資源簡介

第27課時　與圓有關的位置關系
考點一　點與圓的位置關系
點與圓的 位置關系 點到圓心的距離(d)與圓的半徑(r)的關系 示意圖
點在圓外 如右圖中點A,d①　　　　r
點在圓上 如右圖中點B,d②　　　　r
點在圓內 如右圖中點C,d③　　　　r
① (人教九上P101變式)如圖,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以點C為圓心作☉C,半徑為r.
(1)當r取什么值時,點A,B在☉C外
(2)當r取什么值時,點A在☉C內,點B在☉C外
(3)當r取什么值時,☉C與線段 AB沒有交點 只有一個交點 有兩個交點
考點二　直線與圓的位置關系
直線與圓的 位置關系 圓心到直線的 距離(d)與圓的 半徑(r)的關系 公共點 情況 示意圖
相離 d④　　　　r 無公共點
相切 d⑤　　　　r 有且只有一個 公共點
相交 d⑥　　　　r 有兩個公共點
② (人教九上P101變式)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,且AC=8 cm.以點C為圓心,r為半徑畫圓,則直線AB與☉C有怎樣的位置關系
(1)r=3.8 cm;(2)r=4.8 cm;(3)r=5.8 cm.
考點三　切線的性質與判定
項目 文字描述 數學語言 示意圖
切線的 性質 圓的切線垂直于過切點的半徑 如圖,∵CD切☉O于點A,OA是☉O的半徑, ∴CD⊥OA
切線的 判定 切線的判定定理:經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
連半徑,證垂直 作垂直,證半徑
若已知直線經過圓上一點,則連接這點和圓心得到半徑,再證所作半徑與這條直線⑦　　 若已知條件中不確定直線與圓是否有⑧　　　　,則過圓心作直線的垂線段,再證明垂線段的長等于半徑的長
切線長 定理 從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角 如圖,PA,PB分別切☉O于A,B兩點,則有PA=PB, ∠APO=∠BPO=∠APB
③ 如圖,已知D為☉O上一點,點C在直徑BA的延長線上,BE與☉O相切,射線CD與☉O相切于點D,與BE交于點E,連接OE交BD于點F,連接AD,若∠EBD=60°,BE=3.
(1)DE=　　　　.
(2)∠BEO=　　　　°.
(3)OB=　　　　,OF= 　　　　.
(4)∠BDC= 　　　　　°.
(5)AC的長為　　　　.
(6)點D到線段 AB的距離為　　　　.
考點四　三角形的外接圓與內切圓
項目 定義 示意圖 三角形的外心與內心的作圖方法 性質
經過三 角形三 個頂點的圓 外心(圓心O):三角形外接圓圓心是三角形三條邊的⑨　　　的交點 三角形的外心到三角形的三個頂點的距離⑩　 　
與三角形的三 邊都相切的圓 內心(圓心O):三角形內切圓圓心是三角形三條　　　　的交點 三角形的內心到三角形的三條邊的距離　 　
④ (人教九上P100變式)如圖,若☉O為△ABC的內切圓,切點分別為D,E,F.
(1)如圖1,連接DE,DF,EF,則點O是△　　　　的內心,是△　　　　的外心.
圖1
(2)若AD=2,BE=3,CF=1,則△ABC的周長為　　　　.
(3)若∠C=90°,AC=6,AB=10,則☉O的半徑為 　　　　.
(4)若∠A=50°,如圖2,連接OB,OC,則∠DOF=　　　　°,∠BOC= 　　　　°.
(5)若△DEF是等邊三角形,☉O的半徑為3,則 DE=　　　　.
圖2
已知在△ABC中,AB=AC,點O在折線段AB-BC上.
(1)若點O是BC邊的中點,☉O與AB相切于點D.
①如圖1,求證:AC是☉O的切線;
圖1　 圖2
②如圖 2,已知∠BAC=120°,BC=12,則陰影部分的面積為　　　　.
(2)若點O在AB邊上,以點O為圓心,OB為半徑的圓交BC于點 D,過點D作DE⊥AC于點 E.
①如圖 3,求證:DE是OO的切線;
②如圖 4,若☉O與AC相切于點 F,AB=AC=5 cm,sin A=,則☉O的半徑為　　　　cm.
圖3　 　圖4
1.直線過圓上某一點,只需“連半徑,證垂直,得切線”.
2.直線與圓沒有已知的公共點時,通常“作垂直,證半徑,得切線”.
圖1
(1)①證明:如圖1,過點O作OE⊥AC于點E,連接OD,OA,
∵AB與☉O相切于點D,
∴AB⊥OD.
∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,∴AO是∠BAC的平分線.
∴OE=OD.∴OE是☉O的半徑.
∴AC是☉O的切線.
圖2
②3
解析:如圖2,連接OD,OA.
∵∠BAC=120°,BC=12,O是BC邊的中點,
∴∠OAD=60°,∠B=30°,OB=6.
∵☉O與AB相切,∴∠ODB=∠ODA=90°,
∴OD=OB=×6=3,∴AD==,
∴S陰影=2×(S△AOD-S扇形DOE)=2××3×=3.
圖3
(2)①證明:如圖3,連接OD.
∵OB= OD,∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC.
又∵DE⊥AC, ∴DE⊥OD.
∵OD是☉O的半徑,∴DE是☉O的切線.
圖4
②
解析:如圖4,連接OF.設☉O的半徑為x cm,
∵☉O與AC相切于點F,
∴∠AFO=90°.
在Rt△AFO中,sin A=,∴=,解得x=.經檢驗,x=是所列方程的解.
如圖是一塊含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一個量角器拼在一起,三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合,其量角器最外緣的讀數是從N點開始(即N點的讀數為0),現有射線CP繞著點C從CA順時針以每秒2°的速度旋轉到與△ACB外接圓相切為止.在旋轉過程中,射線CP與量角器的半圓弧交于點E.
(1)當射線CP與△ABC的外接圓相切時,射線CP旋轉度數是多少
(2)當射線CP分別經過△ABC的外心、內心時,點E處的讀數分別是多少
(3)當△AEC的外心在其內部時,求t的取值范圍.
(4)當旋轉7.5秒時,連接BE,求證:BE=CE.
(1)如圖1,連接OC.
圖1
∵射線CP與△ABC的外接圓相切,
∴∠OCP=90°.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAB=30°,
∴∠ACP=∠ACO+∠OCP=30°+90°=120°,
∴射線CP旋轉度數是120°.
(2)∵∠BCA=90°,∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓.
當CP過△ABC外心時(即過O點),∠BCE=60°,∴∠BOE=120°,即E處的讀數為120.當CP過△ABC的內心時,如圖2,∠BCE=45°,∠EOB=90°,∴E處的讀數為90,
∴當射線CP分別經過△ABC的外心、內心時點E處的讀數分別是120和90.
(3)∵△AEC的外心在三角形的內部,∴△AEC是銳角三角形.
∵點E為射線CP與半圓的交點,∴∠AEC=∠ABC=60°,
∴當∠EAC=90°時,∠ECA=30°,CE過△AEC的外心.
∵射線CP繞著點C從CA開始以每秒2°的速度順時針旋轉,
∴t的值為=15.
當∠ECA=90°時,t的值為=45,此時AE過△AEC的外心,
∴當△AEC的外心在三角形內部時,t的取值范圍為15(4)證明:如圖3,∵∠PCA=2×7.5°=15°,∠BCE=75°,∠ECA=∠EBA=15°,
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°,∴BE=CE.
圖2　 圖3
命題點一　三角形的內切圓與外接圓
(2023·河北)如圖為4×4的網格圖,A,B,C,D,O均在格點上,點O是 (　　)
A.△ACD的外心 B.△ABC的外心
C.△ACD的內心 D.△ABC的內心
(2023·河北)如圖,AC,BE是☉O的直徑,弦AD與BE交于點F,下列三角形中,外心不是點O的是 (　　)
A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE
(2024·河北)如圖,點I為△ABC的內心,AB=4,AC=3,BC=2,將∠ACB平移使其頂點與點I重合,則圖中陰影部分的周長為 (　　)
A.4.5 B.4 C.3 D.2
命題點二　切線的性質和判定
(2023·河北)如圖,☉O的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型,其中整鐘點為An(n為1~12的整數),過點A7作☉O的切線交A1A11延長線于點P.
(1)通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長.
(2)連接A7A11,則A7A11和PA1有什么特殊位置關系 請簡要說明理由.
(3)求切線長PA7的值.
(2023·河北)如圖,O為AB的中點,分別延長OA到點C,OB到點D,使OC=OD.以點O為圓心,分別以OA,OC為半徑在CD上方作兩個半圓.P為小半圓上任一點(不與點A,B重合),連接OP并延長交大半圓于點E,連接AE,CP.
(1)①求證:△AOE≌△POC;
②寫出∠1,∠2 和∠C三者間的數量關系,并說明理由.
(2)若OC=2OA=2,當∠C最大時,直接指出CP與小半圓的位置關系,并求此時S扇形EOD.(答案保留π)
備用圖
(2023·河北)如圖,AB=16,O為AB的中點,點C在線段OB上(不與點O,B重合),將OC繞點O逆時針旋轉270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優弧于點P,Q,且點P,Q在AB異側,連接OP.
(1)求證:AP=BQ.
(2)當BQ=4時,求的長.(結果保留π)
(3)若△APO的外心在扇形COD的內部,求OC的取值范圍.
(2024·河北)如圖1和圖2,在 ABCD中,AB=3,BC=15,tan ∠DAB=.P為AB延長線上一點.過點A作☉O切CP于點P.設BP=x.
(1)如圖1,x為何值時,圓心O落在AP上 若此時☉O交AD于點E,直接指出PE與BC的位置關系.
(2)當x=4時,如圖2,☉O與AC交于點Q,求∠CAP的度數,并通過計算比較弦AP與劣弧長度的大小.
(3)當☉O與線段AD只有一個公共點時,直接寫出x的取值范圍.
圖1 圖2 備用圖
(2024·河北)如圖,點A在數軸上對應的數為26,以原點O為圓心,OA為半徑作優弧,使點B在點O右下方,且tan∠AOB=.在優弧上任取一點P,且能過點P作直線l∥OB交數軸于點Q,設點Q在數軸上對應的數為x,連接OP.
(1)若優弧上一段的長為13π,求∠AOP的度數及x的值.
(2)求x的最小值,并指出此時直線l與優弧所在圓的位置關系.
(3)若線段PQ的長為12.5,直接寫出這時x的值.
備用圖
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥<
⑦垂直　⑧公共點　⑨垂直平分線　⑩相等　角平分線　相等
對應練習
1.解:(1)若點A,B在☉C外,則AC>r.
∵AC=3,∴0(2)若點A在☉C內,點B在☉C外,則AC∵AC=3,BC=4,∴3(3)如圖,作CD⊥AB于點D.由勾股定理,得AB=5,由三角形面積公式得CD=2.4,∴當04時,☉C與線段AB沒有交點;當r=2.4或當32.解:如圖,作CH⊥AB于點H,
∵△ABC的面積=AB·CH=AC·BC,
∴10CH=6×8,
∴CH=4.8 cm,
∴C到AB的距離d=CH=4.8 cm.
(1)∵d=4.8 cm,r=3.8 cm,
∴d>r,
∴直線AB與☉C相離.
(2)∵d=4.8 cm,r=4.8 cm,
∴d=r,
∴直線AB與☉C相切.
(3)∵d=4.8 cm,r=5.8 cm,
∴d3.(1)3　(2)30　(3)　　(4)120　(5)　(6)
解析:(1)由切線長定理可得,ED=BE=3.
(2)∵ED=EB,∠EBD=60°,
∴△EBD是等邊三角形,
∴∠BED=60°,
∴∠BEO=∠BED=30°.
(3)∵∠BEO=30°,BE=3,
∴OB=BE·tan 30°=3×.
∴OF=OB=.
(4)∠BDC=180°-∠EDB=180°-60°=120°.
(5)在Rt△BEC中,∠C=90°-60°=30°,BE=3,
∴EC=2BE=2×3=6.
根據勾股定理可得,
BC==3.
∵AB=2OB=2,
∴AC=BC-AB=3-2.
(6)如圖,過點D作DG⊥AB于點G,
∵sin∠ABD=,∴sin 30°=,
∴DG=.
4.(1)ABC　DEF　(2)12　(3)2
(4)130　115　(5)3
解析:(2)∵AD=2,BE=3,CF=1,
∴由切線長定理,得AF=AD=2,CF=CE=1,BD=BE=3,
∴△ABC的周長為=2+1+1+3+3+2=12.
(3)由勾股定理,得BC==8,∴r==2.
(4)∵AC,AB都是切線,
∴∠OFA=∠ODA=90°.
∵∠A=50°,∴∠DOF=180°-50°=130°.
∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°.
∵O是△ABC的內心,
∴BO,CO分別是∠ABC,∠ACB的平分線,
∴∠OBC+∠OCB=×130°=65°,
∴∠BOC=180°-65°=115°.
(5)如圖,過點O作OH⊥EF于點H,
∵cos∠OEH=,
∴cos 30°=,解得HE=,
∴EF=2HE=3.
∴DE=EF=3.
河北中考·真題體驗
1.B　解析:設網格圖中每個小正方形的邊長為1.由題圖可得OA=OB=OC=,∴點O是△ABC的外心.故選B.
2.B　解析:如題圖所示,只有△ACF的三個頂點不都在圓上,故外心不是點O的是△ACF.故選B.
3.B　解析:
如圖,連接AI,BI.∵點I為△ABC的內心,
∴AI平分∠CAB.
∴∠CAI=∠BAI.由平移得AC∥DI,∴∠CAI=∠AID.
∴∠BAI=∠AID.∴AD=DI.
同理可得BE=EI,
∴△DIE的周長=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB,即圖中陰影部分的周長為4.故選B.
4.解:(1)如圖,連接OA7,OA11.由題意得圓周被12等分,則每份對應的圓心角是30°,∴∠A7OA11=120°.∴劣弧的長l==4π.
∵4π>12,∴劣弧更長.
(2)A7A11⊥PA1.
理由:如圖,連接A1A7,則A1A7為☉O的直徑,
∴∠A7A11A1=90°,∴A7A11⊥PA1.
(3)∵PA7是☉O的切線,
∴∠PA7O=90°,由(1)知,
∠A7OA11=120°,∴∠P=30°.
∴PA1=2A1A7=24.
∴PA7==12.
5.解:(1)①證明:在△AOE和△POC中,
∴△AOE≌△POC(SAS).
②∠1+∠C=∠2.
理由:∵△ADE≌△POC,
∴∠C=∠E.
∵∠2=∠1+∠E,∴∠2=∠1+∠C.
(2)當∠C最大時,CP與小半圓相切于點P,如圖.
∵OC=2OA=2,∴OC=2OP,
∵cos∠COP=,∴∠COP=60°.∴∠DOE=120°,S扇形EOD=π.
6.解:(1)證明:如圖,連接OQ.
∵AP,BQ分別與優弧相切,
∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,即∠OPA=∠OQB=90°.
又∵OA=OB,OP=OQ,
∴Rt△APO≌Rt△BQO(HL).
∴AP=BQ.
(2)∵BQ=4,OB=AB=8,∠OQB=90°,
∴sin∠BOQ=.
∴∠BOQ=60°.
∵OQ=8×cos 60°=4,
∴的長為.
(3)設點M為Rt△APO的外心,則M為OA的中點.
∴OM=4.
∵當點M在扇形COD的內部時,OM∴47.解:(1)∵CP與☉O相切于點P,AP經過圓心O,∴∠APC=90°.
在 ABCD中,AD∥BC,
∴∠PBC=∠DAB.
∴=tan∠PBC =tan∠DAB=,設CP=4k,BP=3k.
由CP2+BP2=BC2,得(4k)2+(3k)2=152,解得k=3(舍負),∴BP=3×3=9.故當x=9時,圓心O落在AP上,此時PE⊥BC.
(2)如圖,過點C作CG⊥AP交AP延長線于點G.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AD.∴∠CBG=∠DAB.∴=tan∠CBG=tan∠DAB=.設CG=4m,BG=3m.由勾股定理得(4m)2+(3m)2=152 ,解得m=3(舍負).
∴CG=4×3=12,BG=3×3=9,
PG=BG-BP=9-4=5,AP=AB+BP=3+4=7.∴AG=AB+BG=3+9=12.∴tan∠CAP==1.∴∠CAP=45°.連接OP,OQ,過點O作OH⊥AP于點H,則∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°,PH=AP=.在Rt△CPG中,CP==13,∵CP是☉O的切線,∴∠OPC=∠OHP=90°,∠OPH+∠CPG=90°,∠PCG+∠CPG=90°.
∴∠OPH=∠PCG.
∴△OPH∽△PCG.∴,即OP=.劣弧的長度=,∵<2π<7,
∴弦AP的長度>劣弧的長度.
(3)x≥18.
8.解:(1)由=13π,解得n=90,∴∠AOP=90°.∵PQ∥OB,∴∠PQO=∠BOQ,∴tan∠PQO=tan∠QOB=.∴OQ=19.5,即x=19.5.
(2)如圖1,直線l與所在的圓相切,則OP⊥l,l∥OB,OP=26,∠AOB=∠OQP,
圖1
∴tan∠AOB=tan∠OQP=.
∴,∴PQ=19.5,
在Rt△POQ中,PQ2+OP2=OQ2,即19.52+262=OQ2,解得OQ=32.5(舍負).∴x的最小值是-32.5,此時直線l與優弧所在的圓相切.
(3)x的值為31.5或-16.5或-31.5.
解析:①如圖2,作OH⊥PQ于點H.
設OH=4k,QH=3k,
則PH=12.5-3k,OQ=5k.
在Rt△OPH中,
∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5-3k)2.
整理得k2-3k-20.79=0.
解得k=6.3或k=-3.3(舍去).
∴OQ=5k=31.5,此時x=31.5.
②如圖3,作OH⊥PQ交PQ的延長線于點H.設OH=4k,QH=3k,則OQ=5k,PH=12.5+3k.
在Rt△OPH中,
∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5+3k)2.
整理得k2+3k-20.79=0.
解得k=-6.3(舍去)或k=3.3.
∴OQ=5k=16.5,此時x=-16.5.
③如圖4,作OH⊥PQ于點H,設OH=4k,QH=3k,則OQ=5k,PH=12.5-3k,在Rt△OPH中,
∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5-3k)2.
整理得k2-3k-20.79=0.
解得k=6.3或k=-3.3(舍去).
∴OQ=5k=31.5,此時x=-31.5.
綜上所述,滿足條件的x的值為31.5或-16.5或-31.5.
圖2　 圖3 圖4

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