資源簡介

題型三　函數的實際應用
類型一　行程問題
　　河北中考中的行程問題中常見的是相遇問題與追及問題,有時會以文字敘述的形式呈現,有時會結合函數圖象進行設問.
(2024·石家莊一模)如圖1是甲、乙兩種品牌共享電單車的車費y1(元),y2(元)與騎行路程x(km)之間的函數關系圖象,圖2是小明騎共享電單車從A地出發到B,C兩地送貨的路線示意圖.
(1)當x>2時,求y1關于x的函數解析式.
(2)①若小明選擇甲品牌共享電單車到B地送貨,求車費;
②若小明到C地送貨,選擇哪種品牌的共享電單車節省車費 節省多少元
圖1 　　圖2
(2024·天津)已知張華的家、畫社、文化廣場依次在同一條直線上,畫社離家0.6 km,文化廣場離家1.5 km.張華從家出發,先勻速騎行了4 min到畫社,在畫社停留了15 min,之后勻速騎行了6 min到文化廣場,在文化廣場停留6 min后,再勻速步行了20 min返回家.如圖中x表示時間,y表示離家的距離.圖象反映了這個過程中張華離家的距離與時間之間的對應關系.
請根據相關信息,回答下列問題:
(1)①填表:
張華離開家的時間/min 1 4 13 30
張華離家的距離/km 　　 0.6 　　 　　
②填空:張華從文化廣場返回家的速度為　　　km/min;
③當0≤x≤25時,請直接寫出張華離家的距離y關于時間x的函數解析式.
(2)當張華離開家8 min時,他的爸爸也從家出發勻速步行了20 min直接到達了文化廣場,那么從畫社到文化廣場的途中(0.6 (2024·石家莊模擬)如圖,在一條筆直的公路上依次有A,B,C三個汽車站,它們之間依次相距60 km,400 km,甲、乙兩輛汽車分別在A站和B站,兩車同時向終點站C出發,甲、乙兩車的速度之和為140 km/h,它們與A站的距離分別為y甲,y乙,設兩車運動的時間為x h.
(1)若甲車的速度為80 km/h,
①分別求y甲,y乙與x之間的函數解析式;
②x為何值時,兩車相距10 km
(2)若甲車的速度為a km/h,甲車在終點站C處恰好追上乙車,求a的值.
(2023·齊齊哈爾)一輛巡邏車從A地出發沿一條筆直的公路勻速駛向B地, h后,一輛貨車從A地出發,沿同一路線每小時行駛80 km勻速駛向B地,貨車到達B地填裝貨物耗時15 min,然后立即按原路勻速返回A地,巡邏車、貨車離A地的距離y(km)與貨車出發時間x(h)之間的函數關系如圖所示,請結合圖象解答下列問題:
(1)A,B兩地之間的距離是　　　　km,a=　　　　.
(2)求線段FG所在直線的函數解析式.
(3)貨車出發多少小時兩車相距15 km (直接寫出答案即可)
類型二　利潤問題
　　河北中考中利潤問題是常考考點,一般會將一次函數與二次函數或二次函數與反比例函數綜合進行考查,不管是以哪一種形式進行設問,一般都是先求出函數解析式,然后再利用相關函數的增減性求最值.
(2024·云南)A,B兩種型號的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜歡.某超市銷售A,B兩種型號的吉祥物,有關信息如表:
項目 成本(單位:元/個) 銷售價格(單位:元/個)
A型號 35 a
B型號 42 b
若顧客在該超市購買8個A種型號吉祥物和7個B種型號吉祥物,一共需要670元;購買4個A種型號吉祥物和5個B種型號吉祥物,一共需要410元.
(1)求a,b的值.
(2)若某公司計劃從該超市購買A,B兩種型號的吉祥物共90個,且購買A種型號吉祥物的數量x(單位:個)不少于B種型號吉祥物數量的,又不超過B種型號吉祥物數量的2倍.設該超市銷售這90個吉祥物獲得的總利潤為y元,求y的最大值.
注:該超市銷售每個吉祥物獲得的利潤等于每個吉祥物的銷售價格與每個吉祥物的成本的差.
(2024·邢臺威縣模擬)某超市一段時期內對某種商品經銷情況進行統計分析,得到該商品的銷售數量P(件)由基礎銷售量與浮動銷售量兩個部分組成,其中基礎銷售量保持不變,浮動銷售量與售價x(元/件,50售價x 8 10
銷售數量P 96 95
(1)求P與x之間的函數關系式.
(2)當該商品銷售數量為40件時,求每件商品的售價.
(3)設銷售總額為W元,求W的最大值.
(2023·隨州)為了振興鄉村經濟,增加村民收入,某村委會干部帶領村民在網上直播推銷農產品,在試銷售的30天中,第x天(1≤x≤30且x為整數)的售價p(元/千克)與x的函數關系式為p=
(且x為整數),銷量q(千克)與x的函數關系式為q=x+10,已知第5天售價為50元/千克,第10天售價為40元/千克,設第x天的銷售額為W元.
(1)m=　　　　,n=　　　　.
(2)求第x天的銷售額W元與x之間的函數關系式.
(3)在試銷售的30天中,銷售額超過1 000元的共有多少天
類型三　實物模型
　　函數中的實物模型常以二次函數和反比例函數為主,以運動軌跡、拱橋等為背景,進行設問考查.解題的關鍵是從實際問題中提煉函數知識,求出函數解析式,從而使實際問題得到解決.另外在壓軸題中對數學思想方法的考查比較多,如模型思想、分類討論思想、應用意識等.
(2024·陜西)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線形,橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面,如圖所示,以O為原點,以直線FF'為x軸,以橋塔AO所在直線為y軸,建立平面直角坐標系.
已知纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱,橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC=100 m,AO=BC=17 m,纜索L1的最低點P到FF'的距離PD=2 m.(橋塔的粗細忽略不計)
(1)求纜索L1所在拋物線的函數解析式.
(2)點E在纜索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO (2023·武漢)某課外科技活動小組研制了一種航模飛機,通過實驗,收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離x(單位:m)、飛行高度y(單位:m)隨飛行時間t(單位:s)變化的數據如下表.
飛行時間t/s 0 2 4 6 8 …
飛行水平距離x/m 0 10 20 30 40 …
飛行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究發現:x與t,y與t之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述,直接寫出x關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍).
問題解決:如圖,活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機.根據上面的探究發現解決下列問題.
(1)若發射平臺相對于安全線的高度為0 m,求飛機落到安全線時飛行的水平距離.
(2)在安全線上設置回收區域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飛機落到MN內(不包括端點M,N),求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍.
(2024·石家莊新華區模擬)一次足球訓練中,小華從球門正前方11 m的A處射門,足球射向球門的運行路線呈拋物線.當球飛行的水平距離為6 m時,球達到最高點,此時球離地面3 m.已知球門高OB為2.44 m,現以O為原點建立如圖所示平面直角坐標系.
(1)直接寫出拋物線的函數解析式并說明此次射門在不受干擾的情況下能否進球.
(2)若防守隊員小明正在拋物線對稱軸的左側加強防守,他的最大起跳高度是2.25 m,小明需要站在離球門距離多遠的地方才可能防守住這次射門
(3)在射門路線的形狀、最大高度均保持不變情況下,適當靠近球門進球的把握會更大,小華決定將足球向球門方向移動一定距離后再射門,要確保球在下落過程中可以進入球門,他最多可以向球門移動　　　　.①2.3 m;②2.4 m;③2.5 m.(填序號即可,≈2.592)
類型四　幾何圖形問題
　　函數中的幾何圖形問題一般根據立體圖形、平面幾何圖形的面積、周長等建立函數模型求最值,注意自變量的取值范圍.
(2024·保定一模)某經銷商出售一種進價為4元/L的液體原料,在市場營銷中發現此商品日銷售價x(元/L)與日銷售量y(L)滿足反比例函數,部分數據如下表:
x/(元/L) 3 4 5 6
y/L 200 150 120 100
(1)求y關于x的函數關系式.
(2)已知如圖所示的長方體容器中裝滿了該液體原料,記日銷售后長方體中剩余液體的高度為h.
①求h關于x的函數關系式;
②物價局規定此液體原料的日銷售價最高不能超過8元/L,若該液體原料按最大日銷售利潤銷售20天,則長方體容器中剩余液體原料多少升.(注:1 m3=1 000 L)
(2024·滄州二模)為美化校園環境,某學校根據地形情況,要對景觀帶中一個長AD=4 m,寬AB=1 m的矩形水池ABCD進行加長改造(如圖1,改造后的水池ABNM仍為矩形,以下簡稱水池1),同時,再建造一個周長為12 m的矩形水池EFGH(如圖2,以下簡稱水池2).
【建立模型】
如果設水池ABCD的邊AD加長長度DM為x(m)(x>0),加長后水池1的總面積為y1(m2),則y1關于x的函數解析式為:y1=x+4(x>0);設水池2的邊EF的長為x(m)(0【問題解決】
(1)若水池2的面積隨EF長度的增加而減小,則EF長度的取值范圍是　　　　(可省略單位),水池2面積的最大值是　　　　m2.
(2)在圖3字母標注的點中,表示兩個水池面積相等的點是　　　　,此時的x(m)的值是　　　　.
(3)當水池1的面積大于水池2的面積時,x(m)的取值范圍是　　　　.
(4)在1圖1　　 圖2 圖3
【詳解答案】
1.解:(1)當x>2時,設y1關于x的函數解析式為y1=k1x+b(k1,b為常數,且k1≠0).
將坐標(2,4)和(4,5)分別代入y1=k1x+b,
得解得
∴當x>2時,y1關于x的函數解析式為y1=x+3(x>2).
(2)①當x=3時,y1=×3+3=,
∴車費是元.
②設y2關于x的函數解析式為y2=k2x(k2為常數,且k2≠0).
將坐標(4,5)代入y2=k2x,
得4k2=5,
解得k2=,
∴y2=x(x≥0).
當x=6時,y1=×6+3=6,y2=×6=,
∵6<,-6=(元),
∴選擇甲種品牌的共享電單車節省車費,節省元.
2.解:(1)①由題圖可填表:
張華離開家的時間/min 1 4 13 30
張華離家的距離/km 0.15 0.6 0.6 1.5
②0.075
③當0≤x≤25時,y與x的函數解析式為y=
(2)爸爸的速度為
=0.075(km/min),
設張華出發x分鐘時和爸爸相遇,
根據題意,得0.15x-2.25=0.075×(x-8),
解得x=22,
∴0.15×22-2.25=1.05(km).
答:從畫社到文化廣場的途中兩人相遇時離家的距離為1.05 km.
3.解:(1)①根據題意,得乙車的速度為140-80=60(km/h),
則y甲=80x,y乙=60x+60,
∴y甲與x之間的函數解析式為y甲=80x,y乙與x之間的函數解析式為y乙=60x+60.
②根據題意,得|80x-(60x+60)|=10,
解得x=或x=,
∴當x=或x=時,兩車相距10 km.
(2)根據題意,得乙車的速度為(140-a)km/h.
根據甲、乙兩車到達終點站C所用時間相等,得,
解得a=,
經檢驗,a=是所列分式方程的根,且符合題意,
∴a的值是.
4.解:(1)60　1
(2)設線段FG所在直線的解析式為y=kx+b(k≠0),
將F(1,60),G(2,0)代入y=kx+b,得解得
∴線段FG所在直線的函數解析式為
y=-60x+120.
(3)當貨車出發 h或h或 h時,兩車相距15 km.
解析:設貨車出發x h兩車相距15 km,
由題意,得巡邏車的速度為
60÷2+=25(km/h).
當兩車都在前往B地的途中且未相遇時兩車相距15 km,則25x+-15=80x,解得x=-(舍去);
當兩車都在前往B地的途中且相遇后兩車相距15 km,則25x++15=80x,解得x=;
∵25×1+=35<60-15=45,
∴貨車裝貨過程中兩車不可能相距15 km,
當貨車從B地前往A地途中且兩車未相遇時相距15 km,則25x++15+(x-1)=60,解得x=;
當貨車從B地前往A地途中且兩車相遇后相距15 km,則25x+-(-60x+120)=15,解得x=;
綜上所述,當貨車出發 h或 h或 h時,兩車相距15 km.
5.解:(1)根據題意,得
解得
∴a的值是40,b的值是50.
(2)購買B種型號吉祥物的數量為(90-x)個.
根據題意,得
解得≤x≤60;
y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720,
∵-3<0,
∴y隨x的增大而減小,
∵≤x≤60且x為整數,
∴當x=52時,y的值最大,y最大=-3×52+720=564,
∴y的最大值是564元.
6.解:(1)由題意,設P=b+kx.
又∵當x=8時,P=96,x=10時,P=95,
∴
∴P=-x+100.
(2)由題意,得40=-x+100,
∴x=120.
答:該商品銷售數量為40件時,每件商品的售價為120元.
(3)由題意,得
W=x-x+100=-(x-100)2+5 000.
∵a=-<0,50∴當x=100時,W最大,最大值為5 000元.
7.解:(1)-2　60
(2)由題意當1≤x<20時,
W=pq=(-2x+60)(x+10)=-2x2+40x+600,
當20≤x≤30時,W=30q=30(x+10)=30x+300.
∴W=
(3)由題意當1≤x<20時,
W=-2x2+40x+600=-2(x-10)2+800,
∵-2<0,
∴當x=10時,W最大為800.
當20≤x≤30時,W=30x+300,
由30x+300>1 000時,解得x>23.
又∵x為整數,且30>0,
∴當20≤x≤30時,W隨x的增大而增大.
∴第24至30天,銷售額超過1 000元,共7天.
8.解:(1)∵AO=17 m,
∴A(0,17).
又∵OC=100 m,纜索L1的最低點P到FF'的距離PD=2 m,
∴拋物線的頂點P為(50,2).
故可設拋物線的函數解析式為y=a(x-50)2+2.
將A點坐標代入拋物線方程可得,
2 500a+2=17.
∴a=.
∴纜索L1所在拋物線的函數解析式為y=(x-50)2+2.
(2)∵纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱,纜索L1所在拋物線的函數解析式為y=(x-50)2+2,
∴纜索L2所在拋物線的函數解析式為y=(x+50)2+2.
令y=2.6,
則2.6=(x+50)2+2.
∴x=-40或x=-60.
又FO∴x=-40.
∴FO的長為40 m.
9.解:探究發現:x=5t,y=-t2+12t.
問題解決:(1)依題意,得-t2+12t=0.
解得t1=0(舍),t2=24.
當t=24時,x=120.
答:飛機落到安全線時飛行的水平距離為120 m.
(2)設發射平臺相對于安全線的高度為n m,飛機相對于安全線的飛行高度y'=-t2+12t+n.
∵125∴25在y'=-t2+12t+n中,
當t=25,y'=0時,n=12.5;
當t=26,y'=0時,n=26.
∴12.5答:發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于12.5 m且小于26 m.
10.解:(1)由題意,拋物線的頂點為(5,3),
∴可設拋物線為y=a(x-5)2+3.
又拋物線過點(11,0),
∴36a+3=0.
∴a=-.
∴所求拋物線的函數解析式為y=-(x-5)2+3.
令x=0,則y≈0.92<2.44,
∴此次射門在不受干擾的情況下能進球.
(2)∵小明的最大起跳高度是2.25 m,
∴2.25=-(x-5)2+3.
∴x=2或x=8.
∵小明需要站在拋物線對稱軸的左側防守,
∴x=2,即小明需要站在離球門距離2 m以內的地方才可能防守住這次射門.
(3)②
解析:設小華帶球向正前方移動b m,
∴移動后的函數解析式為y=-(x-5+b)2+3.
又B為(0,2.44),
∴-(0-5+b)2+3=2.44,
∴b≈7.6(舍去)或b≈2.4.
∴小華最多可以向球門移動約2.4 m.
11.解:(1)設y關于x的函數關系式為y=(k≠0).
將x=3,y=200代入,得k=600,
∴y=(x>0).
(2)①液體原料的日銷售量為1×1×(2-h)=(2-h)m3=1 000(2-h)L,
∴y==1 000(2-h).
∴h=2-.
②設此液體原料的日銷售利潤為W(元),由題意可得
W=(x-4)=600-,
∵4≤x≤8,
∴當x=8時,W有最大值,此時最大日銷售量為y==75(L).
∵該液體原料按最大日銷售利潤銷售20天,
∴長方體容器中剩余液體原料為
1×1×2×1 000-75×20=500(L).
12.解:(1)3≤x<6　9
(2)C,E　1或4
(3)0(4)當1∵-1<0,
∴當x= m時,面積差有最大值,最大值為 m2.

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