A. B. C. D.
2．小王通過英語聽力測試的概率是，他連續測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．國慶節放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為________．
4．拋擲兩枚骰子，當至少一枚5點或一枚6點出現時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數的均值為________．
1．一射手對同一目標進行4次射擊，且射擊結果之間互不影響．已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為(　　)
A. B. C. D.
2．已知A，B是兩個相互獨立事件，P(A)，P(B)分別表示它們發生的概率，則1－P(A)P(B)是下列哪個事件的概率(　　)
A．事件A，B同時發生
B．事件A，B至少有一個發生
C．事件A，B至多有一個發生
D．事件A，B都不發生
3．甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是.現在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為(　　)
A. B.
C. D.
4．一袋中有5個白球，3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現10次時停止，設停止時共取了X次球，則P(X＝12)等于(　　)
A．C()10()2 B．C()9()2
C．C()9()2 D．C()10()2
5．設隨機變量X服從二項分布X～B(5，)，則函數f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是(　　)
A. B. C. D.
6．已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，則二項分布的參數n，p的值分別為(　　)
A．4,0.6 B．6,0.4
C．8,0.3 D．24,0.1
7．如圖所示的電路有a，b，c三個開關，每個開關開或關的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為________．
8．設隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥1)＝________.
9．設事件A在每次試驗中發生的概率相同，且在三次獨立重復試驗中，若事件A至少發生一次的概率為，則事件A恰好發生一次的概率為________．
10．國慶節放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為、.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為________．
11．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數X的均值是________．
12．某同學手里有三個球，依次投向編號為①②③的三個盒子，每次投一個球．假定該同學將球投進①號盒子的概率為，投進②號和③號盒子的概率均為p(013．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：
作物產量(kg) 300 500
概率 0.5 0.5
作物市場價格(元/kg) 6 10
概率 0.4 0.6
(1)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；
(2)若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率．

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