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專項訓練三　與角平分線有關的幾何問題
類型一　運用角平分線定理
圖形中出現角平分線上一點到一邊的垂線,考慮過該點作另一邊的垂線.
已知,點P是∠MON的平分線上一點,PA⊥OM于點A.
【結論】PB=PA,Rt△AOP≌Rt△BOP.
① 如圖,OP平分∠AOB,∠AOB=60°,PD⊥OA于點D,E是射線OB上的一個動點,若OP=6,則PE的最小值為 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
② (2024·滄州南皮縣二模)如圖,已知∠ABC,以點B為圓心,以任意長為半徑作弧分別交射線BA,BC于 點M,N,分別以點M,N為圓心,大于MN的長為半徑作弧,兩弧相交于點P;在射線BC上取點H,以點H為圓心,以線段BH長為半徑作弧交射線BP于點D;點E,F分別在射線BA,HD上,∠AEF=68°,射線EF,BD交于點G,∠FDG=39°,則∠EGB= (　　)
A.29° B.30° C.38° D.39°
③ (2023·南充)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交AC,AB于點M,N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧在∠CAB的內部相交于點P,畫射線AP與BC交于點D,DE⊥AB,垂足為E.則下列結論錯誤的是 (　　)
A.∠CAD=∠BAD B.CD=DE
C.AD=5 D.CD∶BD=3∶5
類型二　構造等腰三角形
情形1　圖形中出現角平分線時,考慮作平行線,構造等腰三角形.
(1)已知,OC是∠AOB的平分線,點P為OC上一點.
【結論】△OPD是等腰三角形.
(2)已知,OC是∠AOB的平分線,點D為OA上一點.
【結論】△OED 是等腰三角形.
情形2　延長垂線,構造等腰三角形,借助三線合一解題.
已知,點P是∠MON平分線上一點,AP⊥OP于點P.
【結論】△AOB是等腰三角形,AP=BP.
④ (2024·秦皇島青龍縣模擬)如圖,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于點D,PC∥OB交OA于點C.若PC=10,則OC=　　　　,PD=　　　　.
⑤ (2023·濰坊)如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足為點E,過點E作EF∥BC,交AC于點F,G為BC的中點,連接FG.求證:FG=AB.
類型三　構造全等三角形
情形1　已知,點P是∠MON的平分線上一點,A是射線OM上任意一點(截長法).
【結論】△OPB≌△OPA.
情形2　已知,在△ABC 中,AD平分∠BAC(補短法).
【結論】△AFD≌△ACD.
⑥ (2024·滄州一模)如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于點D,E是BD的中點,若AB=2BC,AD=5,求CE的長.
⑦ 如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠D=∠B,若AB=4,BC=2,求AD的長.
【詳解答案】
對應練習
1.B　解析:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠POD=∠AOB=30°.
∵PD⊥OA于點D,
∴∠ODP=90°,
∴PD=OP=×6=3.
當PE⊥OB時,PE的值最小,
∵OP平分∠AOB,PD⊥AO,
∴PE=PD=3,
∴PE的最小值是3.故選B.
2.A　解析:由基本作圖得到BP平分∠ABC,BH=DH,
∴∠ABP=∠CBP,∠HBD=∠BDH,
∴∠ABP=∠BDH,
∴FH∥AB,
∴∠EFD=∠AEF=68°.
∵∠FDG=39°,
∴∠EGB=∠EFD-∠FDG=68°-39°=29°.故選A.
3.C　解析:由作圖方法可知,AD是∠BAC的平分線,∴∠CAD=∠BAD.故A結論正確,不符合題意;∵∠C= 90°,DE⊥AB,∴CD=DE,故B結論正確,不符合題意;在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==8,∵S△ABC=S△ACD+S△BAD,∴AC·BC=CD·AC+AB·DE.∴×6×8=×6CD+×10CD.∴CD=3.∴AD==3,故C結論錯誤,符合題意;BD=BC-CD=5,∴CD∶BD=3∶5,故D結論正確,不符合題意.故選C.
4.10　5　解析:∵OP平分∠AOB,
∴∠AOP=∠BOP.
∵PC∥OB,
∴∠CPO=∠BOP,
∴∠CPO=∠AOP,
∴PC=OC.
∵PC=10,
∴OC=PC=10.
如圖,過點P作PE⊥OA于點E,
∵PD⊥OB,OP平分∠AOB,
∴PD=PE.
∵PC∥OB,∠AOB=30°,
∴∠ECP=∠AOB=30°.
在Rt△ECP中,PE=PC=5,
∴PD=PE=5.
5.證明:∵EF∥BC,
∴∠CEF=∠BCE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE.
∴∠CEF=∠ACE.∴EF=CF.
∵AE⊥CD,
∴∠AED=∠AEC=90°.
又∵∠AED=∠ACE+∠CAE,∠AEC=∠AEF+∠CEF,
∴∠CAE=∠AEF.∴EF=AF.
∴CF=AF,即F為AC的中點.
又∵G為BC的中點,∴FG=AB.
6.解:如圖,延長BC至點F,使得CF=BC,連接DF.
∵AB=2BC,∴BF=BA.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠FBD.
∵BD=BD,∴△BDF≌△BDA.
∴DF=DA=5.
∵E為BD的中點,
∴CE為△BDF 的中位線,
∴CE=DF=.
7.解:如圖,在AD上取一點E,
使得AE=AB,連接CE,
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠EAC,
∵AB=AE,AC=AC,
∴△BAC≌△EAC(SAS),
∴∠B=∠AEC,BC=EC.
∵∠D=∠B,
∴∠D=∠AEC.
∵∠D+∠ECD=∠AEC,
∴∠D=∠ECD,
∴CE=DE,
∴BC=DE,
∴AD=AE+DE=AB+BC=4+2=6.

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