資源簡介

題型五　圓的綜合題
類型一　折疊問題
　　圓的折疊的實質是軸對稱,具有軸對稱的一切性質:①折疊前后的兩個圖形全等;②對應點的連線被折痕垂直平分;③對應點的連線互相平行,在圓中的折疊問題中要結合圓的性質和定理來進行分析.
(2024·石家莊模擬)已知扇形OAB的半徑為4,∠AOB=90°,點P是OA的中點,點Q是上的一個動點,如圖1,將扇形沿PQ折疊,點A的對應點為A',連接AA'.
(1)如圖2,當點O與點A'重合時,求的長.
(2)在點Q的運動過程中,求點A'與點B之間的最小距離.
(3)如圖3,當Q是上的中點時,求tan∠APQ的值.
圖1　 圖2　 圖3
(2024·河北模擬)如圖1,扇形AOB紙片,∠AOB=90°,OA=10,P是半徑OB上的一動點,連接AP,把△AOP沿AP翻折,點O的對稱點為Q,
(1)當AQ⊥AO時,求折痕AP的長.
(2)如圖2,當點Q恰好落在上.
①求線段AP和 的長,并比較大小;(比較大小時可參考數據:π≈3.1,≈1.7)
②求陰影部分的面積(結果保留根號).
圖1　 圖2
類型二　旋轉問題
　　解決圓的旋轉問題的關鍵是充分利用“圖形繞點旋轉只改變圖形的位置而不改變圖形的形狀和大小、各對應點到旋轉中心的距離相等”等性質,并結合圓的相關定理、三角函數等知識進行解答.
(2024·遷安二模)如圖,在正方形ABCD中,AB=3,以點C為圓心,1為半徑作圓,交CD于點E,P是☉C上的任意一點,將點P繞點D順時針方向旋轉90°,得到點Q,連接DP,DQ,AQ,QP.
(1)連接CP,求證:AQ=CP.
(2)當DP與☉C相切于正方形外部時,求線段PQ被☉C所截弦的長.
(3)當DP=時,求劣弧的長度.
　　
備用圖
(2024·滄州一模)如圖1,已知AB是半圓O的直徑,AB=4,點D是線段AB延長線上的一個動點,直線DF垂直于射線AB于點D,在直線DF上選取一點C(點C在點D的上方),使CD=OA,將射線CD繞點D逆時針旋轉,旋轉角為α(0°<α≤90°).
(1)若OD=5,求點C與點O之間距離的最小值.
(2)當射線DC與半圓O相切于點C時,求劣弧的長度.
(3)如圖2,當射線CD與半圓O相交于點C,另一交點為E時,連接AE,OC,若AE∥OC,
①猜想AE與OD的數量關系,并說明理由;
②求此時旋轉角的度數.
圖1　　 圖2
類型三　動點問題
　　所謂“動點問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目,解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用圓的知識解決問題,在變化中找到不變的性質是解決數學“動點”探究題的基本思路.
(2024·廊坊廣陽區一模)在古代,智慧的勞動人民已經會使用“石磨”,其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”,推動“連桿”帶動磨盤轉動,將糧食磨碎,物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構”.
小明受此啟發設計了一個“雙連桿機構”,設計圖如圖1,兩個固定長度的“連桿”AP,BP的連接點P在☉O上,當點P在☉O上轉動時,帶動點A,B分別在射線OM,ON上滑動,OM⊥ON.當AP與☉O相切時,點B恰好落在☉O上,如圖2.請僅就圖2的情形解答下列問題.
(1)求證:∠PAO=2∠PBO.
(2)若☉O的半徑為3,AP=4,求BP的長.
　　　
圖1
　　　
圖2
(2024·邯鄲峰峰礦區三模)如圖,以點O為圓心,OA為半徑作優弧AB,使點B在點O右下方,且OA=20,∠AOB=30°,在優弧AB上任取一點P,過點P作直線OB的垂線,交直線OA于點Q,連接OP.
(1)若優弧AB上一段的長為10π,求∠AOP的度數及OQ的值.
(2)①點Q有可能落在圓O上嗎 請判斷并說明理由.
②當點P在OA上方時,求OQ的最大值,并指出此時直線PQ與AB所在圓的位置關系.
　
備用圖
類型四　動圓問題
　　這類問題通常以圓或扇形的平移、旋轉為背景,考查圓的綜合知識,涉及求特殊位置時角的度數、線段的長度、弧長或扇形面積,一般作為壓軸題出現,近幾年考查的頻率較高,難度較大.解決這類問題時,首先要掌握圓的基本知識和圖形的變化規律,另外,要注意圓的特殊位置可能存在不止一種情況.
(2024·廊坊香河四中三模)在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,點P從點A出發沿AB邊以1 cm/s的速度向點B移動(點P可以與點B重合),同時,點Q從點B出發沿BC以2 cm/s的速度向點C移動(點Q可以與點C重合),其中一點到達終點時,另一點隨之停止運動,設運動時間為t s.
(1)如圖1,幾秒后,PQ的長度等于3 cm(t>0)
(2)如圖1,幾秒后,△BPQ的面積等于四邊形ABCD面積的
(3)若以Q為圓心,PQ為半徑作☉Q.如圖2,若☉Q與四邊形CDPQ的邊有三個公共點,則t的取值范圍為　　　　.(直接寫出結果,不需說明理由)
圖1　 　圖2
(2024·定州三模)在等邊三角形ABC中,AD⊥BC于點D,半圓O的直徑EF開始在邊BC上,且點E與點C重合,EF=4.將半圓O繞點C順時針旋轉α(0°<α≤90°),當α=60°時,半圓O與AD相切于點P,如圖1所示.
(1)求AC的長度.
(2)如圖2,當AC,BC分別與半圓O交于點M,N時,連接MN,OM,ON.
①求∠MON的度數;
②求MN的長度.
(3)當α=90°時,將半圓O沿邊BC向左平移,設平移距離為x,當與△ABC的邊一共有兩個交點時,直接寫出x的取值范圍.
圖1　 圖2 備用圖
【詳解答案】
1.解:(1)如圖1,連接OQ,
∵當點O與點A重合,∴PQ⊥AO,∴∠APQ=∠OPQ=90°.
∴sin∠PQO=.
∴∠PQO=30°.
∵∠AOB=∠APQ=90°,∴PQ∥OB,
∴∠QOB=30°.
∴的長為π.
圖1 　圖2
(2)如圖2,連接BA',PB,PA',
設AA'交PQ于H.
∵將扇形沿PQ折疊,點A的對應點為A',
∴PQ⊥AA',AH=HA'.
∵AP=OP,∴PH∥OA'.
∴OA'⊥AA'.∴∠AA'O=90°.
在Rt△POB中,PB==2.
∵PA'=OA=2,BA'≥PB-PA',
∴BA'的最小值為2-2.
(3)如圖3,作QH⊥OA于H,連接OQ.
∵Q是的中點,∴,
∵∠AOB=90°,∴∠QOH=45°,
∴OH=HQ=2.
∴PH=OH-OP=2-2.
∴tan∠APQ==2+.
圖3
2.解:(1)如圖1,當AQ⊥AO時,AP平分∠OAQ,此時點P與點B重合,
圖1
∴∠OAP=45°,
∴AP=AB.
∵OA=OB=10,∠AOB=90°,
∴AP=AB==10.
(2)①當點Q恰好落在上時,連接OQ,如圖2,
圖2
∵把△AOP沿AP翻折,點O的對稱點為Q,
∴OQ=OA=AQ,
∴△AOQ 為等邊三角形,
∴∠OAQ=∠AOQ=60°,
∴.
∵AP平分∠OAQ,
∴∠OAP=30°,
∴AP=×2=.
∵<,
∴AP>.
②∵∠OAP=30°,∠AOP=90°,
∴OP=,
∴S陰影=S扇形AOB-2S△AOP=
×10××2=25π-.
3.解:(1)證明:由題意,得DP=DQ,∠PDQ=90°.
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠PDQ=90°,
∴∠ADQ=∠PDC.
在△ADQ和△CDP中,
∴△ADQ≌△CDP(SAS),
∴AQ=CP.
(2)連接CP,過點C作CH⊥PQ于點H,設PQ與☉C交于點F,如圖1,
圖1
∵DP與☉C相切于點P,
∴CP⊥PD.
∵DQ=DP,∠PDQ=90°,
∴△PDQ為等腰直角三角形,
∴∠DPQ=45°,
∴∠FPC=45°.
∵CH⊥PQ,
∴△PCH為等腰直角三角形,
∴PH=CH=CP.
∵CP=1,
∴PH=.
∵CH⊥PQ,
∴PH=FH=FP,∴FP=,
∴線段PQ被☉C所截弦的長為.
(3)連接CP,過點P作PM⊥DC,交DC的延長線于點M,如圖2,
圖2
設CM=x,
∵CD=AB=3,
∴DM=3+x.
∵MP2=CP2-MC2,
MP2=DP2-DM2,
∴12-x2=()2-(x+3)2,
∴x=.
∴cos∠MCP=,
∴∠MCP=60°,
∴∠ECP=120°,
∴劣弧的長度=.
4.解:(1)如圖1,當點C在線段OD上時,點C與點O之間的距離最小,
∵CD=OA=2,OD=5,
∴OC=3.
即點C與點O之間距離的最小值為3.
圖1
(2)如圖2,連接OC.
∵OC=OA,CD=OA,
∴OC=CD.
∴∠ODC=∠COD.
∵CD是半圓O的切線,
∴∠OCD=90°.
∴∠DOC=45°.
∴劣弧的長度為.
圖2
(3)①AE=OD.理由如下:
如圖3,連接OE.
∵CD=OA,
∴CD=OC=OE=OA.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AE∥OC,∴∠2=∠3.
設∠1=y,則∠2=∠3=∠4=y.
∴∠AOE=∠OCD=180°-2y.
在△AOE和△OCD中,
∴△AOE≌△OCD(SAS).
∴AE=OD.
②∵∠6=∠1+∠2=2y,OE=OC,
∴∠5=∠6=2y.
∵AE∥OC,
∴∠AEC+∠OCE=180°,
即∠4+∠5+∠6=180°.
∴y+2y+2y=180°,
解得y=36°.
∴∠ODC=36°.
∴旋轉角α=90°-36°=54°.
圖3
5.解:(1)證明:如圖1,連接OP,直線ON與☉O交于另一點C,
圖1
∵AP與☉O相切,
∴OP⊥AP.∴∠APO=90°.
∴∠PAO+∠POA=90°.
∵OM⊥ON,
∴∠POC+∠POA=90°,
∴∠POC=∠PAO.
∵B恰好落在☉O上,
∴∠POC=2∠PBO,
∴∠PAO=2∠PBO.
(2)如圖2,過P作PD⊥BC于點D,
圖2
由(1)可知∠POC=∠PAO,
∠APO=90°,
∵PD⊥BC,∴∠ODP=90°,
∴∠APO=∠ODP,
∴△PDO∽△OPA,
∴.
∵AO2=AP2+OP2,☉O的半徑為3,AP=4,
∴AO==5,
∴.
∴PD=,OD=.
∴BD=OB+OD=3+.
∵在Rt△PBD中,PB2=PD2+BD2,
∴PB==
.
6.解:(1)設∠AOP的度數為n°,直線OB與PQ交于點E,如圖1,
圖1
∵的長為10π,
∴=10π,
∴n=90,
∴∠AOP=90°,
∴∠QOP=90°.
∵∠QOE=∠AOB=30°,∠QEO=90°,
∴∠EQO=60°,
∴OQ=.
(2)①點Q有可能落在圓O上,理由:
當直線OB垂直平分線段PQ時,如圖2,
圖2
∵直線OB垂直平分線段PQ,
∴OP=OQ.
∵點P為圓O上的一點,
∴OP為圓的半徑,
∴點Q在圓O上.
②當點P為OB與圓O的交點時,OQ取得最大值,如圖3,
圖3
∵OP⊥QP,OP為圓的半徑,
∴QP與圓O相切.
∵∠QOP=∠AOB=30°,
∴OQ=.
∴OQ的最大值為,此時直線PQ與AB所在圓的位置關系是相切.
7.解:(1)根據題意可得AP=t cm,BQ=2t cm,∠B=90°,
∵AB=3 cm,∴BP=(3-t)cm.
∴PQ==
=3,
解得t=或t=0(舍去).
∴ s后PQ的長度等于3 cm.
(2)根據題意可得AP=t cm,BQ=2t cm,∠B=90°,
∵AB=3 cm,BC=4 cm,∴BP=(3-t)cm,S四邊形ABCD=3×4=12(cm2).
∴S△BPQ=BP·BQ=×(3-t)·2t=-t2+3t.
∵△BPQ的面積等于四邊形ABCD面積的,∴-t2+3t=×12,
解得t=1或t=2.
∴1 s或2 s后,△BPQ的面積等于四邊形ABCD面積的.
(3)0解析:當t=0時,如圖1,☉Q與四邊形CDPQ有兩個公共點.
圖1
如圖2,當☉Q經過點D時,☉Q與四邊形CDPQ有兩個公共點,則QD=PQ,
圖2
根據題意可得AP=t cm,BQ=2t cm,∠B=90°,
∵AB=3 cm,BC=4 cm,
∴BP=(3-t)cm,CQ=BC-BQ=(4-2t)cm.
∵DQ==
cm,
PQ==
cm,
∴,
解得t=-5-(舍)或t=-5+.
∴當08.解:(1)如圖1,連接OP,
圖1
等邊三角形ABC中,AD⊥BC于點D,
∴∠CAD=30°.
∵半圓O與AD相切于點P,
∴∠APO=90°,OP=OC=EF=2,
∴AO=2OP=4,
∴AC=AO+OC=6.
(2)①如圖2,由題意可知,
點M,N在半圓O上,
∴∠MON=2∠MCN=2×60°=120°.
圖2
②如圖3,過點O作OP⊥MN于點P,
∵∠MON=120°,OM=ON=FE=2,
∴∠ONM=30°,MN=2PN,
∴OP=ON=1,
∴PN=,
∴MN=2.
圖3
(3)0≤x≤或x=6-2或6-≤x<6.
解析:由題意可知,始終與△ABC的邊BC交于一點;
如圖4,當點F在AC上時,
在Rt△FEC中,∵∠FEC=90°,∠FCE=60°,EF=4,
∴∠EFC=30°,
∴CF=2CE.
∵CF2=CE2+EF2,
即(2CE)2=CE2+EF2,
解得CE=,∴x=.
圖4
如圖5,當半圓O與AB相切于點P時,連接OP,OB,
∵OP⊥AB,OE⊥BC,OP=OE=EF=2,
∴∠OBC=30°,
∴BO=2OE=4.
∵OB2=OE2+BE2,
即42=22+BE2,
解得BE=2,
∴x=BC-BE=6-2.
圖5
如圖6,當點F在AB上時,
在Rt△BEF中,
∵∠FEB=90°,∠FBE=60°,EF=4,
∴∠EFB=30°,∴BF=2BE.
∵BF2=BE2+EF2,解得BE=,
∴x=BC-BE=6-.
圖6
綜上所述,當與△ABC的邊一共有兩個交點時,0≤x≤或x=6-2或6-≤x<6.

展開更多......

收起↑