資源簡介

專項(xiàng)訓(xùn)練九　利用“將軍飲馬”解決線段最值問題
模型一　“一線兩點(diǎn)”型(一動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn))
類型一　異側(cè)線段和最小值問題
問題:兩定點(diǎn)A,B位于直線l異側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使PA+PB值最小.
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,PA+PB的最小值即為線段AB長.如圖,連接AB交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.
① 如圖,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,3),B(0,-3),在x軸上找一點(diǎn)P,使線段PA+PB的值最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　　　.
類型二　同側(cè)線段和最小值問題
問題:兩定點(diǎn)A,B位于直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB值最小.
將兩定點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題,同類型一即可解決.如圖,作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
② (2024·成都)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(3,0),B(0,2),過點(diǎn)B作y軸的垂線l,P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),連接PO,PA,則PO+PA的最小值為　　　　.
類型三　同側(cè)差最大值問題
問題:兩定點(diǎn)A,B位于直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得|PA-PB|的值最大.
根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊,|PA-PB|≤AB,當(dāng)A,B,P三點(diǎn)共線時(shí),等號成立,即|PA-PB|的最大值為線段AB的長.如圖,連接AB并延長,與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
③ 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=3,點(diǎn)D在邊BC上.將△ACD沿AD折疊,使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處,連接BC',則AB-AC'的最大值為　　　　.
類型四　異側(cè)差最大值問題
問題:兩定點(diǎn)A,B位于直線l異側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得|PA-PB|的值最大.
將異側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè),同類型三即可解決.如圖.
④ (2024·滄州模擬)如圖,已知△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°,P為CD上的動(dòng)點(diǎn),則|PA-PB|的最大值為　　　　.
模型二　“一點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn))
類型一　周長最小型
問題:點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一定點(diǎn),在OA上找一點(diǎn)M,在OB上找一點(diǎn)N,使得△PMN周長最小.
要使△PMN周長最小,即PM+PN+MN值最小,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可.如圖.
⑤ (2024·綏化)如圖,已知∠AOB=50°,點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)M為射線OA、點(diǎn)N為射線OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PMN的周長最小時(shí),則∠MPN=　　　　.
類型二　兩條線段之和最小型
問題:點(diǎn)P是∠AOB的內(nèi)部一定點(diǎn),在OA上找一點(diǎn)M,在OB上找一點(diǎn)N,使得PN+MN最小.
要使PN+MN最小,設(shè)法將PN,MN轉(zhuǎn)化在同一條直線上,如圖,作點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P',即求P'N+MN的最小值,因此只要P'M⊥OA,利用垂線段最短即可求解.
⑥ 如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E,F分別在邊DC,BC上,且BF=CE,AE平分∠CAD,連接DF,分別交AE,AC于點(diǎn)G,M,P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PN⊥AC,垂足為N,連接PM,有下列四個(gè)結(jié)論:①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值為3;③CF2=GE·AE;④S△ADM=6.其中正確的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③
【詳解答案】
對應(yīng)練習(xí)
1.(2,0)　解析:連接AB,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.
∵點(diǎn)A(4,3),點(diǎn)B(0,-3),
∴解得
∴直線AB的解析式為y=x-3.當(dāng)y=0時(shí),則0=x-3,解得x=2.∴P(2,0).
2.5　解析:取點(diǎn)O'(0,4),連接O'P,O'A,如圖,
∵B(0,2),過點(diǎn)B作y軸的垂線l,
∴點(diǎn)O'(0,4)與點(diǎn)O(0,0)關(guān)于直線l對稱,
∴PO'=PO,
∴PO+PA=PO'+PA≥O'A,
即PO+PA的最小值為O'A的長.
在Rt△O'AO中,
∵OA=3,OO'=4,
∴由勾股定理,得O'A==5,
∴PO+PA的最小值為5.
3.3-3　　解析:∵∠C=90°,CA=CB=3,∴AB==3.由折疊的性質(zhì)可知AC=AC'=3.∵BC'≥AB-AC',∴當(dāng)A,C',B三點(diǎn)在同一條直線時(shí),AB-AC'取最大值,最大值即為BC'=AB-AC'=3-3.
4.4　解析:如圖,作A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A',連接A'B交CD于P,則點(diǎn)P就是使|PA-PB|的值最大的點(diǎn),|PA-PB|=A'B,連接A'C,
∵△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,∴∠CAB=∠ABC=45°,∠ACB=90°.∵∠BCD=15°,∴∠ACD=75°.∵A,A'關(guān)于CD對稱,∴AA'⊥CD,AC=A'C,∠ACD=∠A'CD=75°,∴∠ACA'=150°.∵∠ACB=90°.∴∠A'CB=60°.∵BC=AC=A'C,∴△A'BC是等邊三角形.
∴|PA-PB|=A'B=BC=4.
5.80°　解析:如圖,作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)E,連接EP,EO,EM,OP,
∴EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP.
作點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)F,連接NF,PF,OF,
∴PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF,
∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,
∴當(dāng)E,M,N,F共線時(shí),△PMN周長最短.
又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,
∠AOB=∠MOP+∠PON,
∴∠EOF=2∠AOB,
又∵∠AOB=50°,
∴∠EOF=100°.
∵在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,
∴∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°.
∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,
∴∠MPO+∠OPN=80°,
∴∠MPN=∠MPO+OPN=80°.
6.D　解析:∵四邊形ABCD為正方形,∴BC=CD=AD,∠ADE=∠DCF=90°.∵BF=CE,∴DE=CF.∴△ADE≌△DCF(SAS).∴∠DAE=∠FDC.∵∠ADE=90°,∴∠ADG+∠FDC=90°.∴∠ADG+∠DAE=90°.
∴∠AGD=∠AGM=90°.
∵AE平分∠CAD,
∴∠DAG=∠MAG.∵AG=AG,
∴△ADG≌△AMG(ASA).
∴DG=GM,∵∠AGD=∠AGM=90°,
∴AE垂直平分DM,故①正確.由①可知,∠ADE=∠DGE=90°,∠DAE=∠GDE,∴△ADE∽△DGE.
∴.∴DE2=GE·AE,由①可知DE=CF,∴CF2=GE·AE.故③正確.∵四邊形ABCD為正方形,且邊長為4,∴AB=BC=AD=4,∴在Rt△ABC中,AC=AB=4.由①可知,△ADG≌△AMG(ASA),∴AM=AD=4.∴CM=AC-AM=4-4.由圖可知,△DMC和△ADM等高,設(shè)高為h,∴S△ADM=S△ADC-S△DMC,∴,∴h=2.
∴S△ADM=·AM·h=×4×2=4.故④不正確.由①可知,△ADG≌△AMG(ASA).
∴DG=GM,∴M關(guān)于線段AG的對稱點(diǎn)為D,過點(diǎn)D作DN'⊥AC,交AC于N',交AE于P',∴PM+PN最小即為DN',如圖所示,由④可知△ADM的高h(yuǎn)=2即為圖中的DN',∴DN'=2.故②不正確.綜上所述,正確的是①③.故選D.

展開更多......

收起↑