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第31課時　圖形的對稱
考點一　軸對稱圖形與中心對稱圖形
項目 軸對稱圖形 中心對稱圖形
圖形
判斷方法 (1)有對稱軸——直線. (2)圖形沿對稱軸折疊,對稱軸兩邊的圖形完全①　　　 (1)有對稱中心——點. (2)圖形繞對稱中心旋轉②　　　,旋轉前后的圖形完全重合
常見的軸對稱圖形:等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、正五邊形、正六邊形、圓等; 常見的中心對稱圖形:平行四邊形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等; 常見的既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形:菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等
① (冀教八上P127變式)(1)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 (　　)
(2)下列圖形中,是軸對稱圖形且對稱軸最多的圖形是 (　　)
　 　 　
A B C D
考點二　軸對稱與中心對稱
項目 軸對稱 中心對稱
圖形
性質 1.成軸對稱的兩個圖形是全等圖形. 2.對稱點所連線段被對稱軸垂直平分 1.成中心對稱的兩個圖形是全等圖形. 2.對稱點所連線段都經過對稱中心,并且被對稱中心平分
作圖 方法 1.找出原圖形的關鍵點,作出它們關于對稱軸(或對稱中心)的對稱點. 2.根據原圖形依次連接各對稱點即可
② 將一張矩形紙片折疊一次,使折痕平分這個矩形的面積,則這樣的折疊方法有 (　　)
A.2種 B.4種 C.6種 D.無數種
③ 如圖,若點A與點B關于一個點對稱,則這個點是 (　　)
A.點P B.點M
C.點Q D.點N
④ (人教八上P59變式)如圖,若△ABC 與△A'B'C'關于直線MN對稱,BB'交 MN于點O,則下列說法:①AC=A'C';②AB∥B'C' ;③AA'⊥MN;④BO=B'O;⑤線段 AA',BB',CC'被直線 MN 垂直平分;⑥線段 BA 和 B'A'的延長線的交點在直線 MN 上.正確的有　　　　.(填序號)
考點三　圖形的折疊
實質 折疊問題就是軸對稱變換
性質 1.位于折痕兩側的圖形關于折痕對稱. 2.折疊前后的兩部分圖形③　　　,對應邊、角、線段、周長、面積等均④　　　　. 3.折疊前后對應點的連線被折痕垂直平分
⑤ 如圖,矩形ABCD中,AD=8,AB=6,將矩形ABCD沿BD折疊,點A的對應點為A',設BC與DA'的交點為G.
(1)BG與DG的數量關系是　　　　.
(2)A'G與CG的數量關系是　　　　.
(3)連接AA',則AA'的長度為　　　　.
(4)△BA'G與△DCG的關系是　　　　.
考點四　常見圖形的裁剪與拼接
常見圖 形的裁 剪、拼接 1.在任意直角三角形中,找其中任意兩條邊的中點,沿著中點的連線裁剪,可拼接成平行四邊形.
2.等腰直角三角形還可以沿著斜邊中線裁剪,拼成以下三種平行四邊形,也就是說兩個全等的三角形可以拼成三種平行四邊形.
常見圖 形的裁 剪、拼接 3.一大一小兩個正方形可以裁剪拼接成一個大正方形.
4.當滿足=時,左邊正方形可剪拼成右邊矩形,反之亦然.
面積變 化情況 總面積不變
周長變 化情況 1.一個圖形裁剪成兩個圖形,周長增加兩個裁剪痕跡的長. 2.兩個圖形拼成一個圖形,周長減少兩個拼接口的長
⑥ 如圖,有一塊菱形紙片ABCD,沿高DE剪下后拼成一個矩形,矩形的相鄰兩邊DC和DE的長分別是5,3,則EB的長是 (　　)
A.0.5 B.1
C.1.5 D.2
⑦ 如圖所示,將一張直角三角形紙片ABC剪成①②③④四部分,恰好拼成一個無縫隙無重疊的正方形.已知∠ACB=90°,AC=6,BC=8,則
(1)DE=　　　　.
(2)GF=　　　　.
如圖,在3×3的方格中,第一層有灰色方塊甲,可在方格A,B,C中移動,第二層有兩個固定不動的灰色方塊,第三層有灰色方塊乙,可在D,E,F方格中移動,甲、乙移入方格后,四個灰色方塊構成各種圖案.
(1)若乙固定在E處,移動甲后灰色方塊構成的圖案是軸對稱圖形有幾種情形
(2)若甲、乙均可在本層移動,求出灰色方塊所構成圖案是中心對稱圖形的情形.
(1)若乙固定在E處,移動甲后灰色方塊構成的拼圖一共有3種可能,其中有2種情形是軸對稱圖形.
(2)灰色方塊所構成的拼圖中是中心對稱圖形有兩種情形:①甲在B處,乙在F處;②甲在C處,乙在E處.
如圖,在正方形網格中,△ABC三個頂點在格點上,每個小方格的邊長為1個單位長度.
(1)請在正方形網格中畫出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1.
(2)連接BB1,CC1,求四邊形BB1C1C的面積.
(3)請在直線l找一點P,使得PA=PB.
(1)分別作A,B,C三點關于直線 l的對稱點A1,B1,C1,依次連接A1,B1,C1即可得到△A1B1C1,如圖1所示:
圖1　 圖2
(2)如圖2,四邊形BB1C1C為等腰梯形,
∵每個小方格的邊長為1個單位長度,∴BB1=6,CC1=8,∴四邊形BB1C1C的面積為(6+8)×2÷2=14.
(3)作線段AB的垂直平分線交直線l于點P,則此時PA=PB,如圖3所示,點P即為所求.
圖3
命題點一　軸對稱圖形與中心對稱圖形
(2023·河北)下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是 (　　)
　 　　 　　 　
A B C D
(2024·河北)圖中由“○”和“□”組成軸對稱圖形,該圖形的對稱軸是直線 (　　)
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
(2023·河北)圖1和圖2中所有的小正方形都全等.將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置,使它與原來7個小正方形組成的圖形是中心對稱圖形,這個位置是 (　　)
圖1　　 圖2
A.① B.② C.③ D.④
(2023·河北)一張菱形紙片按圖1、圖2依次對折后,再按圖3打出一個圓形小孔,則展開鋪平后的圖案是 (　　)
(2024·河北)如圖,在小正三角形組成的網格中,已有6個小正三角形涂黑,還需涂黑n個小正三角形,使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸,則n的最小值為 (　　)
A.10 B.6 C.3 D.2
命題點二　軸對稱與中心對稱
(2024·河北)如圖,AD與BC交于點O,△ABO和△CDO關于直線PQ對稱,點A,B的對稱點分別是點C,D.下列不一定正確的是 (　　)
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
命題點三　圖形的折疊
(2024·河北)如圖,將△ABC折疊,使AC邊落在AB邊上,展開后得到折痕l,則l是△ABC的 (　　)
A.中線 B.中位線 C.高線 D.角平分線
(2012·河北)如圖,在 ABCD中,∠A=70°,將 ABCD折疊,使點D,C分別落在點F,E處(點F,E都在AB所在的直線上),折痕為MN,則∠AMF等于 (　　)
A.70° B.40° C.30° D.20°
命題點四　常見圖形的裁剪與拼接
(2023·河北)如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片,將它們分別沿著虛線剪開后,各自要拼一個與原來面積相等的正方形,則 (　　)
甲　　乙
A.甲、乙都可以
B.甲、乙都不可以
C.甲不可以,乙可以
D.甲可以,乙不可以
(2024·河北)情境　圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的.該紙片通過裁剪,可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形,數據如圖所示.
(說明:紙片不折疊,拼接不重疊無縫隙無剩余)
操作　嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪,拼成了鉆石型五邊形.
如圖3,嘉嘉沿虛線EF,GH裁剪,將該紙片剪成①,②,③三塊,再按照圖4所示進行拼接.根據嘉嘉的剪拼過程,解答問題:
(1)直接寫出線段EF的長.
(2)直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段,并計算BE的長.
探究　淇淇說:將圖1所示紙片沿直線裁剪,剪成兩塊,就可以拼成鉆石型五邊形.
請你按照淇淇的說法設計一種方案:在圖5所示紙片的BC邊上找一點P(可以借助刻度尺或圓規),畫出裁剪線(線段PQ)的位置,并直接寫出BP的長.
圖1 圖2
圖3 圖4
圖5
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①重合　②180°　③全等　④相等
對應練習
1.(1)B　(2)C　解析:(1)A.該圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,不符合題意;
B.該圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,符合題意;
C.該圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,不符合題意;
D.該圖形是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,不符合題意.故選B.
2.D　解析:因為矩形是中心對稱圖形,且對角線的交點是其對稱中心,所以當沿著經過對角線交點的任一直線折疊時,矩形的面積都會被平分,所以有無數種折疊方法.故選D.
3.B　解析:如圖,連接AB只有點P,M,N在這條直線上.∴點A和點B不是關于點Q對稱.經測量AM=BM,APBN,∴點M是對稱點.故選B.
4.①③④⑤⑥　解析:∵△ABC與△A'B'C'關于直線MN對稱,∴AC=A'C',AA'⊥MN,BO=OB',線段 AA',BB',CC'被直線 MN 垂直平分,∴BA 和 B'A'的延長線的交點在MN上,一對對稱點的連線被對稱軸垂直平分.故①③④⑤⑥正確.
5.(1)DG=BG　(2)A'G=CG　(3)
(4)△BA'G≌△DCG
解析:(1)∵△A'BD是由△ABD折疊得到,
∴∠ADB=∠A'D B.
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠A'DB=∠DBG,∴DG=BG.
(2)∵BD是矩形ABCD的對角線,
∴△ABD≌△CDB.
∵△A'BD是由△ABD折疊得到,
∴△A'BD≌△ABD,
∴△CDB≌△A'BD,∴BC=A'D.
∵BG=DG,
∴A'G=CG.
(3)如圖,由折疊的性質可知,AA'⊥BD,且AA'與BD交于點E.
∵AD=8,AB=6 ,
∴根據勾股定理可得,BD=10,
由面積關系可得,AB·AD=BD·AE,
∴AE=,
∴AA'=2AE=.
(4)∵△A'BD是由△ABD折疊得到,
∴∠BA'D=∠C,A'B=AB.
∵AB=DC,∴A'B=CD,
∵∠A'GB=∠CGD,
∴△BA'G≌△DCG(AAS).
6.B　解析:∵四邊形ABCD是菱形,AB=DC=5,∴AD=BC=5.∵DE=3,∴∠DEA=90°.∴AE=4.∴BE=5-4=1.故選B.
7.(1)3　(2)2-2　解析:(1)由題意,CE=EB=BC=4,
∴DE為△ABC的中位線,
∴DE=AC=3.
(2)由題意,正方形的面積=24,
∴AG=CF=2,
∴CG==
=2,
∴GF=CF-CG=2-2.
河北中考·真題體驗
1.A　
2.C　解析:沿直線l3折疊,左右兩部分能完全重合.故選C.
3.C
4.C
5.C　解析:如圖所示,n的最小值為3.故選C.
6.A　解析:如圖,連接AC,BD,
∵△ABO和△CDO關于直線PQ對稱,
∴△ABO≌△CDO,
PQ⊥AC,PQ⊥BD,
∴AC∥BD,
故B,C,D選項正確,AD不一定垂直BC,故A選項不一定正確.故選A.
7.D　解析:如圖,由已知可得,∠1=∠2,則l為△ABC的角平分線.故選D.
8.B　解析:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
根據折疊的性質可得:MN∥AE,∠FMN=∠DMN,
∴AB∥CD∥MN.
∵∠A=70°,
∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°,
∴∠AMF=180°-∠DMN-∠FMN=180°-70°-70°=40°.故選B.
9.A　解析:所作圖形如圖所示,甲、乙都可以拼一個與原來面積相等的正方形.故選A.
甲　 乙
10.解:(1)線段EF的長為1.
解析:如圖1,過G'作G'K⊥FH'于點K,結合題意可得,四邊形FOG'K為矩形,
∴FO=KG',
圖1
由拼接可得:HF=FO=KG',
由正方形的性質可得,∠A=45°,
∴△AHG,△H'G'D,△AFE都為等腰直角三角形,
∴△G'KH'為等腰直角三角形.
設H'K=KG'=x,
∴H'G'=H'D=x,
∴AH=HG=x,HF=FO=x,
∵正方形的邊長為2,
∴對角線的長為=2,
∴OA=,
∴x+x+x=,
解得x=-1,
∴EF=AF=(+1)x=(+1)·(-1)=1.
(2)與線段BE相等的線段有GE,GH,AH.
∵△AFE為等腰直角三角形,EF=AF=1,
∴AE=EF=,
∴BE=AB-AE=2-.
探究　BP的長為或2-.
解析:如圖2,以B為圓心,BO為半徑畫弧交BC于點P',交AB于點Q',則直線P'Q'為分割線,
圖2
此時BP'=,P'Q'==2,符合要求,
或以C圓心,CO為半徑畫弧,交BC于點P,交CD于點Q,則直線PQ為分割線,
此時CP=CQ=,PQ==2,
∴BP=2-.
綜上,BP的長為或2-.

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