資源簡介

第34課時　概率
考點一　事件的分類
事件類型 定義 發生概率
確定 事件 必然事件 在一定條件下,必然會發生的事件 1
不可能 事件 在一定條件下,必然不會發生的事件 0
不確定 事件 隨機事件 在一定條件下,可能發生也可能不發生的事件 大于0小于1
① (2024·武漢)小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲,兩人同時出相同的手勢,這個事件是 (　　)
A.隨機事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.確定性事件
② (人教九上P127變式)小麗在4張同樣的卡片上各寫了一個正整數,從中隨機抽取2張,并將它們上面的數相加.重復這樣做,每次所得的和都是6,8,10,12中的一個數,并且這四個數都能取到.在下列四個結論中:
①卡片上的數最小可以是1;
②卡片上的數最大可以是10;
③卡片上的數可以是4個連續的整數;
④卡片上的數有且僅有2個數相等.
其中所有正確結論的序號是　　　　.
考點二　概率的定義及計算
定 義 一般地,對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發生可能性大小的數值,稱為隨機事件A發生的概率,記為P(A)
計 算 公式法 一般地,如果在一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發生的可能性都①　　　　,事件A包含其中的m種結果,那么事件A發生的概率P(A)=②　　　　
列表法 當一次試驗涉及兩個因素,并且出現的結果數目較多時,通常采用列表法,不重不漏地列出所有等可能出現的結果,再計算概率
畫樹狀 圖法 當一次試驗涉及三個或更多的因素,并且出現的結果數目較多時,通常采用畫樹狀圖,不重不漏地列出所有等可能出現的結果,再計算概率
幾何 概型 一般是根據幾何圖形的面積之比來求概率,P(A)=
用頻率 估計 概率 為了求出一個事件的概率,可以通過多次重復試驗,用所得的頻率來估計該事件的概率
游戲的公平性:一般通過比較概率的大小來判斷.在條件相同的前提下,若對于參加游戲的每一個人來說獲勝的概率都相等,則游戲公平,否則不公平.
③ (冀教九下P86變式)甲、乙同學在玩紙牌游戲,如圖是他們手中所剩的紙牌,若兩張撲克牌的牌面數字相同,則可以組成一對.
甲　　 乙
(1)隨機抽取一張甲手中的紙牌,抽中數字“8”是 (　　)
A.必然事件 B.隨機事件 C.不可能事件 D.確定事件
(2)若甲從乙手中隨機抽取一張,則恰好與手中紙牌組成一對的概率是　　　　.
(3)若甲從乙手中隨機抽取一張之后不放回,繼續隨機抽取一張,則兩次抽中的紙牌數字都為偶數的概率是　　　　.
(4)若丙同學空手加入游戲,分別從甲、乙兩名同學手中各隨機抽取一張紙牌,求恰好組成一對的概率.(用畫樹狀圖或列表的方法解答)
小紅和同學們玩摸球游戲,在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球、藍球若干.請回答下列問題:
(1)小紅根據游戲規則作出了如圖所示的樹狀圖,則此次摸球的游戲規則是:
隨機摸出　　　　個球后　　　　(填“放回”或“不放回”),再隨機摸出　　　　個球.
(2)將袋子中球的個數增加到20個,這些球除顏色外都相同,小紅通過多次試驗發現,摸出紅球的頻率穩定在0.25左右,則袋子中紅球的個數可能是　　　　個.
(1)1　不放回　1
(2)5
解析:設袋子中紅球有x個,根據頻率穩定在0.25左右可知,=0.25,
解得x=5 ,
即袋子中紅球的個數可能是5個.
在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的5個小球,其中紅球2個,黃球3個.
(1)請判斷以下事件是隨機事件、不可能事件,還是必然事件.
①從口袋中任意取出1個球,是1個白球;
②從口袋中一次任意取出3個球,全是黃球;
③從口袋中一次任意取出4個球,恰好紅黃兩種顏色的球都有.
(2)若先從袋子中取出m個黃球(m>1且m為正整數),再從袋子中隨機摸1個小球,將“摸出紅球”記為事件A.
①若事件A為必然事件,則m的值為　　　　;
②若事件A為隨機事件,則m的值為　　　　.
(3)隨機摸出1個球,求摸到黃球的概率.
(4)隨機摸出1個球后放回攪勻,再隨機摸出1個球,求摸出的兩個球都是黃球的概率.
(5)隨機摸出1個球后不放回,再隨機摸出1個球,求摸出的兩個球都是黃球的概率,
(6)若從袋中隨機摸出2個球,正好紅球、黃球各1個,求這個事件的概率.
(7)若5個球上分別標有數字-2,-1,0,1,2.嘉嘉和淇淇同時從袋中隨機各摸出1個球,若摸出的這2個球上的數字之積為正數,嘉嘉獲勝;反之,淇淇獲勝.這個游戲公平嗎 為什么
(8)若再往布袋中放入n(n>0,n為正整數)個紅球,此時隨機摸出1個球,摸出紅球的概率為,則n的值為　　　　.
(1)解:①不可能事件;②隨機事件;③必然事件.
(2)①3　②2
(3)解:P(摸出黃球)==.
(4)解:根據題意列表:
　 　第二次 第一次　 　 紅 紅 黃 黃 黃
紅 (紅,紅) (紅,紅) (紅,黃) (紅,黃) (紅,黃)
紅 (紅,紅) (紅,紅) (紅,黃) (紅,黃) (紅,黃)
黃 (黃,紅) (黃,紅) (黃,黃) (黃,黃) (黃,黃)
黃 (黃,紅) (黃,紅) (黃,黃) (黃,黃) (黃,黃)
黃 (黃,紅) (黃,紅) (黃,黃) (黃,黃) (黃,黃)
一共有25種等可能的結果,其中摸出的兩球都是黃球的結果有9種,故P(摸出的兩個球都是黃球)=.
(5)解:根據題意列表:
　　 第二次 第一次　 　 紅 紅 黃 黃 黃
紅 (紅,紅) (紅,黃) (紅,黃) (紅,黃)
紅 (紅,紅) (紅,黃) (紅,黃) (紅,黃)
黃 (黃,紅) (黃,紅) (黃,黃) (黃,黃)
黃 (黃,紅) (黃,紅) (黃,黃) (黃,黃)
黃 (黃,紅) (黃,紅) (黃,黃) (黃,黃)
共有20種等可能的結果,其中摸出的兩球都是黃球的結果有6種,故P(摸出的兩個球都是黃球)==.
(6)解:畫樹狀圖:
一共有20種等可能的結果,從袋中隨機摸出2個球,正好紅球、黃球各1個的情況有12種,
故P(從袋中隨機摸出2個球,正好紅球、黃球各1個)==.
(7)解:這個游戲不公平.理由:
　 淇淇 嘉嘉　 -2 -1 0 1 2
-2 2 0 -2 -4
-1 2 0 -1 -2
0 0 0 0 0
1 -2 -1 0 2
2 -4 -2 0 2
一共有20種等可能的結果,其中數字之積為正數的結果有4種,故P(嘉嘉獲勝)==,
P(淇淇獲勝)=1-=.∵≠,∴這個游戲不公平.
(8)1
解析:由題意可得,=,解得n=1,經檢驗,n=1是所列方程的解,且符合題意.
故n的值為1.
命題點一　概率的計算
(2023·河北)將一質地均勻的正方體骰子擲一次,觀察向上一面的點數,與點數3相差2的概率是 (　　)
A. B. C. D.
(2023·河北)有7張撲克牌如圖所示,將其打亂順序后,背面朝上放在桌面上.若從中隨機抽一張,則抽到的花色可能性最大的是 (　　)
A.(黑桃) B.(紅心)
C.(梅花) D.(方塊)
(2023·河北)某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示.嘉淇進入展廳后開始自由參觀,每走到一個十字道口,她自己可能直行,也可能向左轉或向右轉,且這三種可能性均相同.
(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率.
(2)補全圖2的樹狀圖,并分析嘉淇經過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大.
圖1 圖2
(2023·河北)如圖1,一枚質地均勻的正四面體骰子,它有四個面并分別標有數字1,2,3,4.如圖2,正方形ABCD頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規則為游戲者每擲一次骰子,骰子著地一面上的數字是幾,就沿正方形的邊順時針方向連續跳幾個邊長.如:若從圈A起跳,第一次擲得3,就順時針連續跳3個邊長,落到圈D;若第二次擲得2,就從圈D開始順時針連續跳 2個邊長,落到圈B;……設游戲者從圈A起跳.
(1)嘉嘉隨機擲一次骰子,求落回到圈 A的概率P1.
(2)淇淇隨機擲兩次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣嗎
圖1　 　圖2
命題點二　統計與概率結合
(2024·河北)老師隨機抽查了本學期學生讀課外書冊數的情況,繪制成條形圖(圖1)和不完整的扇形圖(圖2),其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分.
圖1　　 圖2
(1)求條形圖中被遮蓋的數,并寫出冊數的中位數.
(2)在所抽查的學生中隨機選一人談讀書感想,求選中讀書超過5冊的學生的概率.
(3)隨后又補查了另外幾人,得知最少的讀了6冊,將其與之前的數據合并后,發現冊數的中位數沒改變,則最多補查了　　　　人.
(2023·河北)編號為1~5號的5名學生進行定點投籃,規定每人投5次,每命中1次記1分,沒有命中記0分.如圖是根據他們各自的累積得分繪制的條形統計圖,之后來了第6號學生也按同樣記分規定投了 5次,其命中率為40%.
(1)求第6號學生的積分,并將圖增補為這6名學生積分的條形統計圖.
(2)在這6名學生中,隨機選一名學生,求選上命中率高于50%的學生的概率.
(3)最后,又來了第7號學生,也按同樣記分規定投了5次.這時7名學生積分的眾數仍是前6名學生積分的眾數,求這個眾數以及第7號學生的積分.
命題點三　數軸與概率結合
(2023·河北)如圖,甲、乙兩人(看成點)分別在數軸-3和5的位置上,沿數軸做移動游戲.每次移動游戲規則:裁判先捂住一枚硬幣,再讓兩人猜向上一面是正是反,而后根據所猜結果進行移動.
①若都對或都錯,則甲向東移動1個單位,同時乙向西移動1個單位;
②若甲對乙錯,則甲向東移動4個單位,同時乙向東移動 2個單位;
③若甲錯乙對,則甲向西移動2個單位,同時乙向西移動 4 個單位.
(1)經過第一次移動游戲,求甲的位置停留在正半軸上的概率P.
(2)從圖的位置開始,若完成了10次移動游戲,發現甲、乙每次所猜結果均為一對一錯.設乙猜對n次,且他最終停留的位置對應的數為m,試用含n的代數式表示m,并求該位置距離原點O最近時n的值.
(3)從圖的位置開始,若進行了k次移動游戲后,甲與乙的位置相距2個單位,直接寫出k的值.
命題點四　頻率與概率
(2022·河北)某小組做“用頻率估計概率”的試驗時,統計了某一結果出現的頻率,繪制了如圖的折線統計圖,則符合這一結果的試驗最有可能的是 (　　)
A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機出的是“剪刀”
B.一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃
C.暗箱中有1個紅球和2個黃球,它們只有顏色上的區別,從中任取一球是黃球
D.擲一枚質地均勻的正六面體骰子,向上的面點數是4
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①相等　②
對應練習
1.A　解析:小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲,兩人同時出相同的手勢,這個事件是隨機事件.故選A.
2.①④　解析:設這四個數字分別為A,B,C,D且 A≤B≤C≤D,
∵每次所得兩個數字的和最小是6,
∴A+B=6.
又∵每次所得兩個數字的和最大是12,
∴C+D=12,∴四個數字中至少有一個是1,若A=1,則B=5.
∵每次所得兩個數字的和有4種,
∴四個數字中必有兩個數字相等,則B=C=5或C=D=6,
①卡片上的數字最小是1,正確;
②卡片上的數字最大是10,錯誤;
③卡片上的數字可以是四個連續的整數,錯誤;
④卡片上的數字有且僅有兩個數相等,正確.
3.解:(1)B
(2)
解析:從乙手中的4張,需抽出5或8,才能與甲手中的牌湊成一對,故甲從乙手中隨機抽取一張,恰好與手中牌組成一對的概率是.
(3)
解析:由題意畫樹狀圖如下:
一共有12種等可能的結果,其中是偶數的有2種,
∴P(兩次抽中的紙牌數字都為偶數)=.
(4)畫樹狀圖如下:
一共有12種等可能的結果,其中能組成一對的有2種,所以P(組成一對)=.
河北中考·真題體驗
1.B　解析:一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數.∵擲一次這枚骰子,向上的一面的點數與點數3相差2的有2種情況,∴擲一次這枚骰子,向上的一面的點數與點數3相差2的概率是.故選B.
2.B　解析:∵一共有7張撲克牌,每張牌被抽到的概率相同,其中黑桃牌有1張,紅心牌有3張,梅花牌有1張,方塊牌有2張,∴抽到的花色是黑桃的概率為,抽到的花色是紅心的概率為,抽到的花色是梅花的概率為,抽到的花色是方塊的概率為,∴抽到的花色可能性最大的是紅心.故選B.
3.解:(1)嘉淇走到十字道口A有3種等可能的前進方式,故向北走的概率為.
(2)補全樹狀圖如圖所示:
共有9種等可能的結果,嘉淇經過兩個十字道口后向西參觀的結果有3種,向南參觀的結果有2種,向北參觀的結果有2種,向東參觀的結果有2種,∴向西參觀的概率為,向南參觀的概率=向北參觀的概率=向東參觀的概率=.∴向西參觀的概率較大.
4.解:(1)∵擲一次骰子有4種等可能的結果,只有擲得4時,才會落回到圈A,
∴擲一次骰子落回到圈A的概率P1=.
(2)列表如下:
　 第2次 第1次 1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
所有等可能的情況共有16種,當兩次擲得的數字和為4的倍數,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)時,才可能落回到圈A,故共有4種情況.
∴最后落回到圈A的概率
P2=.
又∵P1=,∴P1=P2.
∴她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣.
5.解:(1)抽查的學生有6÷25%=24(名),
讀課外書為5冊的學生有24-5-6-4=9(名),
∴條形圖中被遮蓋的數為9.
∵共抽查了24名學生讀課外書冊數的情況,∴第12名學生和第13名學生讀課外書冊數之和的平均數為中位數.
∴冊數的中位數為=5(冊).
(2)∵讀書超過5冊的學生數為6+4=10,
∴選中讀書超過5冊的學生的概率=.
(3)3
6.解:(1)第6號學生命中的次數為5×40%=2,則第6號學生的積分為2分,
補全條形統計圖如圖所示:
(2)這6名學生中,命中次數多于5×50%=2.5(次)的有第2,3,4,5號這4名學生,∴選上命中率高于50%的學生的概率為.
(3)∵前6名學生積分中,3出現的次數最多,∴這個眾數是3分.∵7名學生積分的眾數是3分,∴第7號學生命中了3次或沒有命中.∴第7號學生的積分是3分或0分.
7.解:(1)∵經過第一次移動游戲,甲的位置停留在正半軸上,∴必須甲對乙錯.
∵一共有四種情形:都對,都錯,甲對乙錯,甲錯乙對,
∴P(甲對乙錯)=,即甲的位置停留在正半軸的概率P=.
(2)根據題意,可得乙猜對n次,向西移動4n個單位,(10-n)次猜錯,向東移了2(10-n)個單位,
∴m=5-4n+2(10-n)=25-6n.
當n=4時,離原點O最近.
(3)k的值為3或5.
8.D　解析:A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機出的是“剪刀”的概率為,故選項A不符合題意;B.一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是,故選項B不符合題意;C.暗箱中有1個紅球和2個黃球,它們只有顏色上的區別,從中任取一球是黃球的概率為,故C選項不符合題意;D.擲一枚質地均勻的正六面體骰子,向上的面點數是4的概率為≈0.17,故選項D符合題意.故選D.

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