資源簡介

第21課時(shí)　相似三角形
考點(diǎn)一　比例線段
比例線段和比例中項(xiàng)
線段的比 兩條線段的比是兩條線段的長度之比
比例中項(xiàng) 如果=,即b2=ac,我們就把b叫做a,c的比例中項(xiàng)
比例的性質(zhì)
性質(zhì)1:= ad=①　　　　(b,d≠0).
性質(zhì)2:如果=,那么=(b,d≠0).
性質(zhì)3:如果==…=(b,d,…,n≠0,b+d+…+n≠0),那么=②　　　　.
黃金分割:如圖,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果=③　　　　,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比,黃金比=≈0.618.
平行線分線段成比例
(1)定理:兩條線段被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖1,直線a∥b∥c,則=.
圖1　 圖2 　 圖3
(2)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖2,在△ABC中,DE∥BC,則=或=.如圖3,DE∥BC,則=.
① 已知四條線段a,2,6,a+1成比例,則a的值為　　　　.
② (人教九下P31變式)如圖,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=2∶3∶4.若EG=4,則AE=　　　　,GC=　　　　.
③ 若==(b+d≠0),則=　　　　,=　　　　.
考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)及判定
相似三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成④　　　　,對(duì)應(yīng)角相等
性質(zhì)2 相似三角形對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例
性質(zhì)3 相似三角形的周長比等于⑤　　　　,面積比等于相似比的⑥　　　　
相似三角形的判定
條件 模型
平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形⑦　　　 △ABC∽△ADE
⑧　　　　分別相等的兩個(gè)三角形相似 若∠1=∠2,則△ADE∽△ABC
⑨　　　　成比例的兩個(gè)三角形相似
兩邊成比例且⑩　　　　相等的兩個(gè)三角形相似
一組 銳角 對(duì)應(yīng) 相等 △BCD∽△ACB(∠1=∠2) △ADE∽△ABC △ABC∽△DCE △CAB∽△DEC (∠1=∠2)
兩條邊對(duì)
④ 如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC邊上一點(diǎn),AD=2,BD=1.
(1)增加一個(gè)條件(不添加輔助線):　　　　,使△ADE∽△ACB.
(2)若△ADE∽△ABC.
①對(duì)應(yīng)邊、角的關(guān)系為:=　　　　= 　　　　,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　;
②C△ADE∶=　　　　　,S△ADE∶S△ABC=　　　　　　.
(3)若DE∥BC,則 DE∶BC=　　　　　.
(4)若△ADE與△ABC相似,AC=4,則AE=　　　　　.
考點(diǎn)三　相似三角形的實(shí)際應(yīng)用
運(yùn)用相似三角形的判定條件和性質(zhì)解決實(shí)際問題的方法和步驟
(1)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題.
(2)找出一對(duì)相似三角形.
(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),表示出相應(yīng)的量,并求解.
常見題目類型
(1)利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解.
(2)計(jì)算從底部不能直接測(cè)量的物體的高度.
(3)計(jì)算不能直接測(cè)量的河的寬度.
⑤ 如圖,AD,BC為兩路燈,身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間,兩人相距6.5 m,小明站在P處,小亮站在Q處,小明在路燈BC下的影長為2 m,已知小明身高1.8 m,路燈BC高9 m.小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈AD的正下方,小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方.
(1)計(jì)算小亮在路燈AD下的影長.
(2)計(jì)算AD的高.
考點(diǎn)四　圖形的位似
定義 兩個(gè)相似圖形,如果對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊平行或在同一條直線上,像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做　　　　,這時(shí)的相似比又稱　　　　
性質(zhì) (1)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于　　　　. (2)任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都相交于一點(diǎn). (3)對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上. (4)位似圖形是特殊的相似圖形,具有相似圖形的所有性質(zhì)
畫圖 步驟 (1)確定位似中心. (2)連接原圖形中關(guān)鍵點(diǎn)與　　　　. (3)按相似比進(jìn)行取點(diǎn). (4)順次連接各點(diǎn),所得的圖形就是所求的圖形
基本 圖形 ①　 ② ③
以原點(diǎn)為位似中心的位似變換中點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律:一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果以原點(diǎn)為位似中心,畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形,使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky)
位似是相似的特例.位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.
⑥ 如圖,已知△ABC與△DEF位似,且相似比為k.
(1)k=　　　　.
(2)位似中心P的坐標(biāo)為　　　　.
(3)△PAC與△PDF的周長比為　　　　,
△DEF與△ABC的面積比為　　　　.
考點(diǎn)五　相似多邊形及其性質(zhì)
定義 對(duì)應(yīng)邊　　　　,對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似
性質(zhì) (1)對(duì)應(yīng)邊成比例,對(duì)應(yīng)角　　　　. (2)對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比、周長的比等于　　　　. (3)面積比等于　　　
⑦ 已知兩個(gè)相似多邊形的相似比為5∶7,若較小的一個(gè)多邊形的周長為35,則較大的一個(gè)多邊形的周長為　　　　;若較大的一個(gè)多邊形的面積是4,則較小的一個(gè)多邊形的面積是　　　　.
在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC所在直線上的點(diǎn),連接DE.
(1)如圖1,若D,E分別是AB,AC 的中點(diǎn),△ADE 的周長為8,則△ABC的周長為　　　　.
圖1　　 圖2　 　圖3
(2)將圖1中△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置,連接BD,CE,則圖2中相似三角形為△ABC∽△　　　　和△ABD∽△　　　　,若BD=6,=,則CE=　　　　.
(3)如圖3,若∠ADE=∠ACB,且AD=3, AC=5,CE=1,則 AB 的長為　　　　.
(4)如圖4,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),若AC2=AB·AD,且=,則S△ABC∶S△ACD=　　　　.
圖4　 　　 圖5　 　　圖6　 　　圖7
(5)如圖5,ED∥BC,=,△ABC的面積為18,則△ADE的面積為　　　　.
(6)如圖6,==,則圖6中的相似三角形為　　　∽　　　,若DE=4,則BC的長為　　　　.
(7)如圖7,BC∥ED,連接CD,過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F,若BC⊥CD,=,則的值為　　　　.
(8)在(7)的條件下,小云猜想圖7中有4對(duì)相似三角形,分別為△ABC∽△ADE,△DBC∽△DAF,△CAF∽△CED,△DCB∽△CDE.
小晶:△DCB∽△CDE不確定是否存在.
小南:那我們用以前學(xué)過的反證法來驗(yàn)證一下吧.
下面是證明推理過程,請(qǐng)補(bǔ)充證明過程并在括號(hào)中填寫依據(jù).
證明:假設(shè)△DCB∽△CDE存在,
∴==1(　　　　　　),但由題干條件已知　　　　,
∴假設(shè)　　　　(填“成立”或“不成立”),
∴　　　　(填“存在”或“不存在”)△DCB∽△CDE.
(1)16
(2)ADE　ACE　
(3)
(4)9∶4
(5)8
(6)△ADE
△ACB　6
(7)
(8)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例　=　不成立
不存在
命題點(diǎn)一　比例線段
(2024·河北樣題)已知2x=3y(y≠0),則下列結(jié)論成立的是 (　　)
A.= B.= C.= D.=
命題點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)及判定
(2023·河北)若△ABC的每條邊長增加各自的10%得△A'B'C',則∠B'的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角∠B的度數(shù)相比 (　　)
A.增加了10% B.減少了10% C.增加了(1+10%) D.沒有改變
(2023·河北)如圖,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是 (　　)
A B C D
(2024·河北)如圖是釘板示意圖,每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長為1個(gè)單位長的小正方形頂點(diǎn),釘點(diǎn)A,B的連線與釘點(diǎn)C,D的連線交于點(diǎn)E,則
(1)AB與CD是否垂直 　　　　.(填“是”或“否”)
(2)AE=　　　　.
(2024·河北)如圖,△ABC的面積為2,AD為BC邊上的中線,點(diǎn)A,C1,C2,C3是線段CC4的五等分點(diǎn),點(diǎn)A,D1,D2是線段DD3的四等分點(diǎn),點(diǎn)A是線段BB1的中點(diǎn).
(1)△AC1D1的面積為　　　　.
(2)△B1C4D3的面積為　　　　.
(2023·河北)如圖1和圖2,平面上,四邊形ABCD中,AB=8,BC=2,CD=12,AD=6,∠A=90°,點(diǎn)M在AD邊上,且DM=2.將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°(00),連接A'P.
(1)若點(diǎn)P在AB上,求證:A'P=AP.
(2)如圖2,連接BD.
①求∠CBD的度數(shù),并直接寫出當(dāng)n=180時(shí),x的值;
②若點(diǎn)P到BD的距離為2,求tan∠A'MP的值.
(3)當(dāng) 0圖1　 圖2 備用圖
命題點(diǎn)三　相似三角形的實(shí)際應(yīng)用
(2023·河北)圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖),用去一部分液體后如圖2所示,此時(shí)液面AB= (　　)
　　　　　　　 圖1　 　圖2
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
命題點(diǎn)四　圖形的位似
(2023·河北)在如圖所示的網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,四邊形ABCD的位似圖形是 (　　)
A.四邊形NPMQ
B.四邊形NPMR
C.四邊形NHMQ
D.四邊形NHMR
(2011·河北)如圖,在6×8的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形邊長均為1,點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).
(1)以O(shè)為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似比為1∶2.
(2)連接(1)中的AA',求四邊形AA'C'C的周長.(結(jié)果保留根號(hào))
命題點(diǎn)五　相似多邊形及其性質(zhì)
(2022·河北)在研究相似問題時(shí),甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下:
甲:將邊長為3,4,5的三角形按如圖所示的方式向外擴(kuò)張,得到新三角形,它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1,則新三角形與原三角形相似.
乙:將鄰邊為3和5的矩形按如圖所示的方式向外擴(kuò)張,得到新矩形,它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與原矩形不相似.
對(duì)于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是 (　　)
A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì)
C.甲對(duì)、乙不對(duì) D.甲不對(duì)、乙對(duì)
【詳解答案】
教材考點(diǎn)·深度梳理
①bc?、凇、邸、鼙壤、菹嗨票取、奁椒健、呦嗨啤、鄡山恰、崛?br/>⑩夾角　位似中心　位似比　相似比　位似中心　成比例　相等
相似比　相似比的平方
對(duì)應(yīng)練習(xí)
1.3　解析:由題意,得a∶2=6∶(a+1),∴a(a+1)=12,解得a=3或a=-4(不合題意,舍去).
2.　　解析:∵DE∥FG∥BC,
∴AE∶EG∶GC=AD∶DF∶FB=2∶3∶4.
∵EG=4,
∴AE=,GC=.
3.　
4.(1)∠AED=∠B(答案不唯一)
(2)①　　∠B　∠C?、?∶3
4∶9　(3)2∶3　(4)或
解析:(4)若△ADE∽△ABC,
則,則,解得AE=.
若△ADE∽△ACB,
則,∴,解得AE=.
故AE=或.
5.解:(1)∵EP⊥AB,CB⊥AB,
∴∠EPA=∠CBA=90°.
∵∠EAP=∠CAB,
∴△EAP∽△CAB,
∴,
∴,
∴AB=10(m),
∴BQ=10-2-6.5=1.5(m).
即小亮在路燈AD下的影長為1.5 m.
(2)∵FQ⊥AB,DA⊥AB,
∴∠FQB=∠DAB=90°.
∵∠FBQ=∠DBA,
∴△BFQ∽△BDA,
∴,
∴,
∴DA=12(m).即AD的高為12 m.
6.(1)　(2)(3,6)　(3)1∶2　4∶1
解析:(1)AB=2,BC=,AC=,ED=4,EF==2,DF==2,
∴k=.
(2)如圖所示,
位似中心P的坐標(biāo)為(3,6).
(3)根據(jù)位似圖形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方,故△PAC與△PDF的周長比為1∶2,△DEF與△ABC的面積比為4∶1.
7.49　　解析:根據(jù)相似多邊形的周長比等于相似比,可列5∶7=35∶較大多邊形的周長,解得較大多邊形的周長=49;
根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方,可列=2,解得較小多邊形的面積=.
河北中考·真題體驗(yàn)
1.A
2.D　解析:∵△ABC的每條邊長增加各自的10%得△A'B'C',∴△ABC與△A'B'C'的三邊對(duì)應(yīng)成比例,∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠B=∠B'.故選D.
3.C　解析:A中陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等,故兩三角形相似,故A選項(xiàng)不符合題意;B中陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等,故兩個(gè)三角形相似,故B選項(xiàng)不符合題意;C中兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例,故兩個(gè)三角形不相似,故C選項(xiàng)符合題意;D中兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等,故兩個(gè)三角形相似,故D選項(xiàng)不符合題意.故選C.
4.(1)是　(2)
解析:(1)如圖1,
圖1
在△ACM和△CFD中,
∴△ACM≌△CFD(SAS).
∴∠CAM=∠FCD.
∵∠CAM+∠CMA=90°,
∴∠FCD+∠CMA=90°.
∴∠CEM=90°.∴AB⊥CD.
(2)如圖2,
圖2
在Rt△ABH中,
AB==2.
∵AC∥BD,
∴∠CAE=∠DBE,∠ACE=∠BDE.
∴△ACE∽△BDE.
∴,即.
∴AE=.
5.(1)1　(2)7
解析:(1)如圖,連接B1D1,B1D2,B1C2,B1C3,C3D3,
∵△ABC的面積為2,AD為BC邊上的中線,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×2=1.
∵點(diǎn)A,C1,C2,C3是線段CC4的五等分點(diǎn),∴AC=AC1=C1C2=C2C3=C3C4=CC4.
∵點(diǎn)A,D1,D2是線段DD3的四等分點(diǎn),∴AD=AD1=D1D2=D2D3=DD3.
∵點(diǎn)A是線段BB1的中點(diǎn),
∴AB=AB1=BB1.
在△AC1D1和△ACD中,
∴△AC1D1≌△ACD(SAS),
∴=S△ACD=1,∠C1D1A=∠CDA,
∴△AC1D1的面積為1.
(2)在△AB1D1和△ABD中,
∴△AB1D1≌△ABD(SAS),
∴=S△ABD=1,∠B1D1A=∠BDA.
∵∠BDA+∠CDA=180°,
∴∠B1D1A+∠C1D1A=180°,
∴C1,D1,B1三點(diǎn)共線,
∴+=1+1=2.
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴=4=4×2=8.
∵AD1=D1D2=D2D3,=1,
∴=3=3×1=3.
在△AC3D3和△ACD中,
=3=,∠C3AD3=∠CAD,
∴△C3AD3∽△CAD,
∴=2=32=9,
∴=9S△CAD=9×1=9.
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴×9=12,
∴+=12+3-8=7,
∴△B1C4D3的面積為7.
6.解:(1)證明:∵將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°(0∴A'M=AM.
∵∠A'MA的平分線MP所在直線交折線AB-BC于點(diǎn)P,
∴∠A'MP=∠AMP .
又∵PM=PM,
∴當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),
△A'MP≌△AMP(SAS).
∴A'P=AP.
(2)①∵AB=8,AD=6,∠A=90°,
∴BD==10.
∵BC=2,CD=12,
∴BC2+BD2=(2)2+102=144,CD2=122=144.
∴BC2+BD2=CD2.
∴∠CBD=90°.
當(dāng)n=180時(shí),x=13.
解析:如圖1,當(dāng)n=180時(shí),設(shè)PM與BD相交于點(diǎn)N,
圖1
∵M(jìn)P平分∠A'MA,∴∠PMA= 90°.
∴PM∥AB.∴△DNM∽△DBA.
∴.
∵DM=2,DA=6,
∴.
∴DN=,MN=.
∴BN=BD-DN=.
∵∠PBN=∠NMD=90°,∠PNB=∠DNM,
∴△PBN∽△DMN.
∴,即.
解得PB=5.
∴x=AB+PB=8+5=13.
②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥BD于點(diǎn)Q,則PQ=2.
圖2
∵AB=8,AD=6,∠A=90°,
∴BD==10,sin∠DBA=.
∴BP=,
∴AP=AB-BP=8-.
∴tan∠A'MP=tan∠AMP=.
如圖3,當(dāng)P在BC上時(shí),則PB=2,過點(diǎn)P作PE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E,延長MP交AB的延長線于點(diǎn)H.
圖3
∵∠PEB=∠CBD=∠DAB=90°,
∴∠EPB=90°-∠PBE=∠DBA.
∴△PEB∽△BAD.
∴,
即.
∴PE=,BE=.
∴AE=AB+BE=.
∵PE⊥AB,DA⊥AB,
∴PE∥AD.∴△HPE∽△HMA.
∴.
∴.
解得HE=.
∴tan∠A'MP=tan∠AMP=tan∠EPH=.
綜上所述,tan∠A'MP的值為或.
(3)點(diǎn)A'到直線AB的距離為.
解析:如圖4,過點(diǎn)A'作IK∥AD交AB于點(diǎn)I,過點(diǎn)M作MK⊥IK于點(diǎn)K,則A'I為點(diǎn)A'到直線AB的距離,設(shè)A'I=y.
易得△A'IP∽△MKA',
∴,
即,由,可得IP=(4-y)=x-.
由,可得,
化簡得16y+x2y=8x2,即
(x2+16)y=8x2,
∴y=.
圖4
如圖5,當(dāng)A'P⊥BA時(shí),四邊形A'PAM為正方形,
圖5
A'到直線AB的距離為A'P=MA=4,此時(shí)x=4.
當(dāng)x=4時(shí),y==4,滿足題意.
如圖6,過點(diǎn)A'作A'I⊥AB于點(diǎn)I,過點(diǎn)M作MK⊥A'I于點(diǎn)K,
則A'I為點(diǎn)A'到直線AB的距離,設(shè)A'I=y.
易得△A'IP∽△MKA',
∴,
即,由,可得
IP=(y-4)=-x.
由,可得,
化簡得16y+x2y=8x2,
即(x2+16)y=8x2,
∴y=.
圖6
綜上,當(dāng)07.C　解析:如圖1,過點(diǎn)O作OM⊥CD,垂足為M,如圖2,過點(diǎn)H作HN⊥AB,垂足為N.
∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABH,相似比為.∵OM=15-7=8(cm),HN=11-7=4(cm),∴.∴AB=3 cm.故選C.
　　　　 圖1　　　　圖2
8.A
9.解:(1)如圖.
(2)AA'=2,CC'=2.
在Rt△OA'C'中,OA'=2,OC'=2,
∴A'C'==2,
在Rt△OAC中,OA=4,OC=4,
∴AC==4,
∴四邊形AA'C'C的周長=AA'+A'C'+AC+CC'=2+2+4+2=4+6.
10.A　解析:如圖1,根據(jù)題意得AB∥
A'B',AC∥A'C',BC∥B'C',
∴∠CAB=∠A',∠ABC=∠B'.
∴△ABC∽△A'B'C'.∴甲說法正確.
如圖2,根據(jù)題意得AB=CD=3,
AD=BC=5,則A'B'=C'D'=3+2=5,A'D'=B'C'=5+2=7,
∴,,∵≠,∴新矩形與原矩形不相似.∴乙說法正確.故選A.
　　　 圖1　　　　 　圖2

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