資源簡介

專項訓練七　求陰影部分的面積
類型一　公式法
S陰影=S扇形MEN
① (2024·石家莊模擬)如圖,△ABC的三個頂點都在5×5的網格(每個小正方形的邊長均為1)的格點上,將△ABC繞點B順時針旋轉到△A'BC'的位置,且點A',C'仍落在格點上,則線段AB掃過的圖形的面積是(　　)
A. B. C. D.
類型二　直接和差法
S陰影=S△ABC-S扇形CAD
② (2024·吉林)某新建學校因場地限制,要合理規劃體育場地.小明繪制的鉛球場地設計圖如圖所示,該場地由☉O和扇形OBC組成,OB,OC分別與☉O交于點A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,則陰影部分的面積為 　　　　m2(結果保留π).
③ 如圖,AB是☉O的直徑,點P是☉O外一點,PA與☉O相切于點A,點C為☉O上的一點,連接PC,AC,OC,且PC=PA.
(1)求證:PC為☉O的切線.
(2)延長PC與AB的延長線交于點D,求證:PD·OC=PA·OD.
(3)若∠CAB=30°,OD=8,求陰影部分的面積.
類型三　間接和差法

S陰影=S扇形EOB+S△OCE-S扇形COD

S陰影=S扇形AOC+S△OBC
④ (2024·泰安)兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置,半圓O'的一個直徑端點與半圓O的圓心重合,若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是 (　　)
A.π- B.π C.π- D.π-
類型四　轉化法
等積轉化法

(CD∥AB)
S陰影=S扇形COD
平移轉化法

S陰影=S正方形BCFE
對稱轉化法

S陰影=S扇形ACB-S△ADC
⑤ (2024·邢臺威縣三模)如圖,菱形ACBD中,AB與CD交于O點,∠ACB=120°,以C為圓心,AC為半徑作弧AB,再以C為圓心,CO為半徑作弧EF分別交AC于點F,BC于點E,若CB=2,則圖中陰影部分的面積為 (　　)
A. B. C. D.
⑥ (2024·遵化二模)如圖,將含60°角的直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉45°后得到△AB'C',點B經過的路徑為弧BB',若∠BAC=60°,AC=3,則圖中陰影部分的面積是 (　　)
A. B. C. D.3π
⑦ (2024·重慶A卷)如圖,在矩形ABCD中,分別以點A和C為圓心,AD長為半徑畫弧,兩弧有且僅有一個公共點.若AD=4,則圖中陰影部分的面積為 (　　)
A.32-8π B.16-4π C.32-4π D.16-8π
【詳解答案】
對應練習
1.B　解析:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=,由題圖可知,線段AB掃過的圖形為扇形ABA',旋轉角為90°,∴線段AB掃過的圖形面積=.故選B.
2.11π　解析:陰影部分的面積為
=
11π(m2).
3.解:(1)證明:∵PA是☉O的切線,
∴∠PAO=90°.
如圖,連接PO.
在△PAO和△PCO中,
∴△PAO≌△PCO(SSS),
∴∠PCO=∠PAO=90°,
∵C為☉O上的一點.
∴PC是☉O的切線.
(2)證明:∵PC是☉O的切線,
∴OC⊥PD,
∴sin D=,
∴PD·OC=PA·OD.
(3)∵,∠CAB=30°,OD=8.
∴∠COD=2∠CAB=60°,
∵OC⊥PD,∴∠D=30°,
∴OC=OD=4,∴CD=4,
∴S陰影=S△OCD-S扇形OBC=×CO×CD-π×CO2=×4×4π×42=8π.
4.A　解析:如圖,連接OA,AO',作AB⊥OO'于點B,
∵OA=OO'=AO'=2,∴△AOO'是等邊三角形,∴∠AOO'=60°,OB=OO'=1,∴AB=,∴S弓形AO=S弓形AO'=S扇形AOO'-S△AOO'=-2×,∴S陰影=S弓形AO+S扇形AO'O=+.故選A.
5.A　解析:∵四邊形ACBD是菱形,∠ACB=120°,∴∠BCD=∠DCA=∠ACB=60°,AB⊥CD,AD=BC=AC=BD=2,∴∠CBA=∠CAB=(180°-∠ACB)=30°,∠AOC=90°,∴OC=AC=×2=1,由勾股定理,得AO=.
∵AC=AD,∠ACD=60°,∴△ACD是等邊三角形,∴CD=AC=2,∴DO=CD-OC=2-1=1,∴陰影部分的面積S=S扇形DCA-S△DOA=×1×.故選A.
6.C　解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=3,∴∠ABC=30°.∴AB=2AC=6.根據旋轉的性質知△ABC≌△AB'C',則S△ABC=S△AB'C',AB=AB'.∴S陰影=S扇形ABB'+S△AB'C'-S△ABC=.故選C.
7.D　解析:如圖,連接AC.
∵兩弧有且僅有一個公共點,AD=4,∴AC=2AD=8,∴在Rt△ADC 中,CD==4,∴S矩形ABCD=AD·CD=16.∵兩個扇形均為圓,而且它們的半徑相等,∴兩個扇形為圓,面積之和為S兩個扇形=πAD2=8π,∴S陰影=S矩形ABCD-S兩個扇形=16-8π.故選D.

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