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第30課時　尺規作圖
考點一　五種基本尺規作圖
項目 作圖內容 圖示及隱 含的性質 步驟 作圖依據 轉化
類型一 作一條線段等于已知線段(已知線段a) 1.作射線OP. 2.以點O為圓心,①　　　　 為半徑作弧,交OP于點A,OA即為所求線段 圓上的點到圓心的距離等于半徑 作等腰三角形
類型二 作一個角等于已知角(已知∠α) 1.在∠α中以點O為圓心,適當長為半徑作弧,交∠α的兩邊于點P,Q. 2.作射線O'A'. 3.以點O'為圓心,②　　　　 長為半徑作弧,交O'A'于點M. 4.以點M為圓心,③　　　　 長為半徑作弧,交前弧于點N. 5.過點N作射線O'B',∠A'O'B'即為所求角 三邊分別相等的兩個三角形全等,全等三角形的對應角相等;兩點確定一條直線 作一個角其中一邊的平行線
類型三 作一個角的平分線(已知∠AOB) PE=PF ∠BOP= ∠AOP 1.以點O為圓心,適當長為半徑作弧,分別交OA,OB于點N,M. 2.分別以點④　　　　為圓心,以⑤　　　　　　為半徑作弧,兩弧相交于點P. 3.作射線OP,OP即為∠AOB的平分線 ①在角的內部找一點,使其到角兩邊的距離相等;②作三角形的內切圓
類型四 作一條線段的垂直平分線(已知線段AB) AO=BO △ABM為等腰 三角形 ∠AOM=∠BOM =90° 1.分別以點A,B為圓心,⑥　　 　　　　為半徑,在AB兩側作弧,兩弧相交于M,N兩點. 2.過點M,N作直線MN,直線MN即為線段AB的垂直平分線 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上;兩點確定一條直線 ①過三角形的一個頂點作直線,使其平分三角形的面積;②作三角形的外接圓;③作一點到已知兩點的距離相等
類型五 過一點作已知直線的垂線(已知點P和直線l) 點P在直線l上 ∠APM= ∠BPM=90° 1.以點P為圓心,任意長為半徑向點 P兩側作弧,分別交直線l于A,B兩點. 2.分別以點A,B為圓心,⑦　　　　　　為半徑在直線l一側作弧,兩弧相交于點M. 3.過點M,P作直線MP,則直線MP即為所求垂線 等腰三角形“三線合一”;兩點確定一條直線 過一點作直角三角形或作一個角等于 90°
點P在直線l外 1.任取一點M,使點M和點P在直線l的⑧　　　　. 2.以點P為圓心,PM長為半徑作弧,分別交直線l于A,B兩點. 3.分別以點A,B為圓心,⑨　　　　為半徑作弧,兩弧在點 M同側交于點N. 4.過點P,N作直線PN,則直線PN即為所求垂線 到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上;兩點確定一條直線 過直線外一點作與直線相切的圓
① 如圖1,已知∠POQ.
　　 　圖1　　　　　　 　　圖2
如圖2,作∠DBE=∠POQ,步驟如下:
①以　■　為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交OP,OQ于點M,N;
②作射線BE,并以點B為圓心,　□　長為半徑畫弧交BE于點G;
③以點G為圓心,　▲　長為半徑畫弧與②中所畫弧交于點F;
④過點F作　△　,∠DBE即為所求作的角.
以上橫線上符號代表的內容正確的是(　　)
A.■表示點B B.□表示ON
C.▲表示ON D.△表示射線BE
② 如圖,已知線段AB=4,分別以A,B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點C,Q,連接CQ,與AB相交于點D,連接AC,BC,∠ACB=60°.
(1)∠ADC的度數為　　　　.
(2)∠ACD=　　　　.
(3)△ABC的面積等于　　　　.
考點二　常見基本尺規作圖形式
作圖內容 作法1 作法2
作三 角形 已知兩邊及其夾角作三角形 已知底邊及底邊上的高作等腰三角形
注:只選取一邊一角時,也可以作等腰三角形
用基本作圖的類型一、二 用基本作圖的類型一、四
作平行 四邊形 已知兩邊及夾角 已知兩對角線及其夾角
用基本作圖的類型一、二 用基本作圖的類型一、二、四
作矩形 已知兩邊 已知對角線及其夾角
用基本作圖的類型一、五 用基本作圖的類型一、二、四
作菱形 已知一內角及邊長 已知兩對角線
用基本作圖的類型一、⑩　　　 用基本作圖的類型一、四
作正 方形 已知一邊 已知一對角線
用基本作圖的類型一、五 用基本作圖的類型一、四
作圓
用基本作圖的類型　　　 用基本作圖的類型三、五
作圓的 內接正 多邊形
用基本作圖的類型四 用基本作圖的類型一
③ 在 ABCD中,用尺規作圖作等腰三角形ABE,下列作圖正確的是 (　　)
A.①② B.①③ C.③④ D.②④
④ 用直尺和圓規在一個矩形內作菱形ABCD,下列作法中,錯誤的是 (　　)
⑤ (2023·臺州)如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,BD為對角線.
(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形.
(2)已知AD>AB,請用無刻度的直尺和圓規作菱形BEDF,頂點E,F分別在邊BC,AD上(保留作圖痕跡,不要求寫作法).
操作:(1)下面是黑板上出示的尺規作圖題,下列關于橫線上符號代表的內容描述正確的是 (　　)
如圖,已知∠AOB.
求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB.
作法:①以　※　為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點P,Q;
②作射線EG,并以點E為圓心,　　◎　　長為半徑畫弧,交EG于點D;
③以點D為圓心,　　√　　長為半徑畫弧,交第②步中所畫弧于點F;
④作　　@　　,則∠DEF即為所求作的角.
　　
A.※表示點 E B.◎表示 PQ
C.√表示OQ D.@表示射線 EF
拓展:(2)∠DEF與∠AOB相等的理由是 (　　)
A.根據“邊邊邊”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
B.根據“邊角邊”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
C.根據“角角邊”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
D.根據“角邊角”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
應用:(3)如圖1,將一個三角形紙片沿虛線裁下一個小三角形,依據作圖痕跡及圖2中的數據,裁下的小三角形紙片的周長是 (　　)
圖1　 圖2
A.22　　　 B.22.5　　　　 C.23　　　　 D.23.5
在幾何里,把限定用直尺(無刻度)和圓規來畫圖的,稱為尺規作圖.這兩種文具均不能直接作角,因此作一個角等于已知角和作一個角的角平分線都是利用線段的等長構造全等三角形來實現的,而作已知直線(線段)的垂線則是依據垂直平分線的逆定理進行作圖的.
(1)D　解析:作法:①以點O為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB 于點P,Q;
②作射線EG,并以點E為圓心,OP長為半徑畫弧,交EG于點D;
③以點D為圓心,PQ長為半徑畫弧,交第②步中所畫弧于點F;
④作射線EF,則∠DEF即為所求作的角.
(2)A　解析:如圖1,連接PQ,DF.
在△POQ和△DEF中,
∵OQ=EF,OP=ED,PQ=DF,
∴△POQ≌△DEF(SSS),
∴∠AOB=∠DEF(全等三角形的對應角相等).
圖1 圖2
(3)B　解析:如圖2,根據基本作圖得∠ADE=∠ACB,CE=DE=6,BC=12,BD=10.5,設AE=x,AD=y,
∵∠ADE=∠ACB,
∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
∴==,
即==,
∴
解得
∴裁下的小三角形紙片的周長為6+9+7.5=22.5.
命題點一　五種基本尺規作圖
(2024·河北)觀察圖中尺規作圖的痕跡,可得線段BD一定是△ABC的 (　　)
A.角平分線 B.高線 C.中位線 D.中線
(2023·河北)如圖1,已知∠ABC,用尺規作它的角平分線.如圖2,步驟如下,第一步:以點B為圓心,a為半徑畫弧,分別交射線BA,BC于點 D,E;第二步:分別以點D,E為圓心,b為半徑畫弧,兩弧在∠ABC內部交于點P;第三步:畫射線BP.射線BP即為所求.
第一步　第二步　第三步
圖1　　　　 　圖2
下列正確的是 (　　)
A.a,b均無限制
B.a>0,b>DE的長
C.a有最小限制,b無限制
D.a≥0,b (2024·河北)尺規作圖要求:Ⅰ.過直線外一點作這條直線的垂線;Ⅱ.作線段的垂直平分線;Ⅲ.過直線上一點作這條直線的垂線;Ⅳ.作角的平分線.如圖是按上述要求排亂順序的尺規作圖:
則正確的配對是 (　　)
A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ
B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ
C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ
D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ
(2024·河北)根據圓規作圖的痕跡,可用直尺成功找到三角形外心的是 (　　)
(2022·河北)如圖,已知△ABC(AC (2023·河北)如圖,已知鈍角三角形ABC,依下列步驟尺規作圖,并保留作圖痕跡.
步驟1:以點C為圓心,CA為半徑畫弧①;
步驟2:以點B為圓心,BA為半徑畫弧②,交弧①于點D;
步驟3:連接AD,交BC延長線于點H.
下列敘述正確的是 (　　)
A.BH垂直平分線段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AB=AD
(2023·河北)如圖,依據尺規作圖的痕跡,計算∠α=　　　　°.
命題點二　常見基本尺規作圖形式
(2023·河北)如圖,等腰三角形AOB中,頂角∠AOB=40°,用尺規按①到④的步驟操作:
①以點O為圓心,OA為半徑畫圓;
②在☉O上任取一點P(不與點A,B重合),連接 AP;
③作AB的垂直平分線與☉O交于點M,N;
④作AP的垂直平分線與☉O交于點E,F.
結論Ⅰ:順次連接M,E,N,F四點必能得到矩形;
結論Ⅱ:☉O上只有唯一的點P,使得S扇形FOM=S扇形AOB.
對于結論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是 (　　)
A.Ⅰ和Ⅱ都對
B.Ⅰ和Ⅱ都不對
C.Ⅰ不對,Ⅱ對
D.Ⅰ對,Ⅱ不對
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①a　②OP　③PQ　④M,N　⑤大于MN的長　⑥大于AB的長　
⑦大于AB的長　⑧兩側　
⑨大于AB的長　⑩二　四
對應練習
1.B
2.(1)90°　(2)30°　(3)4
3.B　解析:①由作圖可知,AB=AE,因此△ABE是等腰三角形,故本項符合題意;
②由作圖可知,AE=ED,因此得不出△ABE是等腰三角形,故本項不符合題意;
③由作圖可知,∠ABE=∠EBC,
又∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
∴△ABE是等腰三角形,故本項符合題意;
④由作圖可知,∠ABE=∠EBD,因此得不出△ABE是等腰三角形,故本項不符合題意;
①③符合題意.故選B.
4.B　解析:A.由作圖可得,BD垂直平分線段AC,
∴BA=BC,DA=DC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥AD,∴∠CBD=∠ADB,
∴∠ABD=∠ADB,
∴BA=AD,
∴CB=AB=AD=DC,
∴四邊形ABCD是菱形,正確;
B.由作圖可得,如圖,AB平分∠DAE,
∴∠BAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=BE.
∵BC的長度和EB的長度關系不確定,
∴四邊形ABCD不一定是菱形,錯誤;
C.由作圖可得,AD=AB=BC,且BC∥AD,
∴四邊形ABCD是菱形,正確;
D.由作圖可得,AC平分∠DAB,AB=AD,
∴∠DAC=∠CAB.∵BC∥AD,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠CAB=∠ACB,
∴AB=BC,∴AB=BC=AD,
∴四邊形ABCD是菱形,正確.故選B.
5.解:(1)證明:∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵∠A=∠C,
∴180°-(∠ADB+∠A)=180°-(∠CBD+∠C),即∠ABD=∠CDB.
∴AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
(2)如圖,
四邊形BEDF就是所求作的菱形.
河北中考·真題體驗
1.B　解析:由作圖可知BD⊥AC,故線段BD是△ABC的高.故選B.
2.B　3.D　4.C
5.D　解析:由選項D的作圖可知,點P在線段AB的垂直平分線上.∴PA=PB.∵PB+PC=BC,∴PA+PC=BC.故選D.
6.A　解析:A正確,∵CA=CD,BA=BD,∴點C,B在線段AD的垂直平分線上.∴直線BC是線段AD的垂直平分線.B錯誤,AC不一定平分∠BAD.C錯誤,應該是S△ABC=BC·AH.D錯誤,根據條件AB不一定等于AD.故選A.
7.56　解析:如圖.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠ACB=68°.
由圖得AF平分∠DAC,EF垂直平分AC.∴∠FAC=∠DAC=34°.∴∠α=∠AFE=90°-∠FAC=56°.
8.D　解析:如圖,連接EM,EN,MF,NF.∵OM=ON,OE=OF,∴四邊形MENF是平行四邊形.∵EF=MN,∴四邊形MENF是矩形.故Ⅰ正確.由圖知當∠MOF=∠AOB時,S扇形FOM=S扇形AOB,由于圓的對稱性,這樣的點P在直線MN的右側仍有一個,∴這樣的點P不唯一,故Ⅱ錯誤.故選D.

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