資源簡介

第33課時　統計
考點一　數據的收集
調查方式
項目 定義 適用條件
全面調查 (普查) 對①　　　　進行的調查 調查的范圍小,調查不具有破壞性,數據要求準確、全面
抽樣 調查 從被考察的全體對象中抽取②　　　　進行考察的調查方式 調查對象涉及面大、范圍廣,普查的意義或價值不大,或受條件限制,無法進行普查或調查具有破壞性等
相關概念
總體 所要考察對象的③　　　　叫做總體
個體 組成總體的每一個考察對象叫做④　　　
樣本 從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本
樣本容量 一個樣本中包含的⑤　　　　叫做樣本容量
簡單隨機抽樣 能保證總體中的每個個體都有相等的機會被抽到的抽樣方法
用樣本估計總體 總體中某組的數量=總體數量×樣本中該組所占的百分比
樣本容量指樣本中個體的數目,沒有單位.
① 3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎.為了解某校800名九年級學生的睡眠時間,從13個班級中隨機抽取50名學生進行調查,下列說法正確的是 (　　)
A.800名學生是總體
B.13個班級是抽取的一個樣本
C.50是樣本容量
D.每名學生是個體
② (人教七下P140變式)下列調查中,　　　　適宜使用抽樣調查方式,　　　　適宜使用普查方式.(只填序號)
①了解全國中小學生每天的零花錢;②調查某校籃球運動員的身高;③了解某校八(1)班期末考試總成績;④調查20~25歲年輕人最崇拜的偶像.
考點二　數據的整理與描述
頻數與頻率
頻數 定義 在統計時,每個對象出現的次數
規律 頻數之和等于⑥　　　
頻率 定義 每個對象出現的次數與總次數的比值
常見的統計圖表
項目 圖表示例 圖表特點 數據特點
條形 統計 圖 能夠顯示每組中的具體數據,易于比較數據之間的差別 (1)能清楚地表示出各部分的⑦　　　　; (2)各部分數量之和等于⑧　　　　(樣本容量)
扇形 統計 圖 易于顯示每組數據相對于總數的大小 (1)能清楚地表示出各部分在總體中所占的⑨　　　　; (2)各百分比之和等于　　　　; (3)圓心角度數=　　　
折線 統計 圖 可以表示出數量的多少,易于顯示數據的變化趨勢 各組頻數之和等于樣本容量
頻數 分布 直方 圖 能夠清楚地顯示各組頻數分布情況,易于顯示各組之間頻數的差別 (1)各組頻數之和等于樣本容量; (2)各組頻率之和等于　　　　; (3)數據總數×各組的頻率=相 應組的　　
頻數 分布 表 分組頻數………………
容易判斷數據的多少,比較各個小組的差別 各組頻數之和等于　　　
③ 某班按課外閱讀時間將學生分為3組,第1,2組的頻率分別為0.2,0.5,則第3組的頻率是　　　　.
④ (冀教八下P22變式)根據《河北省初中學業水平體育與健康科目考試現場測試辦法(試行)》,從2024年中考開始,體育與健康科目包含過程性考核和現場測試.現場測試項目包括三類,必考項目,抽考項目,選考項目.其中,選考項目包含三項:A.足球運球繞桿;B.籃球運球繞桿;C.排球正面雙手墊球(三選一).
某學校為了迎接中考,對新升入八年級的部分學生進行如下統計調查:
類別 選考項目 你的選擇
A 足球運球繞桿
B 籃球運球繞桿
C 排球正面雙手墊球
他們將調查結果整理后繪制成圖1、圖2、圖3三幅均不完整的統計圖表.
類別 頻數 頻率
A 36 0.45
B 0.25
C 24 b
合計 a 1
圖1
圖2　 圖3
請根據圖表中提供的信息回答下列問題:
(1)a=　　　　;b=　　　　.
(2)請求出圖2中“C”對應扇形的圓心角.
(3)請補全圖3中“B”所對應的條形.
(4)若該校有600名新八年級學生,請你根據調查估計八年級選擇A.足球運球繞桿的人數.
考點三　數據的分析
反映數據集中趨勢的統計量
平 均 數 反映數據的平均水平,易受極端值的影響 算術 平均數 一組數據x1,x2,x3,…,xn,它們的平均數=　　　
加權 平均數 如果n個數據中,x1出現f1次,x2出現f2次,…,xi出現fi次(這里f1+f2+…+fi=n),則=(x1f1+x2f2+…+xifi)
中 位 數 反映數據的中等水平,不受極端數據的影響 將一組數據按照　　　　的順序排列,如果數據的個數是奇數,則稱處于 　　　　位置的數為這組數據的中位數;如果數據的個數是偶數,則稱中間兩個數據的　　　　為這組數據的中位數
眾 數 反映數據的集中趨勢 在一組數據中,出現次數　　　　的數據叫做這組數據的眾數,一組數據的眾數可能不止一個,也可能沒有眾數
反映數據波動大小的統計量——方差
定義 設有n個數據x1,x2,x3,…,xn,它們的平均數是,則它們的方差為s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
意義 方差越大,數據的波動越　　　　, 越不穩定;方差越小,數據的波動越　　　　, 越穩定
應用 在平均數相同的情況下,比較兩組數據的穩定性
數據變化對平均數、方差的影響
數據 平均數 方差
x1,x2,…,xn s2
x1+m,x2+m,…,xn+m +m s2
ax1,ax2,…,axn a a2s2
ax1+m,ax2+m,…,axn+m a+m a2s2
⑤ 已知數據x1,x2,…,xn的平均數是2,方差是6,若一組新數據x1+8,x2+8,…,xn+8的平均數是m,方差是n,則m-n=　　　　.
⑥ (人教八下P113變式)某同學上學期的數學歷次測驗成績如下表所示:(單位:分)
測驗 類別 平時測驗 期中測驗 期末測驗
第1次 第2次 第3次 第4次
成績 100 106 106 108 96 110
(1)該同學上學期6次測驗成績的眾數為　　　　,中位數為　　　　.
(2)該同學上學期數學平時測驗成績的平均數為　　　　.
(3)該同學上學期的總成績是將平時測驗的平均成績、期中測驗成績、期末測驗成績按照3∶3∶4的比計算所得,求該同學上學期數學學科的總評成績(結果保留整數).
考點四　統計的一般過程
⑦ 班委會決定組織一次娛樂活動,內容從講笑話和唱歌中選擇一項,決定是講笑話還是唱歌,班委會決定進行民意調查,下列說法錯誤的是 (　　)
A.調查的問題是:選擇講笑話還是唱歌
B.調查的范圍是:全班同學
C.調查的方式是:查找資料
D.這次調查需要收集的數據是:全班同學選擇講笑話和唱歌的人數
在校園藝術節活動中,同學們踴躍參加各項競賽活動,參加的學生只能從“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”和“樂器”五個選項中選擇一項.現將選擇情況繪制成了條形統計圖和不完整的扇形統計圖,其中條形統計圖部分被不小心污染.請根據統計圖中的相關信息,回答下列問題:
圖1　 圖2
(1)圖1中,根據數據信息可知:參加“主持”比賽的人數是參加“樂器”比賽人數的　　　　倍,而統計圖表現出來的直觀情況卻是:參加“主持”比賽的人數是參加“樂器”比賽人數的3倍,兩個結果之所以不一樣,是因為　　　　.
(2)請求出全校一共有多少名學生參加“舞蹈”比賽.
(3)在圖2中,“小品”部分所對應的圓心角的度數為　　　　°.
(4)擬參加比賽活動的學生有50%獲獎,并設置一等獎、二等獎、三等獎,共3個獎項,其中獲二等獎與三等獎的人數之比為3∶5,二等獎人數是一等獎人數的1.5倍,則獲一等獎的學生有　　　人.
(1)2　統計圖的人數欄(縱軸)沒有從零開始計數
解析:80÷40=2,
∴參加“主持”比賽的人數是參加“樂器”比賽人數的2倍.
∵統計圖的人數欄不是從零開始計數,
∴統計圖表現出來的直觀情況是參加“主持”比賽的人數是參加“樂器”比賽人數的3倍.
(2)解:80÷=400(人),
400×16%=64(人),
∴全校一共有64名學生參加“舞蹈”比賽.
(3)86.4
解析:400-120-64-80-40=96(人),
∴360°×=86.4°,
∴“小品”部分所對應的圓心角的度數為86.4°.
(4)40
解析:∵參加比賽活動的學生有50%獲獎,總共有400人,
∴一共有200人獲獎.
∵獲二等獎與三等獎的人數之比為3∶5,二等獎人數是一等獎人數的1.5倍,
∴設一等獎人數為x人,則二等獎人數為1.5x人,三等獎的人數為2.5x人,
∴x+1.5x+2.5x=200,
解得x=40,
∴獲一等獎的學生有40人.
為了解八年級同學對“學黨史、知黨恩、跟黨走”知識的掌握情況,從甲、乙兩個班各選出5名同學進行一次測試,滿分10分,成績如下:
甲班:8,8,7,8,9.
乙班:5,10,8,10,7.
已知甲班成績的平均數,眾數和中位數都是8分,方差是0.4.根據以上信息,回答下列問題:
(1)在調查過程中,采用了　　　　調查,其中樣本是　　　　　　　,樣本容量為　　　　.
(2)在上述數據中,乙班成績的平均數是　　　　,眾數是　　　　,中位數是　　　　.
(3)如果去掉乙班中的一個最高分和一個最低分,下面關于乙班成績的統計量不發生變化的是 (　　)
A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差
(4)哪個班所選的學生的成績比較均衡 請通過計算說明.
(5)已知競賽成績滿分者可以獲得獎牌,如果想獲得獎牌,且只能從一個班中選5名代表參加競賽,你認為選哪個班更合適 為什么
(6)若在記錄過程中,乙班的第一個數據5統計有誤,且知道正確數據的平均數為8.4,則乙組正確數據的眾數為　　　　.
(1)抽樣　甲、乙兩個班各5名同學的成績　10
(2)8分　10分　8分
(3)B
(4)解:甲班所選的學生成績比較均衡.理由:
由(2)可知乙班成績的平均數是8,
乙班成績的方差:
s2==3.6,
∵0.4<3.6,
∴甲班所選的學生成績比較均衡.
(5)解:選乙班更合適,理由如下:
∵競賽成績滿分者可以獲得獎牌,甲班5名學生的成績中沒有滿分的,乙班5名學生的成績中有兩個滿分的,∴如果想獲得獎牌,且只能從一個班中選5名學生參加競賽,選乙班更合適.
(6)7分和10分
解析:設該數據為x,則=8.4,解得x=7,∴乙班的數據為7,10,8,10,7.故眾數為7分和10分.
命題點一　數據的收集
(2024·河北)某同學要統計本校圖書館最受學生歡迎的圖書種類.以下是排亂的統計步驟:①從扇形圖中分析出最受學生歡迎的種類;②去圖書館收集學生借閱圖書的記錄;③繪制扇形圖來表示各個種類所占的百分比;④整理借閱圖書記錄并繪制頻數分布表.正確統計步驟的順序是 (　　)
A.②→③→①→④ B.③→④→①→②
C.①→②→④→③ D.②→④→③→①
命題點二　數據的分析
(2024·河北)圖中的手機截屏內容是某同學完成的作業,他做對的題有 (　　)
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
(2024·河北)為考察甲、乙、丙、丁四種小麥的長勢,在同一時期分別從中隨機抽取部分麥苗,獲得苗高(單位:cm)的平均數與方差為==13,==15;==3.6,==6.3,則麥苗又高又整齊的是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
(2023·河北)如圖是小穎前三次購買蘋果單價的統計圖,第四次又買的蘋果單價是a元/千克,發現這四個單價的中位數恰好也是眾數,則a= (　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
(2022·河北)五名學生投籃球,規定每人投20次,統計他們每人投中的次數,得到五個數據.若這五個數據的中位數是6,唯一眾數是7,則他們投中次數的總和可能是 (　　)
A.20 B.28 C.30 D.31
(2024·河北)五名同學捐款數分別是5,3,6,5,10(單位:元),捐10元的同學后來又追加了10元.追加后的5個數據與之前的5個數據相比,集中趨勢相同的是 (　　)
A.只有平均數 B.只有中位數 C.只有眾數 D.中位數和眾數
(2023·河北)甲、乙兩組各有12名學生,組長繪制了本組5月份家庭用水量的統計圖表,如圖.
甲組12戶家庭用水量統計表
用水量/噸 4 5 6 9
戶數 4 5 2 1
乙組12戶家庭用水量統計圖
比較5月份兩組家庭用水量的中位數,下列說法正確的是 (　　)
A.甲組比乙組大 B.甲、乙兩組相等
C.乙組比甲組大 D.無法判斷
(2024·河北)某校生物小組的9名同學各用100粒種子做發芽試驗,幾天后觀察并記錄種子的發芽數分別為:89,73,90,86,75,86,89,95,89,以上數據的眾數為　　　　粒.
(2023·河北)某公司為提高服務質量,對其某個部門開展了客戶滿意度問卷調查,客戶滿意度以分數呈現,滿意度從低到高為1分,2分,3分,4分,5分,共5檔,公司規定:若客戶所評分數的平均數或中位數低于3.5分,則該部門需要對服務質量進行整改.工作人員從收回的問卷中隨機抽取了20份,下圖是根據這20份問卷中的客戶所評分數繪制的統計圖.
(1)求客戶所評分數的中位數、平均數,并判斷該部門是否需要整改.
(2)監督人員從余下的問卷中又隨機抽取了1份,與之前的20份合在一起,重新計算后,發現客戶所評分數的平均數大于3.55分,求監督人員抽取的問卷所評分數為幾分 與(1)相比,中位數是否發生變化
命題點三　分析統計圖(表)
(2024·河北)如圖顯示了某地連續5天的日最低氣溫,則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是 (　　)
A. B.
C. D.
(2023·河北)小明調查了本班每位同學最喜歡的顏色,并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2(柱的高度從高到低排列).條形圖不小心被撕了一塊,則圖2中“(　　)”內應填的顏色是 (　　)
圖1　 　圖2
A.藍 B.粉 C.黃 D.紅
(2023·河北)某廠生產A,B兩種產品,其單價隨市場變化而做相應調整.營銷人員根據前三次單價變化的情況,繪制了如下統計表及不完整的折線圖:
A,B產品單價變化統計表
項目 第一次 第二次 第三次
A產品單價/(元/件) 6 5.2 6.5
B產品單價/(元/件) 3.5 4 3
A,B產品單價變化折線圖
并求得了A產品三次單價的平均數和方差:
=5.9;=×[(6-5.9)2+(5.2-5.9)2+(6.5-5.9)2]=.
(1)補全圖中B產品單價變化的折線圖,B產品第三次的單價比上一次的單價降低了　　　　%.
(2)求B產品三次單價的方差,并比較哪種產品的單價波動小.
(3)該廠決定第四次調價,A產品的單價仍為6.5元/件,B產品的單價比3元/件上調m%(m>0),使得A產品這四次單價的中位數比B產品四次單價中位數的2倍少1,求m的值.
(2024·河北)某公司要在甲、乙兩人中招聘一名職員,對兩人的學歷、能力、經驗這三項進行了測試,各項滿分均為10分,成績高者被錄用.圖1是甲、乙測試成績的條形統計圖.
圖1　 　圖2
(1)分別求出甲、乙三項成績之和,并指出會錄用誰.
(2)若將甲、乙的三項測試成績,按照扇形統計圖(圖2)各項所占之比,分別計算兩人各自的綜合成績,并判斷是否會改變(1)的錄用結果.
命題點四　用樣本估計總體
(2024·河北模擬)某校在九年級學生中隨機抽取了若干名學生參加“平均每天體育運動時間”的調查,根據調查結果繪制了如下不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖.
運動時間t/min 頻數 頻率
30≤t<60 4 0.1
60≤t<90 7 0.175
90≤t<120 a 0.35
120≤t<150 9 0.225
150≤t<180 6 b
合計 n 1
頻數分布直方圖
請根據圖表中的信息解答下列問題:
(1)頻數分布表中的a=　　　,b=　　　,n=　　　.
(2)請補全頻數分布直方圖.
(3)若該校九年級共有480名學生,試估計該校九年級學生平均每天體育運動時間不低于120 min的學生人數.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①全體對象　②部分對象　③全體　 ④個體　⑤個體數目　⑥總數　⑦具體數目　⑧抽樣數據總數　⑨百分數　⑩1　百分比×360°　1　頻數　樣本容量　(x1+x2+…+xn)
由大到小(或由小到大)　中間　平均數　最多　大　小
對應練習
1.C
2.①④　②③　解析:了解全國中小學生每天的零花錢,操作性不強,工作量大,適宜使用抽樣調查方式;調查某校籃球運動員的身高,要求精確、難度相對不大、調查無破壞性,應選擇普查方式;了解某校八(1)班期末考試總成績,要求精確、難度相對不大、調查無破壞性,應選擇普查方式;調查20~25歲年輕人最崇拜的偶像,操作性不強,工作量大,適宜使用抽樣調查方式.所以①④適宜使用抽樣調查方式,②③適宜使用普查方式.
3.0.3　解析:由各組頻率之和為1,得1-0.2-0.5=0.3.
4.解:(1)80　0.30
解析:36∶0.45=a∶1,b=1-0.45-0.25=0.3,
解得a=80,
b=0.30.
(2)×360°=108°,
故圖2中“C”對應扇形的圓心角為108°.
(3)80-36-24=20,
補全條形圖如下:
(4)600×0.45=270(名).
答:估計八年級選擇A.足球運球繞桿的人數約為270名.
5.4　解析:∵x1,x2,…,xn的平均數是2,
∴x1+8,x2+8,…,xn+8的平均數是2+8=10,
∴m=10.
∵x1,x2,…,xn的方差是6,
∴x1+8,x2+8,…,xn+8的方差是6,
∴n=6,
∴m-n=10-6=4.
6.解:(1)106分　106分
解析:數據排列為96,100,106,106,108,110,
所以中位數為106分,眾數為106分.
(2)105分
解析: 平時測驗成績的平均數為=105(分).
(3)≈104(分),
故該同學上學期數學學科的總評成績約為104分.
7.C　解析:A.調查的問題是:選擇講笑話還是唱歌,正確,不符合題意;
B.調查的范圍是:全班同學,正確,不符合題意;
C.調查的方式是:全面調查,故錯誤,符合題意;
D.這次調查需要收集的數據是:全班同學選擇講笑話和唱歌的人數,正確,不符合題意.
故選C.
河北中考·真題體驗
1.D　解析:正確的統計步驟是②→④→③→①.故選D.
2.B　解析:①④⑤判斷正確.故選B.
3.D　解析:∵>,∴乙、丁的麥苗比甲、丙要高,∵<,∴甲、丁麥苗的長勢比乙、丙的長勢整齊.綜上所述,麥苗又高又整齊的是丁.故選D.
4.B　解析:由統計圖可知,前三次的中位數是8.∵第四次又買的蘋果單價是a元/千克,這四個單價的中位數恰好也是眾數.∴a=8.故選B.
5.B　解析:中位數是6,唯一眾數是7.則最大的三個數的和是6+7+7=20,兩個較小的數一定是小于6的非負整數,且不相等,即兩個較小的數最大為4和5.∴總和一定大于20且小于或等于29.故選B.
6.D　解析:追加后的5個數據中,眾數和中位數依然是5,平均數與之前的5個數據的平均數相比增大,故不變的為中位數和眾數.故選D.
7.B　解析:由統計表知甲組的中位數為=5(噸),乙組中用水量為4噸和6噸的各有12×=3(戶),用水量為7噸的有12×=2(戶),則用水量為5噸的有12-(3+3+2)=4(戶),∴乙組的中位數為=5(噸).則甲組和乙組的中位數相等.故選B.
8.89　解析:出現次數最多的是89,因此眾數為89粒.
9.解:(1)由條形統計圖可知,客戶所評分數按從小到大排列后,第10個數據是3分,第11個數據是4分,
∴客戶所評分數的中位數為=3.5(分).
由統計圖可知客戶所評分數的平均數為=3.5(分).
∴客戶所評分數的平均數或中位數都不低于3.5分,∴該部門不需要整改.
(2)設監督人員抽取的問卷所評分數為x分,則有:
>3.55,解得x>4.55.
∵滿意度從低到高為1分,2分,3分,4分,5分,共5檔,
∴監督人員抽取的問卷所評分數為5分.
∵4<5,
∴加入這個數據,客戶所評分數按從小到大排列之后,第11個數據不變依然是4分,即加入這個數據之后,中位數是4分.
∴與(1)相比,中位數發生了變化,由3.5分變成4分.
10.A　解析:∵-4<-2<-1<0<1,∴選項A的折線統計圖符合題意.故選A.
11.D　解析:被調查人數是5÷10%=50(人),∴×100%=32%.最喜歡紅色的人數是50×28%=14(人),∴50-16-5-14=15(人).∵柱的高度從高到低排排列,∴條形圖對應的人數依次是16,15,14,5,∴題圖2中“(　)”內應填的顏色是紅色.故選D.
12.解:(1)補全折線圖如圖所示:
A,B產品單價變化折線圖
25
(2)×(3.5+4+3)=3.5,
=,
∵B產品的方差小,
∴B產品的單價波動小.
(3)第四次調價后,對于A產品,這四次單價的中位數為(元/件);
對于B產品,∵m>0,
∴第四次單價大于3,
∵×2-1>,
∴第四次單價小于4.
∴×2-1=.
∴m=25.
13.解:(1)由題意,得甲三項成績之和為9+5+9=23(分),乙三項成績之和為8+9+5=22(分),∵23>22,∴會錄用甲.
(2)由題意,得甲三項成績的綜合成績為9×+5×+9×=3+2.5+1.5=7(分),乙三項成績的綜合成績為8×+9×+5×+4.5+=8(分).∵7<8,∴會錄用乙.∴會改變(1)的錄用結果.
14.解:(1)14　0.15　40
(2)補全頻數分布直方圖如圖所示:
頻數分布直方圖
(3)480×=180(名).
答:估計該校九年級學生平均每天體育運動時間不低于120 min的學生人數為180名.

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