資源簡(jiǎn)介

題型二　函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合題
類(lèi)型一　一次函數(shù)性質(zhì)綜合題
　　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的題目通常出現(xiàn)在解答題的22,23,24題的位置,分值一般為10分.今年的位置稍稍靠后,出在了25題的位置,與動(dòng)畫(huà)設(shè)置結(jié)合.通常考查單個(gè)一次函數(shù)圖象與幾何變換結(jié)合或兩個(gè)一次函數(shù)圖象相交問(wèn)題.
(2024·石家莊二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)y=-x+4與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上,若將△DAB沿直線(xiàn)AD折疊,點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處.
(1)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).
(2)若在y軸上有點(diǎn)P,使得S△PAB=5,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線(xiàn)CD的解析式.
(2024·河北模擬)如圖,點(diǎn)O(0,0)處有一發(fā)球機(jī),發(fā)射的乒乓球(看作點(diǎn))經(jīng)過(guò)擋板AB(直線(xiàn)y=5)上點(diǎn)C處反彈后沿直線(xiàn)y=mx+n運(yùn)動(dòng),矩形DEFG為球筐,EF在x軸上,且DE⊥EF,EF=2,DE=1.
(1)若反彈的點(diǎn)坐標(biāo)為C(3,5),求直線(xiàn)解析式.
(2)在(1)的情況下,若乒乓球經(jīng)過(guò)點(diǎn)C反彈后直接落入筐底,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的最大值比最小值大多少
(3)現(xiàn)將球筐固定,且點(diǎn)E坐標(biāo)為(9,0),乒乓球經(jīng)過(guò)擋板點(diǎn)C處反彈后仍落入球筐(球落在點(diǎn)D或點(diǎn)G視為入筐),求m的取值范圍.
(2024·石家莊二十八中二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l1:y=-x+5與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,直線(xiàn)l2:y=mx-m+4(m≠-1)與x軸,y軸分別交于點(diǎn)C,D,點(diǎn)P(2,n)在直線(xiàn)l2上.
　　　　　　　　　　　　 　備用圖
(1)直線(xiàn)y=mx-m+4過(guò)定點(diǎn)M(1,4)嗎 　　　　(填“過(guò)”或“不過(guò)”).
(2)若點(diǎn)B,O關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱(chēng),求此時(shí)直線(xiàn)l2的解析式.
(3)若直線(xiàn)l2將△AOB的面積分為1∶4兩部分,請(qǐng)求出m的值.
(4)當(dāng)m=1時(shí),將點(diǎn)P(2,n)向右平移2.5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N,當(dāng)線(xiàn)段PN沿直線(xiàn)y=mx-m+4向下平移時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段PN掃過(guò)△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))的坐標(biāo).
(2024·邯鄲叢臺(tái)區(qū)模擬)閱讀理解:在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)了某種臺(tái)階,如圖是8個(gè)臺(tái)階的示意圖(各拐角均為90°),每個(gè)臺(tái)階寬相等,每個(gè)臺(tái)階的高也相等.例如第一個(gè)臺(tái)階面A1B1的右端點(diǎn)坐標(biāo)為A1(x,y),則B1的坐標(biāo)為(x-2,y),第二個(gè)臺(tái)階面A2B2右端點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(x-2,y+1),以此類(lèi)推……A8M為第八個(gè)臺(tái)階面.
應(yīng)用:
(1)求直線(xiàn)MN的解析式,并判斷B1是否在直線(xiàn)MN上.
(2)點(diǎn)B2,B3,B4,B5,B6,B7　　　　 (填“在”或“不在”)直線(xiàn)MN上;點(diǎn)A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8在直線(xiàn)
　　　　　　　上(寫(xiě)出直線(xiàn)解析式).
(3)嘉琪同學(xué)拿著激光筆照射臺(tái)階,射出的光線(xiàn)可以看成直線(xiàn):y=m(x-20)+9(m≠0),若使光線(xiàn)照到所有臺(tái)階,求m的取值范圍.
(4)螞蟻(看作點(diǎn)P)從N出發(fā),沿N→A1→B1→A2→B2→…爬到點(diǎn)M,爬行的平均速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,爬行時(shí)間為t秒.當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在第n個(gè)臺(tái)階面上時(shí),直接用含n,t的式子表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo),并用含n的式子寫(xiě)出t的取值范圍.
類(lèi)型二　反比例函數(shù)性質(zhì)綜合題
　　反比例函數(shù)經(jīng)常和其他函數(shù)或圖形結(jié)合起來(lái),主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),其中反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是重點(diǎn).
(2023·濱州)如圖,直線(xiàn)y=kx+b(k,b為常數(shù))與雙曲線(xiàn)y=(m為常數(shù))相交于A(2,a),B(-1,2)兩點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)y=kx+b的解析式.
(2)在雙曲線(xiàn)y=上任取兩點(diǎn)M(x1,y1)和N(x2,y2),若x1(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式kx+b>的解集.
(2024·達(dá)州)如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=(m為常數(shù),m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(2,3),B(a,-2).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
(2)若點(diǎn)C是x軸正半軸上的一點(diǎn),且∠BCA=90°,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2023·泰安)如圖,一次函數(shù)y1=-2x+2的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,與y軸,x軸分別交于點(diǎn)C,點(diǎn)D,作AE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,OE=4.
(1)求反比例函數(shù)的解析式.
(2)在第二象限內(nèi),當(dāng)y1(3)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上,連接PA,且PA⊥AB,求點(diǎn)P坐標(biāo).
(2024·張家口宣化區(qū)一模)已知:如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象交于點(diǎn)A(-1,m),與x軸正半軸交于點(diǎn)B,AP⊥x軸于點(diǎn)P,且S△ABP=2.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式.
(2)設(shè)點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)點(diǎn),如果∠ACO=∠BAO,求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2023·聊城)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A(-1,4),B(a,-1)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
(2)點(diǎn)P(n,0)在x軸負(fù)半軸上,連接AP,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥AP,交y=的圖象于點(diǎn)Q,連接PQ.當(dāng)BQ=AP時(shí),若四邊形APQB的面積為36,求n的值.
(2024·眉山)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,6),B(n,2),與x軸,y軸分別交于C,D兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.
(2)若點(diǎn)P在y軸上,當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)將直線(xiàn)AB向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸,y軸分別交于E,F兩點(diǎn),當(dāng)EF=AB時(shí),求a的值.
類(lèi)型三　二次函數(shù)性質(zhì)綜合題
　　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用型題目通常出現(xiàn)在解答題的壓軸題位置,分值約12分.屬于純數(shù)學(xué)問(wèn)題,以考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主.
(2024·邯鄲叢臺(tái)區(qū)二模)如圖,拋物線(xiàn)L:y1=x2-2bx+c與直線(xiàn)l:y2=kx+2交于A,B兩點(diǎn),且A(2,0).
(1)求k和c的值(用含b的代數(shù)式表示c).
(2)當(dāng)b=0時(shí),拋物線(xiàn)L與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.
①求△ABC的面積;
②當(dāng)-1≤x≤5時(shí),則y1的取值范圍是　　　　.
(3)拋物線(xiàn)L:y1=x2-2bx+c的頂點(diǎn)M(b,n),求出n與b的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)b為何值時(shí),點(diǎn)M達(dá)到最高.
(4)在拋物線(xiàn)L和直線(xiàn)l所圍成的封閉圖形的邊界上把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“美點(diǎn)”,當(dāng)b=-20時(shí),直接寫(xiě)出“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù).
(2024·石家莊藁城區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,3),拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),求該拋物線(xiàn)的解析式.
(2)在(1)題的條件下,點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且位于第三象限,當(dāng)∠PBC=∠ACB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)如果拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D位于△BOC內(nèi),求a的取值范圍.
如圖是某家具廠(chǎng)的拋物線(xiàn)型木板余料,其最大高度為9 dm,最大寬度為12 dm,現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割.
(1)如圖1,根據(jù)已經(jīng)建立的平面直角坐標(biāo)系,求木板邊緣所對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式.
(2)如圖2,若切割成矩形HGNM,求此矩形的最大周長(zhǎng).
(3)若切割成寬為2 dm的矩形木板若干塊,然后拼接成一個(gè)寬為2 dm的矩形,如何切割才能使拼接后的矩形的長(zhǎng)邊最長(zhǎng) 請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出切割方案,并求出拼接后的矩形的長(zhǎng)邊長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))
圖1　 圖2 備用圖
(2023·天津)已知拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c(b,c為常數(shù),c>1)的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且-c(1)若b=-2,c=3.
①求點(diǎn)P和點(diǎn)A的坐標(biāo);
②當(dāng)MN=時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-c,0),且MP∥AC,當(dāng)AN+3MN=9時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2024·常州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)OC=　　　　.
(2)如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0).
①當(dāng)1≤x≤m,且m>1時(shí),y的最大值和最小值分別是s,t,s-t=2,求m的值;
②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖象上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)(點(diǎn)B除外),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸,垂足為D,作∠DPQ=∠ACO,射線(xiàn)PQ交y軸于點(diǎn)Q,連接DQ,PC.若DQ=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).
(備用圖)
【詳解答案】
1.解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=-×0+4=4,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4).
∴OB=4.
當(dāng)y=0,則0=-x+4,解得x=3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),
∴OA=3,
∴AB==5.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n),
∴|4-n|×3=5,
解得n=或,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,或0,.
(3)∵△DAB沿直線(xiàn)AD折疊,
∴AB=AC,
∴OC=OA+AB=3+5=8.
∴C(8,0).
設(shè)點(diǎn)D(0,m),則OD=-m,
∴BD=CD=4-m.
在Rt△OCD中,
CD2=OC2+OD2,
即(4-m)2=82+(-m)2,
解得m=-6.
∴D(0,-6).
設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b,
則
解得
∴直線(xiàn)CD的解析式為y=x-6.
2.解:(1)根據(jù)反射的特點(diǎn),找到點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O'(0,10),如圖.
將點(diǎn)O',C代入直線(xiàn)y=mx+n,得
解得
∴直線(xiàn)解析式為y=-x+10.
(2)設(shè)點(diǎn)E(a,0),則D(a,1),F(a+2,0),
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí),
1=-a+10,
解得a=,
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí),
0=-(a+2)+10,
解得a=4,
-4=,
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的最大值比最小值大.
(3)找到點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O'(0,10),
根據(jù)題意,點(diǎn)D(9,1),F(11,1),
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O'(0,10)和D(9,1)時(shí),
代入解析式,得
解得m=-1,
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O'(0,10)和G(11,1)時(shí),
代入解析式,得
解得m=-,
∴m的取值范圍為-1≤m≤-.
3.解:(1)過(guò)
(2)在y=-x+5中,令x=0,則y=5,∴B(0,5).
∵點(diǎn)B,O關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱(chēng),
∴D0,.
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=mx-m+4,得=-m+4,解得m=.
∴y=x+.
(3)在y=-x+5中,令y=0,則x=5,∴A(5,0),OA=5.
∵B(0,5),OB=5,
∴S△AOB=OA·OB=×5×5=.
∵直線(xiàn)y=mx-m+4過(guò)定點(diǎn)M(1,4),直線(xiàn)y=-x+5過(guò)點(diǎn)M(1,4),
∴兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為M(1,4),點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為1,到x軸的距離為4,
①當(dāng)S△MBD=S△AOB時(shí),BD×1=,解得BD=5.
∵OB=5,∴D(0,0).∴-m+4=0,解得m=4;
②當(dāng)S△MAC=S△AOB時(shí),AC×4=,解得AC=.
∵5-,∴C,0,
∴0=m-m+4,
m=-4,解得m=-.
綜上,m的值為4或-.
(4)當(dāng)m=1時(shí),直線(xiàn)l2的解析式為y=x+3,∴P(2,5).
∵將點(diǎn)P(2,5)向右平移2.5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N,∴PN=2.5.
△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)有
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),
在y=x+3中,當(dāng)y=1時(shí),x=-2,
∵1+2=3>2.5,2+2=4>2.5,3+2=5>2.5,
∴當(dāng)線(xiàn)段PN沿直線(xiàn)y=x+3向下平移時(shí),線(xiàn)段PN不掃過(guò)△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn):(1,1),(2,1),(3,1);
在y=x+3中,當(dāng)y=2時(shí),x=-1,
∵1+1=2<2.5,2+1=3>2.5,
∴當(dāng)線(xiàn)段PN沿直線(xiàn)y=x+3向下平移時(shí),線(xiàn)段PN掃過(guò)△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)(1,2),不掃過(guò)(2,2),
在y=x+3中,當(dāng)y=3時(shí),x=0,
∵1+0=1<2.5,
∴當(dāng)線(xiàn)段PN沿直線(xiàn)y=x+3向下平移時(shí),線(xiàn)段PN掃過(guò)△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)(1,3).
綜上,當(dāng)線(xiàn)段PN沿直線(xiàn)y=x+3向下平移時(shí),線(xiàn)段PN掃過(guò)△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)有(1,2),(1,3).
4.解:(1)B1在直線(xiàn)MN上,理由如下:
設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=kx+b,
∵每個(gè)臺(tái)階寬、高分別為2和1,
∴M(0,8),N(16,0).
將(0,8)和(16,0)代入解析式得
解得
∴y=-x+8.
當(dāng)x=14時(shí),y=-×14+8=1,
∴B1(14,1)在直線(xiàn)MN上.
(2)在　y=-x+9
(3)把N(16,0)代入y=mx-20m+9(m≠0),
得m=,
把M(0,8)代入y=mx-20m+9(m≠0),得m=,
∴≤m≤.
(4)∵螞蟻(看作點(diǎn)P)從N出發(fā),沿N→A1→B1→A2→B2→…爬到點(diǎn)M,平均速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,爬行時(shí)間為t秒,
∴螞蟻爬行路程為2t.
∵點(diǎn)P(a,b)在第n個(gè)臺(tái)階面上,
∴螞蟻爬行的水平路程為2t-n,
∴a=-2t+n+16,
∵點(diǎn)P在第1個(gè)臺(tái)階面上時(shí),
≤t≤,
點(diǎn)P在第2個(gè)臺(tái)階面上時(shí),
≤t≤,
點(diǎn)P在第3個(gè)臺(tái)階面上時(shí),
≤t≤,
……
點(diǎn)P在第8個(gè)臺(tái)階面上時(shí),≤t≤,
∴t的取值范圍是≤t≤.
5.解:(1)將點(diǎn)B(-1,2)代入y=,
得m=-2,∴y=-.
將點(diǎn)A(2,a)代入y=-,得a=-1,
∴A(2,-1).
將A(2,-1),B(-1,2)代入y=kx+b,
得解得
∴y=-x+1.
(2)∵y=-,k<0,
∴反比例函數(shù)在第二、第四象限,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x1當(dāng)x1<0y2.
綜上所述,當(dāng)x1y2.
(3)當(dāng)kx+b>時(shí),x<-1或06.解:(1)將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式,得m=2×3=-2a,
解得a=-3,m=6,
即反比例函數(shù)的解析式為y=,
點(diǎn)B(-3,-2).
將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式,得
解得
即一次函數(shù)的解析式為y=x+1.
(2)設(shè)點(diǎn)C(x,0),
由點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),得AB2=50,AC2=(x-2)2+9,BC2=(x+3)2+4.
∵∠BCA=90°,
則AB2=AC2+BC2,
即50=(x-2)2+9+(x+3)2+4,
解得x=3或x=-4(舍去),
即點(diǎn)C(3,0).
7.解:(1)∵OE=4,AE⊥y軸,
∴E(0,4),點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4.
∵點(diǎn)A在y1=-2x+2圖象上,
∴當(dāng)y1=4時(shí),4=-2x+2,解得x=-1.∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,4).
∵反比例函數(shù)y2=的圖象過(guò)點(diǎn)A,
∴k=-1×4=-4.
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-.
(2)在第二象限內(nèi),當(dāng)y1(3)如圖,過(guò)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M,
∵AE⊥y軸,
∴∠AEO=∠EOM=∠OMA=90°,
∴四邊形AEOM是矩形,
∴AM=OE=4,OM=AE=1.
∵PA⊥AB,
∴∠PAD=90°,
∴∠PAD=∠AMD=90°.
又∵∠ADP=∠MDA,
∴△PAD∽△AMD.
∴.
由y1=-2x+2,得y1=0時(shí),
-2x+2=0,解得x=1.
∴點(diǎn)D(1,0),
∴AD==2,MD=2.
∴,
∴PD=10,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-9,0).
8.解:(1)把A(-1,m)代入y=-,
得m=-=2,
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,2).
又∵S△ABP=PB·AP,
∴2=PB×2,
∴PB=2,
∴點(diǎn)B(1,0);
把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入y=kx+b,得解得
故一次函數(shù)的解析式為y=-x+1.
(2)∵點(diǎn)A(-1,2),B(1,0),
∴OA=,AB=2.如圖,
當(dāng)點(diǎn)C1在x軸的正半軸上時(shí),
∵∠AC1O=∠BAO,∠AOC1=∠BOA,
∴△OAC1∽△OBA,
∴,
∴,
∴OC1=5,
即點(diǎn)C1(5,0);
當(dāng)點(diǎn)C2在x軸的負(fù)半軸上時(shí),
∵∠AC2O=∠BAO,∠ABC2=∠OBA,
∴△ABO∽△C2BA,
∴,
∴,
∴C2B=8,
即點(diǎn)C2(-7,0).
綜上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0)或(-7,0).
9.解:(1)∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A(-1,4),B(a,-1)兩點(diǎn),
∴m=-1×4=-4.
故反比例函數(shù)的解析式為y=-,
∴a=-=4,故B(4,-1).
∴解得
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+3.
(2)∵A(-1,4),B(4,-1),P(n,0),BQ∥AP,BQ=AP,
∴四邊形APQB是平行四邊形,
∴點(diǎn)A到點(diǎn)P的平移規(guī)律是向左平移(-1-n)個(gè)單位長(zhǎng)度,向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,
∴點(diǎn)B(4,-1)到點(diǎn)Q的平移規(guī)律也是向左平移(-1-n)個(gè)單位長(zhǎng)度,向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,故Q(5+n,-5).
∵Q(5+n,-5)在y=-上,
∴5+n=-,
解得n=-,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,0.
設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C,連接PB,如圖所示:
把y=0代入y=-x+3,解得x=3,
∴C(3,0).
∴PC=3--=,
∴S△APB=×[4-(-1)]=18,
∵四邊形APQB為平行四邊形,
∴S四邊形APQB=2S△APB=36,
∴當(dāng)n=-時(shí),符合題意.
∴n=-.
10.解:(1)∵一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,6),B(n,2),
∴6=,∴m=6,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=,
∴2=,∴n=3,
∴B(3,2).
把A(1,6),B(3,2)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b,得
解得
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+8.
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5).
解析:如圖,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接EB交y軸于點(diǎn)P,
則此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小,
∵點(diǎn)A(1,6),
∴E(-1,6).
設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為y=tx+c,
∴解得
∴直線(xiàn)BE的解析式為y=-x+5,
當(dāng)x=0時(shí),y=5,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5).
(3)將直線(xiàn)AB向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸,y軸分別交于E,F兩點(diǎn),
∴直線(xiàn)EF的解析式為y=-2x+8-a,
∴E,0,F(0,8-a),
∵EF=AB,
∴=,
解得a=6或a=10.
11.解:(1)將點(diǎn)A(2,0)代入直線(xiàn)l的解析式y(tǒng)2=kx+2,
∴2k+2=0,
∴k=-1.
將點(diǎn)A(2,0)代入拋物線(xiàn)L的解析式y(tǒng)1=x2-2bx+c,
∴4-4b+c=0,
∴c=4b-4,
綜上,k=-1,c=4b-4.
(2)①當(dāng)b=0時(shí),c=-4,
∴拋物線(xiàn)L的解析式為y1=x2-4,
令y1=0,則x=-2或x=2,
∴C(-2,0).
令x2-4=-x+2,解得x=-3或x=2,
∴B(-3,5),
∴S△ABC=·AC·yB=×4×5=10.
②-4≤y1≤21
(3)∵拋物線(xiàn)L:y1=x2-2bx+4b-4=(x-b)2-b2+4b-4,
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M(b,n),
∴n=-b2+4b-4=-(b-2)2,
∵-1<0,
∴當(dāng)b=2時(shí),n取得最大值為0,此時(shí)點(diǎn)M達(dá)到最高.
(4)90個(gè).
解析:當(dāng)b=-20時(shí),拋物線(xiàn)L:y1=x2+40x-84,直線(xiàn)l:y2=-x+2,
由x2+40x-84=-x+2,得x1=2,x2=-43,
∴拋物線(xiàn)L和直線(xiàn)l的交點(diǎn)是(2,0)和(-43,45),
當(dāng)-43≤x≤2時(shí),在L和l上的邊界上,當(dāng)橫坐標(biāo)x是整數(shù)時(shí),縱坐標(biāo)y也是整數(shù),
∴“美點(diǎn)”共有46×2-2=90(個(gè)).
12.解:(1)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x-3)(x+1).
將點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,3)代入,得-3a=3,解得a=-1,
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)如圖,設(shè)PB交y軸于點(diǎn)E,
∵C(0,3),B(3,0),
∴OB=OC=3.
∵∠COB=90°,
∴∠OCB=∠OBC=45°.
又∵∠ACB=∠PBC,
∴∠ACB-∠OCB=∠PBC-∠OBC,即∠OCA=∠PBO,
∴tan∠OCA=tan∠PBO,即,
∴,
∴OE=1.
∵點(diǎn)P在第三象限,
∴E(0,-1).
設(shè)直線(xiàn)PB的解析式為y=kx+m(k≠0),
把E(0,-1)和B(3,0)代入,得
解得
∴直線(xiàn)PB的解析式為y=x-1.
聯(lián)立
解得
∴P-,-.
(3)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),
∴對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x==1.
∵B(3,0),C(0,3),
同理得直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3,
當(dāng)x=1時(shí),y=2,
當(dāng)頂點(diǎn)為D(1,2)時(shí),設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x-3)(x+1),
把頂點(diǎn)D(1,2)代入,得a=-,
∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D位于△BOC內(nèi),∴a的取值范圍是-13.解:(1)根據(jù)已知可得,拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,9),A(-6,0),B(6,0),
設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=ax2+9,
把B(6,0)代入,得0=36a+9,解得a=-,
∴木板邊緣所對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=-x2+9.
(2)在矩形HGNM中,設(shè)M(0由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知H,
∴矩形HGNM的周長(zhǎng)為
2=-(m-4)2+26.
∵-<0,且0∴當(dāng)m=4時(shí),矩形HGNM的周長(zhǎng)有最大值,最大值為26,
即矩形HGNM的最大周長(zhǎng)為26 dm.
(3)如圖是畫(huà)出的切割方案:
在y=-x2+9中,令y=2,解得x=±2,
∴PQ=4;
在y=-x2+9中,令y=4,解得x=±2,
∴RS=4;
在y=-x2+9中,令y=6,解得x=±2,
∴TW=4;
在y=-x2+9中,令y=8,解得x=±2,
∴KI=4,
∴拼接后的矩形的長(zhǎng)邊長(zhǎng)為PQ+RS+TW+KI=(4+4+4+4)dm.
14.解:(1)①由b=-2,c=3,得拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,4).
當(dāng)y=0時(shí),-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1.
又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),
∴A的坐標(biāo)為(-3,0).
②如圖1,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E,與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)F.
圖1
∵點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)C(0,3),
∴OA=OC.可得Rt△AOC中,∠OAC=45°.
∴Rt△AEF中,EF=AE.
∵拋物線(xiàn)y=-x2-2x+3上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,其中-3∴設(shè)點(diǎn)M(m,-m2-2m+3),點(diǎn)E(m,0).
得EF=AE=m-(-3)=m+3.即點(diǎn)F(m,m+3).
∴FM=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m.
Rt△FMN中,可得∠MFN=45°.
∴FM=MN.又MN=,
得FM=2,即-m2-3m=2,解得m1=-2,m2=-1(舍).
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,3).
(2)∵點(diǎn)A(-c,0)在拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c上,其中c>1,
∴-c2-bc+c=0,得b=1-c.
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+(1-c)x+c.
得點(diǎn)M(m,-m2+(1-c)m+c),其中-c∵y=-x2+(1-c)x+c=-x-2+,
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為,,
對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l:x=.
如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥l于點(diǎn)Q,則∠MQP=90°,點(diǎn)Q,-m2+(1-c)m+c.
由MP∥AC,得∠PMQ=45°.于是MQ=QP.
∴-m=-[-m2+(1-c)m+c].
即(c+2m)2=1.解得c1=-2m-1,c2=-2m+1(舍).
過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E,與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)F,
則點(diǎn)E(m,0),點(diǎn)F(m,-m-1),點(diǎn)M(m,m2-1).
∵AN+3MN=AF+FN+3MN=EF+2FM=9,
∴(-m-1)+2(m2-1+m+1)=9.
即2m2+m-10=0.解得m1=-,m2=2(舍).
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為-,.
圖2
15.解:(1)3
(2)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式,得0=-1-b+3,則b=2,
即拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+2x+3,
則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1,頂點(diǎn)為(1,4),點(diǎn)B(3,0).
①當(dāng)1≤x≤m,且m>1時(shí),當(dāng)x=1時(shí),y取得最大值,即s=4,
當(dāng)x=m時(shí),y取得最小值為t=-m2+2m+3,
則4-(-m2+2m+3)=2,
解得m=1+(不合題意的值已舍去).
②設(shè)點(diǎn)P(m,-m2+2m+3),則點(diǎn)D(m,0),
由點(diǎn)A,C的坐標(biāo),得直線(xiàn)AC的解析式為y=3x+3,
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),如圖,
∵∠DPQ=∠ACO,
則直線(xiàn)PQ的解析式為y=3(x-m)-m2+2m+3,
則點(diǎn)Q(0,-m2-m+3).
由點(diǎn)P,C,D,Q的坐標(biāo)得,DQ2=m2+(-m2-m+3)2,PC2=m2+(-m2+2m)2,
∵DQ=PC,即m2+(-m2-m+3)2=m2+(-m2+2m)2,
解得m=-1(舍去)或1或1.5;
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí),
同理可得:點(diǎn)Q(0,-m2+5m+3),
則DQ2=m2+(-m2+5m+3)2=PC2=m2+(-m2+2m)2,
解得m=-1(舍去)或(舍去)或;
綜上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或1.5或.

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