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第20課時(shí)　等腰三角形與直角三角形
考點(diǎn)一　等腰三角形和等邊三角形
項(xiàng)目 等腰三角形 等邊三角形
概 念 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形 三邊都相等的三角形叫做等邊三角形
性 質(zhì) (1)兩腰相等,兩底角①　　　　(簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”). (2)頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”). (3)是軸對(duì)稱圖形,有一條對(duì)稱軸 (1)三邊相等. (2)三個(gè)內(nèi)角相等,都等于②　　　　. (3)是軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸
判 定 (1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形. (2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(依據(jù)“等角對(duì)等邊”) (1)三邊相等的三角形是等邊三角形. (2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. (3)有一個(gè)角等于③　　　　的等腰三角形是等邊三角形
面 積 S=ah(a為等腰三角形的底邊長(zhǎng),h為底邊上的高) S=a2(a為等邊三角形的邊長(zhǎng))
等腰三角形中的分類討論
在解決與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問(wèn)題時(shí),如果不知道已知的邊是腰還是底邊或不知道已知的角是頂角還是底角,就需要分類討論.
1.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a,b(a≠b),求周長(zhǎng)C時(shí),分兩種情況:
(1)若腰長(zhǎng)為a且2a>b,則周長(zhǎng)C=2a+b.
(2)若腰長(zhǎng)為b且2b>a,則周長(zhǎng)C=2b+a.
2.已知等腰三角形的一個(gè)角為α,求頂角或底角的度數(shù)時(shí),分三種情況:
(1)若α為鈍角,則α為頂角,底角的度數(shù)為(180°-α).
(2)若α為直角,則α為頂角,且該三角形為等腰直角三角形,底角為45°.
(3)若α為銳角,則應(yīng)分兩種情況討論:
①當(dāng)α為頂角時(shí),底角的度數(shù)為(180°-α);
②當(dāng)α為底角時(shí),頂角的度數(shù)為180°-2α.
特別注意:無(wú)論哪種情況,都要注意三角形的三邊必須滿足“任意兩邊之和大于第三邊”,三個(gè)角必須滿足“三角形的內(nèi)角和等于180°”.
① (冀教八上P143變式)如圖,在△ABC 中,AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).
(1)若∠B=50°,則∠C =　　　　.
(2)若∠BAD=20°,則∠BAC =　　　　.
(3)若AB=5,BC=6,則AD的長(zhǎng)為　　　　.
(4)若△ABC的一個(gè)內(nèi)角為50°,則∠BAC的度數(shù)為　　　　.
(5)若△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為5,6,則△ABC的周長(zhǎng)為　　　　　.
(6)若∠B=60°,AB=4,則△ABC是　　　　三角形,S△ABC=　　　　.
考點(diǎn)二　直角三角形
概念 有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形
性質(zhì) (1)兩銳角之和等于④　　　　. (2)斜邊上的中線等于斜邊的⑤　　　　. (3)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的⑥　　　　. (4)勾股定理:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,即a2+b2=c2(a,b為直角邊,c為斜邊)
判定 (1)有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形. (2)勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,則以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形
面積 S=ch=ab(a,b為直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高)
② 已知在Rt△ABC 中,∠BAC=90°.
(1)如圖1,AD⊥BC于點(diǎn)D.
①若∠B=40°,則∠DAC=　　　　;
②若AB=4,AC=3,則AD=　　　　;
③若∠B=30°,AB=6,則BC=　　　　;
④若點(diǎn)E是BC 的中點(diǎn),AD=DE =2,則BC=　　　　.
圖1　 　圖2
(2)如圖2,點(diǎn)D,E分別在AB,BC邊上,且 DE垂直平分BC.若AB=2AC,AD=3,則AC=　　　　.
已知△ABC為等腰三角形,請(qǐng)回答下列問(wèn)題.
(1)若∠A=40°,則∠B=　　　　.
(2)若△ABC的周長(zhǎng)為22,AB=8,則AC=　　　　.
(3)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上.若BD=BC=AD,則∠A=　　　　,圖中有　　　　個(gè)等腰三角形.
圖1　　 圖2
(4)如圖2,在△ABC中,AB=AC,D,E 是△ABC內(nèi)兩點(diǎn),AD平分∠BAC,∠EBC=∠BED=60°,且BE=8,BC=10.
①求∠ADE 的度數(shù);
②求DE的長(zhǎng);
③延長(zhǎng)BE與AD相交于點(diǎn)M,若∠BAC=30°,EM=2,求 AM的長(zhǎng).
等腰三角形中求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或角度時(shí),要對(duì)三角形的邊和角進(jìn)行分類討論,并利用三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和等知識(shí)進(jìn)行合理性的分析;等邊三角形作為特殊的等腰三角形,包含等腰三角形的所有性質(zhì),既可以在等腰三角形的條件下通過(guò)添加一個(gè)60°角證明等邊三角形,也可以在任意三角形的前提下添加兩個(gè)60°角證明等邊三角形.
(1)40°或70°或100°
解析:若∠A是底角,∠B也是底角,則∠B=40°;若∠A是底角,∠B是頂角,則∠B=180°-40°-40°=100°;若∠A是頂角,則∠B是底角,故∠B==70°.故∠B=40°或70°或100°.
(2)6或7或8
解析:若AB是底邊,AC是腰,則AC==7,7,7,8能構(gòu)成三角形;若AB是腰,AC也是腰,則AC=AB=8,則BC=22-8×2=6,8,8,6能構(gòu)成三角形;若AB是腰,AC是底邊,則AC=22-8-8=6,8,8,6能構(gòu)成三角形.所以AC=6或7或8.
(3)36°　3
解析:設(shè)∠A=x,∵BD=AD,∴∠ABD=∠A=x,
∴∠BDC=2x.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x,∴2x+2x+x=180°,解得x=36°.
圖中有3個(gè)等腰三角形,△ABD,△BDC和△ABC.
(4)解:①如圖,延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)H.
∵∠EBC=∠BED=60°,
∴△BEF是等邊三角形,
∴EF=BF=BE=8,∠EFB=60°.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AH⊥BC.∴∠AHC=90°.
∴∠HDF=30°.∴∠ADE=∠HDF=30°.
②∵BC=10,BE=BF=8,∴FC=BC-BF=2.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BH=CH=BC=5.
∴HF=5-2=3.
在Rt△DHF中,∵∠HDF=30°,
∴DF=2HF=6.∴DE=8-6=2.
③∵∠BAC=30°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=15°.
∵EM=2,∴EM=DE.
∵∠ADE=30°,∴∠EMD=30°.
∵∠BMD=∠BAD+∠ABM=30°,∴∠ABM=15°,
∴AM=BM.
∵BM=BE+EM=8+2=10,∴AM=10.
已知,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,點(diǎn)D為BC上的點(diǎn).
(1)若AC=2,求AB的長(zhǎng).
(2)如圖1,若AD⊥BC,∠B=55°,則∠CAD=　　　　;解決此問(wèn)用到的依據(jù)是　　　　.
圖1　 　圖2
(3)如圖2,若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),求AD的長(zhǎng);
解決此問(wèn)用到的依據(jù)是　　　　　　　　.
(4)如圖3,若點(diǎn)D,E分別為BC,BD的中點(diǎn),且∠B=60°,求證:△ADE為直角三角形;
解決此問(wèn)用到的判定依據(jù)是　　　　　　.
圖3
(1)解:∵∠BAC=90°,BC=4,AC=2,
∴根據(jù)勾股定理可得,AB===2.
(2)55°　同角的余角相等
解析:∵AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠B=55°.
(3)解:∵∠BAC=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
∴AD=BC=×4=2.
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
(4)證明:∵D為BC的中點(diǎn),∠BAC=90°,
∴AD=BD.
∵∠B=60°,
∴△ABD為等邊三角形,
∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),
∴AE 為BD 邊上的中線,
∴AE⊥BD,
∴∠AED=90°,
∴△ADE 為直角三角形.
有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形
命題點(diǎn)一　等腰三角形的性質(zhì)與判定
(2024·河北)已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,且PA=PB.求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時(shí),需添加輔助線,則作法不正確的是 (　　)
A.作∠APB的平分線PC,交AB于點(diǎn)C
B.過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C,且AC=BC
C.取AB中點(diǎn)C,連接PC
D.過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C
(2023·河北)如圖,碼頭A在碼頭B的正西方向,甲、乙兩船分別從A,B同時(shí)出發(fā),并以等速駛向某海域.甲的航向是北偏東35°,為避免行進(jìn)中甲、乙相撞,則乙的航向不能是 (　　)
A.北偏東55° B.北偏西55° C.北偏東35° D.北偏西35°
命題點(diǎn)二　等邊三角形的性質(zhì)與判定
(2023·河北)如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N 分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有 (　　)
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.3 個(gè)以上
命題點(diǎn)三　直角三角形的性質(zhì)與判定
(2023·河北)如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片,面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊(可重復(fù)選取)按如圖的方式組成圖案,使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形,則選取的三塊紙片的面積分別是 (　　)
A.1,4,5 B.2,3,5
C.3,4,5 D.2,2,4
(2023·河北)如圖,在Rt△ABC中,AB=4,點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn),以AM為邊作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,則S△ABC= (　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
命題點(diǎn)四　等腰直角三角形的性質(zhì)與判定
(2023·河北)如圖,從筆直的公路l旁一點(diǎn)P出發(fā),向西走6 km到達(dá)l;從點(diǎn)P出發(fā)向北走6 km也到達(dá)l.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 (　　)
A.從點(diǎn)P向北偏西45°走3 km到達(dá)l
B.公路l的走向是南偏西45°
C.公路l的走向是北偏東45°
D.從點(diǎn)P向北走3 km后,再向西走3 km到達(dá)l
【詳解答案】
教材考點(diǎn)·深度梳理
①相等　②60°　③60°　④90°　⑤一半
⑥一半
對(duì)應(yīng)練習(xí)
1.(1)50°　(2)40°　(3)4　(4)50°或80°
(5)16或17　(6)等邊　4
解析:(2)∵AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
∴∠BAC=2∠BAD=40°.
(3)∵AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),∴∠ADB=90°.
∵BC=6, ∴BD=BC=×6=3.
在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理可得,AD==4.
(4)若底角為50°,則∠BAC=180°-50°-50°=80°;若頂角為50°,則∠BAC=50°.
(5)若5為底邊,則三邊為5,6,6,周長(zhǎng)為17;若5為腰,則三邊為5,5,6,周長(zhǎng)為16.
(6)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形; S△ABC=×42=4.
2.(1)①40°　②　③4　④4　(2)4
解析:(1)①∵∠BAC=90°,∠B=40°,∴∠C=90°-40°=50°.
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=90°-50°=40°.
②∵AB=4,AC=3,
∴根據(jù)勾股定理可得,BC=5, 由AB·AC=BC·AD可得,3×4=5AD,∴AD=.
③在Rt△ABC中,∵∠B=30°,∴BC=2AC,設(shè)AC=x,則BC=2x, ∴根據(jù)勾股定理可得方程:x2+62=(2x)2,∴x=2(負(fù)值舍去),∴BC=4.
④在Rt△ADE中,根據(jù)勾股定理可得,AE==2,
根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得,BC=2AE=4.
(2)如圖,連接CD,設(shè)AC=x,
∵AB=2AC,
∴AB=2x.
∵AD=3,根據(jù)勾股定理,得CD=.
∵DE垂直平分BC,∴CD=BD.
∵AB-AD=BD,
∴2x-3=,解得x=0(舍去)或x=4,故AC=4.
河北中考·真題體驗(yàn)
1.B　解析:過(guò)線段外一點(diǎn)作已知線段的垂線,不能保證也平分此條線段,不符合題意.故選B.
2.D　解析:甲的航向是北偏東35°,為避免行進(jìn)中甲、乙相撞,∴乙的航向不能是北偏西35°.故選D.
3.D　解析:如圖,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,∴∠EOP=∠POF=60°.
∵OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF都是等邊三角形.∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM+∠MPO=∠OPN+
∠MPO=60°.∴∠EPM=∠OPN.
在△PEM和△PON中,
∴△PEM≌△PON(ASA).
∴PM=PN.∵∠MPN=60°,
∴△PMN是等邊三角形.
∴只要∠MPN=60°,則△PMN就是等邊三角形,故這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè).故選D.
4.B　解析:根據(jù)題意,設(shè)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.由勾股定理,得a2+b2=c2.A.∵1+4=5,則兩直角邊分別為1和2,則面積為×1×2=1.B.∵2+3=5,則兩直角邊分別為和,則面積為.C.∵3+4≠5,則不符合題意.D.∵2+2=4,則兩直角邊分別為和,則面積為=1,∵>1∴B選項(xiàng)符合題意.故選B.
5.B　解析:∵S正方形AMEF=16,∴AM==4.∵Rt△ABC中,點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn),∴BC=2AM=8.∴AC==4.
∴S△ABC=×AB×AC=×4×4=8.故選B.
6.A　解析:如圖,根據(jù)題意得△PAB是腰長(zhǎng)為6 km的等腰直角三角形,由勾股定理,得AB==6(km),∵PC⊥AB,∴PC=3 km,則從點(diǎn)P向北偏西45°走3 km到達(dá)l,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;公路l的走向是南偏西45°或北偏東45°,故選項(xiàng)B,C正確;取PB的中點(diǎn)D,則PD=PB=3 km,從點(diǎn)P向北走3 km后到達(dá)點(diǎn)D,此時(shí)CD為△PAB的中位線,則CD=AP=3 km,故再向西走3 km到達(dá)l,故選項(xiàng)D正確.故選A.

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