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專項訓練八　圖形折疊的相關計算
類型　與折疊有關的計算常用性質
折疊問題的本質是全等變換,折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形.
(1)線段相等:C'D=CD,BC'=BC.
(2)角度相等:∠1=∠2,∠3=∠4.
(3)全等關系:△BC'D≌△BCD.
折痕可看作垂直平分線(對應點之間的連線被折痕垂直平分).
折痕可看作角平分線(對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等).
以矩形折疊為例,列舉以下幾種類型:
折法一　如圖,點P為矩形ABCD邊AD上一點,當點P與點D重合時,沿BP將△ABP折疊至△EBP,BE交CD于點H.
① (2024·雅安)如圖,把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊,使點C落在點E處,BE與AD交于點F,若AB=6,BC=8,則cos∠ABF的值是　　　　.
折法二　如圖,點P在AD上,將△ABP沿BP折疊至△EBP,點A落在CD邊的點E處.
拓展類型
圖1　 圖2 (點P為AD的中點)圖3
②(2024·眉山)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上,把△ADE沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,則cos∠CEF的值為 (　　)
A. B. C. D.
③ (2024·石家莊二模)如圖,矩形ABCD中,AD=10,CD=6,點E為射線AB上的一個動點,將△ADE沿DE翻折,點A的對應點為A1.
(1)若點A1落在BC邊上,則A1B=　　　　.
(2)在點E運動過程中,A1B的最小值為　　　　.
(3)若∠A1DC=30°,則線段AA1的長為　　　　.
折法三　如圖,矩形ABCD中,點E,F分別在AD,BC上,沿EF將四邊形AEFB折疊至A'EFB'后,B'落在AD上.
④ 如圖,小雨要用一個長方形紙片ABCD折疊一個小兔子,第一步沿OG折疊,使點B落到CD邊上的點B'處,若∠GB'C'=35°,則∠BOG= (　　)
A.65° B.62.5° C.55° D.52.5°
折法四　如圖,矩形ABCD中,點E,F分別在AD,BC上,沿EF將四邊形ABFE折疊至A'B'FE后,點B'落在CD上.
拓展類型
⑤ (2024·威海)將一張矩形紙片(四邊形ABCD)按如圖所示的方式對折,使點C落在AB上的點C'處,折痕為MN,點D落在點D'處,C'D'交AD于點E.若BM=3,BC'=4,AC'=3,則DN=　　　　.
⑥ 如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別在邊AD,BC上,將正方形沿著EF翻折,點B恰好落在CD邊上的點B'處,如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5,那么線段FC的長為　　　　.
【詳解答案】
對應練習
1.　解析:由折疊的性質,得∠DBC=∠DBF.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠DBF=∠ADB,
∴BF=DF,
∴AF=AD-DF=8-BF,
在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2,
∴62+(8-BF)2=BF2,
解得BF=,
∴cos∠ABF=.
2.A　解析:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,∠B=∠C=∠D=90°,
∴∠CEF+∠EFC=90°.
∵把△ADE沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,
∴AF=AD=8,∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFB+∠EFC=90°,
∴∠CEF=∠BFA.
∵AB=6,AF=8,
∴BF==2,
∴cos∠CEF=cos∠AFB=.
故選A.
3.(1)2　(2)2-10　(3)10或10
解析:(1)設A1B=x,則A1C=10-x,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,點A的對應點為A1,∴∠DAB=∠DA1E=∠C=90°,AD=A1D=10,∴102=62+(10-x)2,解得x=2或x=18(舍去).
∴A1B=2.
(2)∵AD=A1D=10,∴點A1在以D為圓心,以10為半徑的圓上,∴當D,A1,B共線時,A1B取得最小值.∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,∴BD==2,∴A1B最小值為2-10.
(3)如圖,當點A1在射線DC下方時,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,點A的對應點為A1,
∴∠ADC=90°,AD=A1D=10.∵∠A1DC=30°,
∴∠A1DA=60°,∴△A1DA是等邊三角形,∴AA1=AD=A1D=10.
當點A'1在射線DC上方時,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,點A的對應點為A'1,∴∠ADC=90°,AD=A'1D=10,∵∠A'1DC=30°,∴∠A'1DA=120°,∴∠DA'1A=∠DAA'1=30°,過點D作DE1⊥AA'1于點E1,
∴DE1=AD=5,AE1=A'1E1,∴AE1==5,∴AA'1=2AE1=10.
4.B　解析:根據折疊可知,∠OB'C'=∠B=90°,
∵∠GB'C'=35°,∴∠OB'G=55°.
∵AB∥CD,∴∠B'OB=180°-55°=125°.
由折疊可知,∠BOG=∠B'OB=62.5°.故選B.
5.　解析:在Rt△C'BM 中,C'M==5,
由折疊可得 C'M=CM=5,∠D'C'M=∠D'=∠D=∠C=90°,
又∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°,
∴∠BC'M=∠AEC'.
又∵AC'=BM=3,
∴△BC'M≌△AEC'(AAS),
∴BC'=AE=4,MC'=C'E=5,
∴AB=CD=C'D'=7,BC=AD=BM+CM=3+5=8,
∴DE=AD-AE=8-4=4,D'E=C'D'-C'E=7-5=2,
設DN=D'N=a,則EN=4-a,
在Rt△D'EN中,NE2=D'E2+D'N2,即 (4-a)2=a2+22,
解得a=.即DN=.
6.　解析:如圖所示,連接BB',過點F作FH⊥AD于點H,
∵正方形ABCD的邊長為1,四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5,∴S四邊形ABFE=×1=.設CF=x,則DH=x,則BF=1-x.∴S四邊形ABFE=(AE+BF)×AB=,即(AE+1-x)×1=.∴AE=x-.∴DE=1-AE=-x,∴EH=ED-HD=-x-x=-2x,由折疊可得BB'⊥EF,∴BF=B'F,∠1+∠2=∠BGF=90°.∵∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,又FH=BC=1,∠EHF=∠C.∴△EHF≌△B'CB(ASA),∴EH=B'C=-2x.在Rt△B'FC中,B'F2=B'C2+CF2,即(1-x)2=-2x2+x2.解得x=.

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