資源簡(jiǎn)介

專項(xiàng)訓(xùn)練四　常考全等模型
類型一　平移模型
此模型的特征是有一組邊共線或部分重合,另兩組邊分別平行,常要在移動(dòng)方向上加(減)公共線段,構(gòu)造線段相等,或利用平行線性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角相等.
① (2024·內(nèi)江)如圖,點(diǎn)A,D,B,E在同一條直線上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求證:△ABC≌△DEF.
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度數(shù).
類型二　對(duì)稱模型
此模型的特征是所給圖形可沿某一直線折疊,直線兩旁的部分能完全重合,重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),解題時(shí)要注意其隱含條件,即公共邊或公共角相等.
共∠A　 共BD　 由∠1=∠2 ∠EAB=∠FAC
共AC　　 ∠AOC=∠BOD
② (2024·滄州南皮縣二模)如圖,已知射線BR平分∠MBN.點(diǎn)A,P,C分別在射線BM,BR,BN上,且PA=PC.則下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.△BPA≌△BPC
B.△ABC是等腰三角形
C.∠BAP=∠BCP=90°
D.∠BAP=∠BCP或∠BAP+∠BCP=180°
③ (2024·樂(lè)山)如圖,AB是∠CAD的平分線,AC=AD,求證:∠C=∠D.
類型三　三垂直模型
利用“同角(或等角)的余角相等”轉(zhuǎn)化找等角(∠1=∠2).
④ (2024·廊坊廣陽(yáng)區(qū)一模)如圖,直線l上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的面積分別為6和8,則b的面積為 (　　)
A.6　　　 B.8　　　
C.10　　　 D.14
⑤ (2023·重慶A卷)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),連接AD.過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BE=4,CF=1,則EF的長(zhǎng)度為　　　　.
類型四　旋轉(zhuǎn)模型
此模型可看成是將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度構(gòu)成的,旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形之間存在兩種情況:
(1)無(wú)重疊:兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn),無(wú)重疊部分.
(2)有重疊:兩個(gè)三角形含有一部分公共角,運(yùn)用角的和差關(guān)系可得到等角.

兩個(gè)等邊三角形 　兩個(gè)等腰直角三角形 　兩個(gè)正方形
⑥ (2024·秦皇島三模)如圖,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于點(diǎn)F,連接AF,下列結(jié)論:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有 (　　)
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
⑦ (2024·長(zhǎng)沙)如圖,點(diǎn)C在線段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求證:△ABC≌△ADE.
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度數(shù).
【詳解答案】
對(duì)應(yīng)練習(xí)
1.解:(1)證明:∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,
即AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
2.D　解析:由題意知,當(dāng)PA=PC時(shí),分圖1,圖2兩種情況.
圖1
①如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BM于點(diǎn)E,PF⊥BN于點(diǎn)F,
∵BR平分∠MBN,
∴PE=PF.
∵PA=PC,PE=PF,
∴Rt△EPA≌Rt△FPC(HL),
∴∠EAP=∠FCP,
∴∠BAP=∠BCP.
∵∠ABP=∠CBP,∠BAP=∠BCP,BP=BP,
∴△BPA≌△BPC(AAS),
∴∠BAP=∠BCP≠90°,AB=BC,△ABC是等腰三角形.
②如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BM于點(diǎn)E,PF⊥BN于點(diǎn)F,
圖2
同理①,Rt△EPA≌Rt△FPC(HL),
∴∠EAP=∠FCP,
∴∠BAP+∠BCP=∠180°-∠EAP+∠FCP=180°,即∠BAP+∠BCP=180°,
此時(shí)△BPA與△BPC不全等,AB≠BC,△ABC不是等腰三角形.
∴A,B,C,錯(cuò)誤,故不符合要求;D正確,故符合要求.
故選D.
3.證明:∵AB是∠CAD的平分線,
∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC和△ABD中,
∴△ABC≌△ABD(SAS),
∴∠C=∠D.
4.D　解析:如圖,∵a,b,c都是正方形,
∴AC=CE,∠ACE=90°.
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠ABC=∠CDE=90°,AC=CE,
∴△ACB≌△CED(AAS),
∴AB=CD,BC=DE.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,
即Sb=Sa+Sc=6+8=14.
故選D.
5.3　解析:∵∠BAC=90°,∴∠EAB+
∠EAC=90°.∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠AFC= 90°.∴∠ACF+
∠EAC = 90°.∴∠ACF=∠BAE.在
△BEA和△AFC中,
∴△BEA≌△AFC(AAS).∴AF=BE=4,AE=CF=1.∴EF=AF-AE=4-1=3.
6.B　解析:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M,AN⊥EC于點(diǎn)N,設(shè)AD交EF于點(diǎn)O.
∵△BAC,△DAE都是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴CE=BD,故①正確;
由△BAD≌△CAE,知∠BDA=∠CEA.
∵∠DOF=∠AOE,
∴∠DFO=∠EAO=90°,
∴BD⊥EC,故②正確;
∵△BAD≌△CAE,AM⊥BD,AN⊥EC,
∴AM=AN,
∴FA平分∠EFB,
∴∠AFE=45°,故④正確;
若③成立,則∠EAF=∠BAF,
∵∠AFE=∠AFB,
∴∠AEF=∠ABD=∠ADB,推出AB=AD,由題意知,AB不一定等于AD,
∴AF不一定平分∠CAD,故③錯(cuò)誤,
故選B.
7.解:(1)證明:在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)由(1)得,△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°.

展開(kāi)更多......

收起↑