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第24課時　平行四邊形
考點　平行四邊形的性質與判定
概念與 圖示 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
性質 1.邊:(1)兩組對邊分別平行. (2)兩組對邊分別相等. 2.角:(1)兩組對角分別①　　　　. (2)四組鄰角分別②　　　　. 3.對角線:對角線互相③　　　　. 4.對稱性:是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形
判定 1.邊:(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形. (2)兩組對邊分別④　　　　的四邊形是平行四邊形. (3)一組對邊⑤　　　　　的四邊形是平行四邊形. 2.角:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形. 3.對角線:兩條對角線互相⑥　　　　的四邊形是平行四邊形
面積計 算公式 S ABCD=BC· AE=AD·AE
1.平行四邊形中輔助線的作法:
(1)連接對角線或平移對角線,構造相等線段或平行.
(2)過頂點作對邊的垂線,構造直角三角形.
(3)連接對角線交點與另一邊中點或過對角線交點作一邊的平行線,構造中位線或平行線.
(4)連接頂點與邊上一點或連接頂點與邊延長線上的一點,構造相似三角形.
(5)過頂點作對角線的垂線,構造平行或全等三角形.
2.平行四邊形中的面積關系:
(1)→S1=S2=S3=S4
(2)→S1=S2
(3)→S1=S2
(4)→S1+S3=S2+S4
(5)→S1·S3=S2·S4
① 如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=8,∠ABC=120°,對角線AC,BD交于點O,AB⊥BD,E是AB的中點,連接OE.
(1)∠BAD=　　　　　.
(2)OE的長為　　　　.
(3)平行四邊形ABCD的面積是　　　　.
(4)△ABC的周長為　　　　.
② 如圖,四邊形ABCD 的對角線AC,BD相交于點O.
(1)若AB ∥ CD,要使四邊形ABCD 為平行四邊形,則可添加的條件為　　　　.(只填一個)
(2)若AO=CO,要使四邊形ABCD為平行四邊形,則可添加的條件為　　　　.(只填一個)
(3)給出下列五個條件:①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC.選其中兩個條件就能判定四邊形ABCD是平行四邊形的組合是　　　　.(填序號,只填一組即可)
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,點E是BC邊上一點,
(1)如圖1,若AE平分∠BAD,∠D=50°,則∠AEC=　　　　.
圖1 圖2
(2)如圖2,若點E是BC邊的中點,點O為對角線的交點,△CEO的周長為6,則△ABC的周長為　　　　.
(3)如圖3,AE⊥BC于點E,若∠D=45°,AE=4 ,AC=5,則平行四邊形ABCD的周長為　　　　.
圖3
(4)若AB=2 ,BC=3,∠ABC=60°,O為對角線的交點,則
①平行四邊形ABCD的面積為　　　　　,△AOB的面積為　　　　;
②若點E為BC邊上一動點,連接AE,DE,則AE+DE的最小值為　　　　.
(5)如圖4,若AB⊥AC,AB=8,BD=20,則AC的長為　　　　,AD,BC之間的距離為　　　　.
圖4
1.求角度:先將題中的已知角找出來,再結合平行四邊形的性質(即對角相等,鄰角互補及對邊平行),將所求角與已知角逐漸聯系起來.
2.求線段長:
(1)根據平行四邊形的性質將已知條件轉化到一個三角形中,利用勾股定理、直角三角形的性質、等腰三角形的性質或三角形面積公式等進行求解.
(2)根據平行四邊形的性質,利用中位線定理、平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定與性質或相似三角形的判定與性質,求線段長或線段比值.
(1)115°
解析:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠D=50°,
∴∠B=∠D=50°,∠BAD=180°-50°=130°,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=65°.
∴∠AEC=180°-65°=115°.
(2)12
解析:∵平行四邊形對角線相互平分,且E為BC中點,
∴OE為△ABC的中位線,∴OE=AB.
∵C△CEO=6,C△CEO=OC+OE+CE,
∴C△ABC=AC+AB+BC=2(OC+OE+CE)=2×6=12.
(3)14+8
解析:∵∠D=∠B=45°,AE⊥BC,
∴△ABE為等腰直角三角形,AE=BE=4.
在Rt△AEC中,由勾股定理,得CE===3,∴BC=BE+CE=7,同理在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=4,
∴C ABCD=2(AB+BC)=2×(4+7)=14+8.
圖1
(4)①3　　②
解析:①如圖1,過點A作AH⊥BC,垂足為H.
∵∠ABC=60°,∠AHB=90°,∴BH=AB=1.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得AH=,
∴S ABCD=BC·AH=3×=3.
過點O作OM∥BC交AB于點M,作ON⊥AB,垂足為N.
∵O為AC的中點,∴OM為△ABC的中位線,∴OM=BC=且∠AMO=60°,∴MN=OM=,
在Rt△OMN中,ON=MN=,
∴S△AOB=AB·ON=×2×=.
圖2
②如圖2,以BC所在直線為對稱軸作A的對稱點A',AA'交BC于點F,連接A'D交BC于點E,連接AE,此時AE+DE的值最小,
則BF為AA'的垂直平分線,故BF=1.
在Rt△BAF中,由勾股定理,得AF=,
∴AA'=2AF=2,∵AD=BC=3,
∴在Rt△ADA'中,A'D==,
∴A'D=A'E+DE=AE+DE=.
(5)12　
解析:∵BD=20,∴BO=10,∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得AO=6,故AC=2AO=12.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==4.
圖3
如圖3,過點A作AM⊥BC,垂足為M.
S ABCD=AB·AC=BC·AM,
即8×12=4AM,
∴AM=.
如圖1,已知平行四邊形ABCD,連接BD.
(1)如圖2,取BD中點O,作BN=NO,OM=MD, 求證:四邊形ANCM為平行四邊形.
(2)如圖3,作AN⊥BD于點N,CM⊥BD于點M,求證:四邊形ANCM為平行四邊形.
(3)如圖4,作AN,CM分別平分∠BAD,∠BCD交BD于點N,M,連接AM,CN. 求證:四邊形ANCM為平行四邊形.
圖1　 圖2 圖3　 圖4
圖5
(4)如圖5,連接AC交BD于點O,過點O作一直線分別交AD,BC于點M,N,AB=13.
①求證:OM=ON;
②當四邊形ABNM為平行四邊形時,OM的長為多少
涉及動點問題,常見的命題模式是“某線段取何值時,以某四個點為頂點的四邊形為平行四邊形”,解題時要注意運用逆向思維,即將要判定的平行四邊形作為已知條件,利用其性質求線段的長,其要注意正向檢驗.
(1)證明:如圖,連接AC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,O為BD的中點,∴OB=OD,OA=OC.
∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM,
∴四邊形ANCM為平行四邊形.
(2)證明:在題圖3中,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM.∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°.
在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM.
又∵AN∥CM,∴四邊形ANCM為平行四邊形.
(3)證明:在題圖4中,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM.
∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,
∴∠BAN=∠BAD,∠DCM=∠BCD,
∴∠BAN=∠DCM.
在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(ASA),∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,
∴∠ANM=∠CMN,
∴AN∥CM,∴四邊形ANCM為平行四邊形.
(4)①證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠MAO=∠NCO.
在△AMO和△CNO中,
∴△AMO≌△CNO(ASA),∴OM=ON.
②∵四邊形ABNM為平行四邊形,∴AB=MN.
∵OM=ON,∴OM=AB=×13=,
∴當四邊形ABNM為平行四邊形時,OM的長為.
命題點　平行四邊形的性質與判定
(2024·河北)依據所標數據,下列一定為平行四邊形的是 (　　)
A B C D
(2023·河北)綜合實踐課上,嘉嘉畫出△ABD,利用尺規作圖找一點C,使得四邊形ABCD為平行四邊形.圖1~圖3是其作圖過程.
(1)作BD的垂直平分線交BD于點O.
圖1
(2)連接AO,在AO的延長線上截取OC=AO.
圖2
(3)連接DC, BC, 則四邊形ABCD即為所求.
圖3
在嘉嘉的作法中,可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是 (　　)
A.兩組對邊分別平行　 B.兩組對邊分別相等
C.對角線互相平分 D.一組對邊平行且相等
(2023·河北)如圖,將△ABC繞邊AC的中點O順時針旋轉180°.嘉淇發現,旋轉后的△CDA與△ABC構成平行四邊形,并推理如下:
點A,C 分別轉到了點C,A處,
而點B轉到了點D處.
∵CB=AD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
小明為保證嘉淇的推理更嚴謹,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四邊形……”之間作補充,下列正確的是 (　　)
A.嘉淇推理嚴謹,不必補充
B.應補充:且AB=CD
C.應補充:且AB∥CD
D.應補充:且OA=OC
(2023·河北)如圖,將 ABCD沿對角線AC折疊,使點B落在點B'處,若∠1=∠2=44°,則∠B為 (　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
(2024·河北)下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程:
已知:如圖,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,點M是AC的中點,連接BM并延長交AE于點D,連接CD.
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
證明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴①　　　　.
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(②　　　　).
∴MD=MB.∴四邊形ABCD是平行四邊形.
若以上解答過程正確,①,②應分別為(　　)
A.∠1=∠3,AAS
B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS
D.∠2=∠3,ASA
(2023·河北)嘉淇同學要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規作出了如圖的四邊形 ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.
已知:如圖,在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=　　　　.
求證:四邊形ABCD是　　　　四邊形.
(1)在方框中填空,以補全已知和求證.
(2)按嘉淇的想法寫出證明.
(3)用文字敘述所證命題的逆命題為　　　　　　　　　　　　.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①相等　②互補　③平分　④相等　⑤平行且相等　⑥平分
對應練習
1.(1)60°　(2)4　(3)16　(4)12+4　解析:(1)∵在平行四邊形ABCD中,∠ABC=120° ,
∴∠BAD=180°-120°=60°.
(2)∵O是AC的中點,E是AB的中點,∴OE是△ABD的中位線,
∴OE=AD=×8=4.
(3)∵在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴AB=AD=×8=4,
在Rt△ABD中,根據勾股定理可得,BD==4.
∴平行四邊形ABCD的面積=AB·BD=4×4=16.
(4)∵OB=BD=2,
∴在Rt△ABO中,根據勾股定理可得,OA==2,
∴△ABC的周長=AB+BC+AC=4+8+2×2=12+4.
2.(1)AD∥BC(答案不唯一)　(2)OB=OD(答案不唯一)　(3)①與②(答案不唯一)
解析:(1)四邊形ABCD中,AB∥CD,要使四邊形ABCD為平行四邊形,則可添加的條件為AD∥BC.
(2)OB=OD.根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
(3)共有6組可能:①②;①③;①④;①⑤;②⑤;④⑤.
選擇①與②:∵AB∥CD,
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(AAS),
∴AB=CD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形.
河北中考·真題體驗
1.D
2.C　解析:根據題圖1,得出BD的中點O,由題圖2,得出OC=AO,可知使得對角線互相平分, 從而得出四邊形ABCD為平行四邊形,判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是對角線互相平分.故選C.
3.B　解析:∵CB=AD,AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.故應補充“且AB=CD”.故選B.
4.C　解析:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD.∴∠ACD=∠BAC.
由折疊的性質得∠BAC=∠B'AC,
∴∠BAC=∠ACD=∠B'AC=∠1=22°.∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.故選C.
5.D　解析:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴∠2=∠3.
∵點M是AC的中點,
∴MA=MC.
在△MAD和△MCB中,
∴△MAD≌△MCB(ASA),
∴MD=MB,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴①,②分別為∠2=∠3,ASA.故選D.
6.解:(1)CD　平行
(2)證明:如圖,連接BD.
在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
(3)平行四邊形的兩組對邊分別相等

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