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第19課時　全等三角形
考點一　全等三角形及其性質(zhì)
概念 能夠完全重合的三角形叫做全等三角形
性質(zhì)1 全等三角形的對應(yīng)邊①　　　　,對應(yīng)角②　　　　
性質(zhì)2 全等三角形的周長③　　　　,面積④　　　　
性質(zhì)3 全等三角形的對應(yīng)中線、高、角平分線、中位線都⑤　　　
考點二　全等三角形的判定
一般三角形全等的判定
圖形 定理 判定條件
三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS) A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,⑥　　　　
兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS) A1B1=A2B2,∠B1=∠B2,⑦　　　　
兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA) ∠A1=∠A2,⑧　　　　　, ∠B1=∠B2
兩角和其中一組等角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS) ∠A1=∠A2,∠B1=∠B2, ⑨　　　 　或 ⑩　　　　
直角三角形全等的判定
斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等,即如圖.
Rt△A1B1C1≌Rt△A2B2C2(HL).
三角形全等的證明思路
① (人教八上P31變式)如圖,已知AB∥ DE,AB=DE,請你按下列要求添加一個條件,使△ABC≌△DEF.
(1)若利用“SAS”判定,則添加的條件可以是　　　　.
(2)若利用“AAS”判定,則添加的條件可以是　　　　　　.
(3)若利用“ASA”判定,則添加的條件可以是　　　　　　.
② (冀教八上P56變式)如圖,兩車從路段AB的兩端同時出發(fā),沿平行路線以相同的速度行駛,相同時間后分別到達(dá)C,D兩地,CE⊥AB,DF⊥AB,C,D兩地到路段AB的距離相等嗎 為什么
③ (冀教八上P43變式)如圖,已知點B,F,C,E在直線l上,點A,D在l異側(cè),且AC∥DF,AC=DF.
(1)請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件:　　　　,使得△ABC≌△DEF.結(jié)合所添加的條件證明:△ABC≌△DEF.
(2)若BE=20,BF=6,求FC的長度.
如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點D,BE⊥AC于點E,CD與BE交于點O,且OB=OC,連接AO.
(1)下面是黑板上給出的問題及不完整的證明過程,請?zhí)顚憴M線上的內(nèi)容.
求證:△OBD≌△OCE.
證明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ODB=∠OEC=90°.
在△OBD和△OCE中,
∴△OBD≌△OCE(　　　　).
(2)求證:△AOD≌△AOE.
(3)求證:△ABE≌△ACD.
(4)求證:△ABO≌△ACO.
(5)求證:△BCD≌△CBE.
(1)∠DOB=∠EOC　AAS
(2)證明:由(1)知△OBD≌△OCE,∴OD=OE.
又∵∠ODB=∠OEC=90°,∴∠ODA=∠OEA=90°.
在Rt△AOD和Rt△AOE中,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL).
(3)證明:由(2)知Rt△AOD≌Rt△AOE,∴AD=AE.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
(4)證明:由(2)知△AOE≌△AOD,
∴∠EAO= ∠DAO.
由(3)知△ABE≌△ACD,∴AB=AC.
在△ABO和△ACO 中,
∴△ABO≌△ACO(SAS).
(5)證明:由(1)知△OBD≌△OCE,∴BD=CE.
由(3)知△ABE≌△ACD,∴BE=CD.
在△BCD和△CBE中,
∴△BCD≌△CBE(SSS).
命題點一　全等三角形及其性質(zhì)
(2024·河北樣題)如圖,若△ABC≌△ADE,則下列結(jié)論中一定成立的是 (　　)
A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE D.∠ABC=∠AED
命題點二　全等三角形的判定
(2023·河北)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB= A'B'=6,AC=A'C'=4.已知∠C=n°,則∠C'= (　　)
A.30° B.n°
C.n°或180°-n° D.30°或150°
(2024·河北)如圖,∠A=∠B=50°,P為AB的中點,點M為射線AC上(不與點A重合)的任意一點,連接MP,并使MP的延長線交射線BD于點N,設(shè)∠BPN=α.
(1)求證:△APM≌△BPN.
(2)當(dāng)MN=2BN時,求α的度數(shù).
(3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫出α的取值范圍.
(2023·河北)如圖,點B,F,C,E在直線l上(點F,C之間不能直接測量),點A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求證:△ABC≌△DEF.
(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①相等　②相等　③相等　④相等
⑤相等　⑥B1C1=B2C2　⑦B1C1=B2C2　⑧A1B1=A2B2　⑨B1C1=B2C2　⑩A1C1=A2C2
對應(yīng)練習(xí)
1.(1)BC=EF(答案不唯一)
(2)∠ACB=∠F
(3)∠A=∠D
2.解:C,D兩地到路段AB的距離相等,
理由:∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠AEC=∠BFD=90°.
∵AC∥BD,
∴∠A=∠B.
在△AEC和△BFD中,
∴△AEC≌△BFD(AAS),
∴CE=DF,
∴C,D兩地到路段AB的距離相等.
3.解:(1)(答案不唯一)∠A=∠D
證明如下:
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BC-CF=EF-CF,
即BF=CE,
∵BE=20,BF=6,
∴CE=BF=6,
∴FC=BE-BF-CE=20-6-6=8.
河北中考·真題體驗
1.B　解析:∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.故選B.
2.C　解析:過點A作AD⊥BC于點D,過點A'作A'D'⊥B'C'于點D'.∵∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,∴AD=A'D'=3.當(dāng)B,C在點D的兩側(cè),B',C'在點D'的兩側(cè)時,如圖,
∵AD=A'D'=3,AC=A'C'=4,
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
∴∠C'=∠C=n°.當(dāng)B,C在點D的兩側(cè),B',C'在點D'的同側(cè)時,如圖,
∵AD= A'D'=3,AC=A'C'=4,
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
∴∠A'C'D'=∠C=n°,即∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'=180°-n°.綜上,∠C'為n°或180°-n°.故選C.
3.解:(1)證明:∵P是AB的中點,
∴PA=PB.
在△APM和△BPN中,
∴△APM≌△BPN(ASA).
(2)由(1)得△APM≌△BPN,
∴PM=PN.
∴MN=2PN.∵MN=2BN,
∴BN=PN.∴α=∠B=50°.
(3)40°<α<90°.
4.解:(1)證明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)AB∥DE,AC∥DF.
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴AB∥DE,AC∥DF.

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