資源簡介

專項訓練五　常考相似模型
類型一　A字型
有一個公共角(∠A),此時需要找另一對角相等.若題中未明確相似三角形對應頂點,則需要分類討論.
1.圖3和圖5:AC2=AD·AB.
2.圖5:(1)CD2=AD·BD.
(2)BC2=BD·AB.
① (2024·湖南)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,錯誤的是 (　　)
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
② (2024·河北模擬)手影游戲利用的物理原理是光是沿直線傳播的.圖1中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲.在一次游戲中,小明距離墻壁2米,爸爸拿著的光源與小明的距離為4米,如圖2所示,若在光源不動的情況下,要使小狗手影的高度增加一倍,則光源與小明的距離應 (　　)
圖1　 圖2
A.增加1米 B.減少1米 C.增加2米 D.減少2米
類型二　8字型
如圖,有一組隱含的等角(對頂角),此時需從已知條件、圖中隱含條件或通過證明得另一對角相等.
(AB∥CD)　 　(∠A=∠C或∠B=∠D)
③ (2023·陜西)如圖,DE是△ABC的中位線,點F在DB上,DF=2BF,連接EF并延長,與CB的延長線相交于點M.若BC=6,則線段CM的長為 (　　)
A. B.7 C. D.8
④ (2024·遼寧)如圖,AB∥CD,AD與BC相交于點O,且△AOB與△DOC的面積比是1∶4,若AB=6,則CD的長為　　　　.
類型三　一線三等角型(K型)
1.點P在線段AB上(同側型).
銳角一線三等角 一線三垂直 鈍角一線三等角
2.點P在線段AB的延長線上(異側型).
銳角一線三等角　 一線三垂直　 鈍角一線三等角
3.如圖1,2,3,其中∠1=∠2=∠3,可根據∠1=180°-∠4-∠5,∠2=180°-∠4-∠6得∠5=∠6,可得圖中兩陰影部分三角形相似.
圖1 圖2 圖3 圖4
4.如圖4,其中∠1=∠2=∠3,∠2=∠6+∠7,
可根據∠3=∠5+∠7得∠5=∠6,可得圖中兩陰影部分三角形相似.
如圖1, 當D為BC的中點時,△BDE∽△CFD∽△DFE.
一線三垂直常存在的圖形背景
⑤ 如圖,在△ABC中,AB=AC,點P,D分別是BC,AC邊上的點,且∠APD=∠B.
(1)求證:AC·CD=CP·BP.
(2)若AB=10,BC=12,當PD∥AB時,求BP的長.
⑥ (2024·鹽城)如圖,點C在以AB為直徑的☉O上,過點C作☉O的切線l,過點A作AD⊥l,垂足為D,連接AC,BC.
(1)求證:△ABC∽△ACD.
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半徑.
類型四　手拉手模型
手拉手相似模型特點:非等腰,共頂角,旋轉得相似.
①△ABD∽△ACE;②兩條拉手線CE,BD所在直線的夾角與∠BAC相等或互補.
⑦ 如圖, 在△ABC中,AB=5,AC=3,將△ABC繞點A旋轉后與△AB'C'重合,連接BB',CC',則的值為　　　　.
【詳解答案】
對應練習
1.D　解析:∵點D,E分別為邊AB,AC的中點,
∴DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,BC=2DE.
故A,C選項不符合題意.
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
故B選項不符合題意.
∵△ADE∽△ABC,
∴=2=,
則S△ADE=S△ABC.
故D選項符合題意.故選D.
2.D　解析:如圖1,點O為光源,AB表示小明的手,CD表示小狗手影,則AB∥CD,過點O作OE⊥AB,延長OE交CD于點F,則OF⊥CD,
圖1
∵AB∥CD,∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC,
∴△AOB∽△COD,∴.
∵EF=2米,OE=4米,則OF=6米,
∴,
設AB=2k,則CD=3k,
∵在光源不動的情況下,要使小狗手影的高度增加一倍,如圖2,
圖2
即AB=2k,
C'D'=6k,
∵△AO'B∽△C'O'D',
∴,
則O'E'=2米,
∴光源與小明的距離減少OE-O'E'=4-2=2(米),
故選D.
3.C　解析:∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=BC.
∵BC=6,∴DE=BC=3.
∵DE∥BC,
∴△DEF∽△BMF.
∴,∵DF=2BF,∴=2,∴BM=,
∴CM=+6=.故選C.
4.12　解析:∵AB∥CD,
∴△AOB∽△DOC,
∴=2=,
∴.
∵AB=6,
∴,
∴DC=12.
5.解:(1)證明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,
∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B,
∠APC=∠APD+∠CPD,
∴∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD,∴,
∴AB·CD=PC·BP.
∵AB=AC,∴AC·CD=CP·BP.
(2)∵PD∥AB,
∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.
又∵∠B=∠B,
∴△BAP∽△BCA,∴.
∵AB=10,BC=12,∴,
∴BP=.
6.解:(1)證明:如圖,連接OC,
∵l是☉O的切線,
∴OC⊥l.
∵AD⊥l,
∴OC∥AD,
∴∠CAD=∠ACO=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD.
(2)∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD==3.
∵△ABC∽△ACD,
∴,
∴,
∴AB=,
∴☉O的半徑為.
7.　解析:由旋轉得△ABC≌△AB'C',
∴AB= AB',AC=AC',∠BAC=
∠B'AC'.
∴∠BAB'=∠CAC',且,
∴△ABB'∽△ACC'.
∴=2=2=.

展開更多......

收起↑