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第28課時　與圓有關的計算
考點一　弧長及扇形面積的計算
項目 計算公式 示意圖
圓的周長 C=①　　　 R為圓的半徑,n°為弧所對的圓心角的度數,l是扇形的弧長
扇形的弧長 l=②　　　
圓的面積 S=③　　　
扇形的面積 S扇形=④　　 =lR　 　　
① (冀教九上P168變式)已知一個扇形的圓心角為120°.
(1)若該扇形的半徑為6,則它的弧長為　　　　,面積為　　　　.
(2)若該扇形的弧長為12π,則它的半徑為　　　　.
(3)若該扇形的面積為3π,則它的半徑為　　　　.
② (人教九上P115變式)已知一個扇形的半徑為8 cm.
(1)若該扇形的弧長為 cm,則扇形的圓心角為　　　　,面積為　　　　.
(2)若該扇形的面積為 8π cm2,則它的圓心角為　　　　,弧長為　　　　cm.
考點二　圓錐的相關計算
圓錐的相關概念 計算公式 示意圖 備注
底面圓面積 S=⑤　 S表示底面圓的面積,C表示底面圓的周長,α表示側面展開扇形的圓心角,r表示底面圓的半徑,h為圓錐的高,l為圓錐的母線長 (1)圓錐的側面展開圖是扇形. (2)圓錐的母線長l為扇形的半徑. (3)圓錐的底面周長為扇形的弧長
底面圓周長 C=⑥　　=圓錐側面展開扇形的弧長
側面展開扇形的圓心角 α=⑦　 　
高h、母線長l、底面 半徑r之間的關系 r2+⑧　　=l2
③ 將扇形 AOB圍成一個圓錐.
(1)若扇形的半徑r=4,圍成圓錐的底面半徑為2,則該圓錐的側面積為 　　　　.
(2)若圓錐的側面積為18π,底面半徑為3,則該圓錐的高是　　　　;n=　　　　.
考點三　陰影部分面積的計算
　　基本思想:轉化思想,即把所求的不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積.
公式法:當所求陰影部分的圖形為規則圖形時,直接用公式法計算.
整體和差法:將陰影部分看成是某些基本圖形的和或差.
割補法:把不規則圖形的面積分割成幾個規則圖形的面積的和或差,即“聚零為整”.
等積變換法:將不規則圖形的面積,通過平移、旋轉、對稱等變換,重組成規則圖形來計算.
④ (2024·河南)如圖,☉O是邊長為4的等邊三角形ABC的外接圓,點D是的中點,連接BD,CD.以點D為圓心,BD的長為半徑在☉O內畫弧,則陰影部分的面積為 (　　)
A. B.4π
C. D.16π
如圖,扇形AOB的圓心角為120°,半徑OA為6 cm.
(1)扇形AOB的弧長為　　　　,扇形AOB的面積為　　　　.
(2)若將此扇形圍成一個圓錐,則
①圍成的圓錐的側面積為　　　　;
②求圓錐的底面圓的半徑和高OH.
(1)4π cm　12π cm2
解析:扇形AOB的弧長==4π(cm),
扇形AOB的面積==12π(cm2).
(2)①12π cm2
解析:圓錐的側面積等于扇形的面積,故為12π cm2.
②解:如圖,設圓錐底面圓的半徑為r,
∴2πr=4π,解得r=2,
在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,
∴OH===4(cm).
如圖,OA是☉O的半徑,弦BC⊥OA,垂足為M,連接OB,AC.若OB=2,OM=1,AC∥OB.
(1)如圖1,扇形AOB的面積為　　　　,陰影部分的面積為　　　　.
圖1
(2)求圖2中陰影部分的面積.
圖2
(3)如圖3,連接OC,求陰影部分的面積.
圖3
(4)如圖4,過點B作☉O的切線,與OA的延長線交于點D,求陰影部分的面積.
圖4
(1)　
解析:∵BC⊥OA,∴∠OMB=90°.∵OB=2,OM=1,
∴cos∠BOM=,∴∠BOM=60°,∴S扇形OAB==.
∵在Rt△OBM中,BM2=OB2-OM2,∴BM=,
∴BC=2BM=2.
如圖,連接OC,
S陰影=S扇形OCB-S△OCB=×2×1=.
(2)解:∵弦BC⊥OA,垂足為M,∴BM=CM.
∵OB∥AC,∴∠OBM=∠ACM.
在△OBM和△ACM中,
∴△OBM≌△ACM(ASA),∴S△ACM=S△OBM,
由(1)知,∠AOB=60°,
∴S陰影=S扇形OAB==.
(3)解:∵BC⊥OA,OA為半徑,
∴BM=CM,∠BMO=∠CMO=90°,
在△OCM和△OBM中,
∴△OCM≌△OBM(SAS).∴S△OCM=S△OBM.
由(1)知,∠AOB=60°,
∴S陰影=S扇形OAB==.
(4)解:∵BD是☉O的切線,∴∠OBD=90°.
∵∠BOD=60°,∴∠D=30°,
∴OD=2OB=2×2=4.
在Rt△OBD中,根據勾股定理可得,BD==2.∴S陰影=S△OBD -S扇形OAB=×2×2-=2.
命題點　弧長及扇形面積的計算
(2024·河北)某款“不倒翁”(圖1)的主視圖是圖2,PA,PB分別與所在圓相切于點A,B.若該圓的半徑是 9 cm,∠P=40°,則的長是 (　　)
圖1　　圖2
A.11π cm B. π cm
C.7π cm D.π cm
(2024·河北)扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分,在我國有著深厚的底蘊.如圖,某折扇張開的角度為120°時,扇面面積為S,該折扇張開的角度為n°時,扇面面積為Sn,若m=,則m與n關系的圖象大致是 (　　)
A B C D
(2022·河北)如圖,將長為8 cm的鐵絲AB首尾相接圍成半徑為2 cm的扇形,則S扇形=　　　　
cm2.
(2023·河北)如圖,半圓O的直徑AB=4,以長為2的弦PQ為直徑,向點O方向作半圓M,其中P點在上且不與A點重合,但Q點可與B點重合.
【發現】的長與的長之和為定值l,求l.
【思考】點M與AB的最大距離為　　　　,此時點P,A間的距離為　　　　;點M與AB的最小距離為　　　　,此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形的面積為　　　　.
【探究】當半圓M與AB相切時,求的長.注:結果保留π,cos 35°=,cos 55°=
備用圖
(2024·河北)已知☉O的半徑為3,弦MN=2.△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=3.在平面上,先將△ABC和☉O按圖1位置擺放(點B與點N重合,點A在☉O上,點C在☉O內),隨后移動△ABC,使點B在弦MN上移動,點A始終在☉O上隨之移動.設BN=x.
(1)當點B與點N重合時,求的長.
(2)當OA∥MN時,如圖2,求點B到OA的距離,并求此時x的值.
(3)設點O到BC的距離為d.
①當點A在上,且過點A的切線與AC垂直時,求d的值;
②直接寫出d的最小值.
圖1　 圖2 備用圖
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①2πR　②　③πR2　④
⑤πr2　⑥2πr　⑦×360°　⑧h2
對應練習
1.(1)4π　12π　(2)18　(3)3
2.(1)120°　 cm2　(2)45°　2π
3.(1)8π　(2)3　180
解析:(1)∵圓錐的底面半徑為2,
∴底面周長=2π×2=4π,即弧長AB=4π,
∴圓錐的側面積=lr=×4π×4=8π.
(2)∵圓錐的側面積為18π,底面半徑為3,
∴扇形弧長=6π,
∴18π=×6π×R,∴R=6,
圓錐的高==3.
∵6π=,∴n=180.
4.C　解析:如圖,過D作DE⊥BC于E,
∵☉O是邊長為4的等邊三角形ABC的外接圓,
∴BC=4,∠A=60°,∠BDC+∠A=180°,
∴∠BDC=120°.
∵點D是的中點,
∴,∴BD=CD,
∴BE=BC=2,∠BDE=∠BDC=60°,
∴BD==4,
∴S陰影=.故選C.
河北中考·真題體驗
1.A　解析:如圖,過點A作AP的垂線,過點B作BP的垂線,兩垂線交于點O,則點O是所在圓的圓心,∠OAP=∠OBP=90°.又∵∠P=40°,∴∠AOB=140°.∴對應的圓心角的度數為360°-140°=220°.∴的長是=11π(cm).故選A.
2.C　解析:設該扇面所在的圓的半徑為R,S=,
∴πR2=3S.
∵該折扇張開的角度為n°時,扇形面積為Sn,
∴Sn=×πR2=×3S=,
∴m=n,
∴m是n的正比例函數.
∵n≥0,
∴它的圖象是過原點的一條射線,
故選C.
3.4　解析:扇形的弧長l=8-2-2=4(cm),∴S扇形=lR=×4×2=4(cm2).
4.解:【發現】如圖1,連接OP,OQ.
∵AB=4,∴OP=OQ=AB=2.又∵PQ=2,∴△OPQ是等邊三角形.∴∠POQ=60°.∴的長=.
又∵半圓O的弧長=π×4=2π,
∴與的長之和l=2π-.
圖1
【思考】 　2　　
【探究】當半圓M與AB相切時,分兩種情況:
①如圖2,半圓M與AO相切于點T時,連接PO,MO,TM,則MT⊥AO,OM⊥PQ,
在Rt△POM中,sin∠POM=.∴∠POM=30°,易得MO=.在Rt△TOM中,TO=,∴cos∠AOM=.
∴∠AOM=35°.∴∠POA=∠AOM-∠POM=35°-30°=5°.
∴的長=.
圖2　 圖3
②如圖3,半圓M與BO相切于點S時,連接QO,MO,SM.由對稱性,同理得的長=.由l=,得的長為.
綜上所述,的長為或.
5.解:(1)如圖1,連接OA,OB,
圖1
∵☉O的半徑為3,AB=3,
∴OA=OB=AB=3,
∴△AOB 為等邊三角形,
∴∠AOB=60°,
∴的長為=π.
　圖2
(2)過點B作BI⊥OA于點I,過點O作OH⊥MN于點H,連接MO,如圖2.
∵OA∥MN,
∴∠IBH=∠BHO=∠HOI=∠BIO=90°,
∴四邊形BIOH是矩形,
∴BH=OI,BI=OH.
∵MN=2,OH⊥MN,
∴MH=NH=.
而OM=3,
∴OH==2=BI,
∴點B到OA的距離為2.
∵AB=3,BI⊥OA,
∴AI=,
∴OI=OA-AI=3-=BH,
∴x=BN=BH+NH=3-+=3.
　圖3
(3)①過點O作OJ⊥BC于點J,OK⊥AB于點K,如圖3.
∵∠ABC=90°,過點A的切線與AC垂直,
∴AC過圓心,
∴四邊形KOJB為矩形,
∴OJ=KB.
∵AB=3,BC=3,
∴AC==3,
∴cos∠BAC=,
∴AK=,
∴OJ=BK=3-,即d=3-.
　圖4
②d的最小值為.
解析:如圖4,當點B為MN中點時,過點O作OL⊥B'C'于點L,作OJ⊥BC于點J,連接JL,
∵∠OJL>90°,
∴OL>OJ,故當點B為MN中點時,d最小,
連接OB,AO,過點A作AQ⊥OB于點Q,而AB=AO=3,
∵點B為MN的中點,
∴OB⊥MN.
同(2)可得OB=2,
∴BQ=OQ=1,
∴AQ==2,
∵∠ABC=90°=∠AQB,
∴∠OBJ+∠ABO=90°=∠ABO+∠BAQ,
∴∠OBJ=∠BAQ,
∴tan∠OBJ=tan∠BAQ,
∴.
設OJ=m,則BJ=2m,
∵OJ2+BJ2=OB2,
∴m2+(2m)2=22,
解得m=(m的負值已舍去),
∴OJ的最小值為,即d的最小值為.

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