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第26課時　圓的基本性質
考點一　圓的有關概念和性質
圓的有關概念
圓 平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.這個定點叫做圓心,定長叫做圓的半徑,以點O為圓心,OA的長為半徑的圓記作☉O
弧 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧,大于半圓的弧叫做①　　　　,小于半圓的弧叫做②　　　　,能夠完全重合的弧叫做等弧
弦和 直徑 連接圓上任意兩點的③　　　　叫做弦,經過圓心的弦叫做直徑
弦心距 圓心到弦的距離
圓心角 頂點在④　　　　的角
圓周角 頂點在圓上,并且⑤　　　　都與圓相交的角
性質
對稱性 (1)圓是軸對稱圖形,⑥　　　　　　　　都是它的對稱軸. (2)圓也是中心對稱圖形,⑦　　　　是它的對稱中心
旋轉 不變性 圓繞圓心旋轉任意角度都與自身重合
① 以下說法:(1)半圓是弧,但弧不一定是半圓.(2)過圓上任意一點只能作一條弦,且這條弦是直徑.(3)弦是直徑.(4)直徑是圓中最長的弦.(5)直徑不是弦.(6)優弧大于劣弧.(7)以O為圓心可以畫無數個圓.正確的個數為 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考點二　弧、弦、圓心角之間的關系
項目 文字描述 數學符號表述 圖示
定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也⑧　　 ∵∠AOB=∠COD, ∴=,AB=CD
推論 在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦也相等 ∵=, ∴∠AOB=∠COD, AB=CD
在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的優弧和劣弧分別相等 ∵AB=CD, ∴∠AOB=∠COD, =
② (冀教九上P155變式)如圖,已知在☉O中,BC是直徑,AB=DC,則下列結論不一定成立的是 (　　)
A.OA=OB=AB
B.∠AOB=∠COD
C.=
D.O到AB,CD的距離相等
考點三　垂徑定理及其推論
項目 文字描述 數學符號表述 圖示
垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧 ∵CD⊥AB,且CD是☉O的直徑, ∴AM=BM=AB,=,=
垂徑定理的推論 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧 ∵AM=BM,且CD是☉O的直徑, ∴CD⊥AB,=,=
垂徑定理及其推論的延伸 知二推三:根據圓的對稱性,以下五個結論:①=;②=;③AM=BM;④AB⊥CD;⑤CD是☉O的直徑,只要滿足其中任意兩個條件,則可推出另外三個結論,即“知二推三”
輔助線的作法: ①作圓心到弦的垂線段及連接過弦端點的半徑; ②構造以半徑、弦的一半、圓心到弦的垂線段為邊的直角三角形
考點四　圓周角定理及其推論
定理及推論
定理 推論 圖示
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的⑨　　　　. 如右圖, ∠BAC=∠BOC (1)在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,如右圖,∠BAC=∠BDC, ∠ADC=∠ABC,∠ABD=∠ACD, ∠BAD=∠BCD. (2)半圓(或直徑)所對的圓周角是⑩　　　　　,如右圖, ∠ACB=∠ADB=90°,90°的圓周角所對的弦是直徑
圓周角定理的常見圖形
圖 形
∠APB=∠AOB
③ (人教九上P83變式)已知:在☉O中,點O為圓心,CD為☉O的弦.
(1)如圖1,若CD為☉O的直徑,CD⊥AB,垂足為點E,OC=5,AB=8,則AE=　　　　,OE=　　　　.
(2)如圖2,若CD為☉O的直徑,弦AB,CD相交于點O,DE∥AB,交☉O于點E.求證:點B平分劣弧CE.
(3)如圖3,若CD為☉O的直徑,弦AB,CD相交于點O,且AB⊥CD,OC=5.延長AB至點E,使OE=AB,連接CE交☉O于點F,求CF的長.
圖1 　圖2 　圖3
考點五　圓內接四邊形的性質
文字描述 數學符號表述 圖示
圓內接四邊形的對角互補 (1)∠A+∠BCD=180°. (2)∠B+∠D=180°
圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角(與它相鄰的內角的對角) ∠DCE=∠A
④ 如圖,AB是☉O的直徑,C為☉O上一點,且∠CAB=18°,連接BC,OC,D為弧AC的中點,連接AD,CD,OD.
(1)∠ACB=　　　　,∠COB=　　　　.
(2)∠OBC=　　　　.
(3)∠AOD=　　　　,∠ACD=　　　　.
(4)∠ADC=　　　　.
如圖,AB是☉O的一條弦,作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M,連接AD,BD,OA,OB.
(1)此圖是軸對稱圖形嗎 如果是,它的對稱軸是什么
(2)你能發現圖中有哪些相等的線段和劣弧 為什么
(3)在不添加輔助線的情況下,直接寫出圖中相等且小于90°的圓心角.
(4)若∠ADB=45°,☉O的半徑為2,求CM的長度.
(1)此圖形是軸對稱圖形,它的對稱軸是直線CD.
(2)AM=BM,OA=OB=OC=OD,AD=BD,=,=.
理由如下:∵AB是☉O的一條弦,直徑CD⊥AB,
∴AM=BM,=,=.
∵OA,OB,OC,OD是半徑,∴OA=OB=OC=OD.
在△AMD和△BMD中,
∴△AMD≌△BMD(SAS).∴AD=BD.
(3)∠AOC=∠BOC.
(4)∵直徑CD⊥AB,OA=2,∴AM=AB.
∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∴AB=2,∠OAB=∠OBA=45°,
∴OM=AM=AB=,∴CM=OC-OM=2-.
命題點一　圓的有關概念和性質
(2023·河北)有一題目:“已知:點O為△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答為畫△ABC以及它的外接圓O,連接OB,OC,如圖.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇說:“嘉嘉考慮得不周全,∠A還應有另一個不同的值.”下列判斷正確的是 (　　)
A.淇淇說得對,且∠A的另一個值是115° B.淇淇說得不對,∠A就得65°
C.嘉嘉求的結果不對,∠A應得50° D.兩人都不對,∠A應有3個不同的值
命題點二　弧、弦、圓心角關系定理
(2023·河北)如圖,點P1~P8是☉O的八等分點.若△P1P3P7,四邊形P3P4P6P7的周長分別為a,b,則下列正確的是 (　　)
A.aC.a>b D.a,b大小無法比較
命題點三　垂徑定理及應用
(2012·河北)如圖,CD是☉O的直徑,AB是弦(不是直徑),AB⊥CD于點E,則下列結論正確的是 (　　)
A.AE> BE B.=
C.∠D=∠AEC D.△ADE∽△CBE
(2010·河北)如圖,在5×5的正方形網格中,一條圓弧經過A,B,C三點,那么這條圓弧所在圓的圓心是 (　　)
A.點P B.點Q
C.點R D.點M
(2023·河北)裝有水的水槽放置在水平臺面上,其橫截面是以AB為直徑的半圓O,AB=50 cm,如圖1和圖2所示,MN為水面截線,GH為臺面截線,MN∥GH.
計算　在圖1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于點C.
(1)求OC的長.
操作　將圖1中的水槽沿GH向右做無滑動的滾動,使水流出一部分,當∠ANM=30°時停止滾動,如圖2.其中,半圓的中點為Q,GH與半圓的切點為E,連接OE交MN于點D.
圖1 　圖2
探究　在圖2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)連接OQ并延長交GH于點F,求線段EF與的長度,并比較大小.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①優弧　②劣弧　③線段　④圓心
⑤兩邊　⑥直徑所在的直線　⑦圓心　⑧相等　⑨一半　⑩直角
對應練習
1.C　解析:(1)半圓是弧,但弧不一定是半圓,正確.
(2)過圓上任意一點可以作無數條弦,原說法不正確.
(3)弦不一定是直徑,原說法不正確.
(4)直徑是圓中最長的弦,正確.
(5)直徑是圓中最長的弦,原說法不正確.
(6)在同圓或等圓中,優弧一定大于劣弧,原說法不正確.
(7)以O為圓心可以畫無數個圓,正確.
綜上,正確的個數有3個.故選C.
2.A　解析:∵AB=DC,
∴,
∴∠AOB=∠COD.
∵OA=OB=OC=OD,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴O到AB、CD的距離相等,
∴B,C,D選項正確.故選A.
圖1
3.解:(1)4　3　解析:如圖1,連接OA.
∵CD為☉O的直徑,CD⊥AB,AB=8,
∴AE=4.
在Rt△OAE中,根據勾股定理可得,
OE==3.
(2)證明:如圖2,連接CE交AB于點F,
圖2
∵CD 為☉O的直徑,
∴∠CED=90°.
∵DE∥AB,
∴∠OFE= ∠CFO=∠CED=90°,
即AB⊥CE.
∵AB 過圓心 O,
∴AB 為☉O的直徑,
∴點B平分劣弧CE.
(3)如圖3,過點O作OH⊥CE,垂足為H.
圖3
∵OC=5,OE=AB,
∴AB=CD=OE=10.
∵AB⊥CD
∴∠COE=90°,
在Rt△COE中,根據勾股定理,得CE==5.
∵OC·OE=CE·OH,
∴5×10=5·OH,解得OH=2.
在Rt△COH中,根據勾股定理,得
CH=.
∴CF=2CH=2.
4.(1)90°　36°　(2)72°　(3)72°　36°　(4)108°
解析:(1)∵直徑所對的圓周角等于90°,∴∠ACB=90°.
∵同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半,
∴∠COB=2∠CAB=36°.
(2)∵COB=36°,OB=OC,
∴∠OBC==72°.
(3)∵D為弧AC的中點,∴,
∴ ∠AOD=∠COD==72°,
∴∠ACD=∠AOD=×72°=36°.
(4)∵∠ABC=72°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-72°=108°(圓內接四邊形對角互補).
河北中考·真題體驗
1.A　解析:如圖.∠A還應有另一個不同的值∠A'與∠A互補,故∠A'=180°-65°=115°.故選A.
2.A　解析:連接P1P2,P2P3,如圖.
∵點P1~P8是☉O的八等分點,即,∴P1P2=P2P3=P3P4= P6P7,++,∴P4P6=P1P7,又∵△P1P3P7的周長為a=P1P3+P1P7+P3P7,四邊形P3P4P6P7的周長為b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7,∴b-a=(P3P4+P4P6+P6P7+P3P7)-(P1P3+P1P7+P3P7)=(P1P2+P1P7+ P2P3+P3P7)-(P1P3+P1P7+P3P7)=P1P2+P2P3-P1P3,在△P1P2P3中有P1P2+P2P3>P1P3,∴b-a=P1P2+P2P3-P1P3>0,即b>a.故選A.
3.D　解析:∵CD是☉O的直徑,AB是弦(不是直徑),AB⊥CD于點E,
∴AE=BE,,故A,B錯誤;
∵∠AEC不是圓心角,
∴∠D≠∠AEC,故C錯誤;
∵∠CEB=∠AED,∠DAE=∠BCE,
∴△ADE∽△CBE,故D正確.
故選D.
4.B　解析:作AB的垂直平分線,作BC的垂直平分線,如圖,
它們都經過Q,所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心.故選B.
5.解:(1)連接OM,如圖.
∵O為圓心,OC⊥MN于點C,MN=48 cm,∴MC=MN=24 cm.
∵AB=50 cm,
∴OM=AB=25 cm,
∴在Rt△OMC中,
OC==7(cm).
(2)∵GH與半圓的切點為E,
∴OE⊥GH.
∵MN∥GH,∴OE⊥MN于點D.
∵∠ANM=30°,ON=25 cm,
∴OD=ON= cm,
∴操作后水面高度下降了-7=(cm).
(3)∵OE⊥MN于點D,∠ANM=30°,
∴∠DOB=60°.
∵半圓的中點為Q,∴,
∴∠QOB=90°.∴∠QOE=30°,
∴EF=OE·tan∠QOE= cm,
(cm),
∵>0,
∴EF>.