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第22課時　銳角三角函數及其應用
考點一　銳角三角函數
定義:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A為一銳角,則有
正弦:sin A==①　　　　;
余弦:cos A==②　　　　;
正切:tan A==③　　　　.
特殊角的三角函數值
銳角A 30° 45° 60°
sin A ④　　
cos A ⑤　　
tan A ⑥　　
① (人教九下P65變式)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則sin A=　　　　,cos A=　 　　, tan A=　　 　.
② (冀教九上P108變式)計算:tan 60°-(4-π)0+2cos 30°+-1.
考點二　解直角三角形
定義:由直角三角形中除直角外的⑦　　　個已知元素,求出另外⑧　　　個未知元素的過程叫解直角三角形.
解直角三角形中已知的兩個元素應至少有一個是邊.
解直角三角形的依據:在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊.
(1)三邊關系:⑨　　　　.
(2)兩銳角之間的關系:∠A+∠B=　　　　.
(3)邊角間的關系:sin A=cos B=　　　　,cos A=sin B=　　　　,tan A=　　　　,tan B=　　　　.
常見類型及其解法
已知條件 圖形 解法
一直角邊和 一銳角(a, ∠A) ∠B=90°-∠A,c=,b=(或b=)
斜邊和 一銳角 (c,∠A) ∠B=90°-∠A,a=c·sin A,b=c·cos A(或b=)
兩直角邊 (a,b) c=,由tan A=求∠A,∠B=90°-∠A　
斜邊和 一直角邊 (c,a) b=,由sin A=求∠A,∠B=90°-∠A
③ (人教九下P77變式)如圖,AD是△ABC的中線,tan B=,cos C=,AC=,求:
(1)BC的長.
(2)∠ADC的度數.
考點三　解直角三角形的實際應用及有關概念
仰角、俯角:如圖1,在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫　　　　,視線在水平線下方的角叫　　　　.
　　 　圖1　　　　 　圖2　　 　　圖3
坡度、坡角:如圖2,坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫　　　　(也叫“坡比”),用字母i表示;坡面與水平線的夾角α叫坡角,i=tan α=.
方向角:目標方向和南北方向所夾的小于90°的角叫做　　　　.如圖3,A點位于O點的北偏東30°方向,B點位于O點的南偏東60°方向.
④ (冀教九上P123變式)如圖,在湖中有A,B,C三個小島,島A與島B相距3 km,島B在島A的北偏東40°方向上,島C在島A的南偏東50°方向上.
(1)請以點A為起點,畫出點C所在的射線.
(2)島A在島B的　　　　 方向上.
(3)從島A看島B與島C所成的視角∠BAC=　　　　.
(4)兩艘游艇同時從島B出發,以相同的速度分別沿直線駛往島A與島C,若前往島A所用的時間是前往島C所用時間的一半,則島A與島C之間的距離為　　　　km.
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=3.
(1)如圖1,AB=　　　　,sin B=　　　　.
(2)如圖2,若DE垂直平分AB,分別交AB,AC于點D,E,連接BE.求∠BEC的度數,并判斷AE與CE的數量關系,請說明理由.
(3)如圖3,若點D為△ABC外一點且與點C位于AB異側,連接AD,BD,AD=10,BD=8.
①求證:△ABD為直角三角形;
此問用到的判定依據是　 ;
②求四邊形ACBD的面積.
圖1　 圖2 　 圖3
(1)6　
(2)解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.
由(1)可得∠A=30°,
∴∠ABE=30°,∴∠BEC=30°+30°=60°,
∴∠EBC=90°-60°=30°,
∴CE=BE=AE,
∴AE=2CE.
(3)①證明:由(1)知AB=6,
∵AD=10,BD=8,
∴AB2+ BD2=AD2,
∴△ABD 為直角三角形.
勾股定理的逆定理
②解:S四邊形ACBD=S△ABC+S△ABD
=×3×3+×6×8=+24.
如圖1,在同一剖面內,DB是一處斜坡,坡度為3∶4,小明在點A處用測角儀測得坡頂D的仰角為27°,他水平向右前進了一段路程來到斜坡的坡腳B處,沿著斜坡BD上行25米到達點D,DE是一座觀測塔.(測角儀的高度忽略不計.參考數據: sin 27°≈0.45,tan 27°≈0.51,≈1.73)
(1)斜坡 DB的垂直高度CD=　　　　　米,水平距離BC=　　　　米.
(2)小明前進的路程AB≈　　　　米.(結果精確到0.1米)
(3)如圖 2,小明登上觀測塔,到達塔頂E后,測得斜坡前面一棟樓房的樓頂F的仰角是60°,樓底 H的俯角是45°.若樓底 H距坡底B的距離是15米,則大樓的高度大約是多少米 (結果精確到0.1米)
(4)如圖3,在(3)的條件下,若在樓頂F觀測到北偏東60°,距樓頂70米處有一架無人機G,則此時無人機在觀測塔頂E的　　　　　方向.
圖1　 圖2 　圖3
利用三角函數解決實際問題時,構造直角三角形是重要的解題方法,這里需要注意構造直角三角形以不破壞現有的已知特殊角為原則,在構造的直角三角形中利用邊角關系可以順利求解問題.
(1)15　20
解析:∵DB的坡度為3∶4,
∴設CD=3x,則BC=4x,
在Rt△BDC中,BD=25,根據勾股定理可得,(3x)2+(4x)2=252,
解得x=5(負值舍去),
∴CD=15米,BC=20米.
(2)9.4
解析:由題意知,tan A=,
∴AC=≈29.4(米),
∴AB=AC-BC=29.4-20=9.4(米).
(3)解:如圖1,過點E作EM⊥FH于點M,則ME=HC=HB+BC=15+20=35(米).
圖1
∵∠MEH=45°,
∴MH=ME=35米.
在Rt△FME中,
∵ME=35米,tan 60°==,
∴FM=35米.
∴FH=FM+MH=35+35≈95.6(米).
答:大樓的高度大約是95.6米.
(4)北偏東15°
解析:如圖2,延長DE交FG于點N.
圖2
∵ME=35米,∠MFE=30°,
∴EF=2ME=2×35=70(米).
∵FG=70米,∴FG=EF.
∵∠EFG=90°,∴∠FEG==45°.∵∠FEN=∠MFE=30°,∴∠NEG=45°-30°=15°,
∴無人機在觀測塔頂E的北偏東15°方向.
命題點一　銳角三角函數
(2024·河北樣題)如圖,△ABC的頂點是正方形網格的格點,則cos∠ABC 的值為 (　　)
A. B. C. D.
(2024·河北樣題)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1,延長CA到點D,使AD=AB,連接BD,利用此圖解釋的三角函數值中錯誤的是 (　　)
A.tan 30°=
B.tan 60°=
C.tan 15°=1+
D.tan 75°=2+
命題點二　解直角三角形
(2024·河北樣題)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,點D在BC上,且BD=AD.
(1)求AC的長.
(2)求cos∠ADC的值.
命題點三　解直角三角形的實際應用
(2024·河北)如圖,從點C觀測點D的仰角是 (　　)
A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC
(2023·河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀.如圖,西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,則淇淇家位于西柏坡的 (　　)
A.南偏西70°方向 B.南偏東20°方向
C.北偏西20°方向 D.北偏東70°方向
(2024·河北)如圖,某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O,其中水面截線MN∥AB.嘉淇在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°,點M的俯角為7°.已知爸爸的身高為1.7 m.
(1)求∠C的大小及AB的長.
(2)請在圖中畫出線段DH,用其長度表示最大水深(不說理由),并求最大水深約為多少米(結果保留小數點后一位).
(參考數據:tan 76°取4,取4.1)
(2024·河北)中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣.某晚,淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星,此時淇淇距窗戶的水平距離BQ=4 m,仰角為α;淇淇向前走了3 m后到達點D,透過點P恰好看到月亮,仰角為β,如圖是示意圖.已知,淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6 m,點P到BQ的距離PQ=2.6 m,AC的延長線交PQ于點E.(注:圖中所有點均在同一平面)
(1)求β的大小及tan α的值.
(2)求CP的長及sin∠APC的值.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①　②　③　④　⑤　⑥1
⑦兩　⑧三　⑨a2+b2=c2　90°
　　　　仰角　俯角　坡度　方向角
對應練習
1.　　
2.解:原式=-1+2×+4=2+3.
3.解:(1)如圖,過點A作AE⊥BC于點E,
∵cos C=,
∴∠C=45°.
在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,
∴AE=CE=1.
在Rt△ABE中,tan B=,即,
∴BE=3AE=3,
∴BC=BE+CE=4.
(2)∵AD是△ABC的中線,
∴CD=BC=2,
∴DE=CD-CE=1.
∵AE⊥BC,DE=AE,
∴∠ADC=45°.
4.解:(1)如圖所示.
(2)南偏西40°　(3)90°　(4)3
河北中考·真題體驗
1.B　解析:由題圖可知∠ABC=45°,∴cos∠ABC=cos 45°=.故選B.
2.C　解析:∵∠BAC=30°,AD=AB,∴∠D=∠ABD=15°.∵BC=1,∠BAC=30°,∴AB=2,AC=.∴CD=2+.∴tan 15°=tan D==2-.故C錯誤.故選C.
3.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,∵tan B=,∴AC=BC·tan B=8×=4.
(2)設AD=x,則BD=x,CD=8-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得(8-x)2+42=x2,解得x=5.
∴cos∠ADC=.
4.B
5.D　解析:如圖.∵西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向.故選D.
6.解:(1)∵嘉淇在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°,
∴∠CAB=14°.∵∠CBA=90°,
∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°.
∵tan C=,BC=1.7 m,
∴tan 76°=.
∴AB=1.7×tan 76°=6.8(m).
∴∠C=76°,AB的長為6.8 m.
(2)如圖,過點O作OD⊥MN并延長,交MN于點D,交于點H,線段DH即為所求,連接OM.
∵OA=OM,∠BAM=7°,
∴∠OMA=∠OAM=7°.
∵AB∥MN,∴∠AMD=∠BAM=7°.
∴∠OMD=14°.∴∠MOD=76°.
在Rt△MOD中,tan∠MOD=,
∴tan 76°==4,∴MD=4OD.
設OD=x m,則MD=4x m.
∵OM=OA=AB=3.4 m,
∴x2+(4x)2=3.42.∵x>0,
∴x==0.82.∴OD=0.82 m.
∴DH=OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m).
∴最大水深約為2.6 m.
7.解:(1)由題意可得,PQ⊥AE,PQ=2.6 m,AB=CD=EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m,
∴CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∵∠CEP=90°,CE=PE,
∴β=∠PCE=45°;
tan α=tan∠PAE=.
(2)∵CE=PE=1 m,∠CEP=90°,
∴CP=(m).
如圖,過點C作 CH⊥AP于點H,
∵tan α=tan∠PAE=.
∴設CH=x m,則AH=4x m,
∴x2+(4x)2=AC2=9.
解得x=(負值舍去).
∴CH=m.
∴sin∠APC=.

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