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第18課時(shí)　三角形的基本性質(zhì)
考點(diǎn)一　三角形的分類及性質(zhì)
三角形的分類
(1)按邊分
(2)按角分
三邊關(guān)系
③　　　　　　　　　　　,④　　　　　　　　　　　.
內(nèi)角和定理
⑤　　　　　　　　　　　　.
內(nèi)外角關(guān)系
(1)三角形的一個(gè)外角⑥　　　　與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
(2)三角形的一個(gè)外角⑦　　　　與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角.
邊角關(guān)系
在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角,大邊對(duì)⑧　　　　,小邊對(duì)小角.
三角形具有穩(wěn)定性.
① 如圖給出的三角形有一部分被遮擋,則這個(gè)三角形可能是 (　　)
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等邊三角形
② (2023·衡陽)下列長度的各組線段能組成一個(gè)三角形的是 (　　)
A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
③ 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=40°,則∠B的度數(shù)為 (　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
④ (冀教七下P113變式)如圖,在△ABC中,CE是外角∠ACD的平分線.
(1)若AB=2,AC=3,則BC邊長度的取值范圍是　　　　.
(2)若∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,則∠B=　　　　,∠ACD=　　　　.
(3)若∠A=60°,∠B=80°,則∠ECD=　　　　.
考點(diǎn)二　三角形中的重要線段
四線 圖形 性質(zhì) 備注
中線 D是BC的中點(diǎn) BD=⑨　　　= ⑩　　　　BC, S△ABD=S△ACD 重心:三角形三條中線的交點(diǎn)
高 線段AD 是△ABC的高 AD⊥　　　, 即∠ADB= ∠ADC=90° 垂心:三角形三條高線的交點(diǎn)
角平 分線 AD平分∠BAC ∠1=　　　= ∠BAC 　　 內(nèi)心:三角形的三條角平分線的交點(diǎn),到三角形三邊的距離相等,內(nèi)心即三角形內(nèi)接圓的圓心(尺規(guī)作圖可用)
四線 圖形 性質(zhì) 備注
DE是△ABC的 中位線 　　　∥BC 且DE=　　BC 當(dāng)在三角形中遇到中點(diǎn)時(shí),常構(gòu)造三角形的中位線,進(jìn)一步利用線段平行或倍分關(guān)系解決問題,可簡單概括為“已知中點(diǎn)找中位線”,在平行四邊形或菱形中,邊上有中點(diǎn)時(shí),常連接邊的中點(diǎn)與對(duì)角線的交點(diǎn)構(gòu)造中位線
⑤ (冀教七下P111變式)如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),連接 DE,BD.
(1)若S△ABC=10,則S△BDE=　　　　.
(2)若∠ABC=58°,∠C=30°,則∠CDE=　　　　°.
(3)若AB=6,BC=8,則DE=　　　　.△BCD與△ABD的周長之差為　　　　.
⑥ (一題多設(shè)問)如圖,在△ABC 中,CD,CF分別是AB 邊上的高線、中線,CE是∠ACB的平分線.
(1)若∠B=36°,則∠BCD的度數(shù)為　　　　°.
(2)若∠A=70°,∠B=30°,則∠BCE=　　　　,∠DCE=　　　　.
(3)若AC=9,△BCF的周長比△ACF的周長多4,則BC的長為　　　　.
(4)若AB=6,CD=4,①S△ABC=　　　　,S△BCF=　　　　 ;②BF=6EF,則S△CEF=　　　　.
已知△ABC.
(1)AB=5,AC=3.
①如圖1,若△ABC的周長為奇數(shù),則BC的最大值是　　　　.
②如圖2,若 AD 是△ABC的中線,則AD的取值范圍是　　　　.
圖1　 圖2 　圖3
(2)如圖3,若AD,AF分別是△ABC的角平分線和高,∠C=60°,∠B=40°,則∠DAF的度數(shù)為　　　　.
(3)AD,AF分別是△ABC的中線和高.
①如圖4,若△ABC的面積為80,BD=10,則AF的長為　　　　;
圖4　 圖5
②如圖5,BE是△ABD的角平分線,∠BED=40°,∠BAD=25°,取AC的中點(diǎn)G,連接DG,DG與AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系
(4)已知AD為△ABC的角平分線,且DE,DF分別是△ABD和△ACD的高.
圖6　 　圖7
①如圖6,若AB+AC=10,DE=3,則S△ABC=　　　　;
②如圖7,連接EF,與AD相交于點(diǎn)O.求證:AD垂直平分EF.
(1)①7　②1(3)①8
②解:∵∠BED=∠ABE+∠BAE,
∠BED=40°,∠BAD=25°,
∴∠ABE=15°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABF=30°.
又∵AF是△ABC的高,
∴AB=2AF.
∵D是BC的中點(diǎn),G是AC的中點(diǎn),
∴DG是△ABC的中位線,
∴AB=2DG.
∴DG=AF.
(4)①15
②證明:∵AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,即DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE=AF.
∴點(diǎn)A在線段EF的垂直平分線上.
∵DE=DF,
∴點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上.
∴AD垂直平分EF.
已知,直線CD∥AB,AB=5,點(diǎn)P是直線 CD上的一動(dòng)點(diǎn),連接 PA,PB,點(diǎn)E,F分別為 PA,PB的中點(diǎn),連接EF.
(1)EF的長為　　　　,解決此問的依據(jù)是　 　 　　　.
(2)如圖1,若∠PAB =90°,AF 為∠PAB的平分線,直接寫出∠FAB 的度數(shù)及點(diǎn)F到AB的距離.
圖1
(3)如圖2,若 PA 平分∠CPB,連接 AF,求 PF 的長度.
圖2
(4)嘉琪說,無論點(diǎn)P在何處,△PEF 的面積不變.她的說法是否正確 若正確,請(qǐng)說明理由.
(5)如圖3,若點(diǎn) P在線段 AB的垂直平分線上,FG垂直平分 PB,交 PA 于點(diǎn) G,連接 BG,△PAB的周長為17,求△ABG的周長.
圖3
(1)　三角形的中位線定理
(2)解:∠FAB=45°,點(diǎn)F到AB的距離為.
(3)解:∵PA平分∠CPB,
∴∠CPA=∠APB.
∵CD∥AB,∴∠CPA=∠PAB,
∴∠APB=∠PAB,
∴BP=AB=5.
∵F為PB的中點(diǎn),
∴PF=BP=.
(4)解:正確.理由如下:
如圖,過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M,交EF于點(diǎn)N,
∵點(diǎn)E,F分別為PA,PB的中點(diǎn),
∴EF∥AB且EF=AB.
∴PM⊥EF,△PEF∽△PAB,
∴==.
∵CD∥AB,∴PM為定值,
∴PN為定值.
∵EF=AB,
S△PEF=EF·PN=PN,
∴無論點(diǎn)P在何處,△PEF的面積不變.
(5)解:∵點(diǎn)P在AB的垂直平分線上,∴PA=PB.
∵FG垂直平分PB,∴PG=BG.
∵△PAB的周長為17,
∴AP+AB+BP=17.
∵AB=5,∴AP=6.
∴△ABG的周長=AB+BG+AG=AP+AB=6+5=11.
命題點(diǎn)一　三角形的分類及性質(zhì)
一、三角形的穩(wěn)定性
(2024·河北)下列圖形具有穩(wěn)定性的是 (　　)
A　 B　 C　 D
二、三角形的內(nèi)外角關(guān)系
(2022·河北)如圖,平面上直線a,b分別過線段OK的兩端點(diǎn)(數(shù)據(jù)如圖),則a,b 相交所成的銳角是 (　　)
A.20° B.30° C.70° D.80°
(2023·河北)如圖,直線l1∥l2,菱形ABCD和等邊三角形EFG在l1,l2之間,點(diǎn)A,F分別在l1,l2上,點(diǎn) B,D,E,G 在同一直線上.若∠α=50°,∠ADE=146°,則∠β等于 (　　)
A.42° B.43° C.44° D.45°
(2023·河北)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖),AE與BD的交點(diǎn)為C,且∠A,∠B,∠E保持不變.為了舒適,需調(diào)整∠D的大小,使∠EFD=110°,則圖中∠D應(yīng)　　　(填“增加”或“減少”)　　　　°.
(2023·河北)如圖,已知∠AOB=7°,一條光線從點(diǎn)A發(fā)出后射向OB邊.若光線與OB邊垂直,則光線沿原路返回到點(diǎn)A,此時(shí)∠A=90°-7°=83°.當(dāng)∠A<83°時(shí),光線射到OB邊上的點(diǎn)A1后,經(jīng)OB反射到線段AO上的點(diǎn)A2,易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO,光線又會(huì)沿A2→A1→A原路返回到點(diǎn)A,此時(shí)∠A=　　　　°.
……
若光線從點(diǎn)A 發(fā)出后,經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點(diǎn)A,則銳角∠A的最小值=　 °.
三、三角形的三邊關(guān)系
(2023·河北)如圖,直線l,m相交于點(diǎn)O,P為這兩直線外一點(diǎn),且OP=2.8.若點(diǎn)P關(guān)于直線l,m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1,P2,則P1,P2之間的距離可能是 (　　)
A.0 B.5 C.6 D.7
(2023·河北)四邊形ABCD的邊長如圖所示,對(duì)角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí),對(duì)角線 AC 的長為 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2013·河北)如圖1,M是鐵絲AD的中點(diǎn),將該鐵絲首尾相接折成△ABC,且∠B = 30°,∠C = 100°,如圖2.則下列說法正確的是 (　　)
圖1 圖2
A.點(diǎn)M在AB上
B.點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處
C.點(diǎn)M在BC上,且距點(diǎn)B較近,距點(diǎn)C較遠(yuǎn)
D.點(diǎn)M在BC上,且距點(diǎn)C較近,距點(diǎn)B較遠(yuǎn)
命題點(diǎn)二　三角形中的重要線段
(2024·河北)觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可得線段BD一定是△ABC的 (　　)
A.角平分線 B.高線 C.中位線 D.中線
(2023·河北)如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l∥AB,P是l上一動(dòng)點(diǎn),M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對(duì)于下列各值:
①線段MN的長;②△PAB的周長;③△PMN的面積;④直線MN,AB之間的距離;⑤∠APB 的大小.
其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是 (　　)
A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤
(2023·河北)如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開,不能直接測量其距離.于是,小明在岸邊選一點(diǎn)C,連接CA,CB,并分別延長到點(diǎn)M,N,使AM=AC,BN=BC,測得 MN=200 m,則 A,B 間的距離為　　　　m.
【詳解答案】
教材考點(diǎn)·深度梳理
①等邊三角形　②直角三角形　③任意兩邊之和大于第三邊　④任意兩邊之差小于第三邊　⑤三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°　⑥等于　⑦大于　⑧大角　⑨CD
⑩　BC　∠2　DE　
對(duì)應(yīng)練習(xí)
1.B
2.D　解析:A.1 cm+2 cm=3 cm,不符合題意;B.3 cm+5 cm=8 cm,不符合題意;C.4 cm+5 cm=9 cm<10 cm,不符合題意;D.4 cm+5 cm=9 cm>6 cm,符合題意.故選D.
3.B
4.(1)1解析:(1)3-2(2)∵∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠B+10°+∠B+50°=180°,解得∠B=60°,
∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACD=180°-50°=130°.
(3)∵∠A=60°,∠B=80°,
∴∠ACD=∠A+∠B=60°+80°=140°.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ECD=∠ACD=×140°=70°.
5.(1)　(2)92°　(3)3　2
解析:(1)∵D是AC的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),
∴S△BDC=S△ABC=×10=5,
S△BDE=S△BDC=×5=.
(2)∵∠ABC=58°,∠C=30°,
∴∠A=180°-58°-30°=92°.
∵D是AC的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),
∴DE是△ABC的中位線,
∴DE∥AB,
∴∠EDC=∠A=92°.
(3)∵D是AC的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),
∴DE是△ABC的中位線.
∴DE=AB=×6=3;
∵AB=6,BC=8,
∴C△BCD-C△ABD=BC-AB=8-6=2.
6.(1)54　(2)40°　20°　(3)13
(4)①12　6　②1
解析:(1)∵CD是AB 邊上的高線,
∴∠BDC=90°.
∵∠B=36°,
∴∠BCD=90°-36°=54°.
(2)∵ ∠A=70°,∠B=30°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-30°=80°.
∵CE是∠ACB的平分線,
∴∠BCE=∠ACE=×80°=40°.
∵∠ACD=90°-∠A=90°-70°=20°,
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=40°-20°=20°.
(3)∵CF是AB 邊上的中線,
∴AF=BF.
∵△BCF的周長=BC+BF+CF,△ACF的周長=AC+AF+CF,C△BCF-C△ACF=4,
∴BC-AC=4,即BC-9=4,解得BC=13.
(4)①∵CD是AB 邊上的高線,AB=6,CD=4,
∴S△ABC=AB·CD=×6×4=12.
∵CF是AB 邊上的中線,
∴S△BCF=S△ABC=×12=6;
②∵BF=6EF,
∴S△CEF=S△BCF=×6=1.
河北中考·真題體驗(yàn)
1.A
2.B
3.C　解析:如圖,∵∠ADE=146°,∴∠ADB=180°-∠ADE=34°.
∵∠α =∠ADB+∠AHD,∴∠AHD=
∠α-∠ADB=50°-34°=16°.
∵l1∥l2,∴∠GIF=∠AHD=16°.
∵∠EGF=∠β+∠GIF,
∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44°.故選C.
4.減少　10　解析:如圖,延長EF交CD于點(diǎn)G.∵∠A=50°,∠B=60°,∴∠ACB=70°=∠DCE.∴∠DGF=∠GCE+∠E=70°+30°=100°.∵∠EFD=∠D+∠DGF=∠D+100°=110°,∴∠D=10°.∴∠D應(yīng)減少10°.
5.76　6　解析:當(dāng)A1A2⊥OA時(shí),∠2=90°-7°=83°.∴∠1=∠2=83°,
又∵∠1=∠O+∠A,
∴∠A=∠1-∠O=83°-7°=76°.
如圖,設(shè)光線經(jīng)過若干次反射能沿原路返回到點(diǎn)A,則最后的光線An-1An⊥OA,則∠AnAn-1O=90°-7°=83°,由反射角等于入射角可推出∠BAn-1An-2=∠AnAn-1O=83°,∴∠An-1An-2An=83°-7°=76°,即∠An-1An-2O=90°-2×7°=90°-14°=76°①,同理可得∠An-3An-2A=∠An-1An-2O=76°,∠BAn-3An-4=∠An-2An-3O=76°-7°=69°,則∠An-3An-4O=69°-7°=90°-2×14°=62°②,
以此類推,∠An-5An-6O=90°-3×14°=48°③,
……
∴當(dāng)∠A1AO=90°-6×14°=6°時(shí),銳角∠A取得最小值6°.
6.B　解析:如圖,連接OP1,OP2,P1P2.
∵點(diǎn)P關(guān)于直線l,m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1,P2,∴OP1=OP=2.8,OP=OP2=2.8.∵OP1+OP2>P1P2.∴07.B　解析:在△ACD中,AD=CD=2,∴2-28.C　解析:如圖,取BC的中點(diǎn)E,則BE=CE,
∵∠C=100°,∠B=30°,∴AB>AC.
∴AB+BE>AC+CE.
由三角形三邊關(guān)系,得AC+BC>AB,
∴AB∴AD的中點(diǎn)M在BE上,即點(diǎn)M在BC上,且距點(diǎn)B較近,距點(diǎn)C較遠(yuǎn).故選C.
9.B　解析:由作圖可知BD⊥AC,故線段BD是△ABC的高.故選B.
10.B　解析:∵點(diǎn)A,B為定點(diǎn),M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),∴MN是△PAB的中位線.∴MN=AB.由于AB長度不變,則線段MN的長度也不變,故①不符合;PA,PB的長度隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化,∴△PAB的周長會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化,故②符合;∵M(jìn)N∥AB,∴△PMN∽△PAB.∴.∵M(jìn)N,AB的長度不變,l∥AB,∴△PAB的面積不變,∴△PMN的面積不變,故③不符合;∵△PMN的面積不變,MN的長度不變,∴點(diǎn)P到MN的距離不變.∵l∥AB,∴點(diǎn)P到AB的距離不變.∴MN與AB之間的距離不變.∴直線MN,AB之間的距離不隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化,故④不符合;∠APB的大小隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化,故⑤符合.綜上所述,會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是②⑤.故選B.
11.100　解析:∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN的中位線.∴AB=MN=100 m.

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