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第23課時　多邊形
考點一　多邊形(n≥3)
定義:平面上,由不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
性質(zhì)
(1)內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和等于①　　　　.
(2)外角和定理:n邊形的外角和等于②　　　　.
(3)對角線:過n邊形一個頂點可引③　　　　條對角線,把這個n邊形分成④　　　　個三角形,n邊形共有對角線⑤　　　　條.
根據(jù)多邊形的性質(zhì),可得n邊形的內(nèi)角中最多有3個銳角.
① (人教八上P25變式)關(guān)于n邊形,甲、乙、丙三位同學有以下三種說法:
甲:五邊形的內(nèi)角和為520°;
乙:正六邊形每個內(nèi)角為130°;
丙:七邊形共有對角線14條.
(1)判斷三種說法是否正確,并對其中你認為不對的說法用計算進行說明.
(2)若n邊形的對角線共有35條,求該n邊形的內(nèi)角和.
考點二　正多邊形(n≥3)
定義:各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
性質(zhì)
(1)正多邊形的各邊⑥　　　　,各角⑦　　　　.
(2)正n邊形的每一個內(nèi)角為⑧　　　　,每個外角為⑨　　　　.
(3)對于正n邊形,當n為奇數(shù)時,是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;當n為偶數(shù)時,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,正n邊形有⑩　　　　條對稱軸.
(4)正n邊形有一個外接圓,有一個內(nèi)切圓,它們是同心圓.
正多邊形和圓的關(guān)系
(1)設(shè)正n邊形的邊長為a,外接圓半徑為R,則邊心距r=.
(2)正n邊形的周長l=na.
(3)正n邊形的面積S=nar=lr.
(4)中心角θ=.
正多邊形的有關(guān)計算常用方法是直接利用或構(gòu)造出由半徑、邊長的一半、邊心距組成的直角三角形,然后再利用勾股定理求解.
要使正多邊形能進行沒有空隙的平面鑲嵌,只需使的結(jié)果為整數(shù)即可,即的結(jié)果為整數(shù),所以這樣的圖形有三種,分別為正三角形、正方形、正六邊形.
② (人教九上P109變式)如圖,正三角形的邊長為6 cm,剪去三個角后成一個正六邊形.
(1)求這個正六邊形的邊長.
(2)求這個正六邊形的邊心距.
(3)設(shè)這個正六邊形的中心為O,一邊為AB,則AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形是怎樣的 (作圖表示出來)并求出這條線段AB劃過的面積.
如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為2,點O為其中心,連接AC,OC,AD,邊DC與邊AB的延長線交于點G,連接OG,交BC于點H.
(1)∠BAC=　　　°,AC的長為　　　.
(2)∠COD=　　　°, 點O到邊CD的距離為　　　.
(3)∠BGC=　　　°,△ACD的形狀為　 　　　　.
(4)設(shè)△ACG的周長為a,四邊形ADEF的周長為b,則a　　　　b(填“>”“<”或“=”).
(5)陰影部分的面積為　　　　.
(1)30　2
解析:∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴AB=BC,∠ABC=120°,
∴∠BAC= ×(180°-120°)=30°.
∵AB=BC=2,∴AC=2×2cos 30°=2.
(2)60　
解析:∠COD==60°.
如圖,在等邊三角形OCD中,過點O作OM⊥CD,垂足為M,∴∠COM=∠COD=30°,
∴tan 30°=,CM=OC,∴OM==.
(3)60　直角三角形
解析:由外角的定義可知,∠GBC=∠BCG=60°,
∴∠BGC=180°-60°-60°=60°.
由(1)知,∠ACB=∠BAC=30°,∠ACD=120°-30°=90°,
∴△ACD是直角三角形.
(4)<
解析:由(3)可知,AB=BG=CG=2,
∴△ACG的周長a=AG+CG+AC=4+2+2=6+2,
四邊形ADEF的周長b=AD+DE+EF+AF=4+2+2+2=10.
∵(2)2=12<16,∴2<4,∴a(5)
解析:∵△BCG 和△AGD都是等邊三角形,AG=2AB=4,
∴S△AGD=×4×4×sin 60°=4,S△BCG=×2×2×sin 60°=,
∵O為AD的中點,
∴S陰影=(S△AGD-S△BCG)=×(4)=.
命題點一　多邊形(n≥3)
(2024·河北)如圖,將三角形紙片剪掉一角得四邊形,設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α,β,則正確的是 (　　)
A.α-β=0 B.α-β<0
C.α-β>0 D.無法比較α與β的大小
(2023·河北)已知n邊形的內(nèi)角和θ=(n-2)×180°.
(1)甲同學說,θ能取360°;而乙同學說,θ也能取630°,甲、乙的說法對嗎 若對,求出邊數(shù)n;若不對,說明理由.
(2)若n邊形變?yōu)?n+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°,用列方程的方法確定x.
命題點二　正多邊形(n≥3)
(2024·河北)下列圖形為正多邊形的是 (　　)
A　　　 B　　　 C　　　 D
(2023·河北)如圖,點O為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點,S△AFO=8,S△CDO=2,則S正六邊形ABCDEF的值是 (　　)
A.20 B.30
C.40 D.隨點O位置而變化
(2022·河北)如圖,邊長為a的正六邊形內(nèi)有兩個三角形(數(shù)據(jù)如圖),則= (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2024·河北)直線l與正六邊形ABCDEF的邊AB,EF分別相交于點M,N,如圖所示,則α+β= (　　)
A.115° B.120° C.135° D.144°
(2023·河北)正六邊形的一個內(nèi)角是正n邊形一個外角的4倍,則n=　　　　.
(2023·河北)平面上,將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊在一起,如圖,則∠3+∠1-∠2=　　　　°.
(2024·河北)如圖1,作∠BPC平分線的反向延長線PA,現(xiàn)要分別以∠APB,∠APC,∠BPC為內(nèi)角作正多邊形,且邊長均為1,將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案.
圖1　 　圖2
例如,若以∠BPC為內(nèi)角,可作出一個邊長為1的正方形,此時∠BPC=90°,而=45°是360°(多邊形外角和)的,這樣就恰好可作出兩個邊長均為1的正八邊形,填充花紋后得到一個符合要求的圖案,如圖2所示.
圖2中的圖案外輪廓周長是　　　　;
在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標,則會標的外輪廓周長是　　　　.
(2023·河北)將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上,其俯視圖如圖1,正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上,兩側(cè)螺母不動,把中間螺母抽出并重新擺放后,其俯視圖如圖2,其中,中間正六邊形的一邊與直線l平行,有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點.則圖2中
(1)∠α=　　　　度.
(2)中間正六邊形的中心到直線l的距離為　　　　.(結(jié)果保留根號)
圖1 圖2
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①(n-2)×180°　②360°?、?n-3)?、?n-2)?、荨、尴嗟取、呦嗟?br/>⑧?、帷、鈔
對應(yīng)練習
1.解:(1)甲、乙的說法不正確;丙的說法正確.
甲:正五邊形的內(nèi)角和為180°×(5-2)=540°,
乙:正六邊形外角和為360°,每個外角為 360°÷6=60°,每個內(nèi)角為180°-60°=120°.
(2)由題意,得=35,
解得n=10或n=-7(不合題意,舍去),
∴該n邊形為十邊形,十邊形的內(nèi)角和為180°×(10-2)=1 440°.
2.解:(1)∵正三角形的邊長為6 cm,
∴3個邊長都相等.
又∵截去三個小等邊三角形,
∴各個小三角形的邊長也相等,
∴正六邊形的邊長為6÷3=2(cm).
(2)如圖1,連接OA,OB,過點O作OD⊥AB于點D,
∵∠AOB==60°,
∴△OAB是等邊三角形,
∴OD=OA·sin 60°=2×(cm),
∴這個正六邊形的邊心距為 cm.
圖1
圖2
(3)如圖2即為所作.
線段AB劃過的面積=π×22-π×()2=π(cm2).
河北中考·真題體驗
1.A　解析:∵三角形的外角和與四邊形的外角和相等,都等于360°,∴α=β=360°.∴α-β=0.故選A.
2.解:(1)甲的說法對.
∵θ=360°,∴(n-2)×180°=360°.解得n=4.
乙的說法不對.理由:
∵θ=630°,∴(n-2)×180°=630°.解得n=.
∵n為正整數(shù),∴θ不能取630°.
(2)依題意,得(n-2)×180°+360°=(n+x-2)×180°,解得x=2.
3.D
4.B　解析:如圖1,連接AC,易知四邊形ACDF為矩形,S△AOC=S矩形ACDF,
∵S△AFO=8,S△CDO=2,∴S△ACO=2+8=10.∴S矩形ACDF=10×2=20.如圖2,正六邊形ABCDEF被分割成6個面積相等的三角形,可知每個三角形的面積為20÷4=5,∴S正六邊形ABCDEF=5×6=30.
圖1　　 圖2
5.C　解析:
如圖,設(shè)正六邊形的中心為O,連接OA,OB,
∵∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,
∴△OAB是等邊三角形.易知S正六邊形=6S△OAB,∵圖中空白處兩個直角三角形可拼成一個邊長為a的等邊三角形,∴S空白=S△OAB.∴=5.故選C.
6.B　解析:∵正六邊形每個內(nèi)角為=120°,
而六邊形MBCDEN的內(nèi)角和為(6-2)×180°=720°,
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB=720°,
∴∠ENM+∠NMB=720°-4×120°=240°.
∵β+∠ENM+α+∠NMB=180°×2=360°,
∴α+β=360°-240°=120°.故選B.
7.12　解析:由題意得×4,解得n=12.經(jīng)檢驗,n=12是原方程的解.
8.24　解析:正三角形的每個內(nèi)角是180°÷3=60°,正方形的每個內(nèi)角是360°÷4=90°,正五邊形的每個內(nèi)角是(5-2)×180°÷5=108°,正六邊形的每個內(nèi)角是(6-2)×180°÷6=120°,則∠3+∠1-∠2=(90°-60°)+(120°-108°)-(108°-90°)=30°+12°-18°=24°.
9.14　21　解析:當∠BPC=90°時,此時周長為8+8+4-6=14;當∠BPC=144°時,上方圖形為正十邊形,左方圖形為正五邊形,右方圖形為正五邊形,此時周長為10+5+5-6=14;當∠BPC=120°時,上方圖形為正六邊形,左方圖形為正六邊形,右方圖形為正六邊形,此時周長為6+6+6-6=12;當∠BPC=60°時,上方圖形為等邊三角形,左方圖形為正十二邊形,右方圖形為正十二邊形,此時周長為12+12+3-6=21;當∠BPC<60°時,上方圖形構(gòu)不成正多邊形,∴會標的外輪廓周長最大為21.
10.(1)30　(2)2　解析:(1)作圖如下:
根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和,得∠ACB=60°,∠α=90°-60°=30°.
(2)取中間正六邊形的中心為O,作如下圖形,
由題意得AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,
∴四邊形ABFG為矩形,
∴AB=GF,
∵∠BAC=∠FGH,∠ABC=∠GFH=90°,
∴△ABC≌△GFH(ASA),
∴BC=FH,
在Rt△PDE中,DE=1,PE=,
易知AG=BF=2PE=2,
由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知:
OM=×2,
∵BC=(BF-CH)=-1,
∴AB==3-,
∴BD=2-AB=-1,
∴BE=BD+DE=,
∴ON=OM+BE=2.

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