資源簡介

第29課時　視圖與投影、立體圖形的展開與折疊
考點一　投影
投影 物體在光線的照射下,在某個平面內所形成的影子
平行投影 由①　　　　光線(如太陽光線)形成的投影
中心投影 同一點(點光源,如手電筒、電燈泡)發出的光線形成的投影
同一時刻,同一地點太陽光下物高和其影長成正比,但燈光下物高和其影長不具備這樣的性質.
① 下列現象是物體的投影的是 (　　)
A.小明看到鏡子里的自己 B.燈光下貓咪映在墻上的影子
C.自行車行駛過后車輪留下的痕跡 D.掉在地上的樹葉
② 小亮同學在教學活動課中,用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影試驗,通過觀察,發現這塊長方形硬紙板在平整的地面上不可能出現的投影是 (　　)
A.線段 B.三角形 C.平行四邊形 D.正方形
③ 下列投影:①燈光下窗簾的影子;②陽光下大樹的影子;③皮影;④路燈下行人的影子;⑤日晷指示時間的影子;⑥貝貝在陽光下散步的影子;⑦房屋在陽光下的影子.其中屬于平行投影的是　　　　,屬于中心投影的是　　　　.
考點二　三視圖
概念
(1)主視圖:在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖.
(2)左視圖:在側面內得到的②　　　　　觀察物體的視圖.
(3)俯視圖:在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖.
畫法
(1)位置:
(2)大小:主視圖與俯視圖要長對正,主視圖與左視圖要高平齊,左視圖與俯視圖要寬相等.
(3)虛實:在畫圖時,看得見的部分的輪廓線通常畫成③　　　　線,看不見的部分的輪廓線通常畫成④　　　　線.
常見幾何體的三視圖
幾何體 主視圖 左視圖 俯視圖
正方體
長方體
圓柱
圓錐
球體
正三棱柱
正三棱錐
對常見幾何體的組合體,在判斷其三視圖時,要注意分清每一部分的三視圖形狀,然后根據其擺放位置及各部分大小決定組合體的具體視圖.
由三視圖還原幾何體
④ 在平整的地面上,用若干個完全相同的棱長為1 cm的小正方體堆成一個幾何體,如圖所示:
(1)這個幾何體是由　　　　個小正方體組成,請畫出這個幾何體的三視圖.
(2)如果在這個幾何體露在外面的表面噴上黃色的漆,每平方厘米用2克,則共需　　　　克漆.
(3)若現在你手頭還有一些相同的小正方體,如果保持俯視圖和左視圖不變,最多可以再添加　　　
個小正方體.
⑤ 一個幾何體的三視圖如圖所示.
(1)寫出這個幾何體的名稱.
(2)求這個幾何體側面展開圖的圓心角.
(3)求這個幾何體的全面積.
考點三　立體圖形的展開與折疊
常見幾何體的展開圖
幾何體 展開圖 示例
圓柱 兩個等圓和一個⑤　　　
圓錐 一個圓和一個⑥　　　
正方體 六個全等的⑦　　　
三棱柱 兩個全等的三角形和三個矩形
正方體展開圖的常見類型及相對面
(1)“一四一”型.巧記:中間四個面(上、下各一面).
(2)“一三二”型.巧記:中間三個面(一、二隔河見).
(3)“二二二”型.巧記:中間兩個面(樓梯天天見).
(4)“三三”型.巧記:中間沒有面(三、三連一線).
(注:相同顏色表示相對的面)
正方體展開圖,相對的面一定不相鄰或者沒有公共點,在展開圖中不能出現“”“”圖形;若出現“”類型,另兩面必須在兩側,可借助此方法來排除錯誤選項.
立體圖形的折疊
一個幾何體能展開成一個平面圖形,這個平面圖形可以折疊成相應的幾何體,展開與折疊是一對互逆過程.
⑥ (2024·唐山古冶區三模)如圖,是一個正方體茶盒的表面展開圖.
(1)在圖1中,將其折疊成正方體后,與頂點K重合的頂點是　　　　.
(2)在圖2中距頂點A最遠的點是　　　　.
圖1　 圖2
一個幾何體的三種視圖如圖所示.
(1)這個幾何體的名稱是　　　　,其側面積為　　　　.
(2)畫出它的一種表面展開圖.
(3)求出左視圖中AB的長.
(1)正三棱柱　72
解析:這個幾何體的名稱是正三棱柱,
這個幾何體的側面積為3×4×6=72.
(2)解:展開圖如下:
(3)解:如圖,在△EFG中,過點E作EH⊥FG于點H,
則FH=2,EH==2,
故左視圖中AB的長為2.
如圖,小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC.
(1)此光源下形成的投影屬于　　　　(填“平行投影”或“中心投影”).
(2)已知樹高AB為2 m,樹影BC為3 m,樹與路燈的水平距離BP為4.5 m.求路燈的高度OP.
(1)中心投影
解析:∵此光源屬于點光源,
∴此光源下形成的投影屬于中心投影.
(2)解:∵AB⊥CP,PO⊥PC,
∴OP∥AB,
∴△ABC∽△OPC,
∴=,
即=,
解得OP=5,
∴路燈的高度為5 m.
命題點一　三視圖
一、三視圖的判斷
(2024·河北)如圖是由11個大小相同的正方體搭成的幾何體,它的左視圖是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如圖是由相同的小正方體木塊粘在一起的幾何體,它的主視圖是 (　　)
A　　　 B C　　　 D
(2023·河北)如圖的兩個幾何體分別由7個和6個相同的小正方體搭成,比較兩個幾何體的三視圖,正確的是 (　　)
A.僅主視圖不同
B.僅俯視圖不同
C.僅左視圖不同
D.主視圖、左視圖和俯視圖都相同
(2024·河北)圖2是圖1中長方體的三視圖,若用S表示面積,且S主=x2+2x,S左=x2+x,則S俯= (　　)
圖1　 圖2
A.x2+3x+2 B.x2+2
C.x2+2x+1 D.2x2+3x
二、由三視圖還原幾何體
(2023·河北)圖中的三視圖所對應的幾何體是 (　　)
主視圖　　　　左視圖
　　　　 　
俯視圖
A B C D
(2024·河北)圖中三視圖對應的幾何體是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如圖1,一個2×2的平臺上已經放了一個棱長為1的正方體,要得到一個幾何體,其主視圖和左視圖如圖2,平臺上至少還需再放這樣的正方體 (　　)
主視圖　 左視圖
圖1 　　圖2
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
命題點二　立體圖形的展開與折疊
一、幾何體的認識
(2024·河北)如圖,①~④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體,若組合其中的兩個,恰是由6個小正方體構成的長方體,則應選擇(　　)
A.①③ B.②③
C.③④ D.①④
二、立體圖形的展開與折疊
(2023·河北)一個骰子相對兩面的點數之和為7,它的展開圖如圖,下列判斷正確的是 (　　)
A.A代表 B.B代表
C.C代表 D.B代表
(2023·河北)圖1和圖2中所有的正方形都全等,將圖1的正方形放在圖2中的①②③④某一位置,所組成的圖形不能圍成正方體的位置是 (　　)
圖1　 圖2
A.① B.② C.③ D.④
(2022·河北)圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形,它可以圍成圖2的正方體,則圖1中小正方形頂點A,B在圍成的正方體上的距離是 (　　)
圖1　　 圖2
A.0 B.1 C. D.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①平行　②由左向右　③實　④虛
⑤矩形　⑥扇形　⑦正方形
對應練習
1.B
2.B
3.②⑤⑥⑦　 ①③④
4.解:(1)10
這個幾何體的三視圖如圖所示:
(2)64
解析:這個幾何體的表面有38個正方形,除了地面上的6個,32個面需要噴上黃色的漆,
∴表面積為32 cm2,32×2=64(克),
∴共需64克漆.
(3)4
解析:如果保持俯視圖和左視圖不變,最多可以再添加1+2+1=4(個)小正方體.
5.解:(1)由三視圖可知,該幾何體為圓錐.
(2)由三視圖數據知圓錐的底面圓的直徑為4,母線為6,
則2π×2=,
所以n=120,即這個幾何體側面展開圖的圓心角為120°.
(3)該幾何體的全面積=S側+S底=π×2×6+π×22=16π.
6.(1)D　(2)C　解析:(1)觀察發現,折疊成正方體后,與頂點K重合的頂點是點D.
(2)將其折疊成正方體后,把圖形圍成立方體如圖所示:
設正方體的棱長為1,則AD=1,AB=AE=,AC=,
∵1<<,
∴與頂點A距離最遠的頂點是C.
河北中考·真題體驗
1.D　解析:從左邊看,一共有三列,從左到右小正方形的個數分別是3,1,1.故選D.
2.A　解析:由題圖可知其主視圖有兩層,上面一層有兩個,下面一層有三個小正方形.故選A.
3.D
4.A　解析:∵S主=x2+2x=x(x+2),S左=x2+x=x(x+1),∴俯視圖的長為(x+2),寬為(x+1).∴俯視圖的面積S俯=(x+2)(x+1)=x2+3x+2.故選A.
5.B　解析:只有B中幾何體的主視圖和已知三視圖中的主視圖一致,接下來再比較左視圖與俯視圖,不難發現左視圖、俯視圖也相同.故選B.
6.C
7.B　解析:由題意畫出草圖,如圖,
平臺上至少還需再放這樣的正方體2個.故選B.
8.D　解析:由①④組合恰好是由6個小正方體構成的長方體.故選D.
9.A　解析:根據正方體的表面展開圖可知,相對的面之間一定相隔一個正方形,A和點數是1的面相對,B和點數是2的面相對,C和點數是4的面相對.∵骰子相對兩面的點數之和為7,∴A代表點數是6,B代表點數是5,C代表的點數是3.故選A.
10.A　解析:將題圖1的正方體放在題圖2中的①的位置出現重疊的面,∴不能圍成正方體.符合題意.故選A.
11.B　解析:將題圖1還原成題圖2所示的正方體后,可知AB是正方體的棱長.∴AB=1.故選B.

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