資源簡介

題型一　規律探索題
類型一　數式規律
1.對于數字規律題,不循環問題,找出前一個數字與后一個數字的關系及每個數字與對應序數的關系,從而得出第n個數字;循環類問題,先找出循環周期,然后用總循環次數除以周期,觀察商和余數,即可得出結論.
2.對于數式的規律題,先寫出等式及結果,從結果與序數或結果與所給式子中數字的構成個數兩方面進行對比,尋找不變的量和變化的量之間的關系,從而得出一般性的結論.
3.對于數陣的規律問題,先求出每行的個數和每列的個數,并觀察相鄰數據的變化特點,進而找出該行或列上的數字與其所在行數和列數的關系,從而得到結論.
(2024·揚州)1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數:1,1,2,3,5,…,這一列數滿足:從第三個數開始,每一個數都等于它的前兩個數之和.則在這一列數的前2 024個數中,奇數的個數為 (　　)
A.676 B.674 C.1 348 D.1 350
(2024·云南)按一定規律排列的代數式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,第n個代數式是 (　　)
A.2xn B.(n-1)xn C.n D.(n+1)xn
(2023·牡丹江)觀察下面兩行數:
1,5,11,19,29,…
1,3,6,10,15,…
取每行數的第7個數,計算這兩個數的和是 (　　)
A.92 B.87 C.83 D.78
(2023·濟寧)已知一列均不為1的數a1,a2,a3,…,an,滿足如下關系:a2=,a3=,a4=,…, an+1=,若a1=2,則a2 023的值是 (　　)
A.- B. C.-3 D.2
(2023·內江)對于正數x,規定f(x)=,例如:f(2)==,f==,f(3)==,f==,計算:f+f+f+…+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)= (　　)
A.199 B.200 C.201 D.202
干支紀年是中國傳統紀年方法.干支是天干和地支的總稱,“甲、乙…”等十個符號叫天干;“子、丑…”等十二個符號叫地支,把干支(天干+地支)順序相配(甲子、乙丑、丙寅…)正好六十為一周期,周而復始,循環記錄.有人總結出紀年算法的輔助表如下.
十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
由上表很快算出1911年是辛亥年,1984年是甲子年,2000年是庚辰年,那么2024年是 (　　)
A.庚子 B.丁酉 C.壬卯 D.甲辰
(2024·寧夏)觀察下列等式:
第1個:1×2-2=22×0;
第2個:4×3-3=32×1;
第3個:9×4-4=42×2;
第4個:16×5-5=52×3;
……
按照以上規律,第n個等式為 　　　　　　.
(2023·成都)定義:如果一個正整數能表示為兩個正整數m,n的平方差,且m-n>1,則稱這個正整數為“智慧優數”.例如,16=52-32,16就是一個智慧優數,可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)進行研究.若將智慧優數從小到大排列,則第3個智慧優數是　　　　;第23個智慧優數是　　　　.
(2024·成都)在綜合實踐活動中,數學興趣小組對1~n這n個自然數中,任取兩數之和大于n的取法種數k進行了探究.發現:當n=2時,只有{1,2}一種取法,即k=1;當n=3時,有{1,3}和{2,3}兩種取法,即k=2;當n=4時,可得k=4……若n=6,則k的值為　　　　;若n=24,則k的值為　　　　.
(2023·聊城)如圖,圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣,從3開始,把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對:(3,5);(7,10);(13,17);(21,26);(31,37)…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究,就會發現其中的規律.請寫出第n個數對:　　　　　　　　.
(2023·廣元)在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》(1261年)一書中,用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律,因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”,根據規律第八行從左到右第三個數為　　　　.
類型二　圖形累加規律
1.探究圖形的個數時,先標出序號,再計算出每個所給圖形中所求量的個數,并對結果變形,歸納結果與序數之間的關系,即可得到第n個圖形中所求的個數.
2.通過圖形變化探究線段長度、角度、圖形的周長及圖形的面積等問題時,先根據操作過程,利用圖形的幾何性質把圖形中有聯系的數量關系列式表達出來,再對所列式子進行對照,仿照猜想數式規律的方法,得到最后的結論.
(2024·濟寧)如圖,用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形.第一幅圖有1個正方形,第二幅圖有5個正方形,第三幅圖有14個正方形……按照此規律,第六幅圖中正方形的個數為 (　　)
A.90 B.91 C.92 D.93
(2024·重慶A卷)(跨學科)烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質,如圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖,其中灰球代表碳原子,白球代表氫原子.第1種如圖1有4個氫原子,第2種如圖2有6個氫原子,第3種如圖3有8個氫原子……按照這一規律,第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是 (　　)
A.20 B.22 C.24 D.26
阿賢利用便利貼拼成一個圣誕樹圖案,圣誕樹圖案共有10層,每一層由三列的便利貼拼成,前3層如圖所示.若同一層中每一列皆比前一列多2張,且每一層第一列皆比前一層第一列多2張,則此圣誕樹圖案由多少張便利貼拼成 (　　)
A.354 B.360 C.384 D.390
(2023·山西)如圖是一組有規律的圖案,它由若干個大小相同的圓片組成.第1個圖案中有4個白色圓片,第2個圖案中有6個白色圓片,第3個圖案中有8個白色圓片,第4個圖案中有10個白色圓片,……,依此規律,第n個圖案中有　　　　個白色圓片.(用含n的代數式表示)
(2024·泰安)如圖所示,是用圖形“”和“”按一定規律擺成的“小屋子”.
按照此規律繼續擺下去,第　　　　個“小屋子”中圖形“”個數是圖形“”個數的3倍.
(2023·綏化)在求1+2+3+…+100的值時,發現:1+100=101,2+99=101…,從而得到1+2+3+…+100=101×50=5 050.按此方法可解決下面問題,圖(1)有1個三角形,記作a1=1;分別連接這個三角形三邊中點得到圖(2),有5個三角形,記作a2=5;再分別連接圖(2)中間的小三角形三邊中點得到圖(3),有9個三角形,記作a3=9;按此方法繼續下去,則a1+a2+a3+…+an=　　　　.(結果用含n的代數式表示)
……
圖(1) 圖(2)　 圖(3)　
(2024·涼山州)閱讀下面材料,并解決相關問題:
如圖是一個三角點陣,從上向下數有無數多行,其中第一行有1個點,第二行有2個點,…,第n行有n個點,…,容易發現,三角點陣中前4行的點數之和為10.
(1)探索:三角點陣中前8行的點數之和為　　　　,前15行的點數之和為　　　　,那么,前n行的點數之和為　　　　.
(2)體驗:三角點陣中前n行的點數之和　　　　(填“能”或“不能”)為500.
(3)運用:某廣場要擺放若干種造型的盆景,其中一種造型要用420盆同樣規格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的規律擺放而成,則一共能擺放多少排
類型三　圖形周期變化規律
　　解決周期變化規律問題,首先要觀察所給數字或圖形,然后再找出循環周期,記為n,用M÷n=W……q(0 (2024·山東四市)任取一個正整數,若是奇數,就將該數乘3再加上1;若是偶數,就將該數除以2.反復進行上述兩種運算,經過有限次運算后,必進入循環圈1→4→2→1,這就是“冰雹猜想”.在平面直角坐標系xOy中,將點(x,y)中的x,y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標,其中x,y均為正整數.例如,點(6,3)經過第1次運算得到點(3,10),經過第2次運算得到點(10,5),以此類推.則點(1,4)經過2 024次運算后得到點　　　　.
(2023·泰安)已知△OA1A2,△A3A4A5,△A6A7A8,……都是邊長為2的等邊三角形,按下圖所示擺放.點A2,A3,A5,……都在x軸正半軸上,且A2A3=A5A6=A8A9=……=1,則點A2 023的坐標是　　　　.
第20題圖 　第21題圖
21 (2023·張家界)如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABOC是正方形,點A的坐標為(1,1),是以點B為圓心,BA為半徑的圓弧;是以點O為圓心,OA1為半徑的圓弧,是以點C為圓心,CA2為半徑的圓弧,是以點A為圓心,AA3為半徑的圓弧,繼續以點B,O,C,A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”,則點A2 023的坐標是　　　　.
類型四　圖形遞變規律
1.線段(面積)遞推
　　已知一個幾何圖形的邊長(周長或面積),通過一定變換確定第M次變換后的圖形的邊長(周長或面積),解題步驟是:(1)根據題意得出第一次變換前圖形的邊長(周長或面積);(2)通過計算得到第一次變換后、第二次變換后、第三次變換后、第四次變換后圖形的邊長(周長或面積),歸納出每次變換后的圖形的邊長(周長或面積)與序數n之間的關系式,并驗證;(3)根據第二步中的關系式,得到第M次變換后的圖形的邊長(周長或面積).
2.點坐標遞推
　　將點坐標轉化成線段,再利用線段遞推的方法求解.
22 (2024·武漢)如圖,小好同學用計算機軟件繪制函數y=x3-3x2+3x-1的圖象,發現它關于點(1,0)中心對稱.若點A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19),A20(2,y20)都在函數圖象上,這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,則y1+y2+y3+…+y19+y20的值是 (　　)
A.-1 B.-0.729 C.0 D.1
23 (2024·綏化)如圖,已知A1(1,-),A2(3,-),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,),A6(9,),A7(10,0),A8(11,-),…,依此規律,則點A2 024的坐標為　　　　.
24 (2023·棗莊)如圖,在反比例函數y=(x>0)的圖象上有P1,P2,P3,…P2 024等點,它們的橫坐標依次為1,2,3,…,2 024,分別過這些點作x軸與y軸的垂線,圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1,S2,S3,…,S2 023,則S1+S2+S3+…+S2 023=　　　　.
25 (2023·廣安)如圖,在平面直角坐標系中,點A1,A2,A3,A4…在x軸的正半軸上,點B1,B2,B3…在直線y=x(x≥0)上,若點A1的坐標為(2,0),且△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均為等邊三角形.則點B2 023的縱坐標為　　　　.
26 (2023·齊齊哈爾)如圖,在平面直角坐標系中,點A在y軸上,點B在x軸上,OA=OB=4,連接AB,過點O作OA1⊥AB于點A1,過點A1作A1B1⊥x軸于點B1;過點B1作B1A2⊥AB于點A2,過點A2作A2B2⊥x軸于點B2;過點B2作B2A3⊥AB于點A3,過點A3作A3B3⊥x軸于點B3;……;按照如此規律操作下去,則點A2 023的坐標為　　　　.
【詳解答案】
1.D　解析:這列數為:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以發現每3個數為一組,每一組前2個數為奇數,第3個數為偶數,
∵2 024÷3=674……2,
即前2 024個數共有674組,且余2個數,奇數有:674×2+2=1 350(個).故選D.
2.D　解析:∵按一定規律排列的代數式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,
∴第n個代數式為(n+1)xn.故選D.
3.C　解析:第一行的數字規律為n2+n-1,第二行的數字規律為,∴第一行的第7個數字為72+7-1=55,第二行的第7個數字為=28,∴55+28=83.故選C.
4.A　解析:∵a1=2,∴a2==-3,a3==-,a4=,a5==2,…;由此可得規律為2,-3,-,四個數字一循環.∵2 023÷4=505……3,∴a2 023=a3=-.故選A.
5.C　解析:∵f(1)==1,f(2)=,f=,
f(2)+f=2,f(3)=,f=,
f(3)+f=2,…,
f(100)=,
f=,
f(100)+f=2,
f+f+f+…+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=2×100+1=201.故選C.
6.D　解析:從2000年開始算起,2024年為第24個數,天干表10個數為一個周期,地支表12個數為一個周期,
24÷10=2……4,24÷12=2,
則2024年對應的天干為甲,地支為辰,
故2024年為甲辰年.故選D.
7.n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)　解析:第1個:1×2-2=22×0;
第2個:4×3-3=32×1;
第3個:9×4-4=42×2;
第4個:16×5-5=52×3;
……
按照以上規律,第n個等式為n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1).
8.15　57　解析:注意到m-n>1,知m-n≥2,∴m≥n+2.當m=n+2時,由(n+2)2-n2=4+4n產生的智慧優數為8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,…當m=n+3時,由(n+3)2-n2=9+6n產生的智慧優數為15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,…當m=n+4時,由(n+4)2-n2=16+8n產生的智慧優數為24,32,40,48,56,64,72,80,…當m=n+5時,由(n+5)2-n2=25+10n產生的智慧優數為35,45,55,65,75,85,…當m=n+6時,由(n+6)2-n2=36+12n產生的智慧優數為48,60,72,84,…當m=n+7時,由(n+7)2-n2=49+14n產生的智慧優數為63,77,91,…當m=n+8時,由(n+8)2-n2=64+16n產生的智慧優數為80,96,…綜上,將上述產生的智慧優數從小到大排列如下:8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40,44,45,48,51,52,55,56,57,60,63,64,65,68,69,…故第3個智慧優數是15;第23個智慧優數是57.
9.9　144　解析:當n=6時,從1,2,3,4,5,6中,取兩個數的和大于6,這兩個數分別是{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},
∴k=5+3+1=9;
當n=24時,從1,2,3,…,22,23,24中,取兩個數的和大于24,這兩個數分別是:
{24,1},{24,2},…,{24,23},
{23,2}{23,3},…,{23,22},
{22,3},{22,4},…,{22,21},
……
{14,11},{14,12},{14,13},
{13,12},
∴k=23+21+19+…+3+1=144.
10.(n2+n+1,n2+2n+2)　解析:每個數對的第一個數分別為3,7,13,21,31,…即1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,5×6+1,…則第n個數對的第一個數為n(n+1)+1=n2+n+1,每個數對的第二個數分別為5,10,17,26,37,…即22+1;32+1;42+1;52+1;62+1…,則第n個數對的第二個數為(n+1)2+1=n2+2n+2,∴第n個數對為(n2+n+1,n2+2n+2).
11.21　解析:根據規律可得第七行的數為1,6,15,20,15,6,1;第八行的數為1,7,21,35,35,21,7,1;∴根據規律第八行從左到右第三個數為21.
12.B　解析:由所給圖形可知,
第一幅圖中正方形的個數為1=12;
第二幅圖中正方形的個數為5=12+22;
第三幅圖中正方形的個數為14=12+22+32;
第四幅圖中正方形的個數為30=12+22+32+42;
……
所以第n幅圖中正方形的個數為12+22+32+…+n2,
當n=6時,
12+22+32+…+62=91(個),
即第六幅圖中正方形的個數為91個.故選B.
13.B　解析:由題圖可知,
第1種化合物的分子結構模型中氫原子的個數為4=1×2+2;
第2種化合物的分子結構模型中氫原子的個數為6=2×2+2;
第3種化合物的分子結構模型中氫原子的個數為8=3×2+2;
第4種化合物的分子結構模型中氫原子的個數為10=4×2+2;
……
所以第n種化合物的分子結構模型中氫原子的個數為(2n+2)個,
當n=10時,
2n+2=22,
即第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數為22個.故選B.
14.B　解析:根據題意得:第一層由1+3+5=9(張)便利貼拼成,
第二層由3+5+7=15(張)便利貼拼成,
第三層由5+7+9=21(張)便利貼拼成,
……
∴第n(n為正整數)層由2n-1+2n+1+2n+3=(6n+3)(張)便利貼拼成;
∵9+15+21+…+6n+3==3n2+6n,
∴當n=10時,3n2+6n=3×102+6×10=360(張),
∴此圣誕樹圖案由360張便利貼拼成.故選B.
15.(2+2n)　解析:第1個圖案中有4個白色圓片,4=2+2×1,第2個圖案中有6個白色圓片,6=2+2×2,第3個圖案中有8個白色圓片,8=2+2×3,第4個圖案中有10個白色圓片,10=2+2×4,……,第n個圖案中有(2+2n)個白色圓片.
16.12　解析:由題圖可知,
第1個“小屋子”中圖形“○”的個數為1=1,“●”的個數為4=1×2+2;
第2個“小屋子”中圖形“○”的個數為3=1+2,“●”的個數為6=2×2+2;
第3個“小屋子”中圖形“○”的個數為6=1+2+3,“●”的個數為8=3×2+2;
第4個“小屋子”中圖形“○”的個數為10=1+2+3+4,“●”的個數為10=4×2+2;
……
所以第n個“小屋子”中圖形“○”的個數為1+2+3+…+n=,“●”的個數為2n+2;
由題知,=3(2n+2),
解得n1=-1,n2=12,
又因為n為正整數,
所以n=12,
即第12個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍.
17.2n2-n　解析:依題意,a1=1,a2=5,a3=9,…,an=1+4(n-1)=4n-3,∴a1+a2+a3+…+an=n=(2n-1)n=2n2-n.
18.解:(1)36　120　
解析:由題知,
三角點陣中前1行的點數之和為1;
三角點陣中前2行的點數之和為1+2;
三角點陣中前3行的點數之和為1+2+3;
三角點陣中前4行的點數之和為1+2+3+4;
……
所以三角點陣中前n行的點數之和為1+2+3+…+n=.
當n=8時,
=36,
即三角點陣中前8行的點數之和為36.
當n=15時,
=120,
即三角點陣中前15行的點數之和為120.
(2)不能
解析:令=500,
解得n=,
因為n為正整數,
所以三角點陣中前n行的點數之和不能為500.
(3)由題知,
前n排盆景的總數可表示為n(n+1),
令n(n+1)=420,
解得n1=-21,n2=20.
因為n為正整數,
所以n=20,
即一共能擺放20排.
19.(2,1)　解析:點(1,4)經過1次運算后得到點為(1×3+1,4÷2),即為(4,2),
經過2次運算后得到點為(4÷2,2÷2),即為(2,1),
經過3次運算后得到點為(2÷2,1×3+1),即為(1,4),
……
發現規律:點(1,4)經過3次運算后還是(1,4),
∵2 024÷3=674……2,
∴點(1,4)經過2 024次運算后得到點(2,1).
20.(2 023,)　解析:由圖形可得A2(2,0),A3(3,0),A5(5,0),A6(6,0),A8(8,0),A9(9,0).如圖,過A1作A1B⊥x軸,
∵△OA1A2是邊長為2的等邊三角形,∴OB=cos60°×OA1=1,A1B=sin60°×OA1=,∴A1(1,),同理:A4(4,-),A7(7,),A10(10,-),∴A3n-1(3n-1,0),A3n(3n,0),A3n+1(3n+1,-)(3n+1為偶數),A3n+1(3n+1,)(3n+1為奇數);∵2 023÷3=674……1,2 023為奇數,∴A2 023(2 023,).
21.(-2 023,1)　解析:∵點A坐標為(1,1),且A1為A點繞B點順時針旋轉90°所得,∴A1點坐標為(2,0).又∵A2為A1點繞O點順時針旋轉90°所得,∴A2點坐標為(0,-2).又∵A3為A2點繞C點順時針旋轉90°所得,∴A3點坐標為(-3,1).又∵A4為A3點繞A點順時針旋轉90°所得,∴A4點坐標為(1,5),由此可得出規律:A1,A2,A3,A4,…,An為繞B,O,C,A四點作為圓心依次循環順時針旋轉90°得到的,且半徑為1,2,3,4,…,n,每次增加1.∵2 023÷4=505……3,故A2 023為以點C為圓心,半徑為2 023的CA2 022順時針旋轉90°所得.故點A2 023的坐標為(-2 023,1).
22.D　解析:由題知,
點A10的坐標為(1,0),
則y10=0.
因為函數圖象關于點(1,0)中心對稱,
所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=0,
將x=2代入函數解析式得,
y=23-3×22+3×2-1=1,
即y20=1,
所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值為1.故選D.
23.(2 891,-)　解析:由題知,
點A1的坐標為(1,-),
點A2的坐標為(3,-),
點A3的坐標為(4,0),
點A4的坐標為(6,0),
點A5的坐標為(7,),
點A6的坐標為(9,),
點A7的坐標為(10,0),
點A8的坐標為(11,-),
點A9的坐標為(13,-),
點A10的坐標為(14,0),
點A11的坐標為(16,0),
點A12的坐標為(17,),
點A13的坐標為(19,),
點A14的坐標為(20,0),
……
由此可見,每隔七個點,點An的橫坐標增加10,且縱坐標按-,-,0,0,,,0循環出現,
又因為2 024÷7=289……1,所以1+289×10=2 891,則點A2 024的坐標為(2 891,-).
24.　解析:當x=1時,P1的縱坐標為8;當x=2時,P2的縱坐標為4;當x=3時,P3的縱坐標為;當x=4時,P4的縱坐標為2;當x=5時,P5的縱坐標為;……;則S1=1×(8-4)=8-4,S2=1×=4-,S3=1×-2,S4=1×=2-,…,Sn=,∴S1+S2+S3+S4+…+Sn=8-4+4-+-2+2-+…+=8-,∴S1+S2+S3+…+S2 023=.
25.22 022　解析:如圖,過點A1作A1M⊥x軸,交直線y=x(x≥0)于點M,過點B1作B1C⊥x軸于點C,∵A1(2,0),∴OA1=2.當x=2時,y=,即M2,,A1M=,∴tan∠A1OM=,∴∠A1OM=30°.∵△A1B1A2是等邊三角形,∴∠A2A1B1=60°,A1A2=A1B1,∴∠OB1A1=30°=∠A1OM,∴A1B1=OA1=2,∴B1C=A1B1·sin 60°=2×,∴B1的縱坐標為2×.同理可得:點B2的縱坐標為22×,點B3的縱坐標為23×,點B4的縱坐標為24×,歸納類推得,點Bn的縱坐標為2n×=2n-1(n為正整數),則點B2 023的縱坐標為22 023-1×=22 022.
26.4-,　解析:在平面直角坐標系中,點A在y軸上,點B在x軸上,OA=OB=4,∴△OAB是等腰直角三角形,∠OBA=45°,∵OA1⊥AB,∴△OA1B是等腰直角三角形,同理可得,△OA1B1,△A1B1B均為等腰直角三角形,∴A1(2,2).根據圖中所有的三角形均為等腰直角三角形,依次可得A2(3,1),A34-,,A44-,,由此可推出:點A2 023的坐標為4-,.

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